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§ 1.5 正态分布课时安排 2课时 从容说课正态分布是很抽象的概念,如何使学生从抽象转化到具体、直观中的问题里来,是我们教学的一个重点和难点.要借助具体实例及多媒体课件演示,有条件的让学生也上机进行实习,通过实验了解一些概念的形成过程.具体的方法是：利用直方图来引进正态曲线与正态分布.具体的步骤如下：①先作出二项分布B (n ,0.5)的直方图(n =10).对n 进行变化;②如果用一条平滑的曲线把每个长方形的中点联结起来,就能得到一条钟形曲线(演示图形的形成过程),称为正态曲线;③给出其函数解析式为σμπσ2)(21)(--=x ex f x ∈R,其中μ=np ,σ=npq ,e≈2.71828.对于正态曲线,如果规定,试验的观察值x 落在区间(a ,b )内的概率P (a ＜x ＜b )就是由这条曲线、x 轴、直线x =a 及x =b 所围成的图形的面积,那么称这种概率分布为正态分布.一个平均数为μ,标准差为b 的正态分布可以用公式σμ-=x z 将它变换成平均数为0,标准差为1的正态分布.平均数为0,标准差为1的正态分布称为标准正态分布(利用投影或多媒体,将其图象描绘出来),公式为22121)(z e z -=Φπ,其中R x z ∈-=σμ.一般的正态分布问题,能转化成标准正态分布问题来处理,即将正态分布中观察值x 的概率P (a ＜x ＜b )表示成标准正态分布中的P (z 1≤z≤z 2),其中σμ-=a z 1,σμ-=b z 2.在教学中应多用多媒体进行教学,增强动态感觉.第九课时课 题§ 1.5.1 正态分布(一) 教学目标一、教学知识点1.深刻理解并掌握正态分布和正态曲线的概念、意义及性质.2.理解和掌握标准正态总体、标准正态曲线的概念、意义及性质. 二、能力训练要求1.能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律.2.会画有关正态分布的正态曲线和标准正态曲线.3.会用函数的概念、性质解决有关正态分布的问题. 三、德育渗透目标1.培养学生数形结合、函数与方程、分类讨论、等价转化等数学思想方法.2.培养学生辩证唯物主义的观点(运动观、静止观).3.培养学生的动手操作能力和概括归纳能力,让学生真正地学会学习,也就是让学生主动建构式地学习,真正掌握学习方法.教学重点正态分布的意义、正态分布的主要性质是本节课的教学重点.通过具体实例,结合研究函数的方法来研究正态分布的意义和性质.正态分布之所以成为概率统计中最重要的一种分布的原因有两方面：一方面,正态分布是自然界最常见的一种分布,若影响某一数量指标的随机因素很多,而每个因素所起的作用都不太大,则这个指标服从正态分布；另一方面,正态分布具有许多良好的性质,许多分布可以用正态分布来近似描述,另外一些分布又可以通过正态分布来推导.教学难点正态分布的意义及性质、标准正态总体、标准正态曲线的概念教学是难点,正态分布的性质的抽象与概括是难点,要利用函数的观点、函数与方程的思想方法研究正态曲线的五条性质.教学方法建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方法.在学生已经掌握总体密度曲线、累积分布曲线的基础上,让学生通过函数观点主动建构出正态分布、正态曲线、标准正态曲线.利用函数的性质(定义域、值域、对称轴、奇偶性、单调性等等).教具准备实物投影仪(或幻灯机、幻灯片).幻灯片记作§ 1.5.1 A例1.设ξ~N(0,1)借助于标准正态分布的函数表计算：(1)P(ξ>1.24);(2)P(ξ<-1.24);(3)P(|ξ|<1).幻灯片记作§ 1.5.1 B例2.某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线,可是,第一条路线穿过市区,路线较短,但交通拥挤,所需时间(单位：mi n)服从正态分布N(50,102)；第二条路线沿环城公路走,路程较长,但交通阻塞较少,所需时间服从正态分布N(60,42).(1)若只有70 mi n可用,问应走哪条路线？(2)若只有65 mi n可用,又应走哪条路线？幻灯片记作§ 1.5.1 C例3.某市210名高中学生参加全国高中数学联赛预赛,随机调阅了60名学生的答卷,成绩列下表：成绩1分2分3分4分5分人数分布0 0 0 6 15成绩6分7分8分9分10分人数分布21 12 3 3 0(1)(2)若总体服从正态分布,求正态曲线的近似方程;(3)若规定,预赛成绩在7分或7分以上的学生参加复赛,试估计有多少个学生可以进入复赛?教学过程Ⅰ.课题导入在上节课,我们作出了100个产品尺寸的频率分布直方图,并指出了当样本容量无限增大时,这个频率分布直方图无限接近于如图1－11所示的一条总体密度曲线.图1－11产品尺寸是一类典型的总体,对于成批生产的产品,如果生产条件正常并稳定,即工艺、设备、技术、操作、原料、环境等条件都相对稳定,而且不存在生产系统误差的明显因素,那么,产品尺寸的总体密度曲线就可以用一个函数y=f (x )图象来拟合.这个函数的图象叫做正态曲线.这节课我们将来学习正态分布(一).(板书课题)Ⅱ．讲授新课 ［师］总体密度曲线可以用一个函数y=f (x )的图象来拟合,我们选用什么样的函数呢？换句话讲,由这个曲线,我们可以想到哪类函数图象与它相近似？［生甲］可以用二次函数y=a (x -m)2+n (a <0)的图象来拟合. ［师］这个二次函数定义域和值域如何确定呢？ ［生甲］定义域为{x |x >0},值域为{y|y>0}.［师］你规定的定义域和值域是否符合函数组成的三要素呢？［生乙］他的这种规定是无道理的,也是不符合构成函数的三要素的.我认为可以用二次函数与指数函数复合以后的函数图象来拟合,即f (x )=a p (x -m)2+n ,这样就符合题设的条件.由图形和实际可以知道,函数的值域是正实数组成的.函数图象也是一对称曲线,关于直线x =x 0对称,所以联想到二次函数y=p (x -m)2+q 和指数函数y=a x 进行复合以后再拟合.［师］太好了！太好了！(这时教室里报以热烈的掌声和赞叹声,同学们都投以敬佩的目光,这位同学在大家的目光中,显得十分自豪但又很谦逊)［生乙］感谢生甲的提醒和老师的帮助,更要感谢同学们的鼓励,我的设想是与广大同学们的合作研究分不开的.(建构主义观点的教学模式所倡导的就是要广大同学有合作精神、参与意识,要求每一位同学都要有智力参与,这也正是数学新课程标准所要求的：数学文化和人文精神)［师］学生甲和乙给出了我们一条曲线的拟合函数的大致设想,经过研究和计算我们得到：总体密度曲线就是或近似地是函数222)(21)(σμπσ--⋅=x ex f ,x ∈(-∞,+∞)的图象,式中的实数μ、σ(σ>0)是参数,分别表示总体的平均数和标准差(总体标准差是衡量总体波动大小的特征数,常用样本标准差去估计).这个总体是有无限容量的抽象总体,其分布叫做正态分布.正态分布由参数μ、σ唯一确定.因此,正态分布常记作N(μ,σ2).函数222)(21)(σμπσ--=x ex f ,x ∈(-∞,+∞)的图象被称为正态曲线.［师］找三位同学分别画出下列正态曲线： (1)μ=-1,σ=0.5; (2)μ=0,σ=1; (3)μ=1,σ=2.［生］三位学生画的图如图1－12所示：图1－12［师］从正态曲线上看,你们直观上可以得出正态曲线具有什么特征？［生］正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征. ［师］在实际中遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布.例如：生产中,在对正常生产条件下各种产品的质量指标(如电子管的使用寿命、电容器的电容量、零件的尺寸、铁水的含碳量、纤维的纤度……)测量的误差；炮弹落点的分布；人的生理特征的尺寸：身高、体重等；农作物的收获量；工厂产品的尺寸：直径、长度、宽度、高度……都近似服从正态分布.一般说来,若影响某一数量指标的随机因素很多,而每个因素所起的作用都不太大,则这个指标服从正态分布.［师］在测量中,测量结果一般可以表示为ξ=a +η,其中a 表示测量的量的真值(未知常数),η表示测量的随机误差,ξ和η一般都服从正态分布.你们能再举一些实例吗？［生］在生物学中,同一群体的某种特征(如某一地区同年龄组青少年特征,如身高、体重、肺活量、胸围等),在一定条件下生产的小麦的株高、穗长、单位面积产量等,一般也服从正态分布.在气象中,某地每年七月份的平均气温、平均湿度以及降雨量等,水文中的水位,也都服从或近似服从正态分布.［师］由此看来：正态分布广泛存在于自然现象、生产及科学技术的许多领域中,正态分布在概率和统计中占有重要地位.对于μ=0,σ=1时,正态总体称为标准正态总体,这时相应的函数表示式是：2221)(x ex f -=π,x ∈(-∞,+∞),相应的曲线称为标准正态曲线,如上图(2)所示.［师］从上述三张图中,你们能总结出正态曲线具有哪些性质？［生1］函数的定义域为一切实数,值域为正的实数集的子集,对应的曲线在x 轴的上方,与x 轴不相交.这是因为：由函数的性质有e u >0,∴]1,0(2)(22∈--σμx e ,∴021222)(>⋅--σμπσx e.故曲线与x 轴不相交,在x 轴上方.［生2］曲线222)(21)(σμπσ--=x ex f 关于直线x =μ对称：证明如下(口述证明过程)：在曲线y=f (x )上任取一点A (x 0,y 0),关于直线x =μ的对称点为A ′(x ′,y′),∴y′=y 0且x ′=2μ-x 0.∴x 0=2μ-x ′,y 0=y′.又∵A 在曲线上,∴222)(021σμπσ--=x ey .由反代法知,222)2(21σμμπσ-'--='x ey ,即222)(21σμπσx ey --=',∴有222)(21σμπσ-'-=x ey .也就是点A ′在曲线上,由A 点的任意性.∴曲线y=f (x )关于直线x =μ对称.［生3］函数有最大值,因为当x =μ时,222)(σμ--x 有最大值0,所以y=f (x )有最大值πσπσ21210=e ,也就是曲线在x =μ时位于最高点.［生4］函数在x ∈(-∞,μ］上单调递增；在［μ,+∞)上单调递减.这是因为：由指数函数y=e v是单调递增函数,222)()(σμ--=x x v 在x ∈(-∞,μ］上是增函数,在x ∈［μ,+∞)上是单调递减函数,由复合函数单调性可知,“同性增、异性减”,所以f (x )在x ∈(-∞,μ］上是增函数,在x ∈［μ,+∞)上是减函数.故当x <μ时,曲线上升；当x >μ时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x 轴为渐近线,向它无限靠近.［师］刚才四位同学不仅总结出性质,而且给予了详细的证明,现将性质总结如下： (1)曲线在x 轴的上方,与x 轴不相交; (2)曲线关于直线x =μ对称; (3)曲线在x =μ时位于最高点;(4)当x <μ时,曲线上升；当x >μ时,曲线下降,并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x 轴为渐近线,向它无限靠近.现将上面的三幅图对称轴重叠在一起即x =0时,如图1－13所示,你们能总结出什么性质？图1－13［生5］当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散；σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.［师］以上就是我们总结的正态曲线五条性质.由于标准正态总体N(0,1),在正态总体的研究中有非常重要的地位,为了便于应用,已专门制作了“标准正态分布表”.在这个表中,相应于x 0的值Φ(x 0)是指总体取值小于x 0的概率,即Φ(x 0)=P (x <x 0)如图中左边阴影部分所示.图1－14由于标准正态曲线关于y 轴对称,表中给出了x 0≥0时的函数值Φ(x 0). 如果x 0<0时,Φ(x 0)的值又如何求呢？ ［生］由对称性知图(2)中两个阴影部分的面积是相等的,Φ(x 0)=1-Φ(-x 0).这一点也可以从对立事件角度来解释.［师］利用这个表,可求出标准正态总体在任一区间(x 1,x 2)内取值的概率P =Φ(x 2)-Φ(x 1).请同学们求出它在(-1,2)内取值的概率.［生］所求概率为P =Φ(2)-Φ(-1)=Φ(2)-{1-Φ［-(-1)］}=Φ(2)+Φ(1)-1=0.9772+0.8413-1=0.8185.［师］一般的正态总体N(μ,σ2)均可以化成标准正态总体N(0,1)来进行研究.事实上,可以证明：对于任一正态总体N(μ,σ2)来说,取值小于x 的概率)()(σμ-Φ=x x F .事实上,标准正态总体,对应的函数表达式为2221)(x ex f -=πσ,将x 变化为σμ-x 即可.例如对于正态总体N(1,4)来说,取值小于3的概率P 是什么？［生］P =F(3)=Φ(213-)=Φ(1).查表知Φ(1)=0.8413. 精典例题［师］(打出幻灯片§ 1.5.1 A ) ［生］(1)P (ξ>1.24)=1-P (ξ≤1.24) =1-P (ξ<1.24) =1-Φ(1.24) =1-0.8925 =0.1075.(2)P (ξ<-1.24)=P (ξ>1.24) =1-Φ(1.24) =0.1075.(3)P (|ξ|<1)=P (-1<ξ<1) =Φ(1)-Φ(-1)=Φ(1)-［1-Φ(1)］ =2Φ(1)-1 =2×0.8431-1 =0.6826.［师生共析］①若ξ~N(0,1),则ξ的概率密度函数关于y 轴对称, ∴P (ξ≤-x 0)=P (ξ≥x 0).②若ξ~N(0,1),Φ(x )=P (ξ<x ), 则P (|ξ|≤x )=P (-x ≤ξ≤x )=2Φ(x )-1, P (a <ξ≤b )=Φ(b )-Φ(a ).［师］(打出幻灯片§ 1.5.1 B )［生析］最佳路线是在允许的时间内有较大概率及时赶到火车站的那条路线. ［生］解：设ξ为行车时间.(1)走第一条路线,及时赶到的概率为 P (0<ξ≤70)=Φ(105070-)-Φ(10500-) ≈Φ(105070-)=Φ(2)=0.9772, 走第二条路线及时赶到的概率为 P (0<ξ≤70)≈Φ(46070-) =Φ(2.5) =0.9938,因此在这种情况下应走第二条路线.(2)走第一条路线及时赶到的概率为 P (0<ξ≤65)≈Φ(105065-) =Φ(1.5)=0.9332,走第二条路线及时赶到的概率为 P (0<ξ≤65)≈Φ(46065-) =Φ(1.25)=0.8944,因此在这种情况下应走第一条路线. ［师］(打出幻灯片§ 1.5.1 C ) ［生］解：(1)x =601(4×6+5×15+6×21+7×12+8×3+9×3)=6. s 2=601［6(4-6)2+15(5-6)2+21(6-6)2+12(7-6)2+3(8-6)2+3(9-6)2］=1.5. ∴s≈1.22.答：样本的数学平均成绩为6分,标准差为1.22.(2)以x =6,s≈1.22作为总体数学平均成绩和标准差的估计值,即μ=6,σ≈1.22,则总体服从正态分布N(6,1.222).正态曲线的近似方程为5.12)6(2222.11⨯--≈x ey π.(3)F(7)=Φ(22.167-)≈Φ(0.8)≈0.7881. 1-F(7)≈1-0.7881=0.2119. 210×0.2119=45.根据规定,大约有45名学生可以参加复赛. Ⅲ.课堂练习(一)课本P 35练习题1、2. (二)补充练习1.(2005年长沙市重点中学模拟题)若随机变量ξ~N(3,1)(服从正态分布),则P (-1<ξ≤1)等于( )A.2Φ(1)-1B.Φ(4)-Φ(2)C.Φ(-4)-Φ(-2)D.Φ(2)-Φ(4) 解析：P (-1<ξ≤1)=F(1)-F(-1),又∵F(1)=Φ(131-)=Φ(-2)=1-Φ(2), F(-1)=Φ(131--)=Φ(-4)=1-Φ(4).代入得P (-1<ξ≤1)=Φ(4)-Φ(2). 故选B. 答案：B2.设随机变量ξ服从正态N(0,1)分布,记Φ(x )=P (ξ<x ),若a >0,则下列结论错误的是( ) A.Φ(0)=0.5B.Φ(x )=1-Φ(-x )C.P (|ξ|>a )=1-Φ(a )D.P (ξ=0)=0解析：P (|ξ|>a )=P (ξ>a )+P (ξ<-a ) =［1-P (ξ<a )］+［1-P (ξ<a )］ =2-2Φ(a ).∴C 是错误的,应选C. 答案：C Ⅳ.课时小结本节课我们学习了正态分布、正态曲线、标准正态总体、标准正态曲线等基本概念,以及函数关系式及曲线的性质.(请同学们总结概括)［师］从这节课中,我们用到或学到哪些数学思想方法？［生］我们学到了函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想,还学到了配方法、对称法、直觉类比法、猜想法、由特殊到一般等数学基本方法.(学生总结,教师板书)Ⅴ．课后作业课本P 35习题1.5 1、2、3. 板书设计§ 1.5.1 正态分布(一)一、正态分布的定义：222)(21)(σμπσ--=x ex f二、正态曲线定义：三、标准正态总体：N(0,1) 四、标准正态曲线 五、正态曲线性质1.曲线在x 轴的上方,与x 轴不相交.2.曲线关于直线x =μ对称.3.曲线在x =μ时位于最高点.4.当x <μ时,曲线上升,当x >μ时,曲线下降.5.当μ一定时,曲线的形状由σ确定.六、标准正态N(0,1)表,相应于x 0的值Φ(x 0)是指总体取值小于x 0的概率,Φ(x 0)=P (x <x 0)(x 0≥0),当x 0<0时,Φ(x 0)=1-Φ(-x 0).在(x 1,x 2)内取值的概率为P =Φ(x 2)-Φ(x 1). 例题1.2(交通路线问题) 3(成绩统计问题)小结：数学思想：数学方法：。
正态分布【考点透视】 一、考纲指要1．了解正态分布的意义，能借助正态曲线的图像理解正态曲线的性质.2．了解标准正态分布的意义和性质，掌握正态总体),(2σμN 转化为标准正态总体N （0，1）的公式)()(σμ-Φ=x x F 及其应用.3．通过生产过程的质量控制图，了解假设检验的基本思想.二、命题落点1．考查正态曲线函数的结构特征,及总体的正态总体),(2σμN 与标准正态总体N （0，1）,如例1.例2.2．考查连续型随机变量ε的概率密度函数, 正态曲线的性质,如例3. 【典例精析】例1：设),(~2σμN X ，且总体密度曲线的函数表达式为：412221)(+--=x x ex f π，x∈R 。
（1）求μ，σ；（2）求)2|1(|<-x P 及)22121(+<<-x P 的值．解析：根据表示正态曲线函数的结构特征，对照已知函数求出μ和σ。
利用一般正态总体),(2σμN 与标准正态总体N （0，1）概率间的关系，将一般正态总体划归为标准正态总体来解决．（1）由于222)2(2)1(41222121)(--+--⋅==x x x eex f ππ，根据一般正态分布的函数表达形式，可知μ=1，2=σ，故X ～N （1，2）． （2）)2121()2|1(|+<<-=<-x P x P(1(1F Fφφ=-=-(1)(1)φφ=--2(1)120.84131φ=-=⨯-6826.0=．又)21()221()22121(--+=+<<-FFxP(2)(1)φφφφ=-=--(2)(1)10.97720.84131φφ=+-=+-8185.0=．例2：已知测量误差))(10,2(~cmNξ，必须进行多少次测量才能使至少有一次测量误差的绝对值不超过8cm的频率大于0.9．解析：设η表示n次测量中绝对值不超过8cm的次数，则),(~pnBη，其中)1028()1028()8|(|----=<=φφξPP8413.017258.0)1(1)6.0(+-=+-=φφ=0.5671。
2019-2020年高中数学选修本(理科)1.5正态分布（一）教学目的：1.掌握正态分布在实际生活中的意义和作用.2.结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理.3.通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质. 教学重点：正态分布曲线的性质、标准正态曲线N (0，1). 教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质. 授课类型：新授课. 课时安排：1课时.教 具：多媒体、实物投影仪. 内容分析：1.在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布.在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布.但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口.正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布.2.正态分布是可以用函数形式来表述的.其密度函数可写成：),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x e x f x σμσπ， （σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的.常把它记为.3.从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x =μ，并在x =μ时取最大值.从x =μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的.4.通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征.5.由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的，因此从某种意义上说，正态分布就有好多好多，这给我们深入研究带来一定的困难.但我们也发现，许多正态分布中，重点研究N （0，1），其他的正态分布都可以通过转化为N （0，1），我们把N （0，1）称为标准正态分布，其密度函数为，x ∈（-∞，+∞），从而使正态分布的研究得以简化.6.结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质.正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质. 教学过程： 一、复习引入：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率.设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线.它反映了总体在各个范围内取值的概率.根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积.观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x e x f x σμσπ式中的实数、是参数，分别表示总体的平均数与标准差，函数称为正态函数，的图象称为正态曲线.本节课，我们将学习一种在实际生产、生活中常见的总体密度曲线——正态曲线. 二、讲解新课：1.正态分布密度函数：),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x e x f x σμσπ，（σ＞0） 其中π是圆周率；e 是自然对数的底；x 是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差.正态分布一般记为.2.正态分布）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响.3.通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称.正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上.讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质.4.正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交. （2）曲线关于直线x =μ对称. （3）当x =μ时，曲线位于最高点.（4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数）.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近.（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定. σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散； σ越小.曲线越“瘦高”.总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学.5.标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是，（-∞＜x ＜+∞＝其相应的曲线称为标准正态曲线.标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位.任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题. 三、讲解范例：例1.给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ. （１）),(,21)(22+∞-∞∈=-x e x f x π（２）),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x e x f x π（３）),(,22)(2)1(2+∞-∞∈=+-x e x f x π答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5.四小结：总体密度曲线——正态曲线——标准正态曲线 五、课后作业： 六、板书设计（略） 七、课后记：2019-2020年高中数学选修本(理科)1.5正态分布（二）教学目的：1.利用标准正态分布表求得标准正态总体在某一区间内取值的概率.2.掌握正态分布与标准正态分布的转换.3.了解正态总体的分布情况，简化正态总体的研究问题.教学重点：利用标准正态分布表求得标准正态总体在某一区间内取值的概率. 教学难点：非标准正态总体在某区间内取值的概率及总体在（－∞，a ）的概率求法. 授课类型：新授课. 课时安排：1课时.教 具：多媒体、实物投影仪. 内容分析：1.标准正态分布是正态分布研究的重点，各式各样的正态分布可以通过转换成标准正态曲线，转换后正态分布的各项性质保持不变，而标准正态分布的概率又可以通过查表求得，因而标准正态分布表的使用是本节课的重点之一.2.介绍《标准正态分布表》的查法.表中每一项有三个相关的量：x 、y 、P ，x 是正态曲线横轴的取值，y 是曲线的高度，P 是阴影部分的面积.即.3.标准正态曲线关于y 轴对称.因为当时，；而当时，根据正态曲线的性质可得：，并且可以求得在任一区间内取值的概率:)()()(1221x x x x x P Φ-Φ=<<.4.由例讲授，对于任一正态总体都可以通过，求得其在某一区间内取值的概率.5.从下列三组数据不难看出，正态总体在（μ-3σ，μ+3σ）以外的概率只有万分之二十六，这是一个很小的概率.这样，就简化了正态总体中研究的问题. F （μ-σ，μ+σ）≈0.683， F （μ-2σ，μ+2σ）≈0.954， F （μ-3σ，μ+3σ）≈0.997.教学过程： 一、复习引入：1.总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率.设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线.它反映了总体在各个范围内取值的概率.根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积. 2.正态分布密度函数：),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x e x f x σμσπ，（σ＞0） 其中π是圆周率；e 是自然对数的底；x 是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差.正态分布一般记为.2.正态分布）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布3.正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交. （2）曲线关于直线x =μ对称. （3）当x =μ时，曲线位于最高点.（4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数）.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近.（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定. σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散； σ越小.曲线越“瘦高”.总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学.4.标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线.标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位.任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题. 二、讲解新课：1.标准正态总体的概率问题:对于标准正态总体N （0，1），是总体取值小于的概率， 即 ，其中，图中阴影部分的面积表示为概率.只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当时，；而当时，Φ（0）=0.5.2.标准正态分布表标准正态总体在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”.在这个表中，对应于的值是指总体取值小于的概率，即 ，. 若，则.利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间内取值的概率，即直线，与正态曲线、x 轴所围成的曲边梯形的面积)()()(1221x x x x x P Φ-Φ=<<.3.非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可.在这里重点掌握如何转化.首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相应的转化.4.小概率事件的含义发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生.假设检验方法的基本思想:首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析.假设检验方法的操作程序，即“三步曲”一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体； 二是确定一次试验中的a 值是否落入(μ-3σ，μ+3σ)； 三是作出判断. 三、讲解范例：例1求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率. 解：利用等式有)([]}{11)2()1()2(--Φ--Φ=-Φ-Φ=p==0.9772＋0.8413－1=0.8151.例2. 若x ～N (0,1),求(l )P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2). 解：(1)P (-2.32<x <1.2)=f (1.2)-f (-2.32)=f (1.2)-[1-f (2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747. (2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-f (2)=l -0.9772=0.0228.例3.利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：(1)在N (1,4)下，求.（2）在N （μ，σ2）下，求F （μ－σ，μ＋σ）； F （μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；F （μ－2σ，μ＋2σ）； F （μ－3σ，μ＋3σ） 解：（１）＝＝Φ（1）＝0.8413（２）F （μ＋σ）＝＝Φ（1）＝0.8413F （μ－σ）＝＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587F （μ－σ，μ＋σ）＝F （μ＋σ）－F （μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 F （μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝F （μ＋1.84σ）－F （μ－1.84σ）＝0.9342 F （μ－2σ，μ＋2σ）＝F （μ＋2σ）－F （μ－2σ）＝0.954 F （μ－3σ，μ＋3σ）＝F （μ＋3σ）－F （μ－3σ）＝0.997对于正态总体取值的概率：在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7%.因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分.例4.某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率.解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x ex f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，的最大值为＝，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布.1)2.1()2.0()]2.1(1[)2.0()2.1()2.0()2.02.1(-Φ+Φ=Φ--Φ=-Φ-Φ=<<-x P 4642.018848.05793.0=-+=.四、课堂练习：1.利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率. （１）（0，１）； （２）（１，３）解：（１）P ＝Φ（1）－Φ（0）＝0.8413－0.5＝0.3413 （２）P ＝Φ（3）－Φ（1）＝0.9887－0.8413＝0.1574 2.若x ～N (0,1),求 P (x <-1). 解：由公式f (-x )=1- f (x )，得P (x <-1)=f (-1)=1-f (1)=1-0.8413=0.1587.3.某县农民年平均收入服从=500元，=200元的正态分布.（1）求此县农民年平均收入在500~520元间人数的百分比；（2）如果要使此县农民年平均收入在（）内的概率不少于0.95，则至少有多大？ 解：设表示此县农民年平均收入，则.0398.05.05398.0)0()1.0()200500500()200500520()520500(=-=Φ-Φ=-Φ--Φ=<<ξP （2）∵95.01)200(2)200()200()(≥-Φ=-Φ-Φ=+<<-a a a a a P μξμ， . 查表知：.五、小结：正态总体N (μ，σ2)转化为标准正态总体N (0,1)的等式及其应用.通过生产过程的质量控制图，了解假设检验的基本思想.六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：小概率事件正态总体在（μ－3σ，μ＋3σ）以外的概率只有千分之三，这是一个很小的概率.这样我们在研究问题时可以集中在（μ－3σ，μ＋3σ）中研究，而忽略其中很小的一部分，从而简化了正态正态中研究的问题.（1）小概率事件通常是指在一次试验中几乎不可能发生的事件.一般情形下，指发生的概率小于5%的事件.但要注意两点：一是几乎不可能发生的事件是针对一次试验来讲的，如果试验次数多了，该事件当然是可能发生的；二是利用“小概率事件在一次试验中几乎不可能发生”的思想.来进行推断时，也有5%的犯错误的可能.（2）正态分布的小概率事件说明正态总体中的绝大部分的数据99.7%落在平均值左右各偏3的范围内.1.已知某车间正常生产的某种零件的尺寸满足正态分布N(27.45,0.052),质量检验员随机抽查了10个零件，测得它们的尺寸为：27.34 、27.49、27.55、27.23 、27.40、27.46、27.38、27.58、27.54、27.68.请你根据正态分布的小概率事件，帮助质量检验员确定哪些零件应该判定在非正常状态下生产的.解：小概率事件是指在一次试验中几乎不可能发生的思想.我们对落在区间（27.45－3×0.05，27.45＋3×0.05）＝（27.3，27.6）之外生产的零件尺寸做出拒绝接受零件是正常状态下生产的假设.有两个零件不符合落在区间（27.3，27.6）之内；答：尺寸为27.23和尺寸为27.68的两个零件，它们是在非正常状态下生产的.2.灯泡厂生产的白炽灯寿命ξ（单位：h），已知ξ～N（1000，302)，要使灯泡的平均寿命为1000h的概率为99.7％，问灯泡的最低使用寿命应控制在多少小时以上？解：因为灯泡寿命ξ～N(1000，302)，故ξ在（1000－3×30，1000＋3×30）内取值的概率为99.7％，即在（910，1090）内取值的概率为99.7％，故灯泡的最低使用寿命应控制在910h以上.进行假设检验的方法与步骤：（1）提出统计假设，具体问题里的统计假设服从正态分布N（μ，σ2）；（2）确定一次试验值是否落入（μ－3σ，μ＋3σ）；（3）作出判断：如果，就接受假设；如果，由于这是小概率事件，就拒绝假设，说明生产过程中出现了异常情况.。
2019-2020年高三数学 1.5正态分布(第一课时)大纲人教版选修课时安排2课时从容说课正态分布是很抽象的概念,如何使学生从抽象转化到具体、直观中的问题里来,是我们教学的一个重点和难点.要借助具体实例及多媒体课件演示,有条件的让学生也上机进行实习,通过实验了解一些概念的形成过程.具体的方法是：利用直方图来引进正态曲线与正态分布.具体的步骤如下：①先作出二项分布B(n,0.5)的直方图(n=10).对n进行变化;②如果用一条平滑的曲线把每个长方形的中点联结起来,就能得到一条钟形曲线(演示图形的形成过程),称为正态曲线;③给出其函数解析式为x∈R,其中μ=np,σ=npq,e≈2.71828.对于正态曲线,如果规定,试验的观察值x落在区间(a,b)内的概率P(a＜x＜b)就是由这条曲线、x轴、直线x=a及x=b 所围成的图形的面积,那么称这种概率分布为正态分布.一个平均数为μ,标准差为b的正态分布可以用公式将它变换成平均数为0,标准差为1的正态分布.平均数为0,标准差为1的正态分布称为标准正态分布(利用投影或多媒体,将其图象描绘出来),公式为,其中.一般的正态分布问题,能转化成标准正态分布问题来处理,即将正态分布中观察值x的概率P(a＜x＜b)表示成标准正态分布中的P(z1≤z≤z2),其中,.在教学中应多用多媒体进行教学,增强动态感觉.第九课时课题正态分布(一)教学目标一、教学知识点1.深刻理解并掌握正态分布和正态曲线的概念、意义及性质.2.理解和掌握标准正态总体、标准正态曲线的概念、意义及性质.二、能力训练要求1.能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律.2.会画有关正态分布的正态曲线和标准正态曲线.3.会用函数的概念、性质解决有关正态分布的问题.三、德育渗透目标1.培养学生数形结合、函数与方程、分类讨论、等价转化等数学思想方法.2.培养学生辩证唯物主义的观点(运动观、静止观).3.培养学生的动手操作能力和概括归纳能力,让学生真正地学会学习,也就是让学生主动建构式地学习,真正掌握学习方法.教学重点正态分布的意义、正态分布的主要性质是本节课的教学重点.通过具体实例,结合研究函数的方法来研究正态分布的意义和性质.正态分布之所以成为概率统计中最重要的一种分布的原因有两方面：一方面,正态分布是自然界最常见的一种分布,若影响某一数量指标的随机因素很多,而每个因素所起的作用都不太大,则这个指标服从正态分布；另一方面,正态分布具有许多良好的性质,许多分布可以用正态分布来近似描述,另外一些分布又可以通过正态分布来推导.教学难点正态分布的意义及性质、标准正态总体、标准正态曲线的概念教学是难点,正态分布的性质的抽象与概括是难点,要利用函数的观点、函数与方程的思想方法研究正态曲线的五条性质.教学方法建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方法.在学生已经掌握总体密度曲线、累积分布曲线的基础上,让学生通过函数观点主动建构出正态分布、正态曲线、标准正态曲线.利用函数的性质(定义域、值域、对称轴、奇偶性、单调性等等).教具准备实物投影仪(或幻灯机、幻灯片).幻灯片记作A例1.设ξ~N(0,1)借助于标准正态分布的函数表计算：(1)P(ξ>1.24);(2)P(ξ<-1.24);(3)P(|ξ|<1).幻灯片记作B例2.某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线,可是,第一条路线穿过市区,路线较短,但交通拥挤,所需时间(单位：mi n)服从正态分布N(50,102)；第二条路线沿环城公路走,路程较长,但交通阻塞较少,所需时间服从正态分布N(60,42).(1)若只有70 mi n可用,问应走哪条路线？(2)若只有65 mi n可用,又应走哪条路线？幻灯片记作C例3.某市210名高中学生参加全国高中数学联赛预赛,随机调阅了60名学生的答卷,成绩列下表：(1)(2)若总体服从正态分布,求正态曲线的近似方程;(3)若规定,预赛成绩在7分或7分以上的学生参加复赛,试估计有多少个学生可以进入复赛?教学过程Ⅰ.课题导入在上节课,我们作出了100个产品尺寸的频率分布直方图,并指出了当样本容量无限增大时,这个频率分布直方图无限接近于如图1－11所示的一条总体密度曲线.图1－11产品尺寸是一类典型的总体,对于成批生产的产品,如果生产条件正常并稳定,即工艺、设备、技术、操作、原料、环境等条件都相对稳定,而且不存在生产系统误差的明显因素,那么,产品尺寸的总体密度曲线就可以用一个函数y=f(x)图象来拟合.这个函数的图象叫做正态曲线.这节课我们将来学习正态分布(一).(板书课题)Ⅱ．讲授新课［师］总体密度曲线可以用一个函数y=f(x)的图象来拟合,我们选用什么样的函数呢？换句话讲,由这个曲线,我们可以想到哪类函数图象与它相近似？［生甲］可以用二次函数y=a(x-m)2+n(a<0)的图象来拟合.［师］这个二次函数定义域和值域如何确定呢？［生甲］定义域为{x|x>0},值域为{y|y>0}.［师］你规定的定义域和值域是否符合函数组成的三要素呢？［生乙］他的这种规定是无道理的,也是不符合构成函数的三要素的.我认为可以用二次函数与指数函数复合以后的函数图象来拟合,即f(x)=a p(x-m)2+n,这样就符合题设的条件.由图形和实际可以知道,函数的值域是正实数组成的.函数图象也是一对称曲线,关于直线x=x0对称,所以联想到二次函数y=p(x-m)2+q和指数函数y=a x进行复合以后再拟合.［师］太好了！太好了！(这时教室里报以热烈的掌声和赞叹声,同学们都投以敬佩的目光,这位同学在大家的目光中,显得十分自豪但又很谦逊)［生乙］感谢生甲的提醒和老师的帮助,更要感谢同学们的鼓励,我的设想是与广大同学们的合作研究分不开的.(建构主义观点的教学模式所倡导的就是要广大同学有合作精神、参与意识,要求每一位同学都要有智力参与,这也正是数学新课程标准所要求的：数学文化和人文精神) ［师］学生甲和乙给出了我们一条曲线的拟合函数的大致设想,经过研究和计算我们得到：总体密度曲线就是或近似地是函数,x∈(-∞,+∞)的图象,式中的实数μ、σ(σ>0)是参数,分别表示总体的平均数和标准差(总体标准差是衡量总体波动大小的特征数,常用样本标准差去估计).这个总体是有无限容量的抽象总体,其分布叫做正态分布.正态分布由参数μ、σ唯一确定.因此,正态分布常记作N(μ,σ2).函数,x∈(-∞,+∞)的图象被称为正态曲线.［师］找三位同学分别画出下列正态曲线：(1)μ=-1,σ=0.5;(2)μ=0,σ=1;(3)μ=1,σ=2.［生］三位学生画的图如图1－12所示：图1－12［师］从正态曲线上看,你们直观上可以得出正态曲线具有什么特征？［生］正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征.［师］在实际中遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布.例如：生产中,在对正常生产条件下各种产品的质量指标(如电子管的使用寿命、电容器的电容量、零件的尺寸、铁水的含碳量、纤维的纤度……)测量的误差；炮弹落点的分布；人的生理特征的尺寸：身高、体重等；农作物的收获量；工厂产品的尺寸：直径、长度、宽度、高度……都近似服从正态分布.一般说来,若影响某一数量指标的随机因素很多,而每个因素所起的作用都不太大,则这个指标服从正态分布.［师］在测量中,测量结果一般可以表示为ξ=a+η,其中a表示测量的量的真值(未知常数),η表示测量的随机误差,ξ和η一般都服从正态分布.你们能再举一些实例吗？［生］在生物学中,同一群体的某种特征(如某一地区同年龄组青少年特征,如身高、体重、肺活量、胸围等),在一定条件下生产的小麦的株高、穗长、单位面积产量等,一般也服从正态分布.在气象中,某地每年七月份的平均气温、平均湿度以及降雨量等,水文中的水位,也都服从或近似服从正态分布.［师］由此看来：正态分布广泛存在于自然现象、生产及科学技术的许多领域中,正态分布在概率和统计中占有重要地位.对于μ=0,σ=1时,正态总体称为标准正态总体,这时相应的函数表示式是：,x∈(-∞,+∞),相应的曲线称为标准正态曲线,如上图(2)所示.［师］从上述三张图中,你们能总结出正态曲线具有哪些性质？［生1］函数的定义域为一切实数,值域为正的实数集的子集,对应的曲线在x轴的上方,与x轴不相交.这是因为：由函数的性质有e u>0,∴,∴.故曲线与x轴不相交,在x轴上方.［生2］曲线关于直线x=μ对称：证明如下(口述证明过程)：在曲线y=f(x)上任取一点A(x0,y0),关于直线x=μ的对称点为A′(x′,y′),∴y′=y0且x′=2μ-x0.∴x0=2μ-x′,y0=y′.又∵A在曲线上,∴.由反代法知即, ∴有.也就是点A′在曲线上,由A点的任意性.∴曲线y=f(x)关于直线x=μ对称.［生3］函数有最大值,因为当x=μ时,有最大值0,所以y=f(x)有最大值,也就是曲线在x=μ时位于最高点.［生4］函数在x∈(-∞,μ］上单调递增；在［μ,+∞)上单调递减.这是因为：由指数函数y=e v是单调递增函数,在x∈(-∞,μ］上是增函数,在x∈［μ,+∞)上是单调递减函数,由复合函数单调性可知,“同性增、异性减”,所以f(x)在x∈(-∞,μ］上是增函数,在x∈［上是减函数.故当x<μ时,曲线上升；当x>μ时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x 轴为渐近线,向它无限靠近.［师］刚才四位同学不仅总结出性质,而且给予了详细的证明,现将性质总结如下：(1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交;(2)曲线关于直线x=μ对称;(3)曲线在x=μ时位于最高点;(4)当x<μ时,曲线上升；当x>μ时,曲线下降,并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x 轴为渐近线,向它无限靠近.现将上面的三幅图对称轴重叠在一起即x=0时,如图1－13所示,你们能总结出什么性质？图1－13［生5］当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散；σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.［师］以上就是我们总结的正态曲线五条性质.由于标准正态总体N(0,1),在正态总体的研究中有非常重要的地位,为了便于应用,已专门制作了“标准正态分布表”.在这个表中,相应于x0的值Φ(x0)是指总体取值小于x0的概率,即Φ(x0)=P(x<x0)如图中左边阴影部分所示.图1－14由于标准正态曲线关于y轴对称,表中给出了x0≥0时的函数值Φ(x0).如果x0<0时,Φ(x0)的值又如何求呢？［生］由对称性知图(2)中两个阴影部分的面积是相等的,Φ(x0)=1-Φ(-x0).这一点也可以从对立事件角度来解释.［师］利用这个表,可求出标准正态总体在任一区间(x1,x2)内取值的概率P=Φ(x2)-Φ(x1).请同学们求出它在(-1,2)内取值的概率.［生］所求概率为P=Φ(2)-Φ(-1)=Φ(2)-{1-Φ［-(-1)］}=Φ(2)+Φ(1)-1=0.9772+0.8413-1=0.8185.［师］一般的正态总体N(μ,σ2)均可以化成标准正态总体N(0,1)来进行研究.事实上,可以证明：对于任一正态总体N(μ,σ2)来说,取值小于x的概率.事实上,标准正态总体,对应的函数表达式为,将x变化为即可.例如对于正态总体N(1,4)来说,取值小于3的概率P是什么？［生］P=F(3)=Φ()=Φ(1).查表知Φ(1)=0.8413.精典例题［师］(打出幻灯片§ 1.5.1 A)［生］(1)P(ξ>1.24)=1-P(ξ≤1.24)=1-P(ξ<1.24)=1-Φ(1.24)=1-0.8925=0.1075.(2)P(ξ<-1.24)=P(ξ>1.24)=1-Φ(1.24)=0.1075.(3)P(|ξ|<1)=P(-1<ξ<1)=Φ(1)-Φ(-1)=Φ(1)-［1-Φ(1)］=2Φ(1)-1=2×0.8431-1=0.6826.［师生共析］①若ξ~N(0,1),则ξ的概率密度函数关于y轴对称,∴P(ξ≤-x0)=P(ξ≥x0).②若ξ~N(0,1),Φ(x)=P(ξ<x),则P(|ξ|≤x)=P(-x≤ξ≤x)=2Φ(x)-1,P(a<ξ≤b)=Φ(b)-Φ(a).［师］(打出幻灯片B)［生析］最佳路线是在允许的时间内有较大概率及时赶到火车站的那条路线.［生］解：设ξ为行车时间.(1)走第一条路线,及时赶到的概率为P(0<ξ≤70)=Φ()-Φ()≈Φ()=Φ(2)=0.9772,走第二条路线及时赶到的概率为P(0<ξ≤70)≈Φ()=Φ(2.5)=0.9938,因此在这种情况下应走第二条路线.(2)走第一条路线及时赶到的概率为P(0<ξ≤65)≈Φ()=Φ(1.5)=0.9332,走第二条路线及时赶到的概率为P(0<ξ≤65)≈Φ()=Φ(1.25)=0.8944,因此在这种情况下应走第一条路线.［师］(打出幻灯片C)［生］解：(1)=(4×6+5×15+6×21+7×12+8×3+9×3)=6.s2=［6(4-6)2+15(5-6)2+21(6-6)2+12(7-6)2+3(8-6)2+3(9-6)2］=1.5.∴s≈1.22.答：样本的数学平均成绩为6分,标准差为1.22.(2)以x=6,s≈1.22作为总体数学平均成绩和标准差的估计值,即μ=6,σ≈1.22,则总体服从正态分布N(6,1.222).正态曲线的近似方程为.(3)F(7)=Φ()≈Φ(0.8)≈0.7881.1-F(7)≈1-0.7881=0.2119.210×0.2119=45.根据规定,大约有45名学生可以参加复赛.Ⅲ.课堂练习(一)课本P35练习题1、2.(二)补充练习1.(xx年长沙市重点中学模拟题)若随机变量ξ~N(3,1)(服从正态分布),则P(-1<ξ≤1)等于()A.2Φ(1)-1B.Φ(4)-Φ(2)C.Φ(-4)-Φ(-2)D.Φ(2)-Φ(4)解析：P(-1<ξ≤1)=F(1)-F(-1),又∵F(1)=Φ()=Φ(-2)=1-Φ(2),F(-1)=Φ()=Φ(-4)=1-Φ(4).代入得P(-1<ξ≤1)=Φ(4)-Φ(2).故选B.答案：B2.设随机变量ξ服从正态N(0,1)分布,记Φ(x)=P(ξ<x),若a>0,则下列结论错误的是()A.Φ(0)=0.5B.Φ(x)=1-Φ(-x)C.P(|ξ|>a)=1-Φ(a)D.P(ξ=0)=0解析：P(|ξ|>a)=P(ξ>a)+P(ξ<-a)=［1-P(ξ<a)］+［1-P(ξ<a)］=2-2Φ(a).∴C是错误的,应选C.答案：CⅣ.课时小结本节课我们学习了正态分布、正态曲线、标准正态总体、标准正态曲线等基本概念,以及函数关系式及曲线的性质.(请同学们总结概括)［师］从这节课中,我们用到或学到哪些数学思想方法？［生］我们学到了函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想,还学到了配方法、对称法、直觉类比法、猜想法、由特殊到一般等数学基本方法.(学生总结,教师板书) Ⅴ．课后作业课本P35习题1.51、2、3.板书设计正态分布(一)一、正态分布的定义：二、正态曲线定义：三、标准正态总体：N(0,1)四、标准正态曲线五、正态曲线性质1.曲线在x轴的上方,与x轴不相交.2.曲线关于直线x=μ对称.3.曲线在x=μ时位于最高点.4.当x<μ时,曲线上升,当x>μ时,曲线下降.5.当μ一定时,曲线的形状由σ确定.六、标准正态N(0,1)表,相应于x0的值Φ(x0)是指总体取值小于x0的概率x0)=P(x<x0)(x0≥0),当x0<0时,Φ(x0)=1-Φ(-x0).在(x1,x2)内取值的概率为P=Φ(x2)-Φ(x1).例题1.2(交通路线问题)3(成绩统计问题)小结：数学思想：数学方法：2019-2020年高三数学 1.5正态分布(第二课时)大纲人教版选修课题正态分布(二)教学目标一、教学知识点1.进一步加深理解并真正掌握正态分布N(μ,σ2)和正态曲线对应函数式的意义和性质(五条).2.理解和掌握标准正态总体N(0,1)的意义和特征.3.掌握正态总体N(μ,σ2)中,取值小于x的概率F(x)=Φ()及在任一区间(x1,x2)内取值的概率P=F(x2)-F(x1)=Φ()-Φ().4.介绍统计中常用的假设检验方法的基本思想和小概率事件,生产过程的质量控制图.二、能力训练要求1.能用正态分布、正态曲线求有关事件的概率问题,特别会求一般正态总体N(μ,σ2),取值小于x的概率P=F(x)=Φ()及在任一区间(a,b)内取值的概率P=F(b)-F(a)=Φ()-Φ().2.能用函数的观点(变化观、运动观)求解有关实际问题.3.能用假设检验方法的基本思想和小概率事件解决生产实践的问题.三、德育渗透目标1.培养学生动静结合、数形结合、分与合的数学思想方法和辩证唯物主义观点.2.培养学生的实际动手操作能力,分析问题与解决问题的能力.3.培养学生“学生活的知识、学生存的技能、学生命的意义”的新学生观,培养学生严谨求是求实的优良作风.教学重点正态分布N(μ,σ2),正态曲线.标准正态总体N(0,1)仍然是教学的重点内容,在此基础上引出“小概率事件”和假设检验的基本思想,小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的原理.教学难点小概率事件几乎不可能发生的原理和假设检验的基本思想是这节课的教学难点.在概率的意义上所作的推理与过去确定性数学中的“若a则b”式的推理有所不同的理解和运用.教学方法建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学思想.在学生已经初步理解正态分布N(μ,σ2),正态曲线及标准正态总体N(0,1)和初步会用的基础上,以正态总体为例,引入“小概率事件”和假设检验的基本思想.让学生学会学习,让他们在问题解决的过程中概括出基本概念和基本思想,让学生体验成功的愉悦,增强学生积极主动学习的意识.教具准备实物投影仪(或幻灯机)、幻灯片等.第一张：幻灯片(记作A)正态曲线的性质：图1－15(1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交.(2)曲线关于直线x=μ对称.(3)曲线在x=μ时位于最高点.(4)当x<μ时,曲线上升；当x>μ时,曲线下降,并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x 轴为渐近线,向它无限靠近.(5)当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散；σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.第二张：幻灯片(记作B)例 1.公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1%以下设计的.如果某地成年男子的身高η~N(175,36)(单位：c m),则车门应设计为_________高.第三张：幻灯片(记作C)例2.某接待站在某一周曾接待过12次来访,已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的？请你说明理由.教学过程Ⅰ.课题导入同学们,上节课我们学习了正态分布2、正态曲线,x∈(-∞,+∞)、标准正态总体N(0,1)和标准正态曲线,x∈(-进一步研究了正态曲线的性质,请同学们回顾有哪五条？［生］(稍等片刻)(回答全对、板书略)［师］(打出幻灯片A)请同学再看看银幕上的内容.接下来,我们再来回顾如何求出标准总体N(0,1)在任一区间(x1,x2)内取值的概率.［生］P=Φ(x2)-Φ(x1),它就是标准总体在任一区间(x1,x2)内取值的概率.［师］对任一正态总体N(μ,σ2)来说,取值小于x0的概率是什么？在任一区间(a,b)内取值的概率又如何求呢？［生］取值小于x0的概率是P=F(x0)=Φ()；在任一区间(a,b)内取值的概率P=F(b)-F(a)=Φ()-Φ().Ⅱ．讲授新课［师］上节课我们也学习了用这些公式解题.现在来看一道应用题(教师打出第二张幻灯片B),请同学读题后再分析,说出求解的策略.［生甲］(读完题后)本题为正态总体N(175,36)下的概率问题逆向运用,即已知概率,求车门的高度,我们可以利用待定系数法设出车门的高为x,利用η≥x时的概率是小于1%的,建立不等式P(η≥x)<1%,求解出x的最小值.［生乙］解：设公共汽车门高设计为x,由题意P(η≥x)小于1%,∵η~N(175,36),∴P(η≥x)=1-P(η<x)=1-Φ()<0.01,也就是Φ()>0.99.查表得>2.33,即x>188.98.故公共汽车门的高度至少应设计为189 c m.［师］这两位同学完成的都很好.要会灵活运用知识解决我们日常生活中的实际问题.在日常生活和科学技术生产实践中,经常遇到一些事件发生的概率很小很小,如该题成年男子与车门顶部碰头的概率在1%以下.像这样的概率,我们就把它定义为“小概率事件”,那么什么叫小概率事件呢？［生］一个事件发生的概率很小很小,可以忽略不计,就叫做小概率事件.［师］怎么样来描述很小很小呢？能否量化呢？［生］概率小于1%,…,不对,可能还小.［师］可以这样认为,一般情况是：“小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件.因为对于这类事件来说,在大量重复试验中,平均每试验20次,才能发生1次,所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的.下面我们再来看一个问题(教师打出幻灯片C)［生］(读题并分析)该题是一道探索型问题,解决这类问题,我们可以先假设存在,然后在假设的条件下进行推理,看与事实是否相符,再来下结论.［生］(板演)解：假设接待站的接待时间没有规定,而各来访者在一周内的任一天中去接待站是等可能的,那么12次接待来访者都在周二、周四的概率为,即千万分之三.根据“小概率事件”在一次试验中几乎不可能发生的思想,可知假设不成立,即可以推断接待时间是有规定的.［师］由这道实际问题可以看出：“小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原理”可帮助我们进行统计假设推断.这种思想方法就是统计中常用的假设检验方法的基本思想再看一道例题(课本P32例1),分别求正态总体N(μ,σ2)在区间(1)(μ-σ,μ+σ),(2)(μ-2σ,μ+2σ),(3)(μ-3σ,μ+3σ)内的取值的概率.(请三位同学板演)［生］解：(1)F(μ+σ)=Φ［］=Φ(1);F(μ-σ)=Φ［］=Φ(-1),∴正态总体N(μ,σ2)在(μ-σ,μ+σ)内取值的概率是P1=F(μ+σ)-F(μ-σ)=Φ(1)-Φ(-1)=Φ(1)-［1-Φ(1)］=2Φ(1)-1=2×0.8413-1≈0.683.(2)F(μ+2σ)=Φ［］=Φ(2),F(μ-2σ)=Φ［］=Φ(-2)=1-Φ(2).∴正态总体N(μ,σ2)在(μ-2σ,μ+2σ)内取值的概率为P2=F(μ+2σ)-F(μ-2σ)=Φ(2)-［1-Φ(2)］=2Φ(2)-1=2×0.9772-1≈0.954.(3)F(μ+3σ)=Φ［］=Φ(3),F(μ-3σ)=Φ［］=Φ(-3)=1-Φ(3).∴正态总体N(μ,σ2)在(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率是P3=F(μ+3σ)-F(μ-3σ)=Φ(3)-［1-Φ(3)］=2Φ(3)-1=2×0.9987-1≈0.997.［师］同学们,这三位同学的计算正确吗？［生］(齐声回答)完全正确.图1－16图1－17图1－18我们从上表和图示中可以看到：正态总体在(μ-2σ,μ+2σ)、(μ-3σ,μ+3σ)以外取值的概率分别是多少？这些事件是否可能发生？［生］在(μ-2σ,μ+2σ)以外取值的概率只有4.6%,在(μ-3σ,μ+3σ)以外取值的概率只有0.3%,由于这些概率值很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.［师］我们再利用“小概率在一次试验中几乎不可能发生”的思想解决生产实践中的问题：假设2人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N(μ,σ2).从上面知道,零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)以内取值的概率为99.7%,即零件尺寸落在(μ-3σ,μ+3σ)以外的概率只有0.3%,这是一个小概率事件.它表明在大量重复试验中,平均每抽取1000个零件,属于这个范围以外的零件尺寸只有3个.因此在一次试验中,零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)以外是几乎不可能发生的,而如果这种事件一旦发生,即产品尺寸a满足|a-μ|≥3σ,我们就有理由认为这时制造的产品尺寸服从正态分布N(μ,σ2)的假设是不成立的,它说明生产中可能出现了异常情况,比如可能原料、刀具、机器出了问题,或可能工艺规程不完善,或可能工人操作时精力不集中、未遵守操作规程等,需要停机检查,找出原因,以将生产过程重新控制在一种正常状态,从而及时避免继续生产废、次品,保证产品的质量.上面控制生产过程的方法,运用了统计中假设检验的基本思想：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原理和从总体中抽测的个体的数值,对事先所作的统计假设作出判断：是拒绝假设,还是接受假设.目前在生产中广泛运用的控制图,就是根据上述假设检验的基本思想制作的.把图甲按顺时针方向旋转90°就得到一张控制图乙.图甲中的直线x=μ,x=μ-3σ,x=μ+3σ分别成为图乙中的中心线、控制下界和控制上界.图1－19在生产过程中,从某一时刻起(例如从上午9时起),每隔一定时间(例如1 h)任取1个零件进行检查,并把尺寸用小圆点在图上表示出来,为了便于看出小圆点变动趋势,常用折线将它们连接起来.从图乙中看到,前3个圆点都在控制界限之内,可认为生产情况正常,但第4个点超出了控制上界,可认为有异常情况发生,应该立即停机检查.［师］进行假设检验一般可分为哪几步呢？［生］第一步：提出统计假设,其具体问题里的统计假设是这个工人制造的零件尺寸服从正态分布N(μ,σ2);第二步：确定一次试验中的取值a是否落入范围(μ-3σ,μ+3σ);第三步：作出推断：如果a∈(μ-3σ,μ+3σ),接受统计假设；如果a(μ-3σ,μ+3σ),由于这是小概率事件,就拒绝统计假设.［师］上面这种拒绝统计假设的推理,与我们学过的反证法有其类似之处.事实上,用反证法证明一个问题时,先否定待证命题的结论——这本身可看成一个新的命题,当从它出发进行推理时,如果出现了矛盾,就把这个矛盾归因于前述命题的不正确,否定了这个新命题,也就等于证明了原命题的结论.Ⅲ.课堂练习1.某学校高考数学成绩近似地服从正态分布N(100,102),则该校高考数学成绩在90分至130分的考生占总人数的百分比为_________.(已知Φ(3)=0.9987,Φ(1)=0.8413)解析：F(130)-F(90)=Φ()-Φ()=Φ(3)-Φ(-1)=Φ(3)-［1-Φ(1)］=Φ(3)+Φ(1)-1=0.84=84%. 答案：84%2.正态总体N(0,σ2)在区间(-1.5σ,1.5σ)内取值的概率为( )(参考数据：Φ(0)=0.5,Φ(0.5)=0.6915,Φ(1)=0.8413,Φ(1.5)=0.9332)A.0.6915B.0.9332C.0.8664D.0.6823解析：P (-1.5σ<ξ<1.5σ)=P (ξ<1.5σ)-P (ξ<-1.5σ)=Φ()-Φ()=Φ(1.5)-Φ(-1.5)=2Φ(1.5)-1=0.8664.答案：CⅣ.课时小结本节课主要学习了正态分布N(μ,σ2)、正态曲线、小概率事件和假设检验的基本思想、小概率事件几乎不可能发生的原理.Ⅴ．课后作业1.设随机变量η~N(μ,σ2),而且已知P (η<0.5)=0.0793,P (η>1.5)=0.7611,求μ及σ.解：由题意,η~N(μ,σ2),∴P (η<0.5)=Φ()=0.0793,即1-Φ()=0.0793.∴Φ()=0.9207.查表得=1.41.同理,由P (η>1.5)=0.7611,得=0.71. 解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--,71.05.1,41.15.0＝＝σμσμ得 2.一台机床生产一种尺寸为10 mm 的零件.现从中抽测10个,它们的尺寸分别如下(单位：mm):10.2,10.1,10,9.8,9.9,10.3,9.7,10,9.9,10.1.如果机床生产零件的尺寸η服从正态分布,求该正态分布的概率密度函数.解：依题意,可得,即E η=μ=10.∴s *2=［(10.2-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+(9.8-10)2+(9.9-10)2+(10.3-10)2+(9.7-10)2+(10-10) 2+(9.9-10)2+(10.1-10)2］=×0.3=0.03.∴D η=σ2=S *2=0.03,∴,。
