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一、知识梳理１．椭圆的概念平面内与两个定点F１，F２的距离的和等于常数（大于|F１F２|）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P ＝{M||MF１|＋|MF２|＝２a}，|F１F２|＝２c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：（１）若a>c，则集合P为椭圆．（２）若a＝c，则集合P为线段．（３）若a<c，则集合P为空集．２．椭圆的标准方程和几何性质标准方程错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）图形性质范围—a≤x≤a—b≤y≤b—b≤x≤b—a≤y≤a对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：（0，0）顶点A１（—a，0），A２（a，0）B１（0，—b），B２（0，b）A１（0，—a），A２（0，a）B１（—b，0），B２（b，0）轴长轴A１A２的长为２a短轴B１B２的长为２b焦距|F１F２|＝２c已知点P（x0，y0），椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0），则（１）点P（x0，y0）在椭圆内⇔错误!＋错误!<１．（２）点P（x0，y0）在椭圆上⇔错误!＋错误!＝１．（３）点P（x0，y0）在椭圆外⇔错误!＋错误!>１．常用结论（１）焦半径：椭圆上的点P（x0，y0）与左（下）焦点F１与右（上）焦点F２之间的线段的长度叫作椭圆的焦半径，分别记作r１＝|PF１|，r２＝|PF２|.１错误!＋错误!＝１（a>b>0），r１＝a＋ex0，r２＝a—ex0；２错误!＋错误!＝１（a>b>0），r１＝a＋ey0，r２＝a—ey0；３焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小（近日点与远日点）．（２）焦点三角形：椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点构成的△PF１F２叫作焦点三角形．r１＝|PF１|，r＝|PF２|，∠F１PF２＝θ，△PF１F２的面积为S，则在椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）中：２１当r１＝r２时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；２S＝b２tan 错误!＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.（３）焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦中以通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长l min＝错误!.（４）AB为椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的弦，A（x１，y１），B（x２，y２），弦中点M（x0，y0），则１弦长l＝错误!|x１—x２|＝错误!|y１—y２|；２直线AB的斜率k AB＝—错误!.二、教材衍化１．若F１（—３，0），F２（３，0），点P到F１，F２距离之和为１0，则P点的轨迹方程是（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１解析：选Ａ．设点P的坐标为（x，y），因为|PF１|＋|PF２|＝１0>|F１F２|＝6，所以点P的轨迹是以F，F２为焦点的椭圆，其中a＝５，c＝３，b＝错误!＝４，故点P的轨迹方程为错误!＋错误!＝１．故１选Ａ．２．设椭圆的两个焦点分别为F１，F２，过点F２作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F１PF２为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!C．２—错误!Ｄ．错误!—１解析：选Ｄ．设椭圆方程为错误!＋错误!＝１，依题意，显然有|PF２|＝|F１F２|，则错误!＝２c，即错误!＝２c，即e２＋２e—１＝0，又0<e<１，解得e＝错误!—１．故选Ｄ．一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）平面内与两个定点F１，F２的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．（）（２）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．（）（３）椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．（）（４）方程mx２＋ny２＝１（m>0，n>0，m≠n）表示的曲线是椭圆．（）（５）错误!＋错误!＝１（a>b>0）与错误!＋错误!＝１（a>b>0）的焦距相同．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√（５）√二、易错纠偏错误!错误!（１）忽视椭圆定义中的限制条件；（２）忽视椭圆标准方程中焦点位置的讨论；（３）忽视点P坐标的限制条件．１．平面内一点M到两定点F１（0，—9），F２（0，9）的距离之和等于１8，则点M的轨迹是________．解析：由题意知|MF１|＋|MF２|＝１8，但|F１F２|＝１8，即|MF１|＋|MF２|＝|F１F２|，所以点M的轨迹是一条线段．答案：线段F１F２２．椭圆错误!＋错误!＝１的焦距为４，则m＝________．解析：当焦点在x轴上时，１0—m>m—２>0，１0—m—（m—２）＝４，所以m＝４．当焦点在y轴上时，m—２>１0—m>0，m—２—（１0—m）＝４，所以m＝8．所以m＝４或8．答案：４或8３．已知点P是椭圆错误!＋错误!＝１上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F１，F２为顶点的三角形的面积等于１，则点P的坐标为________．解析：设P（x，y），由题意知c２＝a２—b２＝５—４＝１，所以c＝１，则F１（—１，0），F２（１，0）．由题意可得点P到x轴的距离为１，所以y＝±１，把y＝±１代入错误!＋错误!＝１，得x＝±错误!，又x>0，所以x＝错误!，所以P点坐标为错误!或错误!.答案：错误!或错误!第１课时椭圆及其性质椭圆的定义及应用（多维探究）角度一利用定义求轨迹方程（１）如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是（）Ａ．椭圆Ｂ．双曲线Ｃ．抛物线Ｄ．圆（２）已知两圆C１：（x—４）２＋y２＝１69，C２：（x＋４）２＋y２＝9，动圆在圆C１内部且和圆C相内切，和圆C２相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）１Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１【解析】（１）连接QA.由已知得|QA|＝|QP|.所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因为点A在圆内，所以|OA|<|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆．故选Ａ．（２）设圆M的半径为r，则|MC１|＋|MC２|＝（１３—r）＋（３＋r）＝１6>8＝|C１C２|，所以M的轨迹是以C１，C２为焦点的椭圆，且２a＝１6，２c＝8，故所求的轨迹方程为错误!＋错误!＝１．【答案】（１）A （２）D角度二利用定义解决“焦点三角形”问题已知F１，F２是椭圆C：错误!＋错误!＝１（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且错误!１⊥错误!２，若△PF１F２的面积为9，则b＝________．【解析】通解：设|PF１|＝r１，|PF２|＝r２，则错误!所以２r１r２＝（r１＋r２）２—（r错误!＋r错误!）＝４a２—４c２＝４b２，又因为S△PF１F２＝错误!r１r２＝b２＝9，所以b＝３．优解：由错误!⊥错误!，可得S△PF１F２＝b２＝9，所以b＝３．【答案】３【迁移探究１】（变条件）若本例中增加条件“△PF１F２的周长为１8”，其他条件不变，求该椭圆的方程．解：由本例得b２＝a２—c２＝9，又２a＋２c＝１8，所以a—c＝１，解得a＝５，故椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．【迁移探究２】（变条件）将本例中的条件“错误!⊥错误!”“△PF１F２的面积为9”分别改为“∠F １PF２＝60°”“S△PF１F２＝３错误!”，结果如何？解：|PF１|＋|PF２|＝２a，又∠F１PF２＝60°，所以|PF１|２＋|PF２|２—２|PF１||PF２|cos 60°＝|F１F２|２，即（|PF１|＋|PF２|）２—３|PF１||PF２|＝４c２，所以３|PF１||PF２|＝４a２—４c２＝４b２，所以|PF１||PF２|＝错误!b２，＝错误!|PF１||PF２|·sin 60°又因为S△PF１F２＝错误!×错误!b２×错误!＝错误!b２＝３错误!，所以b＝３．角度三利用定义求最值设P是椭圆错误!＋错误!＝１上一点，M，N分别是两圆：（x＋４）２＋y２＝１和（x—４）２＋y２＝１上的点，则|PM|＋|PN|的最小值和最大值分别为（）Ａ．9，１２Ｂ．8，１１Ｃ．8，１２Ｄ．１0，１２【解析】如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝２a＝１0，连接PA，PB分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|—２R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋２R＝１２，即最小值和最大值分别为8，１２．【答案】C错误!椭圆定义的应用主要有两个方面：一是明确平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F１，F２组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF１|·|PF２|，通过整体代入可求其面积等．１．已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点分别为F１，F２，离心率为错误!，过F的直线l交C于A，B两点．若△AF１B的周长为４错误!，则C的方程为（）２Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋y２＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１解析：选Ａ．由题意及椭圆的定义知４a＝４错误!，则a＝错误!，又错误!＝错误!＝错误!，所以c＝１，所以b２＝２，所以C的方程为错误!＋错误!＝１，选Ａ．２．（２0２0·惠州调研）设F１，F２为椭圆错误!＋错误!＝１的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF的中点在y轴上，则错误!的值为（）１Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选D.如图，设线段PF１的中点为M，因为O是F１F２的中点，所以OM∥PF２，可得PF２⊥x 轴，可求得|PF２|＝错误!，|PF１|＝２a—|PF２|＝错误!，错误!＝错误!.故选Ｄ．３．已知F是椭圆５x２＋9y２＝４５的左焦点，P是此椭圆上的动点，A（１，１）是一定点．则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．解析：如图所示，设椭圆右焦点为F１，则|PF|＋|PF１|＝6．所以|PA|＋|PF|＝|PA|—|PF１|＋6．利用—|AF１|≤|PA|—|PF１|≤|AF１|（当P，A，F１共线时等号成立）．所以|PA|＋|PF|≤6＋错误!，|PA|＋|PF|≥6—错误!.故|PA|＋|PF|的最大值为6＋错误!，最小值为6—错误!.答案：6＋错误!6—错误!椭圆的标准方程（师生共研）（１）（２0１9·高考全国卷Ⅰ）已知椭圆C的焦点为F１（—１，0），F２（１，0），过F２的直线与C交于A，B两点，若|AF２|＝２|F２B|，|AB|＝|BF１|，则C的方程为（）Ａ．错误!＋y２＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１（２）（一题多解）过点（错误!，—错误!），且与椭圆错误!＋错误!＝１有相同焦点的椭圆的标准方程为________．【解析】（１）由题意设椭圆的方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0），连接F１A，令|F２B|＝m，则|AF２|＝２m，|BF１|＝３m.由椭圆的定义知，４m＝２a，得m＝错误!，故|F２A|＝a＝|F１A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF２＝θ（O为坐标原点），则sin θ＝错误!.在等腰三角形ABF１中，cos ２θ＝错误!＝错误!，所以错误!＝１—２错误!错误!，得a２＝３．又c２＝１，所以b２＝a２—c２＝２，椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１．故选Ｂ．（２）法一（定义法）：椭圆错误!＋错误!＝１的焦点为（0，—４），（0，４），即c＝４．由椭圆的定义知，２a＝错误!＋错误!，解得a＝２错误!.由c２＝a２—b２可得b２＝４，所以所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．法二（待定系数法）：因为所求椭圆与椭圆错误!＋错误!＝１的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c２＝２５—9＝１6．设它的标准方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0）．因为c２＝１6，且c２＝a２—b２，故a２—b２＝１6．１又点（错误!，—错误!）在所求椭圆上，所以错误!＋错误!＝１，即错误!＋错误!＝１．２由１２得b２＝４，a２＝２0，所以所求椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝１．【答案】（１）B （２）错误!＋错误!＝１错误!求椭圆标准方程的２种常用方法定义法根据椭圆的定义，确定a２，b２的值，结合焦点位置可写出椭圆方程待定系数法若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a、b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax２＋By２＝１（A＞0，B＞0，A≠B）１．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（—５，0）为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１解析：选Ｃ．由题意可得c＝５，设右焦点为F′，连接PF′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，所以∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，所以∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′，在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝错误!＝错误!＝8，由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝２a＝6＋8＝１４，从而a＝7，a２＝４9，于是b２＝a２—c２＝４9—５２＝２４，所以椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１，故选Ｃ．２．（２0２0·湖南郴州二模）已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为２错误!—２，离心率为错误!，则椭圆E的方程为________．解析：因为椭圆上一点到焦点的最小距离为a—c，所以a—c＝２错误!—２，因为离心率e＝错误!，所以错误!＝错误!，解得a＝２错误!，c＝２，则b２＝a２—c２＝４，所以椭圆E的方程为错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１椭圆的几何性质（多维探究）角度一椭圆的长轴、短轴、焦距（２0２0·河南洛阳一模）已知椭圆错误!＋错误!＝１的长轴在y轴上，且焦距为４，则m 等于（）A．５Ｂ．6C．9 Ｄ．１0【解析】由椭圆错误!＋错误!＝１的长轴在y轴上，焦距为４，可得错误!＝２，解得m＝9．故选Ｃ．【答案】C角度二求椭圆的离心率过椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是________．【解析】由题设知，直线l：错误!＋错误!＝１，即bx—cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为（c，0），根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±错误!，即圆的半径r＝错误!.又圆与直线l有公共点，所以错误!≤错误!，化简得２c≤b，平方整理得a２≥５c２，所以e＝错误!≤错误!.又0<e<１，所以0<e≤错误!.【答案】错误!角度三根据椭圆的性质求参数（１）设A，B是椭圆C：错误!＋错误!＝１长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝１２0°，则m的取值范围是（）A．（0，１]∪[9，＋∞）Ｂ．（0，错误!]∪[9，＋∞）C．（0，１]∪[４，＋∞）Ｄ．（0，错误!]∪[４，＋∞）（２）如图，焦点在x轴上的椭圆错误!＋错误!＝１的离心率e＝错误!，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则错误!·错误!的最大值为________．【解析】（１）依题意得，错误!或错误!，所以错误!或错误!，解得0<m≤１或m≥9．故选Ａ．（２）设P点坐标为（x0，y0）．由题意知a＝２，因为e＝错误!＝错误!，所以c＝１，b２＝a２—c２＝３．故椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．所以—２≤x0≤２，—错误!≤y0≤错误!.因为F（—１，0），A（２，0），错误!＝（—１—x0，—y0），错误!＝（２—x0，—y0），所以错误!·错误!＝x错误!—x0—２＋y错误!＝错误!x错误!—x0＋１＝错误!（x0—２）２.即当x0＝—２时，错误!·错误!取得最大值４．【答案】（１）A （２）４错误!（１）利用椭圆几何性质的注意点及技巧１注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x，y的范围，离心率的范围等不等关系．２利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系．（２）求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a，b，c的等式或不等式，即可得离心率或离心率的范围．１．（２0２0·江西吉安一模）如图，用与底面成４５°角的平面截圆柱得一截口曲线，即椭圆，则该椭圆的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．设圆柱的底面圆的直径为R，则椭圆的短轴长为R.因为截面与底面成４５°角，所以椭圆的长轴长为错误!R，所以椭圆的半焦距为错误!＝错误!，则e＝错误!＝错误!＝错误!.２．P为椭圆错误!＋错误!＝１上任意一点，EF为圆N：（x—１）２＋y２＝４的任意一条直径，则错误!·错误!的取值范围是（）Ａ．[0，１５] Ｂ．[５，１５]Ｃ．[５，２１] Ｄ．（５，２１）解析：选Ｃ．错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·（错误!＋错误!）＝（错误!＋错误!）·（错误!—错误!）＝错误!２—错误!２＝|错误!|２—４，因为a—c≤|错误!|≤a＋c，即３≤|错误!|≤５，所以错误!·错误!的取值范围是[５，２１]．３．已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>c>0，a２＝b２＋c２）的左、右焦点分别为F１，F２，若以F为圆心，b—c为半径作圆F２，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于错误!２（a—c），则椭圆的离心率e的取值范围是________．解析：因为|PT|＝错误!（b>c），而|PF２|的最小值为a—c，所以|PT|的最小值为错误!.依题意，有错误!≥错误!（a—c），所以（a—c）２≥４（b—c）２，所以a—c≥２（b—c），所以a＋c≥２b，所以（a＋c）２≥４（a２—c２），所以５c２＋２ac—３a２≥0，所以５e２＋２e—３≥0．１又b>c，所以b２>c２，所以a２—c２>c２，所以２e２<１．２联立１２，得错误!≤e＜错误!.答案：错误![基础题组练]１．（２0２0·河北衡水二模）已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的离心率为错误!，则错误!＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．因为e＝错误!＝错误!＝错误!，所以8a２＝9b２，所以错误!＝错误!.故选Ｄ．２．已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是错误!，则此椭圆的标准方程是（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１解析：选Ｂ．因为a＝４，e＝错误!，所以c＝３，所以b２＝a２—c２＝１6—9＝7．因为焦点的位置不确定，所以椭圆的标准方程是错误!＋错误!＝１或错误!＋错误!＝１．３．已知点F１，F２分别为椭圆C：错误!＋错误!＝１的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F１PF＝60°，则|PF１|·|PF２|＝（）２Ａ．４Ｂ．6Ｃ．8 Ｄ．１２解析：选Ａ．由|PF１|＋|PF２|＝４，|PF１|２＋|PF２|２—２|PF１|·|PF２|·cos 60°＝|F１F２|２，得３|PF１|·|PF|＝１２，所以|PF１|·|PF２|＝４，故选Ａ．２４．设椭圆E的两焦点分别为F１，F２，以F１为圆心，|F１F２|为半径的圆与E交于P，Q两点，若△PF １F２为直角三角形，则E的离心率为（）Ａ．错误!—１Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!＋１解析：选Ａ．不妨设椭圆E的方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0），如图所示，因为△PF１F２为直角三角形，所以PF１⊥F１F２，又|PF１|＝|F１F２|＝２c，所以|PF２|＝２错误!c，所以|PF１|＋|PF２|＝２c＋２错误!c＝２a，所以椭圆E的离心率e＝错误!—１．故选Ａ．５．（２0２0·江西赣州模拟）已知A，B是椭圆E：错误!＋错误!＝１（a>b>0）上的两点，且A，B关于坐标原点对称，F是椭圆的一个焦点，若△ABF面积的最大值恰为２，则椭圆E的长轴长的最小值为（）A．１Ｂ．２C．３Ｄ．４解析：选Ｄ．如图所示，设直线AB的方程为ty＝x，F（c，0），A（x１，y１），B（x２，y２）．联立错误!可得y２＝错误!＝—y１y２，所以△ABF的面积S＝错误!c|y１—y２|＝错误!c错误!＝c错误!≤cb，当t＝0时取等号．所以bc＝２．所以a２＝b２＋c２≥２bc＝４，a≥２．所以椭圆E的长轴长的最小值为４．故选Ｄ．6．（２0１9·高考全国卷Ⅲ）设F１，F２为椭圆C：错误!＋错误!＝１的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF１F２为等腰三角形，则M的坐标为________．解析：不妨令F１，F２分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝错误!＝４．因为△MF１F２为等腰三角形，所以易知|F１M|＝２c＝8，所以|F２M|＝２a—8＝４．设M（x，y），则错误!得错误!所以M的坐标为（３，错误!）．答案：（３，错误!）7．（２0２0·河北衡水三模）“九天揽月”是中华民族的伟大梦想，我国探月工程的进展与实力举世瞩目．近期，“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，月球上“嫦娥四号”的着陆点，被命名为天河基地，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面１00千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面１５千米，则椭圆形轨道的焦距为________千米．解析：设椭圆的长半轴长为a千米，半焦距为c千米，月球半径为r千米．由题意知错误!解得２c＝8５．即椭圆形轨道的焦距为8５千米．答案：8５8．已知椭圆E：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：３x—４y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝４，点M到直线l的距离不小于错误!，则椭圆E的离心率的取值范围是________．解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得，A，B两点到椭圆左、右焦点的距离为４a＝２（|AF|＋|BF|）＝8，所以a＝２．又d＝错误!≥错误!，所以１≤b<２．又e＝错误!＝错误!＝错误!，所以0<e≤错误!.答案：错误!9．已知F１，F２分别为椭圆错误!＋y２＝１的左、右焦点，过F１的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，连接AF２和BF２.（１）求△ABF２的周长；（２）若AF２⊥BF２，求△ABF２的面积．解：（１）因为F１，F２分别为椭圆错误!＋y２＝１的左、右焦点，过F１的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，连接AF２和BF２.所以△ABF２的周长为|AF１|＋|AF２|＋|BF１|＋|BF２|＝４a＝４错误!.（２）设直线l的方程为x＝my—１，由错误!，得（m２＋２）y２—２my—１＝0．设A（x１，y１），B（x２，y２），则y１＋y２＝错误!，y１y２＝—错误!，因为AF２⊥BF２，所以错误!·错误!＝0，所以错误!·错误!＝（x１—１）（x２—１）＋y１y２＝（my１—２）（my２—２）＋y１y２＝（m２＋１）y１y２—２m（y１＋y２）＋４＝错误!—２m×错误!＋４＝错误!＝0．所以m２＝7．所以△ABF２的面积S＝错误!×|F１F２|×错误!＝错误!.１0．已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）的右焦点为F２（３，0），离心率为e.（１）若e＝错误!，求椭圆的方程；（２）设直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF２，BF２的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且错误!<e≤错误!，求k的取值范围．解：（１）由题意得c＝３，错误!＝错误!，所以a＝２错误!.又因为a２＝b２＋c２，所以b２＝３．所以椭圆的方程为错误!＋错误!＝１．（２）由错误!得（b２＋a２k２）x２—a２b２＝0．设A（x１，y１），B（x２，y２），所以x１＋x２＝0，x１x２＝错误!，依题意易知，OM⊥ON，四边形OMF２N为矩形，所以AF２⊥BF２.因为错误!＝（x１—３，y１），错误!＝（x２—３，y２），所以错误!·错误!＝（x１—３）（x２—３）＋y１y２＝（１＋k２）x１x２＋9＝0．即错误!＋9＝0，将其整理为k２＝错误!＝—１—错误!.因为错误!<e≤错误!，所以２错误!≤a<３错误!，１２≤a２<１8．所以k２≥错误!，即k∈错误!∪错误!.[综合题组练]１．设椭圆：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｂ．如图，设点M为AC的中点，连接OM，则OM为△ABC的中位线，于是△OFM∽△AFB，且错误!＝错误!＝错误!，即错误!＝错误!，解得e＝错误!＝错误!.故选Ｂ．２．（２0２0·福建福州一模）已知F１，F２为椭圆错误!＋y２＝１的左、右焦点，P是椭圆上异于顶点的任意一点，K点是△F１PF２内切圆的圆心，过F１作F１M⊥PK于点M，O是坐标原点，则|OM|的取值范围为（）A．（0，１）Ｂ．（0，错误!）C．（0，错误!）Ｄ．（0，２错误!）解析：选C.如图，延长PF２，F１M相交于N点，因为K点是△F１PF２内切圆的圆心，所以PK平分∠F１PF２，因为F１M⊥PK，所以|PN|＝|PF１|，M为F１N的中点，因为O为F１F２的中点，M为F１N的中点，所以|OM|＝错误!|F２N|＝错误!||PN|—|PF２||＝错误!||PF１|—|PF２||<错误!|F１F２|＝c＝错误!，所以|OM|的取值范围是（0，错误!）．故选Ｃ．３．已知F１，F２为椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点，过原点O且倾斜角为３0°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若AF１⊥AF２，S△F１AF２＝２，则椭圆C的方程为________．解析：因为点A在椭圆上，所以|AF１|＋|AF２|＝２a，对其平方，得|AF１|２＋|AF２|２＋２|AF１||AF２|＝４a２，又AF１⊥AF２，所以|AF１|２＋|AF２|２＝４c２，则２|AF１||AF２|＝４a２—４c２＝４b２，即|AF１||AF|＝２b２，所以S△AF１F２＝错误!|AF１||AF２|＝b２＝２．又△AF１F２是直角三角形，∠F１AF２＝90°，且２O为F１F２的中点，所以|OA|＝错误!|F１F２|＝c，由已知不妨设A在第一象限，则∠AOF２＝３0°，所以A错误!，则S△AF１F２＝错误!|F１F２|·错误!c＝错误!c２＝２，c２＝４，故a２＝b２＋c２＝6，所以椭圆方程为错误!＋错误!＝１．答案：错误!＋错误!＝１４．正方形ABCD的四个顶点都在椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是________．解析：设正方形的边长为２m，因为椭圆的焦点在正方形的内部，所以m>c，又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）上，所以错误!＋错误!＝１>错误!＋错误!＝e２＋错误!，整理得e４—３e２＋１>0，e２<错误!＝错误!，所以0<e<错误!.答案：错误!５．已知椭圆C：x２＋２y２＝４．（１）求椭圆C的离心率；（２）设O为原点．若点A在直线y＝２上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．解：（１）由题意，椭圆C的标准方程为错误!＋错误!＝１．所以a２＝４，b２＝２，从而c２＝a２—b２＝２．因此a＝２，c＝错误!.故椭圆C的离心率e＝错误!＝错误!.（２）设点A，B的坐标分别为（t，２），（x0，y0），其中x0≠0，因为OA⊥OB，所以错误!·错误!＝0，即tx0＋２y0＝0，解得t＝—错误!.又x错误!＋２y错误!＝４，所以|AB|２＝（x0—t）２＋（y0—２）２＝错误!错误!＋（y0—２）２＝x错误!＋y错误!＋错误!＋４＝x错误!＋错误!＋错误!＋４＝错误!＋错误!＋４（0<x错误!≤４）．因为错误!＋错误!≥４（0<x错误!≤４），当且仅当x错误!＝４时等号成立，所以|AB|２≥8．故线段AB长度的最小值为２错误!.6．（２0２0·江西八校联考）已知椭圆E：错误!＋错误!＝１（a>b>0），F１，F２为其左、右焦点，B，B２为其上、下顶点，四边形F１B１F２B２的面积为２，点P为椭圆E上任意一点，以P为圆心的圆（记１为圆P）总经过坐标原点O.（１）求椭圆E的长轴A１A２的长的最小值，并确定此时椭圆E的方程；（２）对于（１）中确定的椭圆E，若给定圆F１：（x＋１）２＋y２＝３，则圆P和圆F１的公共弦MN的长是不是定值？如果是，求|MN|的值；如果不是，请说明理由．解：（１）依题意四边形F１B１F２B２的面积为２bc，所以２bc＝２．因为|A１A２|＝２a＝２错误!≥２错误!＝２错误!，当且仅当b＝c＝１时取“＝”，此时a＝错误!，所以长轴A１A２的长的最小值为２错误!，此时椭圆E的方程为错误!＋y２＝１．（２）是定值．设点P（x0，y0），则错误!＋y错误!＝１⇒y错误!＝１—错误!.圆P的方程为（x—x0）２＋（y—y0）２＝x错误!＋y错误!，即x２＋y２—２x0x—２y0y＝0，１圆F１的方程为（x＋１）２＋y２＝３，即x２＋y２＋２x—２＝0，２１—２得公共弦MN所在直线的方程为（x0＋１）x＋y0y—１＝0，所以点F１到公共弦MN所在直线的距离d＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，则|MN|＝２错误!＝２，所以圆P和圆F１的公共弦MN的长为定值２．。
基础知识整合１．椭圆的概念在平面内到两定点F１，F２的距离的和等于常数（大于|F１F２|）的点的轨迹（或集合）叫做错误!椭圆．这两定点叫做椭圆的错误!焦点，两焦点间的距离叫做错误!焦距．集合P＝{M||MF１|＋|MF２|＝２a}，|F１F２|＝２c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：（１）若错误!a>c，则集合P表示椭圆；（２）若错误!a＝c，则集合P表示线段；（３）若错误!a<c，则集合P为空集．２．椭圆的标准方程和几何性质续表椭圆的常用性质（１）设椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0）上任意一点P（x，y），则当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处．（２）椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a为斜边，a２＝b２＋c２．（３）已知过焦点F１的弦AB，则△ABF２的周长为４a.（４）过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦之长为错误!.（５）椭圆离心率e＝错误!.１．已知椭圆错误!＋错误!＝１，长轴在y轴上，若焦距为４，则m等于（）Ａ．４Ｂ．５Ｃ．7 Ｄ．8答案D解析椭圆焦点在y轴上，∴a２＝m—２，b２＝１0—m.又c＝２，∴m—２—（１0—m）＝c２＝４．∴m＝8．２．（２0１8·广西模拟）若椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案C解析因为椭圆的短轴长等于焦距，所以b＝c，所以a２＝b２＋c２＝２c２，所以e＝错误!＝错误!，故选Ｃ．３．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（１,0），离心率等于错误!，则椭圆C的方程是（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１答案D解析依题意，设椭圆方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0），所以错误!解得a２＝9，b２＝8．故椭圆C 的方程为错误!＋错误!＝１．４．（２0１9·西安模拟）已知点P（x１，y１）是椭圆错误!＋错误!＝１上的一点，F１，F２是其左、右焦点，当∠F１PF２最大时，△PF１F２的面积是（）Ａ．错误!Ｂ．１２Ｃ．１6（２＋错误!）Ｄ．１6（２—错误!）答案B解析∵椭圆的方程为错误!＋错误!＝１，∴a＝５，b＝４，c＝错误!＝３，∴F１（—３,0），F２（３,0）．根据椭圆的性质可知当点P与短轴端点重合时，∠F１PF２最大，此时△PF１F２的面积S＝错误!×２×３×４＝１２，故选Ｂ．５．椭圆３x２＋ky２＝３的一个焦点是（0，错误!），则k＝________.答案１解析方程３x２＋ky２＝３可化为x２＋错误!＝１．a２＝错误!>１＝b２，c２＝a２—b２＝错误!—１＝２，解得k＝１．6．设椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点分别为F１，F２，P是C上的点，PF２⊥F１F ２，∠PF１F２＝３0°，则C的离心率为________．答案错误!解析设|PF２|＝x，∵PF２⊥F１F２，∠PF１F２＝３0°，∴|PF１|＝２x，|F１F２|＝错误!x.又|PF１|＋|PF ２|＝２a，|F１F２|＝２c.∴２a＝３x,２c＝错误!x，∴C的离心率为e＝错误!＝错误!.核心考向突破考向一椭圆定义的应用例１（１）（２0１8·湖北八校联考）设F１，F２为椭圆错误!＋错误!＝１的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF１的中点在y轴上，则错误!的值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析由题意知a＝３，b＝错误!，c＝２．设线段PF１的中点为M，则有OM∥PF２，∵OM⊥F１F２，∴PF２⊥F１F２，∴|PF２|＝错误!＝错误!.又∵|PF１|＋|PF２|＝２a＝6，∴|PF１|＝２a—|PF２|＝错误!，∴错误!＝错误!×错误!＝错误!.故选Ｂ．（２）设F１，F２分别是椭圆E：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点，过点F１的直线交椭圆E 于A，B两点，|AF１|＝３|F１B|，且|AB|＝４，△ABF２的周长为１6．则|AF２|＝________.答案５解析由|AF１|＝３|F１B|，|AB|＝４，得|AF１|＝３．∵△ABF２的周长为１6，∴４a＝１6，∴a＝４．则|AF１|＋|AF２|＝２a＝8，∴|AF２|＝8—|AF１|＝8—３＝５．触类旁通椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F１，F２组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF１|·|PF２|，通过整体代入可求其面积等.即时训练１．（２0１9·甘肃联考）设A，B是椭圆C：错误!＋错误!＝１的两个焦点，点P是椭圆C与圆M：x２＋y２＝１0的一个交点，则||PA|—|PB||＝（）Ａ．２错误!Ｂ．４错误!Ｃ．４错误!Ｄ．6错误!答案C解析由题意知，A，B恰好在圆M上且AB为圆M的直径，∴|PA|＋|PB|＝２a＝４错误!，|PA|２＋|PB|２＝（２c）２＝４0，∴（|PA|＋|PB|）２＝|PA|２＋|PB|２＋２|PA||PB|，解得２|PA||PB|＝8，∴（|PA|—|PB|）２＝|PA|２＋|PB|２—２|PA||PB|＝３２，则||PA|—|PB||＝４错误!，故选Ｃ．２．已知椭圆C：错误!＋错误!＝１，点M与椭圆C的焦点不重合．若M关于椭圆C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在椭圆C上，则|AN|＋|BN|＝________.解析取MN的中点为G，点G在椭圆C上．设点M关于椭圆C的焦点F１的对称点为A，点M关于椭圆C的焦点F２的对称点为B，则有|GF１|＝错误!|AN|，|GF２|＝错误!|BN|，所以|AN|＋|BN|＝２（|GF １|＋|GF２|）＝４a＝１２．考向二椭圆的标准方程例２（１）（２0１9·杭州模拟）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点为F１，F２，离心率为错误!，过F２的直线l交C于A，B两点．若△AF１B的周长为４错误!，则C的方程为（）Ａ．错误!＋错误!＝１Ｂ．错误!＋y２＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１答案A解析由题意及椭圆的定义知４a＝４错误!，则a＝错误!，又错误!＝错误!＝错误!，∴c＝１，∴b２＝２，∴C的方程为错误!＋错误!＝１．选Ａ．（２）已知A错误!，B是圆：错误!２＋y２＝４（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为________．答案x２＋错误!y２＝１解析如图，由题意知|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝２．所以|PA|＋|PF|＝２且|PA|＋|PF|>|AF|，即动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，a＝１，c＝错误!，b２＝错误!.所以动点P的轨迹方程为x２＋错误!y２＝１．触类旁通求椭圆方程的常用方法（１）定义法，定义法的要点是根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．２待定系数法，待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx２＋ny２＝１m>0，n>0，m≠n，再用待定系数法求出m，n的值即可.即时训练３．（２0１9·青岛模拟）已知F１（—１,0），F２（１,0）是椭圆C的两个焦点，过F２且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝３，则C的方程为（）Ａ．错误!＋y２＝１Ｂ．错误!＋错误!＝１Ｃ．错误!＋错误!＝１Ｄ．错误!＋错误!＝１答案C解析如图，|AF２|＝错误!|AB|＝错误!，|F１F２|＝２，由椭圆定义，得|AF１|＝２a—错误!. １在Rt△AF１F２中，|AF１|２＝|AF２|２＋|F１F２|２＝错误!２＋２２．２由１２得a＝２，∴b２＝a２—c２＝３．∴椭圆C的方程为错误!＋错误!＝１，应选Ｃ．４．设F１，F２为椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）的左、右焦点，经过F１的直线交椭圆C于A，B两点，若△F２AB是面积为４错误!的等边三角形，则椭圆C的方程为________．答案错误!＋错误!＝１解析l经过F１垂直于x轴，得yA＝错误!，在Rt△AF１F２中，∠AF２F１＝３0°，得错误!＝错误!×２c，错误!×２c×错误!＝４错误!，a２＝b２＋c２，解得a２＝9，b２＝6，c２＝３．所求的椭圆方程为错误!＋错误!＝１．考向三椭圆的几何性质例３（１）（２0１8·全国卷Ⅰ）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１的一个焦点为（２,0），则C的离心率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案C解析根据题意，可知c＝２，因为b２＝４，所以a２＝b２＋c２＝8，即a＝２错误!，所以椭圆C的离心率为e＝错误!＝错误!.故选Ｃ．率e的取值范围是________．答案错误!解析∵c２—b２＋ac<0，∴c２—（a２—c２）＋ac<0，即２c２—a２＋ac<0，∴２错误!—１＋错误! <0，即２e２＋e—１<0，解得—１<e<错误!.又∵0<e<１，∴0<e<错误!.∴椭圆的离心率e的取值范围是错误!.触类旁通椭圆离心率的求解方法求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．即时训练５．（２0１8·全国卷Ⅱ）已知F１，F２是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF１⊥PF ２，且∠PF２F１＝60°，则C的离心率为（）Ａ．１—错误!Ｂ．２—错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!—１答案D解析在△F１PF２中，∠F１PF２＝90°，∠PF２F１＝60°，设|PF２|＝m，则２c＝|F１F２|＝２m，|PF １|＝错误!m，又由椭圆定义可知２a＝|PF１|＋|PF２|＝（错误!＋１）m，则离心率e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!—１．故选Ｄ．6．（２0１9·江苏模拟）已知椭圆错误!＋错误!＝１（a>b>0），A为左顶点，B为上顶点，F为右焦点且AB⊥BF，则这个椭圆的离心率等于________．答案错误!解析由题意得A（—a,0），B（0，b），F（c,0），∵AB⊥BF，∴错误!·错误!＝0，∴（a，b）·（c，—b）＝ac—b２＝ac—a２＋c２＝0，∴e—１＋e２＝0，解得e＝错误!.考向四直线与椭圆的位置关系角度错误!弦的中点问题例４（２0１8·全国卷Ⅲ）已知斜率为k的直线l与椭圆C：错误!＋错误!＝１交于A，B两点．线段AB 的中点为M（１，m）（m>0）．（１）证明：k<—错误!；（２）设F为C的右焦点，P为C上一点，且F错误!＋F错误!＋F错误!＝0．证明：|错误!|，|错误!|，|错误! |成等差数列，并求该数列的公差．解（１）证明：设A（x１，y１），B（x２，y２），则错误!＋错误!＝１，错误!＋错误!＝１．两式相减，并由错误!＝k得错误!＋错误!·k＝0．由题设知错误!＝１，错误!＝m，于是k＝—错误!.１由题设得m< 错误!＝错误!，且m>0，即0<m<错误!，故k<—错误!.（２）由题意得F（１,0）．设P（x３，y３），则由（１）及题设得（x３—１，y３）＋（x１—１，y１）＋（x２—１，y２）＝（0,0），x３＝３—（x１＋x２）＝１，y３＝—（y１＋y２）＝—２m<0．又点P在C上，所以m＝错误!，从而P错误!，|F错误!|＝错误!.于是|F错误!|＝错误!＝错误!＝２—错误!.同理|F错误!|＝２—错误!.所以|F错误!|＋|F错误!|＝４—错误!（x１＋x２）＝３．故２|F错误!|＝|F错误!|＋|F错误!|，即|错误!|，|错误!|，|错误!|成等差数列．设该数列的公差为d，则２|d|＝||错误!|—|错误!||＝错误!|x１—x２|＝错误!错误!.２将m＝错误!代入１得k＝—１．所以l的方程为y＝—x＋错误!，代入C的方程，并整理得7x２—１４x＋错误!＝0．故x１＋x２＝２，x１x２＝错误!，代入２解得|d|＝错误!.所以该数列的公差为错误!或—错误!.角度错误!弦长的问题例５（２0１9·陕西咸阳模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）过点P（２,１），且离心率e＝错误!.（１）求椭圆C的方程；（２）直线l的斜率为错误!，直线l与椭圆C交于A，B两点．求△PAB面积的最大值．解（１）∵e２＝错误!＝错误!＝错误!，∴a２＝４b２．又椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>0）过点P（２,１），∴错误!＋错误!＝１，∴a２＝8，b２＝２．故所求椭圆方程为错误!＋错误!＝１．（２）设l的方程为y＝错误!x＋m，点A（x１，y１），B（x２，y２），联立错误!整理，得x２＋２mx ＋２m２—４＝0．∵Δ＝４m２—8m２＋１6>0，解得|m|<２．∴x１＋x２＝—２m，x１x２＝２m２—４．则|AB|＝错误!× 错误!＝错误!.点P到直线l的距离d＝错误!＝错误!.∴S△PAB＝错误!d|AB|＝错误!×错误!×错误!＝错误!≤错误!＝２．当且仅当m２＝２，即m＝±错误!时取得最大值．触类旁通１解决直线与椭圆的位置关系的问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系，解决相关问题.（３）直线与椭圆相交时常见问题的处理方法涉及问题处理方法弦长根与系数的关系、弦长公式（直线与椭圆有两交点）中点弦或弦点差法（结果要检验Δ>0）的中点即时训练7．（２0１9·广西联考）已知椭圆C：错误!＋错误!＝１（a>b>１）的焦距为２，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为错误!，过椭圆C的右焦点作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为P.（１）求椭圆C的标准方程；（２）过点P垂直于AB的直线与x轴交于点D错误!，求k的值．解（１）由题易得，过椭圆短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为错误!.设椭圆的右焦点的坐标为（c,0），依题意知错误!又因为b>１，解得a＝２，b＝错误!，c＝１，所以椭圆C的标准方程为错误!＋错误!＝１．（２）由题意，过椭圆C的右焦点的直线l的方程为y＝k（x—１），将其代入错误!＋错误!＝１，得（３＋４k２）x２—8k２x＋４k２—１２＝0．设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１＋x２＝错误!，x１x２＝错误!，所以y１＋y２＝k（x１＋x２）—２k＝错误!.因为P为线段AB的中点，所以点P的坐标为错误!.又因为直线PD的斜率为—错误!，所以直线PD的方程为y—错误!＝—错误!错误!.令y＝0，得x＝错误!，所以点D的坐标为错误!，则错误!＝错误!，解得k＝±１．8．（２0１9·云南昆明模拟）已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆E过点C（0,１），离心率为错误!.（１）求椭圆E的方程；（２）直线l过椭圆E的左焦点F，且与椭圆E交于A，B两点，若△OAB的面积为错误!，求直线l的方程．解（１）设椭圆E的方程为错误!＋错误!＝１（a>b>0），由已知得错误!解得a２＝２，b２＝１，所以椭圆E的方程为错误!＋y２＝１．（２）由已知，直线l过左焦点F（—１,0）．当直线l与x轴垂直时，A错误!，B错误!，此时|AB|＝错误!，则S△OAB＝错误!×错误!×１＝错误!，不满足条件．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k（x＋１），A（x１，y１），B（x２，y２）．由错误!得（１＋２k２）x２＋４k２x＋２k２—２＝0，所以x１＋x２＝—错误!，x１x２＝错误!.因为S△OAB＝错误!|OF|·|y１—y２|＝错误!|y１—y２|，由已知S△OAB＝错误!得|y１—y２|＝错误!.因为y１＋y２＝k（x１＋１）＋k（x２＋１）＝k（x１＋x２）＋２k＝k· 错误!＋２k＝错误!，y１y２＝k（x１＋１）·k（x２＋１）＝k２（x１x２＋x１＋x２＋１）＝错误!，所以|y１—y２|＝错误!＝错误!＝错误!，所以k４＋k２—２＝0，解得k＝±１，所以直线l的方程为x—y＋１＝0或x＋y＋１＝0．１．已知点F１，F２是椭圆x２＋２y２＝２的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|错误!＋错误!|的最小值是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．２错误!答案C解析解法一：设P（x0，y0），则错误!＝（—１—x0，—y0），错误!＝（１—x0，—y0），所以错误!＋错误!＝（—２x0，—２y0），所以|错误!＋错误!|＝错误!＝２错误!＝２错误!.因为点P在椭圆上，所以0≤y 错误!≤１，所以当y错误!＝１时，|错误!＋错误!|取最小值２．解法二：由错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!＋错误!＝２错误!求解．故选Ｃ．２．已知F是椭圆错误!＋错误!＝１的左焦点，P是此椭圆上的动点，A（１,１）是一定点，求|PA|＋|PF|的最大值和最小值．解由题意知a＝３，b＝错误!，c＝２，F（—２,0）．设椭圆右焦点为F′，则|PF|＋|PF′|＝6，所以|PA|＋|PF|＝|PA|—|PF′|＋6．当P，A，F′三点共线时，|PA|—|PF′|取到最大值|AF′|＝错误!，或者最小值—|AF′|＝—错误!.所以|PA|＋|PF|的最大值为6＋错误!，最小值为6—错误!.３．在椭圆错误!＋错误!＝１上求一点，使它到直线２x—３y＋１５＝0的距离最短．解设所求点坐标为A（３错误!cosθ，２错误!sinθ），θ∈R，由点到直线的距离公式得＝错误!，当θ＝２kπ＋错误!，k∈Z时，d取到最小值错误!，此时A点坐标为（—３,２）．答题启示椭圆中距离的最值问题一般有３种解法：（１）利用椭圆的定义结合平面几何知识求解（适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e）；（２）根据椭圆标准方程的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题（适用于定点在椭圆的对称轴上）；（３）用椭圆的参数方程设动点的坐标，转化为三角问题求解．对点训练１．设P，Q分别为圆x２＋（y—6）２＝２和椭圆错误!＋y２＝１上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）Ａ．５错误!Ｂ．错误!＋错误!Ｃ．7＋错误!Ｄ．6错误!答案D解析解法一：设椭圆上任意一点为Q（x，y），则圆心（0，6）到点Q的距离d＝错误!＝错误!＝错误!≤５错误!，P，Q两点间的最大距离d′＝dmax＋错误!＝6错误!.解法二：易知圆心坐标为M（0,6），|PQ|的最大值为|MQ|max＋错误!，设Q（错误!cosθ，sinθ），则|MQ|＝错误!＝错误!当sinθ＝—错误!时，|MQ|max＝５错误!，所以|PQ|max＝５错误!＋错误!＝6错误!.故选Ｄ．２．如图，焦点在x轴上的椭圆错误!＋错误!＝１的离心率e＝错误!，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则错误!·错误!的最大值为________．答案４解析设P点坐标为（x0，y0）．由题意知a＝２，因为e＝错误!＝错误!，所以c＝１，所以b２＝a２—c２＝３．所以椭圆方程为错误!＋错误!＝１．所以—２≤x0≤２，—错误!≤y0≤错误!.因为F（—１,0），A（２,0），错误!＝（—１—x0，—y0），错误!＝（２—x0，—y0），所以错误!·错误!＝x错误!—x0—２＋y错误!＝错误!x错误!—x0＋１＝错误!（x0—２）２．即当x0＝—２时，错误!·错误!取得最大值４．。
