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![[高一数学]不等式知识点归纳与总结](https://img.taocdn.com/s1/m/3b1c8088dd88d0d232d46a11.png)
授课教案教学标题 期末复习（三） 教学目标 1 、不等式知识点归纳与总结 教学重难点重点：不等式基础知识点的熟练掌握难点：不等式在实际应用中的相互转换上次作业检查授课内容：一、数列章节知识点复习1 等差数列（1）性质：a n =an+b ，即a n 是n 的一次性函数，系数a 为等差数列的公差；（2） 等差{n a }前n 项和n d a n d Bn An S n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=22122 即S n 是n 的不含常数项的二次函数；若{a n }，{b n }均为等差数列，则{a n ±n n },{∑=k1i ka},{ka n +c}（k ，c 为常数）均为等差数列；当m+n=p+q 时，a m +a n =a p +a q ，特例：a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2=…；当2n=p+q 时，2a n =a p +a q ； ① 等差数列依次每k 项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k 2倍...,,232k k k k k S S S S S --； ② 若等差数列的项数为2()+∈N n n ，则，奇偶nd S S =-1+=n na a S S 偶奇；等差数列等比数列 定义 d a a n n =-+1)0(1≠=+q q a a nn 递推公式 d a a n n +=-1；()n m a a n m d =+-q a a n n 1-=；m n m n q a a -= 通项公式 d n a a n )1(1-+=11-=n n q a a （0,1≠q a ）中项2kn k n a a A +-+=（*,,0n k N n k ∈>>）)0( k n k n k n k n a a a a G +-+-±=（*,,0n k N n k ∈>>）前n 项和)(21n n a a nS +=d n n na S n 2)1(1-+=()⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(111)1(111q q qa a qq a q na S n n n 重要性质),,,,(*q p n m N q p n m a a a a qp n m +=+∈+=+),,,,(*q p n m N q p n m a a a a qp n m +=+∈⋅=⋅③ 若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇， 1-=n n S S 偶奇 （4）常用公式：①1+2+3 …+n =()21+n n ②()()61213212222++=+++n n n n③()2213213333⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++n n n[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…110-=⇒n n a ； 5，55，555，…()11095-=⇒nna .2 等比数列 （1）性质当m+n=p+q 时，a m a n =a p a q ，特例：a 1a n =a 2a n-1=a 3a n-2=…，当2n=p+q 时，a n 2=a p a q ，数列{ka n }，{∑=k1i ia}成等比数列。
《不等式与一次不等式组》全章复习与巩固（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1. 已知a>b>0，则下列不等式不一定成立的是（ ）．A. ab>b 2B. a+c>b+cC. 1a < 1bD. ac>bc 2. 如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1g ，则物体A 的质量m (g)的取值范围，在数轴上可表示为（ ）．3.不等式组24010x x -<⎧⎨+⎩≥的解集在数轴上表示正确的是（ ）．A B C D 4. 如果关于x 的不等式 (a+1)x>a+1的解集为x<1，那么a 的取值范围是( ) ． A. a>0B. a<0C. a>-1D. a<-1 5. 不等式组203x x -≤⎧⎨->⎩的正整数解的个数是（ ）．A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6. 以下各式中，一元一次不等式个数为（ ）．①23<-a ；②31>--xx ；③0<-y x ；④132≤+x x ；⑤2131+>-x x A. 1B. 2C. 3D. 0 7.不等式9－x ＞x ＋的正整数解的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．无数个8.三个连续自然数的和小于11，这样的自然数组共有（ ）组．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题9. 当x_____时,代数式－3x +5的值不大于4．B A CD10.一个不等式的解集如图所示，则这个不等式的正整数解是_____.11．不等式组⎩⎨⎧<+≥+3201x x 的整数解是_______. 12．已知2(2)230x x y a -+--=，y 是正数，则a 的取值范围 .13．不等式组130x x ≥⎧⎨-<⎩的解集是 ．14．关于x 的方程2x +3k =1的解是负数,则k 的取值范围是_______.15．若不等式（ｍ－２）x ＞2的解集是x ＜,则ｍ的取值范围是_______.16．小明借到一本有72页的图书,要在10天之内读完,开始2天每天只读5页,那么以后几天里每天至少要读多少页?设以后几天里每天至少要读x 页,所列不等式为___________.三、解答题17．我市某初中举行“八荣八耻”知识抢答赛，总共50道抢答题. 抢答规定：抢答对1题得3分，抢答错1题扣1分，不抢答得0分. 小军参加了抢答比赛，只抢答了其中的20道题，要使最后得分不少于50分，问小军至少要答对几道题？18. 在数学学习中，及时对知识进行归纳、类比和整理是提高学习效率的有效策略，善于学习的小明在学习解一元一次不等式中，发现它与解一元一次方程有许多相似之处．小明列出了一张对照表：从表中可以清楚地看出，解一元一次不等式与解一元一次方程有一定的联系，利用这种联系解决下列问题：（1）若不等式kx ＞b 的解集是x ＜1，求方程kx=b 的解；（2）若方程kx=b 的解是x=-1，求不等式kx ＞b 的解集．19.解下列不等式（组），并把不等式的解集表示在数轴上．（1）4(1)33(21)x x -+≤+ （2）125336x --<≤20．2008年 5月12日，四川汶川发生了里氏0.8级大地震，给当地人民造成了巨大的损失．“一方有难，八方支援”，我市某中学全体师生积极捐款，其中九年级的3个班学生的捐款金额如下表：刘老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上，但他知道下面三条信息：信息一：这三个班的捐款总金额是7700元；信息二：（2）班的捐款金额比（3）班的捐款金额多300元；信息三：（1）班学生平均每人捐款的金额大于．．50元．．．48元，小于请根据以上信息，帮助刘老师解决下列问题：（1）求出（2）班与（3）班的捐款金额各是多少元；（2）求出（1）班的学生人数．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D；【解析】不等式的基本性质．2. 【答案】A；3. 【答案】B；4. 【答案】D；【解析】不等号的方向改变，说明a+1＜0，即a＜﹣1．5. 【答案】B；【解析】解得原不等式的解集为0≤x＜3,其中正整数有1、2，共2个．6. 【答案】B；【解析】是一元一次不等式的是①和⑤．７.【答案】B；【解析】解不等式得，则正整数解为1，2．８.【答案】C；【解析】，解得n=0、1、2，共３组．二．填空题9. 【答案】；【解析】－3x+5410. 【答案】1、2；x<，所以正整数有1、2．【解析】由图可得311. 【答案】－1，0；【解析】不等式组的解集为11x -≤<，整数解为-1，0．12. 【答案】4a <；【解析】由2230x x y a =⎧⎨--=⎩，解得2220y x a a =-=⨯->，化简得4a <．13. 【答案】1≤x ＜3；14. 【答案】； 【解析】解方程得，则．15. 【答案】ｍ＜２；【解析】由不等式的基本性质3得，ｍ－２＜0. 16. 【答案】（或：等）【解析】答案不唯一三.解答题17.【解析】解：设小军答对x 道题，依题意得：3x －（20 －x ）50≥，解得：2117≥x . ∵x 为正整数，∴x 的最小正整数为18.答：小军至少要答对18道题.18.【解析】解：（1）1=x .（2）当0k >时，1x >-；当.10-<<x k 时， 19. 【解析】解：（1）44363x x -+≤+410x ≤∴25x ≥ 将解集表示在数轴上，如下图：（2）18245x -<-≤2043x -<-≤∴354x >≥-将解集表示在数轴上，如下图：20.【解析】解：（1）设（2）班与（3）班的捐款金额各是y x ,元， 据题意得： ⎩⎨⎧=++=-77002000300y x y x解得：⎩⎨⎧==27003000y x 答：设（2）班与（3）班的捐款金额各是3000元和2700元．（2）再设（1）班的学生人数为z 人，据题意得： ⎩⎨⎧><200050200048z z解得：⎩⎨⎧><4066.41z z z 为正整数，所以41=z ．答: （1）班的学生人数为41人．。
人教版七年级数学下册第9章。
一元一次不等式组知识点专题复习讲义一元一次不等式组知识点专题复讲义一、知识梳理1.知识结构图概念基本性质不等式的解法不等式的定义不等式的解集一元一次不等式的解法实际应用一元一次不等式组的解法二、知识点回顾1.不等式不等式是由不等号连接起来的式子。
常见的不等号有五种：“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”。
2.不等式的解与解集不等式的解是使不等式成立的未知数的值。
不等式的解集是一个含有未知数的不等式的解的全体。
解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点。
解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左。
3.不等式的基本性质1) 不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
4.一元一次不等式一元一次不等式只含有一个未知数，且未知数的次数是1.系数不等于的不等式叫做一元一次不等式。
其标准形式为：ax+b＜或ax+b≤，ax+b＞或ax+b≥0(a≠0)。
5.解一元一次不等式的一般步骤1) 去分母；2) 去括号；3) 移项；4) 合并同类项；5) 化系数为1.删除格式错误的段落。
对于每段话，进行小幅度的改写，使其更加通顺易懂。
解一元一次不等式和解一元一次方程类似。
不同的是，一元一次不等式两边同乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向必须改变。
这是解不等式时最容易出错的地方。
例如，解不等式：-2/3x-1≤1/3解：去分母，得（3x-1）-2（3x-1）≤2（不要漏乘！每一项都得乘）去括号，得3x-3-6x+2≤2（注意符号，不要漏乘！）移项，得3x-6x≤2+3-1（移项要变号）合并同类项，得-3x≤4（计算要正确）系数化为1，得x≥-4/3（同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了）一元一次不等式组是含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组。
不等式与不等式组全章教案一、教学目标知识与技能：使学生掌握不等式的概念、性质和基本运算，能够解一元一次不等式；理解不等式组的含义，学会解不等式组，并能解决实际问题。
过程与方法：通过观察、实验、探究、归纳等方法，让学生体会数学与现实生活的联系，提高学生解决实际问题的能力。
情感态度与价值观：培养学生积极参与数学学习的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在生活中的重要性。
二、教学内容1. 不等式的概念与性质（1）不等式的概念：介绍不等式的定义，让学生理解不等式表示两个数之间的大小关系。
（2）不等式的性质：讲解不等式的基本性质，如加减乘除不等式的性质，以及不等式两边乘以或除以同一个负数时不等号的方向改变等。
2. 不等式的基本运算（1）不等式的加减运算：讲解不等式加减运算的规则，让学生能够熟练进行不等式的加减运算。
（2）不等式的乘除运算：讲解不等式乘除运算的规则，让学生能够熟练进行不等式的乘除运算。
3. 一元一次不等式的解法（1）不等式的解集：讲解如何求解一元一次不等式的解集，让学生能够理解解集的含义。
（2）不等式的解法：讲解如何利用数轴求解一元一次不等式，让学生能够熟练运用数轴求解不等式。
4. 不等式组的解法（1）不等式组的概念：介绍不等式组的定义，让学生理解不等式组表示多个不等式之间的大小关系。
（2）不等式组的解法：讲解如何解不等式组，让学生能够熟练解不等式组，并求出解集。
三、教学重点与难点重点：不等式的概念、性质和基本运算，一元一次不等式的解法，不等式组的解法。
难点：不等式组的解法，特别是多个不等式组合时的解法。
四、教学方法与手段采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等，利用多媒体课件、黑板、教具等教学手段，生动形象地展示教学内容，引导学生主动参与学习过程。
五、教学安排本章内容安排如下：第1课时：不等式的概念与性质第2课时：不等式的基本运算（加减运算）第3课时：不等式的基本运算（乘除运算）第4课时：一元一次不等式的解法第5课时：一元一次不等式的应用第6课时：不等式组的解法（含练习）第7课时：不等式组的应用（含练习）第8课时：复习与总结第9课时：练习与提高第10课时：课堂小结与作业布置六、教学内容6. 不等式的应用（1）实际问题与不等式：通过生活实例，让学生了解如何将实际问题转化为不等式问题。
《一元一次不等式与不等式组》全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；5.通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识.【知识网络】【要点梳理】要点一、不等式1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.要点诠释：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如x a≤等；另一种是>，x a用数轴表示，如下图所示：（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．2. 不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．要点二、一元一次不等式1.定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式．要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.要点诠释：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 要点三、一元一次不等式组关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.要点诠释：（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.（4）一元一次不等式组的应用：①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．方程ax b +＝0（a ≠0）的解值为0？（即直线y ＝0）交点的横坐标.求关于x 、y 的二元一次方程组1122=+⎧⎨=+⎩，．y a x b y a x b 的解．x 为何值时，函数11y a x b =+与函数22y a x b =+的值相等？ 确定直线11y a x b =+与直线22y a x b =+的交点的坐标.求关于x 的一元一次不等式ax b +＞0（a ≠0）的解集 x 为何值时，函数y ax b =+的值大于0？确定直线y ax b =+在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.【典型例题】 类型一、不等式1.用适当的符号语言表达下列关系： （1）a 与5的和是正数. （2）b 与-5的差不是正数. （3）x 的2倍大于x. （4）2x 与1的和小于零.（5）a 的2倍与4的差不少于5. 【答案与解析】解：（1）a+5>0；（2）b-（-5）≤0； （3）2x>x ； （4）2x+1<0；（5）2a-4≥5. 【总结升华】正确运用不等符号翻译表述一些数学描述是学好不等式的关键，要关注一些常见的描述语言，如此处：不是、不少于、不大于…… . 举一反三：【变式】用适当的符号语言表达下列关系：（1）y 的12与3的差是负数.（2）x 的12与3的差大于2.（3）b 的12与c 的和不大于9. 【答案】（1）1302y -<； （2）1322x ->；（3）192b c +≤.2.用适当的符号填空：（1）如果a<b ，那么a-3__b-3； 7a__7b ；-2a__-2b. （2）如果a<b ，那么a-b__0；a+5b__6b ；11__22a b b -. 【思路点拨】不等式的基本性质1,2,3． 【答案】（1）＜； ＜；＞． （2）＜；＜；＜． 【解析】（1）在不等式a<b 两边同减去3，得a-3＜b-3；在不等式a<b 两边同乘以7，得7a ＜7b ； 在不等式a<b 两边同乘以﹣2，得-2a ＞-2b ． （2）在不等式a<b 两边同减去b ，合并得a-b ＜0；在a<b 两边同加上5b ，合并得a+5b ＜6b ； 在a<b 两边同减去12b ，合并得1122a b b -<． 【总结升华】刚开始在面对不等式的基本变形时，要不断强化在变形上所运用的具体性质，同时也要逐步积累一些运用性质变形后的化简结果，这样学习到的不等式的基本性质才能落在实处．举一反三：【变式1】用适当的符号填空： （1）7a+6__7a-6；（2）若ac ＞bc ，且c ＜0，则a b ． 【答案】（1）>；（2）＜． 【变式2】判断（1）如果a b >，那么22ac bc >； （2）如果22ac bc >，那么a b >. 【答案】（1）×；（2）√． 类型二、一元一次不等式3. 解不等式：3(1)5182x x x +-+>-． 【思路点拨】不等式中含有分母，应先根据不等式的基本性质2去掉分母，再作其他变形．去分母时，不要忘记给分子加括号． 【答案与解析】解：去分母，得8x+3(x+1)＞8-4(x -5)， 去括号，得8x+3x+3＞8-4x+20， 移项，得8x+3x+4x ＞8+20-3，合并同类项，得15x ＞25，系数化为1．得53x >． ∴不等式的解集为53x >．ax ＝bax ＞bax ＜b解：当a ≠0时，b x a=； 当a ＝0，b ≠0时，无解； 当a ＝0，b ＝0时，x 为任意有理数． 解：当a ＞0时，b x a>； 当a ＜0时，b x a<； 当a ＝0，b ≥0时，无解； 当a ＝0，b ＜0时，x 为任意有理数． 解：当a ＞0时，b x a<； 当a ＜０时，b xa>；当a ＝0，b ≤0时，无解； 当a ＝0，b ＞0时，x 为任意有理数．举一反三：【变式】(湖南益阳)解不等式5113x x -->，并把解集在数轴上表示出来．【答案】解：去分母得5x -1-3x ＞3，移项、合并同类项，得2x ＞4， 系数化为1，得x ＞2，解集在数轴上的表示如图所示．4.某种商品进价为150元，出售时标价为225元，由于销售情况不好，商店准备降价出售，但要保证利润不低于10%，那么商店最多降价多少元出售商品？【思路点拨】利润＝售价－进价，售价＝进价＋利润＝进价×（1＋利润率）. 【答案与解析】解：设商店降价x 元出售该商品，则225x -≥150(110%)⨯+， 解得x ≤60.答：商店最多降价60元出售商品。
《不等式》全章复习与巩固【学习目标】1.能正确的记忆和灵活运用不等式的性质；2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型和二元一次不等式组，提高数学建模能力；3.掌握一元二次方程，二次函数，一元二次不等式，这三个“二次”的联系，会解一元二次不等式；4.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；5.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，注意基本不等式适用的条件. 【知识网络】【要点梳理】要点一：不等式的主要性质 (1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,；bc ac c b a <⇒<>0,， bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(5) 乘方法则：0n na b a b >>⇒>(*1)n N n ∈>且 (6) 开方法则：0a b >>⇒>(*1)n N n ∈>且不等式不等关系与不等式 一元二次不等式及其解法 二元一次不等式（组）与平面区域基本不等式最大（小）值问题简单的线性规划要点诠释：不等式性质中要注意等价双向推出和单向推出关系的不同. 要点二：三个“二次”的关系一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<(0)a >的解集：设相应的一元二次方程20ax bx c ++=(0)a >的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：0>∆0=∆0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅解一元二次不等式的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数：2A ax bx c =++(0)a > （2）计算判别式∆，分析不等式的解的情况：①0∆>时，求根12,x x （注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0∆=时，求根abx x 221-==； ③0∆<时，方程无解 （3）写出解集.要点诠释：若0a <，可以转化为0a >的情形解决. 要点三：线性规划用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax+By+C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax+By+C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）线性规划的有关概念： ①线性约束条件：如果两个变量x 、y 满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z=ax+by(a ，b ∈R)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：在线性规划问题中，满足线性约束条件的解（x,y ）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域． 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 要点诠释：求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤 （1）设变量，建立线性约束条件及线性目标函数； （2) 由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3)求出线性目标函数在可行域内的最值(即最优解)； （4)作答．要点四：基本不等式 两个重要不等式①,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）；②基本不等式：如果,a b 是正数，那么2a b+≥（当且仅当a b =时取等号“=”）. 算术平均数和几何平均数算术平均数：2ba +称为,ab 的算术平均数； 几何平均数：ab 称为,a b 的几何平均数；因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 基本不等式的应用,(0,)x y ∈+∞,且xy P =（定值），那么当x y =时，x y +有最小值； ,(0,)x y ∈+∞,且x y S +=（定值），那么当x y =时，xy 有最大值2S 41. 要点诠释 ：在用基本不等式求函数的最值时，应具备的三个条件 ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 几个常用变形不等式：①222()a b 2a b ++≥（当且仅当a=b 时等号成立）；②（a+b ）2≥4ab （当且仅当a=b 时等号成立）； ③()02>⋅≥+b a abb a ；特别地：()021>≥+a aa ；④ba ab ab b a b a +≥≥+≥+22222 (),a b R +∈. 【典型例题】 类型一：不等式的性质例1．若,a b 为实数，则下列结论中正确的是（ ）A. 若01ab <<，则1a b <或1b a > B. 若01ab <<，则1a b >或1b a<C. 若1a b <或1b a >，则01ab <<D. 若1a b >或1b a<，则01ab <<【思路点拨】利用不等式的性质，逐项进行判断.【解析】若01ab <<，则,a b 同号.当0,0a b >>时，由1ab <得1a b <； 当0,0a b <<时，由1ab <得1b a>.所以A 项正确，B 项错误. 由1a b <得10a b -<，即10ab b -<，所以0,1.b ab >⎧⎨<⎩或0,1.b ab <⎧⎨>⎩ 同理，由1b a >得0,1.a ab >⎧⎨>⎩或0,1.a ab <⎧⎨<⎩ 显然C 项不正确. 同理D 项也不正确.【总结升华】解答此类问题应注意一下几个方面： （1）准确理解不等式的性质；（2）掌握作差法比较大小这种最基本的方法； （3）了解符号的运算规律；（4）灵活利用特殊数值对结论进行检验. 举一反三：【变式1】已知0,0,a b c >><求证c c a b >。
【答案】因为0a b >>，所以ab>0，10ab>.于是 11a b ab ab ⨯>⨯，即11b a >由c<0 ，得c ca b>【变式2】已知,m n R ∈，则11m n>成立的一个充要条件是（ ）A.0m n >>B.0n m >>C.()0mn m n -<D.0m n << 【答案】C例2．已知函数2()f x ax c =-,满足4(1)1f -≤≤-,1(2)5f -≤≤,那么(3)f 的取值范围是 .【思路点拨】将(3)f 用(1)f 及(2)f 表示出来，再利用不等式性质求得正确的范围.【解析】解法一：方程思想(换元)：由⎩⎨⎧=-=-)2(4)1(f c a f c a ，求得[]1(2)(1)341(1)(2)33a f f c f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩∴ )2(38)1(359)3(f f c a f +-=-= 又 340)2(3838,320)1(3535≤≤-≤-≤f f ∴ 20)2(38)1(351≤+-≤-f f ，即20)3(1≤≤-f 。
解法二：待定系数法设f(3)=9a-c=mf(1)+nf(2)=m(a-c)+n(4a-c)5-493()---183m m n m n n ⎧=⎪+=⎧⎪⇒⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩下略 解法三：数形结合(线性规划)-4(1)-1-4--1-1(2)5-14-5f a c f a c ≤≤≤≤⎧⎧⇒⎨⎨≤≤≤≤⎩⎩所确定区域如图：设9-z a c =，将边界点(0,1)(3,7)代入即求出.【总结升华】利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意：“同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心谨慎，先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”，是避免犯错误的一条途径.举一反三：【变式】已知15a b -≤+≤，13a b -≤-≤，求32a b -的取值范围。
【答案】[-3，10] 类型二：不等式的求解例3．已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈的值域为[0,)+∞，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(,6)m m +，则实数c 的值为_______.【解析】2()f x x ax b =++的值域为[0,)+∞，204a b ∴-=，222()()42a a f x x ax x ∴=++=+，又()f x c <的解集为(,6)m m +，6m m a ∴++=-，132m a ∴=--，2211()(3)(3)9224a c f m a a a ∴==--+--+=.【总结升华】解决本题的关键是（1）准确把握一元二次不等式的解法；（2）掌握一元二次不等式的解集、一元二次方程的根与一元二次函数的零点三者之间的关系，根据需要进行彼此的互化.例4． 已知关于x 的方程220x ax --=的两根为12,x x ，试问是否存在实数m ，使得不等式21m lm ++≥ 12x x -对任意实数a ∈[－1,1]及l ∈[－1,1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．12121212212222||[1,1]||1||[1,1][1,1]13[1,1]20[1,1]x x a x x x x a x x m lm x x a l m lm l m lm l ∈≥∈∈≥∈≥∈【解析】由题意有＋＝，＝－，所以－因为－，所以－要使不等式＋＋－对任意－及－恒成立，当且仅当＋＋对任意－恒成立，即＋－对任意－恒成立．()222212(2)1201202 2.1||[1,1][1,1](2][2)g l ml m g m m g m m m m m m lm x x a l m ⎧(-)=--≥⎨()=+-≥⎩≤≥≥∈∈∞∞设＝＋－．由，解得－或故存在实数，使得不等式＋＋－对任意实数－及－恒成立，且的取值范围是－，－，＋．【总结升华】①在含参不等式问题中，二次不等式恒成立的充要条件的理论依据: ax 2+bx+c>0对任何x ∈R 恒成立⇔a>0且Δ=b 2-4ac<0； ax 2+bx+c<0对任何x ∈R 恒成立⇔a<0且Δ=b 2-4ac<0。
