Z-半连续偏序集的性质

交S-超连续偏序集毛徐新;徐罗山【摘要】利用偏序集上的Scott S-集,引入了交S-超连续偏序集概念,探讨了交S-超连续偏序集的性质、刻画及与S-超连续偏序集、拟S-超连续偏序集等之间的关系.主要结果有:(1)交S-超连续的格一定是分配格;(2)有界完备偏序集(简记为bc-poset)L是交S-超连续的当且仅当对任意x∈L及子集A,当∨A存在时有x∧∨A=∨{x∧a:a∈A};(3)有界完备偏序集S-超连续的当且仅当它是交S-超连续且拟S-超连续的;(4)获得了反例说明分配的完备格可以不是交S-超连续格,连续格也可以不是交S-超连续格.%The concept of meet supercontinuity for posets is introduced. Properties and characterizations of meet superconti-nuity, as well as relationships of meet supercontinuity with supercontinuity and quasi supercontinuity are given. Main results are:(1)A lattice which is also meet supercontinuous must be distributive;(2)A bounded completeposet(bc-poset, for short)L is meet supercontinuous iff ?x∈L and every subset A for which ∨A exists, one has x∧∨A=∨{ x∧a:a∈A };(3) A bounded complete poset is supercontinuous iff it is meet supercontinuous and quasi supercontinuous;(4)Some counterexamples are constructed to show that a distributive complete lattice needn't be a meet supercontinuous lattice and a continuous lattice needn't be a meet supercontinuous lattice.【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2017(053)004【总页数】5页(P15-18,24)【关键词】ScottS-集;交S-超连续偏序集;S-超连续偏序集;分配格【作者】毛徐新;徐罗山【作者单位】南京航空航天大学理学院,南京 210016;扬州大学数学科学学院,江苏扬州 225002【正文语种】中文【中图分类】O153.1;O189.1MAO Xuxin,XU Luoshan.Computer Engineering and Applications,2017,53（4）：15-18.狭义的Domain理论[1-2]是建立在定向完备偏序集即dcpo的基础之上，致使最基本且结构最丰富的实数集ℝ，自然数集ℕ不能作为Domain看待。

半格数学定义在数学中，半格是一种特殊的数学结构，它可以描述一个集合上的偏序关系。

偏序关系是一种非严格的排序关系，即通过某种方式确定集合元素之间的相对顺序。

在半格中，偏序关系必须满足以下性质：1. 自反性：对于集合中的任意元素a，a与自身存在偏序关系。

2. 反对称性：如果集合中的元素a与b既存在a与b的偏序关系，又存在b与a的偏序关系，那么a和b必须相等。

3. 传递性：如果集合中的元素a与b存在偏序关系，且b与c存在偏序关系，那么a与c也必须存在偏序关系。

半格中的偏序关系通常用符号“≤”表示，即a ≤ b。

半格也可以用有向无环图来表示，其中元素表示图中的节点，偏序关系表示有向边。

半格还具有一个重要的性质：对于其中任意两个元素a和b，a与b要么没有可比性，即不满足a ≤ b且b ≤ a，也就是说a和b无法通过偏序关系确定谁小谁大；要么a和b具有最大公约元素，即存在一个元素c，满足c ≤ a且c ≤ b，并且任何其他满足此条件的元素都必须小于等于c。

这个最大公约元素在半格中被称为极小上界或最小公共上界。

类似地，可以定义极大下界或最大公共下界。

半格在数学和计算机科学中具有广泛的应用。

在离散数学中，半格可以用于刻画集合的各种属性。

在计算理论和计算机科学中，半格广泛用于描述并行计算、数据流分析、数据结构等领域中的问题。

半格还是一种重要的抽象代数结构，在代数学和数学逻辑中也有重要应用。

总结来说，半格是一种用于描述集合上偏序关系的数学结构，具有自反性、反对称性和传递性等性质。

它在数学、计算机科学和其他领域中的应用非常广泛，是一个重要且有趣的研究对象。

符号说明符号在本文中的含义页码↑a a的上集 (7)↓a a的下集.......................................... (7)Dcpo 定向完备偏序集....................................... . (7)max (P) 偏序集P中的极大点集 (7)∨↑D 定向集D的上确界 (7)Id(P) 偏序集P中的全体理想 (7)σ(P) 偏序集P上的Scott拓扑 (8)σ*(P) 偏序集P的全体Scott闭集 (8)λ(P) 偏序集P上的Lawson拓扑 (8)ω(P) 偏序集P上的下拓扑 (8)Γ(X) 拓扑空间X的所有闭子集 (9)x<<y x双小于y或x逼近于y (9)⇓x 双小于x的元的集合 (9)K(P) 偏序集P的紧元集 (9)Rd(L) 格L中的半素理想集 (10)x⇐y x半双小于y (10)⇓b x 半双小于x的元的集合 (10)σs(L) 格L上的半Scott拓扑 (11)λs(L) 完备格L上的半Lawson拓扑 (11)x<<w y x弱双小于y (21)⇓w x 弱双小于x的元的集合 (21)第一章引言连续格理论及更广的Domain理论来源于两种完全不同的背景．1971年, 著名逻辑学家D.Scott因理论计算机的语义问题提出了连续格的概念[1]．在纯数学的研究方面, 七十年代中期, J．D．Lawson, K．H．Hoffman等人在关于紧半格的结构理论研究中, 也发现了连续格和代数格的结构．这样, 两种完全不同的背景导致了同一对象的发现, 刺激了该领域的研究．后来, 人们推广了连续格的概念, 将其中最关键的way below关系移植到偏序集上得到了连续偏序集的概念(参见文献[2-6]).1979年, Lawson给出了连续偏序集的谱理论, 指出任意连续偏序集上的Scott拓扑都是完全分配格[2], 从而将连续偏序集、连续格及完全分配格的研究有机地结合起来．理论计算机中广泛研究的各种domain则是特殊的连续偏序集, 它们一般具有良好的局部性质, 如主理想是连续格或代数格等．从上世纪八十年代开始, 连续domain即连续dcpo逐渐成为domain理论的主要研究对象. 作为这种趋势的一个标志，1994年S.Abramsky和A.Jung在文[7]中以连续domain为主要对象系统地阐述了经典domain的数学理论.2003年出版的由G．Gierz等六位作者合著的文献[8]更是domain理论研究的著名专著．随着连续domain在计算机科学和经典数学领域逐渐得到应用，人们对连续domain的研究也不断深入, 目前已经取得了许多深刻而且影响深远的结果(见文献[9]-[15]) .其中, 文[10]-[14]研究了完备格(偏序集)理论中的重要概念——基和局部基, 并且利用它们成功地刻画了完备格(偏序集)的连续性; 文[15]给出了dcpo的子dcpo、子空间等概念, 并研究了连续domain的遗传性及不变性.在domain理论中, 拓扑、序、逼近（计算）及逻辑的概念和思想可以互相转化，其中拓扑是非常重要的研究工具, 因而domain理论也吸引了众多格上拓扑学方面的学者的参与.拓扑学是研究几何图形连续性质即在连续变形下保持不变性质的一门学科, 它的起源可以追溯到18世纪欧拉对著名的哥尼斯堡七桥问题的研究. 1847年，高斯的学生J. B. Listing发表了《拓扑学初步》，首先引用了拓扑学这一术语. 1852年，F.Guthrie提出的关于四色问题的猜想，对拓扑学的发展起到了进一步的推动作用. 1851年，黎曼在论文《几何基础假设》中引进了流行的概念，成功解决了可定向闭曲面上的同胚分类问题. 此后，有关拓扑学方面的研究成果逐渐出现.拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支．一个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑, 另一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学．目前, 点集拓扑学的方法和结果渗透到几乎所有数学分支中，文献[16-18]等都是点集拓扑学方面的重要文献.上世纪五十年代末, C．Ehresmann提出了一种新的观点, 他认为具有某种分配性的格(如完备Heyting代数, 直觉逻辑学者也称之为完备Brouwer格)本身就可作为一种广义拓扑来研究, 而不论其是否可以表示为某一拓扑空间的开集格. 后来的研究表明这种融拓扑结构与序结构于一体的探讨是有特色的, 因其研究方法一般不涉及点的概念, 从而形成了无点化拓扑理论, 也称Locale理论或Frame理论. P.T.Johnstone的专著[19]和郑崇友等的专著[20]是这一领域研究工作的总结.连续格理论以及更广的连续偏序集理论集序结构、代数结构、拓扑结构的研究于一体, 取得了丰硕的成果, 并对计算机应用产生了重要影响.但是, 狭义的Domain理论必须建立在定向完备偏序集的基础上, 因此正如徐罗山教授在文献[21]中指出的：最基本且结构最丰富的实数集R , 自然数集N 不能作为连续偏序集, 更谈不上连续格. 这在很大程度上限制了连续偏序集理论的实用范围. 所以近年来许多作者试图从不同的角度推广连续格理论．这方面工作可参见文献[21-36]．为了推广连续格, Y. Ray首先提出格中半素理想的概念, 并研究了它的一些基本性质[24] . D.Zhao利用半素理想, 给出了一种新的关系 , 并由此定义了一种新的格——半连续格, 且把连续格中的一些性质移植到了半连续格中[15] .目前关于半连续格的研究已经出现较多研究成果(见文献[26]-[30]), 其中文[26]在完备格上引入半Scott拓扑和半Lawson 拓扑, 并讨论了半连续格上的半Scott拓扑和半Lawson拓扑的一些基本性质; 文[27]利用半Scott拓扑给出了半连续格的等价刻画, 并研究了半连续格上的半连续映射; 文[28]-[30]将众多连续格的性质移植推广到半连续格上, 逐步扩充了半连续格理论.在上述研究基础之上, 本文将更为深入地研究半连续格．我们的研究表明半连续格中若干半素理想的定向并仍为半素理想；半连续格中任一主理想都是半Scott闭集, 且若半连续格中的子集可以表示成某一主理想的补集形式, 则该子集为半Scott拓扑的素元．我们还要在完备格中引入半基和局部半基的概念, 研究其基本性质并给出若干等价刻画, 利用半基和局部半基给出半连续格的刻画．此外, 本文还定义了半连续格的权和特征, 探讨了半连续格的权和特征与其上赋予内蕴拓扑时的拓扑空间的权和特征的关系，并回答了赵彬教授等在这方面提出的一个公开问题．相容连续偏序集是连续domain概念的微小推广, 它是由徐罗山教授针对R,N不能作为Domain看待这样一种情况, 结合R, N 的序结构特点引入的[21]．于是得到不仅R是相容连续偏序集, N是相容代数偏序集, 而且任一相容连续偏序集都紧密联系一个连续偏序集, 即它的定向完备化, 从而有许多良好的性质. 从范畴方面看, 相容连续偏序集范畴还以连续偏序集范畴作为满的反射子范畴.本文针对相容连续偏序集及其定向完备化将展开更深入的研究．我们得到的主要结论是：(1)对连续domain P上极大点集max(P)的某真子集A, 有P\A是相容连续偏序集；(2)当连续domain P上极大点集max(P)的某子集A的Scott内部是空集时, P\A的定向完备化同构于P．作为对连续偏序集概念的推广, Mashburn还引入了exact偏序集的概念[31], 并讨论了一些基本性质. 文[32]主要讨论了exact偏序集的乘积和映射性质, 引入了exact偏序集的基的概念, 并研究了exact偏序集的基的性质.本文也将进一步研究exact偏序集的相关性质,证明每个连续偏序集都是exact偏序集, 每个exact domain对于Scott开集是可遗传的；讨论弱domain和连续domain的关系,给出弱domain成为连续domain的判别条件．总之, 本文进一步研究了半连续格、相容连续偏序集和exact偏序集上的一些重要问题, 得到了一些重要研究成果, 这充实了连续格与广义domain理论的内容.下面说明本文的结构安排．第一章引言．主要介绍了本文的研究背景, 并简要介绍了本文研究的主要内容．第二章预备知识．主要介绍了后面各章要用的主要定义、定理.第三章半连续格上的半基和局部半基．主要讨论了半连续格上进一步的性质, 并在完备格上引入了半基和局部半基的概念, 研究其基本性质并给出若干等价刻画, 利用半基和局部半基给出半连续格的刻画．此外还定义了半连续格的权和特征, 探讨了半连续格的权和特征与其上赋予内蕴拓扑时的拓扑空间的权和特征的关系.第四章相容连续偏序集和弱domain．主要针对相容连续偏序集及其定向完备化和exact偏序集做了更进一步研究．第二章预备知识为了后面的引用, 下面给出拓扑空间和Domain理论方面的基本概念和结果, 其他用到而未明确指明的概念请参见文献[8]、[17]、[21] 、[25] 、[32]．2. 1 格、偏序集及其理想定义2. 1. 1. [8]设(L, ≤ )为偏序集, 其对偶偏序集(L, ≥)记为L OP．L的非空子集D称为定向的, 若对任意a, b∈D, 存在c∈D使得a, b ≤ c.定义2. 1. 2. [8]设P为偏序集, 对任意a∈P, A ⊆ P, 记↑a = {b∈ P: a ≤ b}, ↓a = {b∈ P: b≤a}, ↑A = ∪a∈A↑a和↓A = ∪a∈A↓a. 若A = ↑A (A = ↓A), 则称A为上(下)集.定义2. 1. 3. [8]设P为偏序集, P的任一定向的下集称为P的一个理想, P的全体理想记为Id(P)．对偶地, P OP的理想称为P的一个滤子, P的全体滤子记为Filt(P)．命题2. 1. 4.设P为偏序集, D为P中定向集, U为P中的上集且D∩U≠∅, 则D∩U为P中的定向集.证明:设a, b∈D∩U, 只需证存在d∈D∩U使得a, b ≤ d即可.因为a, b∈D∩U, 所以a, b∈D且a, b∈U. 因为D为P中定向集, 故存在d∈D使得a, b ≤ d. 又U为上集, 故d∈U. 即存在d∈D∩U使得a, b ≤ d．原命题得证．定义2. 1. 5. [8]设P为一个偏序集, B⊆P, y∈B．若对任意x∈B有x ≤ y, 则称y是B 的极大元．记max(P)为P的极大点集．类似地可定义极小元．定义2. 1. 6. [8]设P为偏序集,a∈P，则↓a和↑a分别是P的理想和滤子，称为由a决定的主理想和主滤子.定义2. 1. 7. [8]设P为偏序集, X ⊆ P, 若对任意x∈X, 存在a∈P使x ≤ a, 且当x ≤ b(b∈L)时有a ≤ b, 则称a为X的最小上界或上确界, 记作supX或∨X．类似的可定义最大下界或下确界, 记作infX或∧X．当P中定向集D 的上确界存在时, 记之为supD 或∨↑D．对于x, y∈P, 记x∨y = sup{x, y}, x∧y = inf{x, y}．定义2. 1. 8. [8]设P为偏序集, 称P为定向完备偏序集(dcpo), 若P中任意非空定向集在P中有上确界．定义2. 1. 9. [8] 设(P, ≤ )是一个偏序集, A是P的一个非空子集．若A中任两元在关系≤下可比, 则称A是全序集或链．引理2. 1. 10. (Zorn引理) [8]设P是一个偏序集．如果P中每一个链都有上界, 则P中必有极大元．命题2. 1. 11. 设P为dcpo, 则P的极大点集max(P)不为空集．证明:作为dcpo, P中任一定向集都有上确界, 故P中任一链有上界．由引理2.1.10 (Zorn引理) 得P有极大元, 从而max(P)不为空集．定义2. 1. 12. [8]若偏序集L 中任意非空有限集都有交, 则称L 为交半格, 简称半格．若L 的任意非空有限集都有并, 则称L 为并半格; 若L 既是交半格又是并半格, 则称L 为格；若L 的任意子集都有并和交, 则称L 为完备格．定义2. 1. 13.[8]一个交半格S称为分配的, 如果由ab ≤ x可得存在元c, d使a ≤ c, b ≤ d 且x = cd．定义2. 1. 14. [8]设P为偏序集，p∈P，称p为素元，若p = 1或P\↓p是一个滤子．偏序集P的素元全体之集记作PRIME P．定义2. 1. 15. [8]设P为偏序集，p∈ P，称p为一个既约元，如果p是极大元或↑p\{p}是一个滤子．偏序集P的既约元全体之集记作IRR P．引理2. 1. 16. [8]在分配交半格L中, p∈ L, p≠1, 则p是素元当且仅当p是既约元．定义2. 1. 17. [8]设P，L为偏序集，f：P → L为映射．如果任意x，y∈L，x ≤ y时有f(x) ≤ f(y)，则称f为保序映射．如果f：P → L，f-1：L → P存在（f即单又满），且f，f-1都保序，则称L与P序同构．2. 2 内蕴拓扑定义2. 2. 1. [8]设P是一个偏序集, U⊂ P．如果U满足条件：(1)U = ↑U = {x∈P：存在u∈U, u ≤ x}, 即U是一个上集；(2)对P的任一定向集D, 当supD存在且supD∈U时, 有d∈D使d∈U, 即U∩D≠∅．则称U为P上的Scott开集．P上的Scott开集全体是P上的一个拓扑, 记为σ(P), 称为Scott拓扑．Scott开集的余集称为Scott闭集, P的全体Scott闭集用σ*(P)表示．易知, F ⊆P为Scott闭集当且仅当F是P的下集且对定向并关闭．定义2. 2. 2.[8]设P为偏序集，形如P\↑x (∀x∈P)的子集作为开子基元生成的拓扑称为P的下拓扑，记为ω(P)．Scott拓扑和下拓扑的最小上界拓扑称为P上的Lawson拓扑，记为λ(P)．定义2. 2. 3. [8]设X为拓扑空间, A ⊂ X, 若A≠∅, 且对任两个闭集B, C ∈Г(X), A ⊆ B ∪C有A ⊆ B或A ⊆ C, 则称A为既约集．特别地, 若A为非空闭集, 且满足上述条件, 则称A为既约闭集．偏序集P的既约Scott闭集是指拓扑空间（P，σ(P)）中的既约闭集．引理2. 2. 4. [8]若P为dcpo, 则显然有对任意x∈P, ↓x是P中既约Scott闭集．引理2. 2. 5. [17]设X是一个基础集, A, B ⊆ X, 则A∩B = ∅当且仅当A ⊆ X-B．2. 3 连续偏序集定义2. 3. 1. [8]设P为偏序集，a, b∈P, 称a way below b,记为a<< b, 若对P中任一定向集D, 如果supD存在且supD ≥ b, 则D∩↑a ≠∅. 对P中任一元x, 记⇓x = {u∈P: u << x}, ⇑x = {v∈P: x << v}．定义2. 3. 2.[8]设P为偏序集, 对任意x∈P，若x<<x，则称x为P的紧元，P的全体紧元记为K(P)．命题2. 3. 3. [8]设P为偏序集, 对任意x, y, z, u∈P有：(1)若x<< y, 则x ≤ y；(2)若u ≤ x<< y ≤ z, 则u<< z；(3)若x<< z且y<< z, 则只需x∨y存在就有x∨y<< z；(4)若P有最小元0, 则对任意x∈P有0<< x．易见, <<具有传递性．定义2. 3. 4. [8]设P为偏序集, 如果对任意x∈P有⇓x (↓x∩ K (P) ) 是定向集且x =sup ⇓x (x = sup (↓x∩ K (P) ) )，则称P是连续(代数)偏序集，连续的dcpo称为Domain，代数的dcpo称为代数Domain，连续(代数)的完备格称为连续(代数)格．命题2. 3. 5.[8]设P为偏序集, 对任意x∈P, 若存在D⊆⇓x, 使supD = x, 则P为连续偏序集．引理2. 3. 6. [8]设P是连续偏序集, x, z∈L且x<< z．D⊆P定向且supD ≥ z, 则存在d∈D 使x<< d．引理2. 3. 7. [8]在连续偏序集P中, 双小于关系满足下述插入性质：x<< z ⇒ (∃y)x<< y<< z．引理2. 3. 8. [8]设L为连续偏序集, 则对任意x∈L, ⇑x 为Scott开集．第三章半连续格的半基和局部半基本章在完备格中引入半基和局部半基的概念, 利用它们成功刻画了完备格的半连续性, 还研究了半基和局部半基的一些基本性质并给出了若干等价刻画．此外还定义了半连续格的权和特征, 探讨了半连续格的权和特征与其上赋予内蕴拓扑时的拓扑空间的权和特征的关系.3. 1 半连续格与半Scott拓扑定义3. 1. 1. [25]设L 是格, I ⊆ L 是理想．若对任意x, y, z ∈L, 当x∧y ∈I, x∧z∈I 时有x∧(y∨z)∈I, 则称I 是格L的半素理想．用Rd(L)表示L 的全体半素理想之集．定义3. 1. 2. [25]设L是完备格, x，y∈L. 若对任意I∈Rd(L), 当y ≤ supI 时, 有x∈I, 则称x ⇐ y．当x ⇐ x时, 称x为半紧元．记L的全体半紧元为K b(L)．记⇓x=｛y∈L：y ⇐ x｝，bx = {y∈L：x ⇐ y}．⇑bx, 则称L 为半连续格．若定义3. 1. 3. [25]设L 是完备格．若对任意x∈L, 有x ≤ sup⇓b对任意x∈L, 有x = sup⇓x, 则称L为强连续格．b注3. 1. 4. [25]设L 是完备格, <<为L 上的way-below 关系则(1) <<⊆⇐(2) 对任意a, b, c, d∈L.若a ≤ b ⇐ c ≤ d, 则a ⇐ d．(3) L 是强连续格当且仅当L 是连续格且在L 中⇐= <<当且仅当L 是半连续格且在L 中⇐ = << .引理3. 1. 5. [25]设L是半连续格．对任意x, y∈L, 若x ⇐ y, 则存在z∈L使x ⇐ z ⇐ y．命题3. 1. 6.L是半连续格，对任意x，y∈L，P∈Rd(L)，当x ⇐y时，若y ≤ supP，则存在z∈P 使x ⇐z.证明：由x ⇐ y以及引理3.1.5可知存在z使得x ⇐ z ⇐ y.若P∈Rd(L) 且y ≤ supP，则由定义3.1.2可知z∈P.命题得证.命题3. 1. 7.设L为半连续格，如果L中的一个理想I可以写成若干个半素理想的定向并，则I为半素理想.证明：设Iα(α∈Г )是半素理想，I是L中的理想且I = ∪α∈ГIα．对于任意的x，y，z∈L，x∧y∈I且x∧z∈I，则存在α1，α2∈Г，使x∧y∈Iα1∈I，x∧z∈Iα2∈I. 由{Iα}α∈Г定向知存在β∈Г使Iα1, Iα2⊆ Iβ∈I，故x∧y∈Iβ，x∧z∈Iβ. 因为Iβ是半素理想，故x∧(y∨z)∈Iβ⊆ I，故I是半素理想.命题3. 1. 8. L是一个完备格，若对任意x∈L，都存在半素理想P ⊆⇓x且supP ≥ x，b则L是半连续格.证明：对任意x∈L，sup(⇓x) ≥ supP ≥ x，由定义3.1.3知L为半连续格.b定义3. 1. 9. [26]设L 是完备格, U ⊆ L．称U 是半Scott 开集, 若U 满足：(1) U = ↑U;(2) 对任意I∈Rd(L), 当supI∈U 时, 有I ∩U≠∅．半Scott 开集的补称为半Scott 闭集.注3. 1. 10. [26]一个集是半Scott闭的⇔它是下集且对半素理想并封闭．命题3. 1. 11.设L是半连续格，对任意x∈L，↓ x是半Scott闭集．证明：显然↓x是一个下集，且↓x是包含x的最小下集，且对定向并封闭．由于半素理想是理想，故也是定向集，故↓x对半素理想并封闭.由注3.1.10知↓x是一个半Scott 闭集.定义3. 1. 12. [26]L 中全体半Scott 开集构成一拓扑, 称为半Scott 拓扑, 记为σs(L)．称σs(L)∨ω(L) 为L的半Lawson 拓扑, 记为λs(L).注3. 1. 13. [26]设L 是完备格, 则υ(L) ⊆σ(L) ⊆σs(L) 且ω(L)⊆λ(L)⊆λs(L)．命题3. 1. 14.设L是半连续格，如果U=L\↓a（a∈L），则U是σs(L)的素元．证明：因为↓a是Гs(L)中的并既约元，故为(L,σs(L))中的既约闭集，则U = L \ ↓a为(L, σs(L))中的既约开集，由引理2.1.16知U为σs(L)中的素元.3. 2 半连续格的半基定义3. 2. 1.设L为完备格，B⊆L，若任意x∈L有如下两条成立：x∩B)是L的半素理想；（1）↓ (⇓b（2）x ≤ sup(⇓b x∩B)． 则称B 为L 的一个半基．注3. 2. 2. 设L 是半代数格(文[27]定义1.7)，则半紧元集K b (L)是L 的一个半基． 命题3. 2. 3. 设L 是完备格．若B 是L 的半基，且B ⊆B *，则B *也是L 的半基． 证明：只需证对任意x ∈L ，↓ (⇓b x∩B) = ↓ (⇓b x∩B *)一方面，因为B ⊆B *，故⇓b x∩B ⊆ ⇓b x∩B *，则 ↓(⇓b x∩B) ⊆ ↓ (⇓b x∩B *)． 另一方面，对任意y ∈ ↓(⇓b x∩B *)， 有y ⇐ x 且sup ↓L (⇓b x∩B) = sup(⇓b x∩B) ≥ x. 因为B 是L 的半基， 故↓(⇓b x∩B)为L 的半素理想， 则由定义3.1.2可知y ∈↓(⇓b x∩B)． 故↓(⇓b x∩B *) ⊆ ↓(⇓b x∩B)．综上所述：↓ (⇓b x∩B)=↓ (⇓b x∩B *)．原命题得证．引理3. 2. 4. 设L 是完备格, x ∈L, 则⇓b x 是L 的一个半素理想．证明: 对x ∈L, 易见⇓b x 为下集．对任意a, b ∈⇓b x 由定义3.1.2知对任意半素理想I, 若x ≤ supI, 则a ∈I 且b ∈I ．由L 为完备格且I 为半素理想知a ∨b ∈I, 从而a ∨b ⇐ x, 于是⇓b x 为理想．再证⇓b x 为半素理想．对任意r, s, t ∈L, 若r ∧s ∈⇓b x 且r ∧t ∈⇓b x , 则对任意半素理想I, 当x ≤ supI 时, 有r ∧s ∈I 且r ∧t ∈I ．由于I 为半素理想, 于是r ∧(s ∨t) ∈I ．由定义3.1.2知r ∧(s ∨t)⇐ x, 即r ∧(s ∨t)∈⇓ b x ．命题3. 2. 5. 设L 是完备格, 则L 是半连续格当且仅当L 存在半基．证明: ⇒： 对任意x ∈L, 有⇓b x = ↓(⇓b x∩L)． 故由L 是半连续格知x ≤ sup ↓ (⇓b x∩L).由引理3.2.4知↓ (⇓b x∩L)是L 的半素理想．再由定义3.2.1知L 为其自身的半基．⇐：设B 是L 的一个半基．则对任意x ∈L, 有x ≤ sup(⇓b x∩B)．由于⇓b x∩B ⊆⇓b x, 所以x ≤ sup(⇓b x∩B) ≤ sup ⇓b x, 由定义3.1.3得L 为半连续格．命题3. 2. 6. 设 L 是完备格, B ⊆L ．则B 是L 的半基当且仅当对任意x ∈L 有↓ (⇓b x∩B) ∈Rd(L) 且对任意x, y ∈L, 若y ≤x, 则存在b ∈B,使得b ≤x, b ⇐y ．证明: ⇒：若B 是L 的半基, 则由定义3.2.1可知对任意a ∈L 有a ≤ sup(⇓b a∩B)．对任意x, y ∈L, 若y ≤x, 则sup(⇓b y∩B)≤x, 从而存在 b ∈⇓b y∩B 使得b ≤x ．⇐：只需证明对任意x ∈L 有x ≤ sup(⇓b x∩B)．假设存在a ∈L, 使得a ≤sup(⇓b a∩B), 则由条件可知存在 b ∈⇓b a∩B 使得 b ≤sup(⇓b a∩B), 矛盾．命题3. 2. 7. 设L 是半连续格, B ⊆L, 对于下列条件:(1) B 是L 的一个半基;(2) 任意x, y ∈L, 当y ⇐x 时, 存在b ∈B 使y ≤ b ⇐ x; (3)任意x, y ∈L, 当y ⇐x 时, 存在b ∈B 使y ⇐ b ⇐ x ．有(1) ⇔ (2) ⇒ (3)．若L 还满足条件 ⇐ ⊆ ≤, 则上述三条件等价．证明: (1) ⇒ (2): 由于L 是半连续格, 所以对任意x, y ∈L, 若y ⇐ x, 则由B 是L 的一个半基知 ↓ (⇓b x∩B)∈Rd(L)且 x ≤ sup(⇓b x∩B)．由定义3.1.2知 y ∈↓ (⇓b x∩B), 从而存在 b ∈⇓b x∩B 使得y ≤ b, 即存在 b ∈B 使得 y ≤ b ⇐ x ．(2) ⇒ (1): 只需证明任意x ∈L, 有 ↓(⇓b x∩B)∈Rd(L) 且x ≤ sup ↓ (⇓b x∩B)．一方面, 对任意 m, n ∈↓(⇓b x∩B), 由↓(⇓b x∩B) ⊆ ⇓b x 知 m, n ∈⇓b x ．由引理3.2.4知存在 c ∈⇓b x 使得 m, n ≤ c ．再由条件(2)知存在 b ∈B 使得 c ≤ b ⇐ x ．注意这里 b ∈↓(⇓b x∩B), 于是 ↓(⇓b x∩B) 是理想．对任意r, s, t ∈L, 若r ∧s ∈ ↓(⇓b x∩B) 且 r ∧t ∈ ↓(⇓b x∩B), 则由 ↓(⇓b x∩B) ⊆ ⇓b x 及⇓b x 是半素理想得r ∧(s ∨t)∈⇓ b x , 从而 r ∧(s ∨t) ⇐ x ．由条件(2)知存在 b '∈B 使得 r ∧(s ∨t) ≤ b '⇐x, 从而 r ∧(s ∨t) ≤ b '∈ ↓(⇓b x∩B), 于是↓(⇓b x∩B)为半素理想．另一方面, 对任意y ∈⇓b x, 由条件(2)知存在b y ∈B 使得y ≤ b y ⇐ x ．于是sup ⇓b x ≤ sup{b y : y ∈⇓b x} ≤ sup(⇓b x∩B) ≤ sup ↓(⇓b x∩B)．注意到L 是半连续格, 所以x ≤ sup ⇓b x, 从而x ≤ sup ↓(⇓b x∩B)． 综合可知B 为半连续格L 的一个半基．(2) ⇒ (3)：由于L 是半连续格, 所以对任意 x, y ∈L, 如果y ⇐ x, 则存在z ∈L, 使得y ⇐ z ⇐ x ．由条件(2)知存在 b ∈B 使得z ≤ b ⇐ x, 所以y ⇐ b ⇐ x ．若L 还满足条件 ⇐ ⊆ ≤, 则(3) ⇒ (2)的证明是平凡的．于是(1) ⇔ (2) ⇔ (3)． 推论3. 2. 8. 设L 是强连续格, B ⊆ L ．则B 是半基当且仅当B 是基． 证明: 由注3.1.4(3), 文[10]的定理 2 以及上面的命题立即得证．由半Scott 拓扑的定义和性质(见文[27]的定义2.1和定理2.5)容易证明下结论成立． 定理3. 2. 9. 设L 是半连续格, B 是L 的一个半基, 则U ⊆ L 是半Scott 开集当且仅当U = ↑U 且U ⊆ {⇑b b: b ∈ (U∩B)}．3. 3 半连续格的局部半基定义3. 3. 1. 设L 是完备格, x ∈ L, B ⊆ ⇓b x. 有如下两条成立: (1) ↓B ∈ Rd(L), (2)x ≤ supB,则称B 为x 的一个局部半基．由定义3.3.1和定义3.1.3立即可得如下结论．定理3. 3. 2. 设L 是完备格, 则L 是半连续格当且仅当对任意x ∈ L, x 都有局部半基． 命题3. 3. 3. 设L 是完备格, a ∈ L, 则(1) 若 a 有局部半基, 则 ⇓b a 是 a 的最大局部半基; (2) 若 a ⇐ a 且 B 是 a 的局部半基, 则a ∈ ↓B, 从而↓B = ⇓b a; (3) 若 a ⇐ a, 则 ⇓b a 是 a 的局部半基;(4) 若 b ≤ a 且 B a , B b 分别是 a, b 的局部半基, 则B b ⊆ ↓B a ．证明: (1) 设B 是a 的一个局部半基, 则B ⊆ ⇓b a 且a ≤ supB ≤ sup ⇓b a ．再由引理3.2.4知⇓b a 是半素理想, 从而⇓b a 是a 的一个局部半基, 且是最大的局部半基．(2) 由B 是a 的局部半基知↓B ∈Rd(L)且a ≤ supB ．于是由a ⇐a 得a ∈↓B, 从而⇓b a ⊆ ↓B ⊆ ⇓b a, 于是↓B = ↓a ．(3)由引理3.2.4知⇓b a = ↓(⇓b a)∈Rd(L)．又由a ⇐ a 知↓a ⊆ ⇓b a, 从而a = sup ↓a ≤ sup ⇓b a ．因此 ⇓b a 是a 的一个局部半基．(4) 由B a 是 a 的局部半基知 ↓B a ∈Rd(L) 且a ≤ supB a , 再由B b 是b 的局部半基对任意 x ∈B b , 有x ⇐b ．因为b ≤ a, 所以x ⇐ a, 从而x ∈↓B a ．因此B b ⊆ ↓B a ．命题3. 3. 4 设L 是半连续格, a ∈L 且B ⊆ ⇓b a, 则 B 是 a 的局部半基当且仅当对任意 c ∈⇓b a, 存在 b ∈B 使得 c ≤ b ．证明: ⇒: 由B 是a 的局部半基知↓B ∈Rd(L)且a ≤ supB ．于是对任意 c ∈⇓b a, 有c ∈↓B, 即存在 b ∈B 使得 c ≤ b ．⇐: 若对任意c ∈⇓b a, 存在 b ∈B 使得c ≤ b, 则sup ⇓b a ≤ supB ．又L 是半连续格, 故a ≤ sup ⇓b a ≤ supB ．再证↓B ∈Rd(L)．由B ⊆⇓b a 且⇓b a ∈Rd(L)知对任意b 1, b 2∈↓B 存在 c ∈⇓b a 使得 b 1 ≤ c 且b 2 ≤ c ．由条件知存在 b ∈B 使得c ≤ b, 于是↓B 是理想．再设r, s, t ∈L, 由⇓b a ∈Rd(L)且↓B ⊆ ⇓b a 知若 r ∧s ∈↓B 且 r ∧t ∈↓B, 则r ∧(s ∨t)∈⇓ b a ．再由条件知r ∧(s ∨t)∈↓B ．因此↓B 是L 的半素理想．推论3. 3. 5. 设L 是强连续格, x ∈ L, B ⊆ ⇓b x ．则B 是点x 处的局部半基当且仅当B 是x 的局部基．证明: 由注3.1.4(3), 文[12]的定理 2.3 以及上面的命题立即得证．命题3. 3. 6. 设L 是半连续格, a ∈L 且B ⊆⇓b a, 则B 是a 的局部半基当且仅当↓B ∈Rd(L)且对任意x ∈L, 若a ≤x, 则存在b ∈B 使得b ≤x.证明: ⇐: 只需证a ≤ supB ．若a ≤supB, 则存在 b ∈B 使得 b ≤supB ,矛盾!⇒: 若B 是a 的局部半基, 则由定义3.3.1知 ↓B ∈Rd(L)且a ≤ supB ．对任意x ∈L, 若a ≤x, 则supB ≤x, 从而存在 b ∈B 使得 b ≤x ．3. 4 半连续格的权和特征定义3. 4. 1. 设L 是半连续格．定义W s (L)=min{cardB: B 是L 的半基}, 则称W s (L)是半连续格L 的权．例3. 4. 2. (见[25]) 设L 为图1所示的完备格．其中L=[0, 1]∪{a, b}, [0, 1]是单位区间, a, b 是[0, 1]外的两个不同元．定义偏序关系为：{(0, a), (a , 1), (0, b), (b , 1)}∪{(x , y)|x , y ∈[0, 1]且x 小于或者等于y}．则有下列结论成立:(1) L 是一个半连续格但不是连续格．(2) L 中半素理想有且只有{0}和L, 且对任意x ∈L, 有⇓b x = {0},x 0,,x .=⎧⎨≠⎩当时L 当0时(3) W s (L) < W(L, σs (L))．事实上B={0,1}是L 的半基, 且W s (L)=2．再由σ(L) ⊆ σs (L) 知W(L, σs (L)) ≥ ω0 (其中ω0为可数无穷基数), 从而W s (L) < W(L, σs (L))．问题1：对任意半连续格L, 是否都有W s(L) ≤ W(L, σs(L))．定义3. 4. 3.设L是半连续格．对任意x∈L, 定义χs(x,L) = min{cardB x: B x是x在L中的局部半基}, 则称χs(x,L)是半连续格L中点x的特征．定义χs(L)=sup{χs(x,L): x∈L}, 则称χs(L)是半连续格L的特征．例3. 4. 4.设L是图2所示的完备格, 其中L = {0,1,2,⋯n, ⋯}∪{⊥}, 偏序关系为: ⊥≤⋯≤ n⋯≤ 2 ≤ 1 ≤ 0．则有下列结论成立:(1)L是强连续格, 从而<<= ⇐．(2)σ(L) = σs(L), λ (L) = λs(L)．(3) χs(L) <χ(L, λs(L))．事实上, 对任意a∈L, 有{a}为a的局部半基, 于是χs(L) = χ(L) =1. 但是(L, λs(L)) = (L, λ(L)) 同构于[0,1]的子空间{1/n: n∈N*}∪{0}．于是⊥关于λ (L)的局部基含有无穷多个元, 从而χ(L, λs(L)) = ω0．通过本例可知, 存在连续Domain L, 使得χ(L) ≠χ(L, λ(L))．这就回答了文[12]中所提出的问题2.1．问题2：对任意半连续格L, 是否都有χs(L) ≤χ(L, λs(L))．第四章 相容连续偏序集与弱Domain本章深入地研究相容连续偏序集的定向完备化, 证明了对连续domain P 上极大点集max(P)的某子集A, 当P\A 不为空集时有P\A 是相容连续偏序集；证明了当连续domain P 上极大点集max(P)的某子集A 的Scott 内部是空集时, P\A 的定向完备化同构于P ．本章还探讨exact 偏序集的相关性质,证明每个连续偏序集都是exact 偏序集，每个domain 均为弱domain ；证明exact domain 对于Scott 开集是可遗传的；证明弱domain 为domain 的一个充要条件是其中任一元的弱双上集为上集.4. 1相容连续偏序集先了解相容连续偏序集的相关定义．定义4. 1. 1. [21] 设P 为偏序集, ∅ ≠ D ⊆ P, 如果 (1) D 是定向的;(2) 存在p ∈P 使得D ⊆↓p = {x ∈P: x ≤ p}, 则称D 为P 中的相容定向集．定义4. 1. 2. [21] 设P 是偏序集, P 称为相容定向完备偏序集, 如果对于P 中每一个相容定向集D, D 在P 中的最小上界(即上确界)supD 存在．定义4. 1. 3. [21] 设P 是一个相容定向完备偏序集. 如果P 是一个连续偏序集, 则称P 是一个相容连续偏序集．引理4. 1. 4. [21] 若P 是相容定向完备偏序集, 且对任意x ∈P, ↓x 都是连续偏序集(相应地: 代数偏序集), 则P 是相容连续偏序集(相应地: 相容代数偏序集)．定理4. 1. 5. 设P 为连续domain, max(P)为P 的极大点集．若A ⊆ max(P)使P\A 不为空集, 则P\A 是相容连续偏序集．证明: 设相容定向集B ⊆P\A, 则存在p ∈P\A 使得B ⊆↓p ．由P 为dcpo 得在P 中supB 存在且supB ≤ p ．而A ⊆max(P), 所以supB ∉A, 从而supB ∈P\A, 故supB 为B 在P\A 中的上确界, 因此P\A 是相容定向完备偏序集． 设x ∈P\A, 下证↓P\A x 是连续偏序集．设y ∈↓P\A x, 令U = ↓P\A x, 则⇓y ⊆ ⇓P\A y ⊆ ⇓U y ⊆ U. 由P 为domain 得⇓y 为定向集且y=sup⇓y, 从而⇓y为⇓U y中的定向集且y = sup⇓y = supU⇓y．由命题2.3.5即得↓P\Ax是连续偏序集．综上所述, 由引理4.1.4, 即得P\A是相容连续偏序集．引理4. 1. 6.[21]设P是相容定向完备偏序集, σ*(P)是P的Scott闭集格．又设D是P 中既约Scott闭集的定向集, 则D在σ*(P)中的上确界sup D= D⋃仍是P中既约Scott闭集, 其中“—”是取闭包之意．定义4. 1. 7. [21]设P是相容定向完备偏序集．令C(P)(⊆σ*(P))为P的既约Scott闭集之集, 则C(P)依集合包含序形成一个定向完备偏序集, 称为P的定向完备化．定义4. 1. 8. [21]设P是相容连续偏序集, A⊆C(P)为P的既约Scott闭集．定义μA = {y∈A：∃x∈A, y<< x}, 集合μA称为A的迹．引理4. 1. 9. [21]设P是相容连续偏序集, A为P的既约Scott闭集, 则μA为P的定向下集, 且A = sup{↓y：y∈μA} =Aμ, 由此得对任意A, B∈C(P), A ⊆ B ⇔μA⊆μB．定理4. 1. 10. 设P为连续domain, max(P)为P的极大点集．若A⊆ max(P)的Scott内部是空集, 则P\A的定向完备化同构于P．证明: 我们分如下步骤来完成证明：步骤1由条件我们先证明σ(P)|P\A ⊆σ(P\A)．设U∈σ(P), 则U是P中的上集, 从而U∩(P\A)是P\A中的上集．若D是P\A的相容定向子集且supP\AD∈U∩(P\A), 则D是P的定向子集且存在x∈P\A使D ⊆↓x, 则supD ≤x．断言supD∉A．否则, 若supD = y∈A, 则y是极大元．由y ≤ x可得x = y∈A．矛盾!故supD = supP\AD∈U．由U∈σ(P)得存在d∈U∩D, 从而d∈D∩(U∩(P\A))．因此U∩(P\A)∈σ(P\A)．故σ(P)|P\A ⊆σ(P\A)．步骤2 证明对任意x∈A, x<< x不成立．事实上, 若x<<x成立, 那么由引理2.3.8得⇑x ∈σ(P)．因此注意到A是上集, 可得x∈⇑x ⊆intσA ≠∅, 矛盾! 故x<< x不成立．步骤3 对任意x∈P, ⇓x ⊆ P\A．事实上, 当x∉A时, 显然有⇓x∩A = ∅．当x∈A时, 由(1)知x∉⇓x．对任意y∈⇓x有y<< x≠y, 由命题2.3.3(1)知y ≤ x, 从而y < x ∈A⊆ max(P), 因此y∉A．由y∈⇓x的任意性得⇓x∩A = ∅．由引理2.2.5得⇓x ⊆ P\A．步骤4证明clP\A⇓x为P\A中既约Scott闭集．事实上，因P是连续domain, 故对任意x∈P, ⇓x为定向集．由定理4.1.5知P\A是相容连续偏序集．由引理2.2.4得对任意y∈⇓x, ↓y是P\A的既约Scott闭集．又clP\A⇓x = {y: y x}⋃↓, 由步骤3中结论和引理4.1.6得cl P\A⇓x为P\A中既约Scott闭集．步骤5 定义映射f：P → C(P\A)使对任意x∈P, f(x) = clP\A⇓x∈C(P\A)；定义映射g：C(P\A)→ P使对任意F∈C(P\A), g(F) = supμF , 其中μF = {y∈F：存在x∈F, y<<P\Ax}为F的迹．则由步骤4中结论易见f是有意义的且是保序的，由引理4.1.9知μF是F的定向下集, supμF存在，从而g有意义．又对任意F1, F2∈C(P\A), 若F1 ⊆ F2, 则由引理4.1.9知μF1 ⊆μF2, 从而g(F1) = supμF1≤ supμF2= g(F2), 故g也是保序的．步骤6 证明对任意x∈P, μf(x) = ⇓x．事实上，对任意y∈⇓x有y<< x．由引理2.3.7得存在d使y<< d<< x , 则d∈⇓x ⊆ clP\A⇓x = f(x), 由迹的定义可知y∈μf(x), 因此⇓x ⊆μf(x)．反过来, 对任意y∈μf(x), 存在t∈f(x) = clP\A⇓x使y<< t．由引理2.3.7得存在d使得y<< d<< t, 由引理2.3.8知⇑d∈σ(P), 从而由引理4.1.6得t∈⇑d∩(P\A) ∈σ(P)|P\A ⊆σ(P\A)．又由t∈ clP\A⇓x知存在s∈⇓x∩⇑d≠∅, 即有y<< d<< s<< x成立, 由命题2.3.3得y<< x, 即y∈⇓x, 因此μf(x)⊆⇓x．步骤7 证明任意F∈C(P\A), 有⇓g(F) = μF．事实上, 显然有μF ⊆⇓g(F)= ⇓supμF．反过来，对于任意y∈⇓g(F)有y<< sup μF．由引理2.3.6知存在t∈μF使得y<< t, 从而y ≤ t．又μF为下集, 故y∈μF, 于是⇓g(F)⊆μF．综上得⇓g(F) = μF．步骤8 最后证明f和g是互逆的序同构．事实上由步骤6中结论先得任意x∈P, g f (x) = supμf(x) = sup⇓x = x成立．又由步骤6得⇓g(F) = μf(g(F)), 从而由步骤7得μf(g(F)) = μF．再由引理4.1.9得f(g(F)) = F．综上所述f：P → C(P\A)是序同构, 从而P ≅ C(P\A)．命题得证．例4. 1. 11. 令P为如下所示的偏序集1 2 nP = ··……·……·。

Z-连续偏序集的特征与稠密度
Z-连续偏序集的特征与稠密度
该文引入了Z-连续偏序集的局部基和稠密子集的概念,基于此定义了Z-连续偏序集的特征和稠密度;给出了局部基的刻画,并讨论了Z-连续偏序集的特征和稠密度与Z-连续偏序集上Z-Scott拓扑和Z-Lawson 拓扑的特征、稠密度之间的关系;证明了Z-连续偏序集上Z-Scott拓扑的特征小于或等于Z-连续偏序集及其Z-Lawson拓扑的特征,Z-连续偏序集的稠密度与其Z-Scott拓扑的稠密度相等,且小于或等丁Z-Lawson 拓扑的稠密度.
作者：姚丽娟徐晓泉 YAO Li-juan XU Xiao-quan 作者单位：江西师范大学数学与信息科学学院,江西南昌,330022 刊名：江西师范大学学报（自然科学版） ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF JIANGXI NORMAL UNIVERSITY（NATURAL SCIENCES EDITION）年，卷(期)：2008 32(3) 分类号：O153.1 O189.1 关键词：Z-连续偏序集局部基特征稠密度。