最新人教版高中数学必修5第二章《数列》课后训练

最新人教版数学精品教学资料习题课(2)课时目标1．能由简单的递推公式求出数列的通项公式； 2．掌握数列求和的几种基本方法．1．等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .2．等比数列前n 项和公式： (1)当q ＝1时，S n ＝na 1；(2)当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.3．数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 n ＝1S n －S n －1 n ≥2.4．拆项成差求和经常用到下列拆项公式：(1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)； (3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .一、选择题1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于( )A ．1 B.56 C.16 D.130答案 B解析 ∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 5＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(15－16)＝1－16＝56.2．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为( )A ．11B ．99C ．120D ．121 答案 C解析 ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120.3．数列112，214，318，4116，…的前n 项和为( )A.12(n 2＋n ＋2)－12nB.12n (n ＋1)＋1－12n －1C.12(n 2－n ＋2)－12nD.12n (n ＋1)＋2(1－12n ) 答案 A解析 112＋214＋318＋…＋(n ＋12n )＝(1＋2＋…＋n )＋(12＋14＋…＋12n )＝n (n ＋1)2＋12(1－12n )1－12＝12(n 2＋n )＋1－12n ＝12(n 2＋n ＋2)－12n . 4．已知数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，由b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a nn所确定的数列{b n }的前n项之和是( )A ．n (n ＋2) B.12n (n ＋4) C.12n (n ＋5) D.12n (n ＋7)答案 C解析 a 1＋a 2＋…＋a n ＝n2(2n ＋4)＝n 2＋2n .∴b n ＝n ＋2，∴b n 的前n 项和S n ＝n (n ＋5)2.5．已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1n ，则S 17＋S 33＋S 50等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2 答案 B解析 S 17＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(15－16)＋17＝9， S 33＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(31－32)＋33＝17， S 50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25， 所以S 17＋S 33＋S 50＝1.6．数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n 等于( )A ．2n －1B ．2n －1－1 C ．2n ＋1 D ．4n －1 答案 A解析 由于a n －a n －1＝1×2n －1＝2n －1， 那么a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋…＋2n －1＝2n －1. 二、填空题 7．一个数列{a n }，其中a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，那么这个数列的第5项是________． 答案 －68．在数列{a n }中，a n ＋1＝2a n2＋a n，对所有正整数n 都成立，且a 1＝2，则a n ＝______.答案 2n解析 ∵a n ＋1＝2a n 2＋a n ，∴1a n ＋1＝1a n ＋12.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列且公差d ＝12.∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝12＋n －12＝n 2， ∴a n ＝2n.9．在100内所有能被3整除但不能被7整除的正整数之和是________． 答案 1 473解析 100内所有能被3整除的数的和为：S 1＝3＋6＋…＋99＝33×(3＋99)2＝1 683.100内所有能被21整除的数的和为：S 2＝21＋42＋63＋84＝210. ∴100内能被3整除不能被7整除的所有正整数之和为 S 1－S 2＝1 683－210＝1 473.10．数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ≥1)，则a n ＝____________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝113·⎝⎛⎭⎫43n －2， n ≥2解析 a n ＋1＝13S n ，a n ＋2＝13S n ＋1，∴a n ＋2－a n ＋1＝13(S n ＋1－S n )＝13a n ＋1，∴a n ＋2＝43a n ＋1 (n ≥1)．∵a 2＝13S 1＝13，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝113·⎝⎛⎭⎫43n －2， n ≥2.三、解答题11．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .所以，a n ＝2n ＋1，S n ＝n 2＋2n . (2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1) ＝14·⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， 所以T n ＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14·(1－1n ＋1)＝n 4(n ＋1)， 即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).12．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n －1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1.而a 1＝2，符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1， ①从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1. ②①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1，即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]．能力提升13．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n 答案 A解析 ∵a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ， ∴a n ＋1－a n ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝ln n ＋1n＝ln(n ＋1)－ln n . 又a 1＝2，∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ln 4－ln 3＋…＋ln n －ln(n －1)]＝2＋ln n －ln 1＝2＋ln n .14．已知正项数列{a n }的前n 项和S n ＝14(a n ＋1)2，求{a n }的通项公式．解 当n ＝1时，a 1＝S 1，所以a 1＝14(a 1＋1)2，解得a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝14(a n ＋1)2－14(a n －1＋1)2＝14(a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1)， ∴a 2n －a 2n －1－2(a n ＋a n －1)＝0， ∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. ∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1－2＝0. ∴a n －a n －1＝2.∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.1．递推公式是表示数列的一种重要方法．由一些简单的递推公式可以求得数列的通项公式．其中主要学习叠加法、叠乘法以及化归为等差数列或等比数列的基本方法．2．求数列前n 项和，一般有下列几种方法：错位相减、分组求和、拆项相消、奇偶并项等，学习时注意根据题目特点灵活选取上述方法．。

第2课时 等比数列的性质练习1．已知数列{a n }是等比数列，则a n 不可能等于( )A ．－5B ．0C ．1D ．2 0122．等比数列{a n }的公比q ＝14-，a 1{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列C ．常数数列D ．摆动数列3．若数列{a n }是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是( )A ．{lg a n }B ．{1＋a n }C ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ． 4．已知等差数列a ，b ，c 三项之和为12，且a ，b ，c ＋2成等比数列，则a ＝( )A ．2或8B ．2C ．8D ．－2或－85．(能力拔高题)等比数列{a n }的各项都为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于( )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 356．在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝16，则a 10＝__________.7．在等比数列{a n }中，a 888＝3，a 891＝81，则公比q ＝__________.8．在两数1,16之间插入3个数，使它们成等比数列，则中间的数等于__________．9．数列{a n }是等比数列，a 3＋a 7＝20，a 1a 9＝64，求a 11的值．10．某城市1996年人口为500万，人均住房面积为6平方米．如果该城市每年的人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积数为30万平方米，求2006年底该城市的人均住房面积(精确到0.01平方米，1.015≈1.05)．参考答案1. 答案：B 等比数列中任一项均不为0，即a n ≠0.2. 答案：D 由于公比q ＝104-<， 所以数列{a n }是摆动数列．3. 答案：C 当a n ＝－1时，lg a n1＋a n ＝0，则选项A ，B ，D 都不符合题意；选项C 中，设a n ＝a 1q n －1(q 是公比)，则b n ＝11111111n n n a a q a q --⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭， 则有11111111111n n n n a q b b q a q +-+-⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭＝常数， 即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列． 4. 答案：A 由已知得22,12,(2),a c b a b c a c b ⎧+=⎪++=⎨⎪+=⎩得2,4,6a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或8,4,0,a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故a ＝2或8.5. 答案：B a 5a 6＋a 4a 7＝2a 5a 6＝18，所以a 5a 6＝9.所以log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3[(a 1a 10)(a 2a 9)…(a 5a 6)]＝log 3[(a 5a 6)5]＝log 395＝10.6. 答案：128 ∵a 2，a 6，a 10成等比数列，∴a 62＝a 2a 10.∴a 10＝262a a ＝128. 7. 答案：3 ∵a 891＝a 888q 891－888＝a 888q 3， ∴q 3＝89188881273a a ==. ∴q ＝3.8. 答案：4 设插入的三数分别为a ，b ，c ，则b 2＝16，∴b ＝±4.设其公比为q ，∵b ＝1·q 2＞0，∴b ＝4.9. 分析：要求出等比数列中的某一项，可先求出某项和q ，再利用a n ＝a m q n －m 求解．解：∵{a n }为等比数列，∴a 1·a 9＝a 3·a 7＝64.又a 3＋a 7＝20，∴a 3，a 7是方程t 2－20t ＋64＝0的两个根．解方程，得t 1＝4，t 2＝16，∴a 3＝4，a 7＝16或a 3＝16，a 7＝4.当a3＝4时，a3＋a7＝a3＋a3q4＝20，∴1＋q4＝5.∴q4＝4.∴a11＝a3q8＝4×42＝64.当a3＝16时，a3＋a7＝a3(1＋q4)＝20，∴1＋q4＝54.∴q4＝14.∴a11＝a3q8＝16×211 4⎛⎫= ⎪⎝⎭.综上可知，a11的值为64或1.10.解：由题意知，1996年该城市住房面积为6×500＝3 000(万平方米)．设1996年，1997年，…，2006年各年的住房面积总数分别为a1，a2，…，a11，则{a n}是等差数列，其中a1＝3 000，公差d＝30，所以2006年该城市住房面积总数为a11＝3 000＋(11－1)×30＝3 300(万平方米)．又设1996年，1997年，…，2006年该城市的人口数分别为b1，b2，…，b11，则{b n}是等比数列，其中b1＝500，公比q＝1.01.所以2006年该城市人口数为b11＝500×1.0110≈500×1.052＝551.25(万)．因此2006年底该城市人均住房面积数为3 300÷551.25≈5.99(平方米)．。

第二章数列1．{ a } 是首 a ＝ 1，公差 d＝ 3 的等差数列，假如 a ＝ 2 005，序号 n 等于 () ．n1nA． 667B．668C．669D．6702．在各都正数的等比数列{ a } 中，首 a ＝ 3，前三和21， a ＋ a ＋ a ＝n1345 () ．A． 33B．72C．84D．1893．假如 a ， a ，⋯， a各都大于零的等差数列，公差d≠ 0， () ．128A． a1a8＞ a4a5 B ． a1a8＜ a4a5C．a1＋ a8＜ a4＋ a5 D ． a1a8＝ a4a54．已知方程 ( x2－2x＋ m)( x2－ 2x＋ n) ＝0 的四个根成一个首1 的等差数列，4｜ m－n｜等于 () ．A． 1 B ．3C．1D ．3 4285．等比数列 { a } 中， a ＝ 9， a ＝243， { a } 的前 4和 ().n25nA． 81 B ．120C． 168D．1926．若数列 { a n} 是等差数列，首a1＞ 0，a2 003＋ a2 004＞ 0，a2 003·a2 004＜ 0，使前 n 和 S n＞ 0建立的最大自然数n 是() ．A． 4 005B．4 006C．4 007D．4 0087．已知等差数列 { a } 的公差2，若 a ， a， a 成等比数列 ,a ＝ () ．n1342A．－ 4B．－ 6C．－ 8D．－108． S n是等差数列 { a n} 的前 n 和，若a5＝5，S9＝() ．a39S5A． 1B．－ 1C．2 D ．12 9．已知数列－12123a2a1a a ，－ 4成等差数列，－ 1b b b ，－ 4 成等比数列b2的是 () ．A．1B．－1C．－1或1D ．122224n n n－1－a n2＋ an＋12n－1＝38， n＝ () ．10．在等差数列 { a } 中，a ≠ 0，a＝ 0( n≥ 2)，若 SA． 38B．20C．10 D ． 9二、填空11． f( x) ＝1，利用本中推等差数列前n 和公式的方法，可求得f( － 5) 2x2＋ f( － 4) ＋⋯＋ f(0)＋⋯＋ f( 5) ＋ f( 6)的.12．已知等比数列 { a n} 中，( 1) 若 a3· a4· a5＝ 8， a2· a3· a4· a5· a6＝．( 2) 若 a1＋ a2＝ 324，a3＋a4＝ 36， a5＋a6＝．( 3) 若 S4＝ 2， S8＝ 6， a17＋ a18＋ a19＋a20＝.13．在8和27之插入三个数，使五个数成等比数列，插入的三个数的乘．3214．在等差数列 { a n} 中，3( a3＋ a5) ＋ 2( a7＋ a10＋ a13) ＝ 24，此数列前13 之和.15．在等差数列 { a } 中， a ＝ 3， a ＝－ 2， a ＋ a ＋⋯＋ a ＝.n56451016．平面内有 n 条直 ( n≥ 3) ，此中有且有两条直相互平行，随意三条直不同一点．若用f( n) 表示n 条直交点的个数，f( 4) ＝；当 n＞ 4 ， f( n)＝．三、解答17． ( 1)已知数列 { a n} 的前 n 和 S n＝ 3n 2－2n，求数列 { an}成等差数列.( 2)已知1，1，1成等差数列，求b c ， c a ， ab也成等差数列 .a b c a b c18． { a n} 是公比q的等比数列，且a1， a3， a2成等差数列．( 1) 求 q 的；( 2) { b n首 ， q 公差的等差数列，其前n ，当 n ≥ 2n}是以 2 n 和 S，比 S与 b n 的大小，并 明原因．19．数列 { a n } 的前 n 和 S n ，已知 a 1＝1， a n ＋ 1＝n2S n ( n ＝ 1， 2，3⋯ ) ．n求 ：数列 {S n} 是等比数列． n20．已知数列 { a n } 是首 a 且公比不等于 1 的等比数列， S n 其前 n 和， a 1， 2a 7，3a 4 成等差数列，求 ：12S 3， S 6 ，S 12－S 6 成等比数列 .第二章数列参照答案一、选择题1． C分析：由题设，代入通项公式a n＝ a1＋ ( n－ 1) d，即 2 005＝1＋ 3( n－1) ，∴ n＝ 699．2． C分析：此题考察等比数列的有关观点，及其有关计算能力．设等比数列 { a n} 的公比为q( q＞ 0) ，由题意得a1＋a2＋ a3＝ 21，即 a1( 1＋ q＋ q2) ＝ 21，又 a1＝ 3，∴ 1＋ q＋q2＝ 7．解得 q＝ 2 或 q＝－ 3( 不合题意，舍去 ) ，∴ a3＋ a4＋a5＝a1q2( 1＋ q＋ q2) ＝ 3× 22× 7＝ 84．3． B．分析：由 a1＋ a8＝ a4＋ a5，∴清除C．又 a1· a8＝a1( a1＋ 7d) ＝ a12＋ 7a1d，∴a4· a5＝( a1＋3d)( a1＋ 4d) ＝ a12＋ 7a1d ＋ 12d2＞a1· a8．4． C分析：解法 1：设 a1＝1， a2＝1＋ d， a3＝1＋ 2d， a4＝1＋ 3d，而方程 x2－ 2x＋ m＝ 0 中两4444根之和为 2， x2－ 2x＋ n＝0 中两根之和也为2，∴a1＋ a2＋a3＋a4＝ 1＋ 6d＝4，∴ d＝1，a1，a7是一个方程的两个根， a1＝3，a3＝5是另一个方程的两个根．1＝4＝44424∴7，15分别为 m 或 n，16 16∴｜ m－ n｜＝1，应选 C．2解法 2：设方程的四个根为x1， x2， x3， x4，且x1＋ x2＝ x3＋ x4＝ 2，x1·x2＝m， x3· x4＝ n．由等差数列的性质：若＋ s＝ p＋q，则 a ＋ a s＝ a p＋ a q，若设 x1为第一项， x2必为第四项，则 x2＝7，于是可得等差数列为 1 ， 3，5，7，∴ m ＝ 7 ， n ＝15，1616∴｜ m － n ｜＝ 1．2 5． B分析：∵ a 2＝ 9，a 5＝243，a 5＝q 3＝243＝ 27，a 29∴ q ＝ 3，a 1q ＝ 9， a 1＝ 3，5∴ S 4＝ 3－3 ＝ 240＝ 120．1－326． B分析：解法 1：由 a 2 003＋ a 2 004＞0， a 2 003· a 2 004＜0，知 a 2 003 和 a 2 004 两项中有一正数一负数，又 a 1＞ 0，则公差为负数，不然各项总为正数，故a 2 003＞ a 2 004，即 a 2 003＞ 0， a 2 004＜ 0.∴ S 4 006＝4 006( a 1＋a4 006 ) ＝4 006( a2 003＋a2 004 )＞0，22∴ S 4 007＝4 007· ( a 1＋ a 4 007) ＝4 007· 2a 2 004＜ 0，22故 4 006 为 S n ＞ 0 的最大自然数 . 选 B ．解法 2：由 a 1＞ 0，a 2 003＋a 2 004＞ 0，a 2 003·a 2 004＜ 0，同解法 1 的剖析得 a 2 003＞ 0， a 2 004＜ 0，∴ S 2 003为 S 中的最大值．n∵ S n 是对于 n 的二次函数，如草图所示，∴ 2 003 到对称轴的距离比 2 004 到对称轴的距离小，∴4 007在对称轴的右边．(第6题)2依据已知条件及图象的对称性可得4 006 在图象中右边零点 B 的左边， 4 007， 4 008 都在其右边， S n ＞0 的最大自然数是 4 006．7． B分析：∵ { a n } 是等差数列，∴ a 3＝ a 1＋ 4， a 4＝a 1＋6，又由 a 1， a 3， a 4 成等比数列，∴ ( a 1＋4) 2＝ a 1( a 1＋ 6) ，解得 a 1＝－ 8，∴ a 2＝－ 8＋ 2＝－ 6．8．A分析：∵S 99(a 1 a 9 )＝9a 5＝9·5＝1，∴ A ．＝ 5(a 1 2S 5a 5) 5 a59239．A分析： d 和 q 分 公差和公比， － 4＝－ 1＋ 3d 且－ 4＝( － 1) q 4，∴ d ＝－ 1， q 2＝ 2，∴ a 2 a 1 ＝ d ＝ 1．b 2q 2210．C分析：∵ { a n } 等差数列，∴a n 2 ＝ a n － 1 ＋ a n ＋1，∴ a n 2 ＝ 2a n ，又 a n ≠ 0，∴ a n ＝ 2，{ a n } 常数数列，而 a n ＝ S 2 n 1，即 2n 1∴ n ＝10．二、填空 11．3 2．分析：∵ f( x) ＝2x1∴ f( 1－ x) ＝21 x∴ f( x) ＋ f( 1－ x) ＝2n －1＝ 38＝ 19，21，21 x＝2x＝ 2 22 x，2222 2 x1(2 2)1 21 12xxx1＋2＝2＝2＝2 ． 2 2x 2 2x 2 2 x2 2x2S ＝f( － 5) ＋ f( － 4) ＋⋯＋ f(0) ＋⋯＋ f( 5) ＋ f( 6) ，S ＝f( 6) ＋ f( 5) ＋⋯＋ f(0) ＋⋯＋ f( － 4) ＋ f( － 5) ，∴ 2S ＝[ f( 6) ＋ f( － 5)] ＋[ f( 5) ＋ f( － 4)] ＋⋯＋ [ f( － 5) ＋ f( 6)] ＝ 6 2 ， ∴ S ＝f( －5) ＋ f( － 4) ＋⋯＋ f(0) ＋⋯＋ f( 5) ＋ f( 6) ＝3 2．12．（1） 32；（2） 4；（ 3） 32．分析：（ 1）由 a 3· a 5＝ a 42 ，得 a 4＝ 2， ∴ a 2· a 3·a 4 ·a 5· a 6＝ a 45 ＝32．a1a2324q 2 1 ，（ 2）221369(a a )q∴a5＋ a6＝( a1＋a2) q4＝ 4．S4＝ a1＋a 2＋ a3＋ a4＝2q4＝2 ，（ 3）＋ S q 4S ＝a ＋ a ＋＋ a ＝ S812844∴a17＋ a18＋ a19＋ a20＝S4q16＝ 32．13． 216．分析：本考等比数列的性及算，由插入三个数后成等比数列，因此中数必与8 ，27同号，由等比中的中数827＝ 6，插入的三个数之8×27×6＝216．323232 14． 26．分析：∵ a3＋ a5＝ 2a4， a7＋a13＝ 2a10，∴6( a4＋ a10) ＝24， a4＋ a10＝ 4，∴ S13( a1＋a13 )＝ 13( a4＋ a10 ) ＝ 134＝26．13＝222 15．－ 49．分析：∵ d＝ a6－a5＝－ 5，∴a4＋ a5＋⋯＋ a10＝7( a4＋a10)2＝7( a5－ d＋ a5＋5d )2＝7( a5＋ 2d)＝－ 49．116． 5，( n＋ 1)( n－ 2) ．分析：同一平面内两条直若不平行必定订交，故每增添一条直必定与前方已有的每条直都订交，∴ f( k) ＝ f( k－ 1) ＋ ( k－ 1) ．由 f( 3) ＝2，f( 4) ＝ f( 3) ＋ 3＝ 2＋ 3＝5，f( 5) ＝ f( 4) ＋ 4＝ 2＋ 3＋4＝ 9，⋯⋯f( n) ＝ f( n － 1) ＋ ( n － 1) ，相加得 f( n) ＝ 2＋ 3＋ 4＋⋯＋ ( n － 1) ＝ 1( n ＋1)( n － 2) ．2 三、解答17．剖析： 判断 定数列能否 等差数列关 看能否 足从第2 开始每 与其前一差 常数．明：（ 1） n ＝1 ， a 1＝ S 1＝3－ 2＝ 1，当 n ≥2 ， a n ＝S n －S n － 1＝ 3n 2－2n － [ 3( n － 1) 2－ 2( n －1)] ＝ 6n －5，n ＝ 1 ，亦 足，∴a n ＝ 6n － 5( n ∈N* ) ．首 a 1＝ 1， a n － a n － 1＝ 6n － 5－[ 6( n － 1) － 5] ＝ 6( 常数 )( n ∈ N* ) ，∴数列 { a n } 成等差数列且 a 1＝1，公差 6．111（ 2）∵， ， 成等差数列，∴ 2 ＝ 1 ＋ 1化 得 2ac ＝b( a ＋ c) ． b a cb ＋c ＋ a ＋b ＝ bc ＋ c 2＋ a 2＋ ab ＝ b( a ＋ c)＋a 2＋ c 2＝( a ＋ c) 2＝( a ＋ c)2＝ a c ac ac acb( a ＋c)2a ＋ c2·，∴b ＋ c， c ＋ a ， a ＋ b也成等差数列．abc18．解：（ 1）由2a 3＝a 1 ＋a 2，即 2a 1q 2＝ a 1＋ a 1q ，∵ a 1≠ 0，∴ 2q 2－ q －1＝ 0，∴ q ＝1 或－1． 22（ 2）若 q ＝ 1， S n ＝ 2n ＋n( n －1)＝ n＋3n．2 2当 n ≥2 ， S n －b n ＝S n － 1＝( n －1)( n ＋2)＞ 0，故 S n ＞b n ． 2若 q ＝－ 1 ， S n ＝ 2n ＋n( n －1) ( － 1 ) ＝ － n 2＋9n ． 2 2 2 4当 n ≥2 ， S n －b n ＝S n － 1＝( n －1)( 10－n)， 4故 于 n ∈ N +，当nnn n ；当 n ≥ 11n n．2≤ n ≤ 9 ， S ＞ b ；当 n ＝ 10 ， S＝b ， S＜ b 19． 明：∵ a＝ S －S a n ＋2 ，＝Sn ＋1n ＋1n ， n ＋1nn∴ ( n ＋2) S ＋＋因此Sn ＋1＝ 2S n ．n ＋1n故 {S n} 是以 2 为公比的等比数列． n20．证明：由 a 1， 2a 7， 3a 4 成等差数列，得 4a 7＝ a 1＋3a 4 ，即 4 a 1q 6＝ a 1＋ 3a 1q 3，变形得 ( 4q 3＋ 1)( q 3 －1) ＝ 0，∴ q 3＝－ 1或 q 3＝1( 舍 ) ． 4a 1 (1 q 6 )3S 6＝1 q＝1 q 1；由12a 1 (1 q 3 ) 12＝1612S 31 qa 1 (1 q 12 )S12S 6 ＝S12－ 1＝1 q － 1＝ 1＋ q 6－ 1＝ 1 ； S 6S 6a 1 (1 q 6 ) 161 q得 S6 ＝ S 12 S 6 ． 12S 3 S 6 ∴ 12S ，S ，S － S 成等比数列．36126。

高中数学第二章数列教材习题本新人教A版必修5第二章数列P38 例1、（1）求等差数列8,5,2，……的第20项。

（2）401-是不是等差数列5,9,13,---的项？如果是，是第几项？例3、已知数列{}n a 的通项公式为n a pn q =+，其中,p q 为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？P39 2、体育场一角的看台的座位是这样排列的：第一排有15个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位。

你能用n a 表示第n 排的座位数吗？第10排能坐多少个人？3、等差数列{n a }的首项为a ，公差为d ，等差数列{n b }的首项为b ，公差为e ，如果n n n b a c +=()1≥n ，且1c =4，82=c ，求数列{n c }的通项公式.4、已知一个无穷等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d 。

（1）将数列中的前m 项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？（3）如果取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列呢？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？5、已知{n a }是等差数列.（1）7352a a a +=是否成立？9152a a a +=呢？为什么？（2）112+-+=n n n a a a (n>1)是否成立？据此你能得出什么结论？k n k n n a a a +-+=2（n>k>0）是否成立？你又能得出什么结论？P40 1、在等差数列{n a }中，（1）已知12,3,10a d n ===，求n a ；（2）已知13,21,2n a a d ===，求n ；（3）已知1612,27a a ==，求d（4）已知71,83d a =-=，求1aP41 2、已知等差数列{n a }的公差为d ，求证：m n a a d m n-=- P44 例2、已知一个等差数列{n a }的前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？例3、已知一个数列{n a }的前n 项和为212n S n n =+，求这个数列的通项公式。

人教版高中数学必修5《数列》练习题(有答案)解：①设n 分钟后第一次相遇，依题意有：10．已知数列{}na 中，，31=a前n 和1)1)(1(21-++=n na n S．①求证：数列{}na 是等差数列； ②求数列{}na 的通项公式； ③设数列⎭⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和为nT ，是否存在实数M ，使得MTn≤对一切正整数n 都成立?若存在，求M 的最小值，若不存在，试说明理由．12122(1)(1)()2n n n n n nn a n a a a a a ++++∴+=++∴=+ ∴数列{}na 为等差数列． ②1)1(311-+==+n n a n na a，{}212121522n a a a a a ∴=-=∴-=即等差数列的公差为1(1)3(1)221n a a n d n n ∴=+-=+-⋅=+121n+++，要使得三、等比数列 知识要点1. 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为()0q q ≠，．2. 递推关系与通项公式mn m n n n n n q a a q a a qa a --+⋅=⋅==推广：通项公式：递推关系：1113. 等比中项：若三个数c b a ,,成等比数列，则称b 为a 与c 的等比中项，且acb ac b =±=2，注：是成等比数列的必要而不充分条件． 4. 前n 项和公式)1(11)1()1(111≠⎪⎩⎪⎨⎧--=--==q q qa a q q a q na S n n n5. 等比数列的基本性质，),,,(*∈N q p n m 其中①qp n ma a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若，反之不成立！ ②)(2*+--∈⋅==N n a a a a a qm n m n n mn mn ，③{}na 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列．④若项数为()*2n n N ∈，则SqS=偶奇．⑤n n mn mSS q S +=+⋅．⑥，，，时，n n n nnS S S SS q 2321---≠仍成等比数列．6. 等比数列与等比数列的转化 ①{}na 是等差数列⇔{})10(≠>c c c na ，是等比数列；②{}na 是正项等比数列⇔{})10(log ≠>c c a n c，是等差数列；③{}na 既是等差数列又是等比数列⇔{}na 是各项不为零的常数列． 7. 等比数列的判定法 ①定义法：⇒=+（常数）q a a nn 1{}n a 为等比数列；②中项法：⇒≠⋅=++)0(221n n n n a a a a{}n a 为等比数列；③通项公式法：⇒⋅=为常数）q k q k a n n,({}n a 为等比数列； ④前n 项和法：⇒-=为常数）（q k q k Sn n,)1({}n a 为等比数列．性质运用1．103107422222)(++++++=n n f 设()()()n N f n *∈，则等于1342222(81)(81)(81)(81)7777n n n n A B C D +++----．．．．D2．已知数列{}n a 是等比数列，且===m m m S S S 323010，则， ．703．⑴在等比数列{}na 中，143613233+>==+n n a a a a a a，，．①求na ，②若nn nT a a a T求,lg lg lg 21+++= ．⑵在等比数列{}n a 中，若015=a ，则有等式nn a a a a a a -+++=+++292121)29(*∈<N n n ，成立，类比上述性质，相应的在等比数列{}nb 中，若119=b ，则有等式成立．解：⑴①由等比数列的性质可知：16341616163233321a a a a a a a a a a ⋅=⋅=+=>==又，解得，②由等比数列的性质可知，{}na lg 是等差数列，因为⑵由题设可知，如果=m a 在等差数列中有nm na a a a a a --+++=+++122121)12(*∈-<N n m n ，成立，我们知道，如果qp n m a a a a q p n m +=++=+，则若，而对于等比数列{}nb ，则有qp n m a a a a q p n m ⋅=⋅+=+，则若所以可以得出结论，若n m n m b b b b b b b --==1221211 ，则有)12(*∈-<N n m n ，成立，在本题中n n b b b b b b -=372121 则有)37(*∈<N n n ，1．{a n }是等比数列，下面四个命题中真命题的个数为 ( )①{a n 2}也是等比数列；②{ca n }(c ≠0)也是等比数列；③{na 1}也是等比数列；④{ln a n }也是等比数列．A ．4B ．3C ．2D ．12．等比数列{a n }中，已知a 9 =－2，则此数列前17项之积为 ( ) A ．216 B ．－216 C ．217D ．－2173．等比数列｛a n ｝中，a 3=7，前3项之和S 3=21， 则公比q 的值为 ( )A ．1B ．－21C ．1或－1D ．－1或214．在等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，那么a 3等于 ( )A ．4B ．23C ．916 D ．25．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为 ( )A ．x 2－6x ＋25=0B ．x 2＋12x ＋25=0C ．x 2＋6x －25=0 D ．x 2－12x ＋25=06．某工厂去年总产a ，计划今后5年内每一年比上一年增长10%，这5年的最后一年该厂的总产值是 ( ) A ．1.1 4 a B ．1.1 5 a C ．1.1 6 aD ．(1＋1.1 5)a7．等比数列{a n }中，a 9＋a 10=a (a ≠0)，a 19＋a 20=b ，则a 99＋a 100等于 ( ) A ．89a b B ．(ab )9 C ．910a b D ．(ab )108．已知各项为正的等比数列的前5项之和为3，前15项之和为39，则该数列的前10项之和为( )A ．32B ．313C ．12D ．159．某厂2001年12月份产值计划为当年1月份产值的n 倍，则该厂2001年度产值的月平均增长率为 ( )A ．11nB ．11nC ．112-n D ．111-n10．已知等比数列{}na 中，公比2q =，且30123302a aa a ⋅⋅⋅⋅=，那么36930a aa a ⋅⋅⋅⋅等于 ( )A ．102 B ．202C ．162 D ．15211．等比数列的前n 项和S n =k ·3n ＋1，则k 的值为 ( )A ．全体实数B ．－1C ．1D ．312．某地每年消耗木材约20万3m ，每3m 价240元，为了减少木材消耗，决定按%t 征收木材税，这样每年的木材消耗量减少t 25万3m ，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于90万元，则t 的范围是 ( ) A ．[1，3] B ．[2，4] C ．[3，5]D ．[4，6]一、选择题： BDCAD BACDB BC13．在等比数列{a n }中，已知a 1=23，a 4=12，则q =_________，a n =____ ____．14．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a n ＋2=a n ＋a n ＋1，则该数列的公比q =___ ___．15．在等比数列｛a n ｝中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比为整数，求a 10＝ ．16．数列｛n a ｝中，31=a且na an n (21=+是正整数)，则数列的通项公式=na ．．15.512 17．已知数列满足a 1=1，a n ＋1=2a n ＋1 (n ∈N *)．(1)求证数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求{a n }的通项公式．(1)证明由a n ＋1=2a n ＋1得a n ＋1＋1=2(a n ＋1)又a n＋(2)解析： 由(1)知a n ＋1=(a 1＋1)q n －1即a n =(a 1＋1)qn－1－1=2·2n －1－1=2n －118．在等比数列｛a n ｝中，已知对n ∈N *，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n－1，求a 12＋a 22＋…＋a n 2．解析： 由a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1 ① n ∈N *，知a 1＝1且a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2n －1－1②由①－②得a n ＝2n －1，n ≥2 又a 1＝1，∴a n ＝2n －1，n ∈N *212221)2()2(-+=n n nn a a ＝即｛a n 2｝为公比为4的等比数列 ∴a 12＋a 22＋…＋a n 2＝)14(3141)41(21-=--nn a19．在等比数列｛a n ｝中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n ．解析一： ∵S 2n ≠2Sn ，∴q ≠1 根据已知条件∴S 3n ＝q a -11(1－q 3n)＝64(1－341)＝63解析二： ∵｛a n ｝为等比数列 ∴(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )20．求和：S n ＝1＋3x ＋5x 2＋7x 3＋…＋(2n －1)x n －1(x ≠0)．解析：当x =1时，S n =1＋3＋5＋…＋(2n －1)=n 2当x ≠1时，∵S n =1＋3x ＋5x 2＋7x 3＋…＋(2n －1)xn －1， ①等式两边同乘以x 得：xS n =x ＋3x 2＋5x3＋7x 4＋…＋(2n －1)x n ． ②①－②得：(1－x )S n =1＋2x (1＋x ＋x 2＋…＋xn －2)－(2n －1)x n =1－(2n －1)x n＋1)1(21---x x x n ，∴S n =21)1()1()12()12(-+++--+x x x n x n n n ．21．在等比数列｛a n ｝中，a 1＋a n =66，a 2·a n －1=128，且前n 项和S n =126，求n 及公比q ．解析：∵a 1a n =a 2a n －1=128，又a 1＋a n =66， ∴a 1、a n 是方程x 2－66x ＋128=0的两根，解方程得x 1=2，x 2=64，∴a 1=2，a n =64或a 1=64，a n =2，显然q ≠1．∴q =2，由a n =a 1qn －1得2n －1=32， ∴n =6．22．某城市1990年底人口为50万，人均住房面积为16 m2，如果该市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m2，求2000年底该市人均住房的面积数．(已知1.015≈1.05，精确到0.01 m2) 解析：依题意，每年年底的人口数组成一个等比数列{a n}：a1=50，q=1＋1%=1．01，n=11则a11=50×1．0110=50×(1．015)2≈55.125(万)，又每年年底的住房面积数组成一个等差数列{b n}：b1=16×50=800，d=30，n=11∴b11=800＋10×30=1100(万米2)因此2000年底人均住房面积为：1100÷55.125≈19．95(m2)。

、选择题:1 .在等差数列｛an ｝中，首项 ai=0,公差 dw 喏 ak=a 〔 + a2+a3+ ••• + a7,则 k=()A. 22B. 23C. 24D. 25【答案】A【解析】•「数列｛a n ｝为等差数列，首项 a i = 0,公差d WQ a k= a [ +(k —i)d=a 〔 + a 2+a 3+…+ a 7= 7a4=21d.解得 k=22.故选 A.2,已知｛a n ｝为等差数列，a i+a 3+a 5= 105, a z+a 4+a 6=99,则 a ?。

等于( )A. - 1B. 1C. 3D. 7【答案】B【解析】 -- ｛a n ｝是等差数歹U, a[+a 3+a 5= 3a 3= 105,a 3= 35,a 2+a 4+a 6= 3a 4 = 99, -^4=33, • - d= a 4—a 3= — 2, a 20= a 4 + 16d= 33 — 32= 1.故选 B.3 .已知｛a n ｝为等差数列，a [+a 3+a 5=9,郎+如十比=15,则a 3+ a 4= ( )A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】 在等差数列｛a n ｝中，a 1+a 3+a 5= 3a 3= 9,，a 3= 3;又 a 2 + a 4+ a 6= 3a 4= 15, a 4= 5, •1- a 3+ a 4= 8.故选 D.4 .已知数列｛a n ｝满足 a 〔=15,且 3a n+〔 = 3a n —2.若 a k a k+1<0,则正整数 k=( )A. 2B. 23C. 2D. 21【答案】B由3a n+1 = 3a n —2得a n+1—a n=—2,所以数列｛a n ｝为首项a 1=15,公差d= —2的等差数 3 3 所以 a n=15-2(n- 1)=- |n + 47,则由 a k a k+1<0得 a k >0, a k+1<0,令 a n = -'2n+47=0 3 3 33 3 所以 a 23>0, a 24<0,所以 k=23,故选 B.5 .设｛a n ｝是公差为正数的等差数列，若 a 1+a 2 + a 3=15，a 1a 2a 3=80,则a n+a 〔2+a 13等于()A. 120B. 105C. 90D. 75【答案】B【解析】a 〔+a z+a 3= 3a 2= 15,a 2 = 5,又: a 1a 2a 3= 80,「• a 〔a 3= 16,即(a 2—d)(a 2 + d)=16, .^>0,，d=3.贝U an+a 12+a 13= 3a l2 = 3(a 2+10d)= 105.故选 B.6 .设数列｛a n ｝, ｛b n ｝都是等差数列，且 a 〔=25, b 1 = 75, a2+b2=100,则 a 37+b 37等于(C )A. 0B. 37C. 10D. - 37【答案】C【解析】•・•数列｛a n ｝, ｛b n ｝都是等差数列，，｛a n+b n ｝也是等差数列. 又「 a i + b i = 100, a 2+b 2 = 100,・・・｛a n+b n ｝的公差为0, •♦.数列｛a n+b n ｝的第37项为100.故选C.7 .下列命题中正确的个数是 ( )(1)若a, b, c 成等差数列，则a 2, b 2, C 2一定成等差数列；(2)若a, b, c 成等差数列，则2a ,2b,2c 可能成等差数列；(3)若a, b, c 成等差数列，则 ka+2, kb+2, kc+2一定成等差数列；(4)若a, b, c 成等差数列，则♦可能成等差数列.a b cA. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B列,/曰 47得n = ~【解析】对于(1)取a=1, b=2, c=3?a2=1, b2= 4, c2=9, (1)错.对于(2), a=b=c? 2a=2b=2c, (2)正确；对于(3), .a, b, c 成等差数列，.•-a+c= 2b.・. (ka+ 2)+ (kc+2)= k(a+c) +4= 2(kb+2), (3)正确;,一 1 1 1对于(4), a=b=cw? a=b=c, (4)正确，综上选B.点评；等差数列的性质；(1)等差数列的项的对称性在有穷等差数列中，与首末两项等距离”的两项之和等于首项与末项的和.艮口a1 + a n=a?+ a n 1 =a3 + a n 2=(2)若｛a n｝、｛b n(3)｛a n｝的公差为则n为递增数列；n为递减数列；n｝为常数列.8.设｛a n｝是等差数列.下列结论中正确的是(C )A,若a1 + a2>0,则az + a3>0 B.若a1 + a3< 0,则a[+a2V0C.若0va1〈a2,则a2>\f a i a3D.若a1< 0,则(a2 —a1)(a2—a3)>0【答案】C【解析】先分析四个答案，A举一反例a1 = 2, a2=—1,则a3=—4, a1 + a2>0,而a2+a3<0, A 错误；B举同样反例a[=2, a2=- 1, a3=- 4, a[ + a3<0,而a〔 + a2>0, B错误；下面针对C进行研究，｛a n｝是等差数列，若0<a1<a2,则4>0,设公差为d,则d>0 ,数列各项均为正，由于a2—a1a3= (a1 + d)2—a〔(a〔 + 2d) = a2+2a〔d + d2—a2 —2a1d= d2>0,则a2>a〔a3? a2>V0面，选C -二、填空题：9.等差数列{a n}中，已知a2+a3+a〔0+ a〔1=36,则a s+a8 =【答案】18【解析】解法1：根据题意，有(a[ + d)+(a[ + 2d)+(a[ + 9d) + (a〔+ 10d)= 36, ・•・4a1+22d= 36,则2a l+ 11d = 18.a5+ a8= (a〔+ 4d) + (a[ + 7d) = 2a〔 + 11d = 18.解法2：根据等差数列性质，可得a s+a8= a3+a[o= a2+a[i= 36+2 = 18.10.已知等差数列｛a n｝中，a3、a15是方程x2—6x—1 = 0的两根，则a7+a g+a§+a〔o +a〔1=【答案】15【解析】.a3+a15=6,又a7 + a11 = a8 + a1o = 2a9= 23+ a15,1 . 5• ・a7 + a8+ a9+ a1o+ a11 = (2 + 2)( a3+ a15)= 2 ><6= 15.a2 —a111.若x守，两个数列x, a1, a2, a3, y和x, b1，b2, b3, b4, y都是等差数列，则 =.y=x+4d〔，4d1 = y—x, 【解析】设两个等差数列的公差分别为d1，d2,由已知，得｛即4|y=x+5d2, 15d2=y—x,解得电=5,即翌二詈=d1 = 5.d2 4 b3—b2 d2 412.已知△ ABC的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列，则4 ABC的面积为 . 【答案】15 3.a2+ a-4 2—a+4 2 1 【解析】设^ ABC 的二边长为a- 4, a, a+4(a>4),则---------- ；----- ] ------- =-2a a 2 解得a= 10,三边长分别为6,10,14.所以S△ABC =；><6 M0 R2^= 15V3.三、解答题13.已知等差数列｛a n｝的公差d>0,且a3a7=-12, a4+a6= —4,求｛a n｝的通项公式. 【答案】2n—12. 【解析】由等差数列的性质，得a3+a7=a4+a6=-4,又< a3a7=—12,a3、a7是方程x2+4x—12 = 0 的两根.又< d>0, a3= —6, a7=2.''' a7 — a3 = 4d = 8,d=2.，a n=a3+(n — 3)d = — 6+2(n — 3) = 2n — 12.14.四个数成等差数列，其平方和为94,第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18,求此四个数.【答案】见解析【解析】设四个数为a-3d, a- d, a+d, a+3d,据题意得，(a- 3d)2 + (a — d)2+ (a+ d)2 + (a+3d)2= 94? 2a2 + 10d2= 47.①又(a—3d)(a+3d)= (a—d)(a+d)—18? 8d2=18? d=卷代入①得a=,，故所求四数为-1 或1 ) — 2 ) — 5, — 8 或一1,2,5,8 或一8, — 5, — 2 , 1.15.设数列｛a n｝是等差数列，b n=(1)a n 又b1+b2+ b3=21, b1b2b3 = ；,求通项a n. 2 8 8【答案】见解析【解析】「b1b2b3=1,又b n= Ja n，♦• 4)a1 J)a2 [同二. 8 2 2 2 2 8「•(2)a I+ a2+ a3= 8, •1- a1 + a2+ a3=3 ,又｛a n｝成等差数列，a2= 1 , a1 + a3 = 2 , ' ' b1b3 =3i, b〔+b3 = W，4 8a n= 2n — 3 或a n= — 2n+ 5. 8,5,2,b= 21 [b3=8a1= — 1a3= 3a1 = 3或|a3= - h=2,即・。