2.3.1 平面向量基本定理
【学习目标】
（1）了解平面向量基本定理；理解向量夹角的定义；
（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；
（3）培养学生观察、抽象概括、合作交流的能力．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
【学习重点】平面向量基本定理.
【学习难点】平面向量基本定理的理解与应用.
教学过程
一、学情分析，课前导入
前面我们学习过了向量的线性运算及共线向量定理。本节我们继续研究向量的其它性质，在学习之前我们来复习一下前面的内容，
二、提出问题，引入新课
师：如果向量a与非零向量b共线，那么a与b满足什么样的等式？
生：a＝λb.
师：这就是我们上节课学习的共线向量定理（放幻灯片2）
结论：如果向量a与非零向量b共线，那么有且只有一个实数λ，使a＝λb.
(2)引导探究
师：如果a与b不共线，则上述结论还成立吗？
(学生讨论) 结论：不成立．
师：也就是说一个向量不能表示另一个与它不共线的向量，两个向量能不能表示出与它们不共线的向量呢？我们来看:（幻灯片3）
师：我平时没事的时候喜欢看一些军事新闻，元旦时我看到这一新闻：新华社(12月31日电），来自中国航天科工集团第四研究院的消息，我们快舟-11固体运载火箭将于2018年上半年首飞，可一次性实现星座的快速构建，大幅提升发射效率和降低运载成本，怎么样，这技术，利害了，我的国！你们看下面的这个图：（幻灯片4）
在物理中速度可以合成，也可以分解。合成即向量的加法，分解也可以推广到向量中来。
师：我们先分析一下向量加法过程
三、任务下达，课堂探究
探究一： 设1e 、2e 是同一平面内的两个不共线的向量，你能否用平行四边形法则作出：21e e +、212e e +、212e e +（用a 表示）（找学生回答方法，师展示作图过程） 探究二：设e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量，a 是这一平面内的任一向量，同学们看能不能把a 用e 1、e 2方向的向量合成呢?
图1 图2
发给学生作业：并要求学生上传展示 (学生活动)根据前面所学的向量平行四边形法则，两向量共线定理得：
方法：平移(已知向量、未知向量)——构造((共起点)平行四边形)
OC →＝OM →＋ON →＝λ1OA →＋λ2OB →，
即OC →＝λ1e 1＋λ2e 2.
其中实数λ1，λ2都是惟一存在的．
师：展示作图过程，并讲解定理形成过程（展示幻灯片6，7）
设计意图：重在探究定理得出的三点，一是为何要用两个不共线的向量e 1，e 2来表示，二是怎样表示，三是表示的惟一性．
探究三 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么是否对于这一平面内的任
意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使得
a =1λ1e +2λ2e 成立呢？
零向量能不能表示呢？展示幻灯片8
师：这个利害了，我们讲一个向量只能表示与它共线的向量，与它不共线的向量就不行了，现在我们要表示一个平面中任意一个向量只需要这个平面中两个不共线的向量就可以了，这就是平面向量基本定理：展示幻灯片9
四、高效互动，展现分享
平面向量基本定理：(学生描述)
如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a 有且只有一对实数λ1，λ2，使得
a ＝λ1e 1＋λ2e 2.（板书：定理，关键词，注意：1.2.3）
师：定理中应关注哪些关键词？这些关键词如何理解？
生：任意、不共线、有且只有．
师：我们把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
基底是否惟一？
五、随堂批注，精讲点评
对于同一向量，可以找到无数组基底来表示．在处理问题时经常选取最合适的一组基底． 共线能不能作为基底呢？师;共线能不能作为基底呢？展示幻灯片10
师：注意：(板书)基底不惟一，关键是要不共线．
展示幻灯片11
探究五 若a =0，1λ、2λ等于什么？
若1λ1e +2λ2e =31e -42e ，1λ、2λ等于什么？
师：有没有其它一组实数也满足这个等式呢？为什么？
对，有且只有
师： 不共线的向量有不同的方向，它们的位置可以用夹角来表示，因为有方向，我们可以让两向量的起点重合
探究六 向量的夹角 (板书) 规定：已知两个非零向量a 、b ，作a OA =，b OB =，
则θ=∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角。
这个书上有:
师：（打开课本，在课本中读出内容，同学们认为关键点在哪？
对，起点重合。展示幻灯片12
讲完定理我们看两组题目：展示幻灯片13，把题目发给学生，让学生做题，分析结果。
师：同学们对定理掌握地还不错，我们再来看两个例题这也是书上的例题，同学们看怎么作图。师板书。（展示幻灯片14）
六、合作探究，发散思维
例1：如图，已知向量e 1、e 2，求作向量－2.5e 1＋3e 2.
设计意图：
把所求
的量转化到已知量上，从而达到解题的目的．还有其它作法吗？
我们再看一组例题（展示幻灯片15）
例2：设1e 、2e 是平面内的两个不共线的向量，且a =1e -22e ，
b =1e +32e 则：
（1）证明：a ，b 可以作为平面内向量的一组基底； （师：板书 ）
（2）若41e -32e =λa +μb ，求λ和μ的值。(学生板书)
设计意图：通过构造平行四边形或三角形，利用平行四边形法则和三角形法则，把所求的量转化到已知量上，从而达到解题的目的．
七、回顾重点，总结反思：
a ．平面向量基本定理的内容．
b ．对基本定理的理解：实数对λ1，λ2的存在性和惟一性，基底的不惟一性．
c ．基本定理的作用是什么？
八、作业布置 ，巩固提升:
2．向量＝４+２，＝ｋ＋，当ｋ为何值时，//，其中、是同一平
面内两个不共线的向量。
a 1e 2e
b 1e 2e a b 1e 2e
