第一章 晶体结构

第一章晶体结构第一章晶体结构本章首先从晶体结构的周期性出发，来阐述完整晶体中离子、原子或分子的排列规律。

然后，简略的阐述一下晶体的对称性与晶面指数的特征，介绍一下倒格子的概念。

§1.1晶体的周期性一、晶体结构的周期性1．周期性的定义从X射线研究的结果，我们知道晶体是由离子、原子或分子（统称为粒子）有规律地排列而成的。

晶体中微粒的排列按照一定的方式不断的做周期性重复，这样的性质成为晶体结构的周期性。

周期性：晶体中微粒的排列按照一定的方式不断的做周期性重复，这样的性质成为晶体结构的周期性。

晶体结构的周期性可由X-Ray衍射直接证实，这种性质是晶体最基本或最本质的特征。

（非晶态固体不具备结构的周期性。

非晶态的定义等略），在其后的学习中可发现，这种基本23a a 2 a 图1.1 晶格性质对固体物理的学习具有重要的意义或是后续学习的重要基础。

2．晶格 格点和点阵晶格：晶体中微粒重心，做周期性的排列所组成的骨架，称为晶格。

微粒重心所处的位置称为晶格的格点（或结点）。

格点的总体称为点阵。

整个晶体的结构，可看成是由格点沿空间三个不同方向，各自按一定距离周期性平移而构成。

每个平移的距离称为周期。

在某一特定方向上有一定周期，在不同方向上周期不一定相同。

晶体通常被认为具有周期性和对称性，其中周期性最为本质。

对称性其实质是来源于周期性。

故周期性是最为基本的对称性，即“平移对称性”（当然，有更为复杂或多样的对称性，但周期性或平移对称性是共同的）。

43．平移矢量和晶胞据上所述，基本晶体的周期性，我们可以在晶体中选取一定的单元，只要将其不断地重复平移，其每次的位移为a 1，a 2，a 3，就可以得到整个晶格。

则→1a ，→2a ，→3a 就代表重复单元的三个棱边之长及其取向的矢量，称为平移矢量，这种重复单元称为晶胞，其基本特性为：⑴晶胞平行堆积在一起，可以充满整个晶体⑵任何两个晶胞的对应点上，晶体的物理性质相同，即：()⎪⎭⎫⎝⎛+++=→→→332211a n a n a n r Q r Q其中→r 为晶胞中任一点的位置矢量。

Q 代表晶体中某一种物理性质，n 1、n 2、n 3为整数。

二、晶胞的选取可采用不同的选取方法选取晶胞和平移矢量，其结果都可以得到完全一样的晶格。

不同选取方法着眼点有所不同。

固体物理学：①．选取体积最小的晶胞，称为元胞②．格点只在顶角上，内部和面aaa 图1.2 固体上都不包含其他格点，整个元胞只包含一个格点。

因为顶角上的格点为八个元胞所共有，所以他对每一个元胞的贡献只有八分之一，而每个元包含有八个顶角，故每个元胞平均只含有一个格点。

③．元胞三边的三个平移矢量→1a，→2a，→3a称为基本平移矢量，或称基矢。

★固体物理学突出反映了晶体结构的周期性。

结晶学：①．通常选取体积较大的晶胞（相对而言，是重复单元的n倍）②．格点不仅在顶角上，同时可以在图1.3 结晶学晶胞56体心或面心上。

③．晶胞的棱也称为晶轴，其边长称为晶格常数、点阵常数或晶胞常数。

★ 结晶学不仅反映周期性，同时反映晶体的对称性特征（或按对称性特点选取）。

固体物理学元胞和结晶学晶胞可以是相同的，例简单立方晶格。

但众多情况下固体物理学元胞和结晶学晶胞是不相同的。

如同属立方晶系的面心立方晶胞和体心立方晶胞。

面心立方晶胞：顶角8个格点→8×81=1个原子 面心6个原子→6×21=3个原子 →平均包含4个原子 图 1.4 简aa a→→→→→→===ka a j a a ia a 321→3a →2a →1a →j→i→k图 1.5 面7元胞：)(2)(2)(2321→→→→→→→→→+=+=+=j i a a i k a a k j a a其体积：332141)(a a a a V =⨯•=→→→，相当于面心立方晶胞体积的1/4，即元胞中只包含1个原子。

体心立方晶胞：顶角8个格点→8×81=1个原子 体心1个原子→1×11=1个原子 →平均包含2个原子元胞：)(2)(2)(2321→→→→→→→→→→→→-+=+-=++-=k j i a a k j i a a k j i a a 332121)(a a a a V =⨯•=→→→，元胞中只包含1个原子。

三、布喇菲格子和复式格子布喇菲格子：晶体由完全相同的原子组成，原子与晶格的格点相重合，而且每个格点周围的情况都一样。

（Bravais 格子）通常可以有许多晶格类型，但布喇菲格子只有→3a→2a →1a 图1.6 体心8图 1.8 氯化C14种。

复式格子：晶体由两种或两种以上的原子构成，一种相同的布喇菲格子，这些布喇菲格子相互错开一段距离，相互套购而形成的格子称为复式格子。

复式格子是由若干相同的布喇菲格子相互位移套购而成的。

如典型的复式格子： 1．氯化铯结构Cl - → 简单立方Bravais 格子 Cs + →简单立方Bravais 格子两套简单立方Bravais 格子沿立方空间对角线方向1/2位置长度套购而成（两套简单立方Bravais 格子相同）按固体物理的概念，复式格子由若干相同的布喇菲格子经位移套购而成，所谓结构指面心、体心、简单立方等结构类型，取原胞（固9体物理原胞）均相对布氏格子而言，故称CsCl 结构为“简立方结构”而不能说是“体心立方结构”。

2．氯化钠结构Na + → 面心立方布氏格子 Cl -→面心立方布氏格子 两套格子具有相同的基矢，但有一个相对位移。

故称NaCl 结构为面心立方，而非简立方。

3．钙钛矿结构（BaTiO 3、SrTiO 3等）Ba 、Ti 、O Ⅰ、O Ⅱ、O Ⅲ各自组成5个简单立方布氏格子套购而成。

4．金刚石结构“由同种原子组成”，“每个原子周围情况完全一样”，两个条件需同时满足，否则即使由同种原子组成仍属复式格子，如金刚石结构。

图 1.9 氯化N图1.10 钙OBa OO（参考有关书籍，这里不再详述）10§1．2晶面与晶面指数空间点阵可以从各个方向被划分成许多平行且等距的平面点阵，这些平面点阵所处的平面称为晶面，晶面经划分确定后，所有格点都应全部包括在晶面组中而无遗漏。

通常采用密勒指数（Miller ）来标记晶面。

选择一组平移矢量→a 、→b 、→c 为坐标轴，设一晶面分别同a 、b 、c轴交于M 1、M 2、M 3三点，其截距分别为：cc l OM b b k OM a a h OM ======'3'2'123 （以a,b,c 为单位）则可用h ’、k ’、l ’的倒数的互质整数比（hkl ）来表示晶面的指数称Miller 指数（某一晶面分别在三个晶轴上的截距的倒数的互质整数比称为此晶面的Miller 指数）。

（用倒数是为了避免晶面同某晶轴平行时，指数中出现∞）。

例：h ：k ：l=1/h ’：1/k ’：1/l ’ 即：1/3：1/2：1=2：3：6则M 1M 2M 3晶面的Miller 指数为（236）。

凡同它平行的晶面都用该指数表示，若晶面与ba cM MM123轴截距为负值时，则晶面指数为负，表示成 （kl h -）、（l k h --）、（--l k h 表面的Miller 指数分别为：（100）、（010）、（001）、（-100）、（0-10）、（00-1）通常Miller 指数简单的晶面如（100）、（110）等，其面上的原子聚集密度较大，相应晶面间距较大，（这主要是由于每个原子所占据的体积在一定结构中是一定的，则在晶面间距较大的晶面上，原子面密度必然大，反之亦然）。

通常用配位数来表示晶体中微观粒子排列的紧密程度。

配位数：可以用一个微粒周围最近邻的微粒数来表示晶体中粒子排列的紧密程度，称为配位数。

ijk (1例：体心立方，最近邻a 23，配位数为8；面心立方，最近邻a 22，配位数为12（如右图）。

这种原子聚集密度大、间距大的晶面，晶面间结合力较弱，因而较易分裂开，这种晶面称为解理面。

同时晶面上原子聚集密度大时，对X-Ray 散射强烈，因而Miller 指数简单的晶面族，在X-Ray 衍射图谱中通常表现为较强峰和最强峰。

晶面族指各轴间相互平行的晶面，或者晶面间距和晶面上原子分布完全相同的晶面。

{1．相互平行；2．空间方位不同，但空间位向性质相同（即晶面间距和原子分布相同）}。

例：立方晶体中晶胞的六个面都具有相同的位向性质，故同属一个晶面族。

{}()()()⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=---100010001001010100100由于晶面的对称性，这六个晶面是完全等效的，晶面间距、原子分布、晶面上的性质等完全相同。

（在X-Ray 衍射图谱中用是否存在分峰来划分立方和四方相的，立方相没有分峰，而四方相肯定有分峰。

因为四方相（100）和（001）的晶面间距是不同的，不属于同一晶面族，所以衍射谱的位置不同。

） 例：立方晶体中：{}()⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=------------111111111111111111111111111在立方晶体中，通常用[hkl]表示垂直于晶面（hkl ）的方向的指数，称晶向指数。

同一晶面族中各等效面的晶向（指数）称为等效晶向（指数）。

§1.3倒格子倒格子概念的引入对于解决有关固体中的问题，如晶体衍射、电子在晶体中的运动状态、晶格的振动状态等都有重要意义。

一、倒格子的基本概念1．倒格子：设一晶格的基矢为→1a ，→2a ，→3a ，若另一格子的基矢为→1b ，→2b ，→3b ，与→1a ，→2a ，→3a 存在以下关系：⎩⎨⎧≠===•ji j i a b ij j i 022ππδ (i,j=1,2,3)则称以→1b ，→2b ，→3b 为基矢的格子是以→1a ，→2a ，→3a 为基矢的格子的倒格子。

（相对的可称以→1a ，→2a ，→3a 为基矢的格子是以→1b ，→2b ，→3b 为基矢的格子的正格子）。

正格子基矢与倒格子基矢的关系还有另外一种表示方法：Ω⎪⎭⎫⎝⎛⨯•=→→→3212a a b π，Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯•=→→→1322a a b π，Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯•=→→→2132a a b π)(321→→→⨯•=Ωa a a 为正格子原胞的体积，故通过正格子可求出其倒格子，反之亦然。

另外，→1b ，→2b ，→3b 分别垂直于（→2a ，→3a ）、（→3a ，→1a ）、（→1a ，→3a ）平面。

2．正格子和倒格子之间的关系式可采用付里叶变换证明。

设晶体任一r 处的物理量为)(→r Q ，根据晶体的周期性，则有：)()(→→→=+r Q R r Q L （→r 是位置矢量） a其中，→→→→++=332211a l a l a l RL为晶体中的平移矢量（正格矢），而→1a ，→2a ，→3a 为其正格子基矢。