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根据高中数学概率论定理总结：事件的互斥与独立性高中数学概率论涉及到事件的互斥与独立性，这两个概念在概率计算中非常重要。
本文将总结和解释这些概念的相关理论。
1. 事件的互斥性互斥事件是指两个或多个事件不能同时发生的情况。
在数学中，两个事件A和B互斥意味着它们没有公共的结果。
假设事件A是投掷一个骰子得到结果为1，事件B是投掷一个骰子得到结果为6。
由于骰子的结果只能是一个数字，事件A和事件B是互斥的，因为它们不能同时发生。
事件的互斥性可以用以下公式表示：P(A ∩ B) = 02. 事件的独立性独立事件是指一个事件的发生不受其他事件的影响。
在数学中，两个事件A和B独立意味着事件A的发生不会对事件B的发生产生影响，反之亦然。
假设事件A是抽取一张红色扑克牌，事件B是抽取一张黑色扑克牌。
如果每次抽牌后都将抽出的牌放回牌组中，那么事件A和事件B是独立的，因为每次抽牌的结果都不会对下次抽牌的结果产生影响。
事件的独立性可以用以下公式表示：P(A ∩ B) = P(A) * P(B)3. 性质- 互斥事件一定是不独立的，因为它们的发生是互相排斥的。
- 独立事件不一定是互斥的，因为它们的发生可以同时存在。
4. 应用互斥性和独立性概念在实际生活中有广泛的应用。
例如，在进行赌博游戏时，不同的赌注之间往往是互斥的，因为只能选择其中一项进行下注。
另一个应用是在进行统计和概率计算时，需要判断事件之间的互斥性和独立性。
这有助于准确预测事件的发生概率和计算复杂事件的联合概率。
总结根据高中数学概率论定理，我们可以了解事件的互斥与独立性的概念。
互斥事件是指两个或多个事件不能同时发生，而独立事件是指一个事件的发生不受其他事件的影响。
这些概念在概率计算和实际生活中都有重要的应用。
1.“互斥”的含义设若事件A与B不可能同时发生，即A与B的交为不可能事件（空集），从而P(AB)=0，则称A与B互不相容或互斥。
进一步地，设若A与B同时满足必有一个事件发生的条件，即A与B的交为不可能事件，A与B的并为必然事件，从而P(A)+P(B)=1，P(AB)=0，则称A与B互相对立(互逆)事件。
上述所谓两个互斥事件A 、B 不可能同时发生，具体包括三种情景：一是仅事件A 发生；二是仅事件B 发生；三是事件A和B 都不发生。
当然，设若事件A、B 对立，则只须考虑前两种情况了。
因此，互斥的概念适用于描述多个事件之间的关系，而对立概念则只适用于描述两个事件之间的关系。
两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可能都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生。
2.“相互独立”的含义设若事件A和B满足P(A/B)=P(A)，P(B/A)=P(B) ，从而满足P(AB)=P(A)P(B)，则称该事件A和B 相互独立。
可见，事件的“互斥”和“相互独立”是两个不同的概念。
互斥说的是两个事件不能同时发生；而相互独立则是允许两个事件同时发生，只是其中一个事件的发生与否对另外一个事件发生的可能性不会产生任何影响。
因此，互斥属于纯粹用来刻画事件之间相互关系的概念；而相互独立则是用来刻画事件之间概率关系的概念。
在逻辑上，可以将互斥事件理解为一次试验下可能出现的不同基本事件，而将相互独立事件理解为两次或更多次不同试验下相应出现的不同事件。
故此，若A 与B 为互斥事件，则应使用概率加法公式来计算A或B发生的概率：P( A + B) = P( A) +P( B)。
而若A 与B 为相互独立事件，则应使用概率乘法公式来计算A和B同时发生的概率（联合概率）：P( AB) = P( A)P( B) 。
3. “相互独立”与“互斥”互不相容设若A、B相互独立，则根据定义，必有P(AB)=P(A)P(B)。
如何区分互斥事件与相互独立事件作者：田麦来源：《世纪之星·交流版》2015年第07期[摘要]解决概率问题，需要明确所求事件是由哪些基本事件构成，这些基本事件有一个发生，还是同时发生，即事件是彼此互斥的还是相互独立的。
[关键词]互斥事件；相互独立事件试验中事件的概率计算何时使用概率的加法公式，何时使用相互独立事件概率乘法公式，常是初学这部分知识的人难以把握的问题。
引起麻烦的主要根源是无法确定事件的关系是互斥的还是相互独立。
下面我们从四个方面来解决这个问题。
首先，判定两个事件之间的关系从定义入手，互斥事件发生在一次实验可能出现的不同结果中，这两个事件不可能同时发生：而相互独立事件发生在互不干涉的不同实验中，一个事件发生与否对另一个发生的概率不产生影响。
其次，从事件发生的结果入手判断事件间的关系。
互斥事件若有一个发生，那么其它事件在实验中就不再发生了。
而相互独立事件中一个事件在实验中发生，对其它事件是否发生不产生任何影响。
再次，从事件的来源入手，即从产生事件的试验入手。
互斥事件发生在同一次试验中，两个互斥事件A和B不会同时发生，但它们的概率相互影响，总有相互独立事件发生于不同试验中，两个相互独立事件A和B是否发生不影响，产生事件的试验也相互独立互不影响，概率关系同样互不影响，总有.最后，根据两个概率公式，分析适应的事件关系也可以判断事件间的关系，对于互斥事件有一个发生的概率加法公式，要求事件A、B之一发生，具有明确的排它性。
对于相互独立事件的概率乘法公式，要求事件A、B同时发生，如果满足不了同时发生的条件，那这两个事件就肯定不是相互独立事件。
所以，是否能够分清事件A和B的关系至关重要，下面举例说明：例1 甲，乙两人各进行1次射击，如果2人击中目标的概率都是0.8，计算（1）2人都击中目标的概率；＼（2）其中恰有一人击中目标的概率。
（3）至少有1人击中目标的概率。
解：（1）把甲射击一次的过程看作一次实验记“甲射击1次，击中目标”为事件A“乙射击1次，击中目标”为事件B2人各射击一次，这两个试验相互不影响，因此A，B为相互独立事件，2人都击中目标即A、B同时发生。
随机事件的互斥事件和独立事件1. 互斥事件1.1 定义互斥事件（Mutually Exclusive Events）指的是两个事件不可能同时发生。
用数学符号表示为：A ∩ B = ∅，即事件A和事件B的交集为空集。
1.2 性质（1）完备性：对于任意事件A，有P(A) = P(A ∩ B’) + P(A ∩ B)，其中B’为事件B的补集。
（2）互斥事件的概率公式：若A1, A2, …, An为互斥事件，则P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)。
1.3 应用互斥事件在实际生活中有很多应用，如在抽奖活动中，中奖和不中奖这两个事件就是互斥的。
在统计分析中，也可以利用互斥事件来计算概率。
2. 独立事件2.1 定义独立事件（Independent Events）指的是两个事件的发生与否互不影响。
用数学符号表示为：P(A ∩ B) = P(A)P(B)。
2.2 性质（1）组合性：对于任意事件A和B，有P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)。
（2）独立事件的乘法公式：若A1, A2, …, An和B1, B2, …, Bm为独立事件，则P(A1 ∩ B1 ∩ … ∩ An ∩ Bm) = P(A1)P(B1) … P(An)P(Bm)。
2.3 应用独立事件在实际生活中也有很多应用，如在投掷两个骰子的情况下，第一个骰子出现1点，第二个骰子出现2点的概率就是独立事件。
在统计分析中，独立事件可以用来计算联合概率。
3. 互斥事件与独立事件的区别与联系3.1 区别（1）定义不同：互斥事件指的是两个事件不可能同时发生，而独立事件指的是两个事件的发生与否互不影响。
（2）概率公式不同：互斥事件的概率公式为P(A ∩ B’) + P(A ∩ B)，独立事件的概率公式为P(A)P(B)。
3.2 联系（1）互补事件：互斥事件和独立事件都可以看作是互补事件。
§10.5互斥事件与独立事件知识梳理1．互斥事件(1)定义不能同时发生的两个事件称为互斥事件．(2)互斥事件的加法公式如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．一般地，如果事件A1，A2，…，A n两两互斥，那么P(A1＋A2＋…＋A n)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．2．对立事件如果两个互斥事件必有一个发生，那么称这两个事件为对立事件．事件A的对立事件记为A，对立事件概率公式P(A)＝1－P(A)．3．相互独立事件(1)概念：一般地，如果事件A是否发生不影响事件B发生的概率，那么称A，B为相互独立事件．(2)结论：A，B相互独立⇔P(AB)＝P(A)P(B)．(3)相互独立事件的性质如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．4．随机事件的概率其他常用性质(1)当A⊆B时，P(A)≤P(B)；(2)当A，B不互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)．常用结论1．当事件A，B互斥时，不一定对立；当事件A，B对立时，一定互斥．即两事件互斥是对立的必要不充分条件．2．两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对立事件一定是互斥事件．(√)(2)若P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，则事件A，B互斥且对立．(×)(3)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(×)(4)抛掷2枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，则A，B相互独立．(√)教材改编题1.事件A与事件B的关系如图所示，则()A．A⊆BB．A⊇BC．A与B互斥D．A与B互为对立事件答案C解析由题图知，事件A与事件B不能同时发生，且A∪B≠Ω，因此A与B互斥不对立，故选C.2．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2,0.3,0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为()A．0.9B．0.3C．0.6D．0.4答案D解析设“该射手在一次射击中不够8环”为事件A，则P(A)＝1－P(A)＝1－0.6＝0.4. 3．一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为()A．1B．0.629C．0D．0.74或0.85答案B解析由题意知甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，∴甲、乙两根保险丝都熔断的概率为0.85×0.74＝0.629.题型一互斥事件与对立事件例1(1)(多选)某人打靶时连续射击两次，设事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，则下列结论正确的是()A．A⊆BB．A∩B＝∅C．A∪B＝“至少一次中靶”D．A与B互为对立事件答案BC解析事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，所以A，B是互斥但不是对立事件，所以AD选项错误，B选项正确．A∪B＝“至少一次中靶”，C选项正确．(2)(多选)将颜色分别为红、绿、白、蓝的4个小球随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人一个，则()A．事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”是互斥不对立事件B．事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是互斥不对立事件C．事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球，丁分得红球”D．当事件“甲分得红球”的对立事件发生时，事件“乙分得红球”发生的概率是13答案BD解析事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”可以同时发生，不是互斥事件，A错误；事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”不能同时发生，是互斥事件，除了甲分得红球或者乙分得红球以外，丙或者丁也可以分得红球，B正确；事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”与事件“丙分得白球，丁分得红球”可以同时发生，不是对立事件，C错误；事件“甲分得红球”的对立事件是“甲没有分得红球”，因此乙、丙、丁三人中有一个人分得红球，事件“乙分得红球”发生的概率是13，D正确．教师备选1．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：C i＝“点数为i”，其中i＝1,2,3,4,5,6；D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，D3＝“点数大于5”；E＝“点数为奇数”，F＝“点数为偶数”．下列结论正确的是()A．C1与C2对立B．D1与D2互斥C．D3⊆F D．E⊇(D1∩D2)答案C解析对于A，C1＝“点数为1”，C2＝“点数为2”，C1与C2互斥但不对立，故选项A不正确；对于B，D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，当出现的点是2时，D1与D2同时发生，所以D1与D2不互斥，故选项B不正确；对于C，D3＝“点数大于5”表示出现6点，F＝“点数为偶数”，所以D3发生F一定发生，所以D3⊆F，故选项C正确；对于D，D1∩D2表示两个事件同时发生，即出现2点，E＝“点数为奇数”，所以D1∩D2发生，事件E不发生，所以E⊇(D1∩D2)不正确，故选项D不正确．2．(多选)从1至9这9个自然数中任取两个，有如下随机事件：A＝“恰有一个偶数”；B＝“恰有一个奇数”；C＝“至少有一个是奇数”；D＝“两个数都是偶数”；E＝“至多有一个奇数”．下列结论正确的有()A．A＝B B．B⊆CC．D∩E＝∅D．C∩D＝∅，C∪D＝Ω答案ABD解析事件A，B都指的是一奇一偶，故A正确；至少有一个奇数，指两个数是一奇一偶，或是两个奇数，所以B⊆C，故B正确；至多有一个奇数指一奇一偶，或是两偶，此时事件D，E有公共事件，故C错误；此时C，D是对立事件，所以C∩D＝∅，C∪D＝Ω.思维升华事件的关系运算策略(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生．(2)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件．跟踪训练1(1)(2022·长春模拟)口袋中装有3个红球和4个黑球，每个球编有不同的号码，现从中取出3个球，则互斥而不对立的事件是()A．至少有1个红球与至少有1个黑球B．至少有1个红球与都是黑球C．至少有1个红球与至多有1个黑球D．恰有1个红球与恰有2个红球答案D解析对于A，不互斥，如取出2个红球和1个黑球，与至少有1个黑球不是互斥事件，所以A不符合题意；对于B，至少有1个红球与都是黑球不能同时发生，且必有其中1个发生．所以为互斥事件，且为对立事件，所以B不符合题意；对于C，不互斥．如取出2个红球和1个黑球，与至多有1个黑球不是互斥事件，所以C不符合题意；对于D，恰有1个红球与恰有2个红球不能同时发生，所以为互斥事件，但不对立，如还有3个红球．(2)抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：A i＝“向上的点数为i”，其中i＝1,2,3,4,5,6，B＝“向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是()A.A1⊆B B．A2＋B＝ΩC．A3与B互斥D．A4与B对立答案C解析对于A，A1＝{2,3,4,5,6}，B＝{2,4,6}，∴B⊆A1，故A错误；对于B，A2＋B＝{2}∪{2,4,6}＝{2,4,6}≠Ω，故B错误；对于C，A3与B不能同时发生，是互斥事件，故C正确；对于D，A4＝{4}，B＝{1,3,5}，A4与B是互斥但不对立事件，故D错误．题型二概率的基本性质例2某医院要派医生下乡义诊，派出医生的人数及其概率如下表所示．人数01234大于等于5概率0.10.160.30.20.20.04(1)求派出医生至多2个的概率；(2)求派出医生至少2个的概率．解设“不派出医生”为事件A，“派出1名医生”为事件B，“派出2名医生”为事件C，“派出3名医生”为事件D，“派出4名医生”为事件E，“派出5名及5名以上医生”为事件F，事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04.(1)“派出医生至多2个”的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)方法一“派出医生至少2人”的概率为P(C＋D＋E＋F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74.方法二“派出医生至少2个”的概率为1－P(A＋B)＝1－0.1－0.16＝0.74.教师备选1．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“向上的点数是奇数”，事件B表示“向上的点数不超过3”，则P(A＋B)等于()A.12B.23C.56D ．1答案B 解析方法一A 包含向上点数是1,3,5的情况，B 包含向上的点数是1,2,3的情况，所以A ＋B 包含了向上点数是1,2,3,5的情况，故P (A ＋B )＝46＝23.方法二P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝12＋12－26＝1－13＝23.2．甲、乙、丙、丁四名同学排成一排照相，则甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有一名同学的概率为()A.18B.16C.14D.12答案C解析所有的排法有A 44＝24(种)，若甲、丙之间恰好为乙，则有A 22A 22种排法；若甲、丙之间恰好为丁，则有A 22种排法，故所求的概率为P ＝A 22A 22＋A 22A 44＝624＝14.思维升华求复杂互斥事件的概率的两种方法(1)直接法(2)间接法(正难则反，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解简单)．跟踪训练2(1)(2022·东营模拟)五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为宫、商、角、徵、羽．如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这个音序中宫和羽至少有一个的概率为()A.12B.710C.920D.1120答案B解析设从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，这个音序中宫和羽至少有一个为事件A ，则A 表示这个音序中不含宫和羽这两个音序，∴P (A )＝1－P (A )＝1－A 23A 25＝1－3×25×4＝710.(2)(多选)黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：血型A B AB O 该血型的人所占比例0.280.290.080.35已知同种血型的人可以输血，O 型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给AB 血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血．下列结论正确的是()A ．任找一个人，其血可以输给B 型血的人的概率是0.64B ．任找一个人，B 型血的人能为其输血的概率是0.29C ．任找一个人，其血可以输给O 型血的人的概率为1D ．任找一个人，其血可以输给AB 型血的人的概率为1答案AD解析任找一个人，其血型为A ，B ，AB ，O 型血的事件分别为A ′，B ′，C ′，D ′，它们两两互斥．由已知，有P (A ′)＝0.28，P (B ′)＝0.29，P (C ′)＝0.08，P (D ′)＝0.35.因为B ，O 型血可以输给B 型血的人，所以“可以输给B 型血的人”为事件B ′∪D ′，根据概率的加法公式，得P (B ′＋D ′)＝P (B ′)＋P (D ′)＝0.29＋0.35＝0.64，故A 正确；B 型血的人能为B 型、AB 型的人输血，其概率为0.29＋0.08＝0.37，B 错误；由O 型血只能接受O 型血的人输血知，C 错误；由任何人的血都可以输给AB 型血的人，知D 正确．题型三相互独立事件的概率例3(1)(2021·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()A ．甲与丙相互独立B ．甲与丁相互独立C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立答案B解析事件甲发生的概率P (甲)＝16，事件乙发生的概率P (乙)＝16，事件丙发生的概率P (丙)＝56×6＝536，事件丁发生的概率P (丁)＝66×6＝16.事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P (甲丙)≠P (甲)P (丙)，故A 错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为16×6＝136，P (甲丁)＝P (甲)P (丁)，故B 正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为16×6＝136，P (乙丙)≠P (乙)P (丙)，故C 错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D 错误．(2)(2022·福州模拟)投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏．晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳，因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳(投入壶耳)”．每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭，投入壶口一次得1分，投入壶耳一次得2分．现有甲、乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口、壶耳是相互独立的)，甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壶口的概率为13，投中壶耳的概率为15.四支箭投完，以得分多者赢．请问乙赢得这局比赛的概率为()A.1375B.375C.815D.875答案A解析由题意，若乙要赢得这局比赛，按照乙第三支箭的情况可分为两类：(1)第三支箭投中壶口，第四支箭必须投入壶耳，其概率为P 1＝13×15＝115；(2)第三支箭投入壶耳，第四支箭投入壶口、壶耳均可，其概率为P 2＝15×＝875，所以乙赢得这局比赛的概率为P ＝P 1＋P 2＝115＋875＝1375.思维升华求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积．(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．跟踪训练3溺水、触电等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，假设甲队每人回答问题的正确率均为23，乙队每人回答问题的正确率分别为12，23，34，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响．(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率；(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．解(1)记“甲队总得分为3分”为事件A ，“甲队总得分为1分”为事件B .甲队得3分，即三人都回答正确，其概率P (A )＝23×23×23＝827，甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余2人都回答错误，其概率P (B )＝23××23××23＝29.故甲队总得分为3分与1分的概率分别为827，29.(2)记“甲队总得分为2分”为事件C ，“乙队总得分为1分”为事件D .甲队得2分，即甲队三人中有2人回答正确，1人回答错误，则P (C )＝23×23×＋23××23＋×23×23＝49，乙队得1分，即乙队三人中只有1人回答正确，其余2人回答错误，则P (D )＝12××23××34＝14.由题意得事件C 与事件D 相互独立，则甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为P (CD )＝P (C )P (D )＝49×14＝19.。
独立事件与互斥事件概念解析独立事件和互斥事件都是概率论中的重要概念。
它们用于描述不同事件之间的关系，理解这两个概念对于正确计算概率和进行概率推断至关重要。
独立事件定义在概率论中，独立事件指的是两个或多个事件之间不会相互影响的情况。
也就是说，当一个事件发生时，并不会对其他事件的发生概率产生影响。
换句话说，独立事件是指事件之间的发生与否相互独立，没有关联性。
例如，假设我们有一个袋子里有红球和蓝球，每次从袋子里随机取出一个球后，放回袋子中再取，这个过程可以重复多次。
在这种情况下，每次取球时的结果都是独立事件，因为之前取球的结果不会对后续的取球产生影响。
互斥事件定义互斥事件指的是两个或多个事件之间不存在重叠部分的情况。
当一个事件发生时，其他事件就不可能发生。
换句话说，互斥事件是指事件之间的发生与否是相互排斥的。
以抛掷一枚硬币为例，当我们抛掷硬币时，结果只能是正面或者反面。
这两个结果是互斥事件，因为无法同时出现正面和反面。
抛掷硬币的结果被称为一个事件，而正面和反面是互斥事件。
两者关系比较独立事件和互斥事件都是用来描述事件之间的关系，但它们在本质上是不同的。
首先，独立事件是指事件之间的发生与否相互独立，没有关联性；而互斥事件则是指事件之间的发生与否是相互排斥的。
其次，独立事件的发生不会对其他事件的发生概率产生影响；而互斥事件的发生与否是互相排斥的，当一个事件发生时，其他事件就不可能发生。
最后，独立事件和互斥事件在计算概率时的处理方法也不同。
对于独立事件，我们可以直接将各个事件的概率相乘来计算整体概率；而对于互斥事件，我们需要将各个事件的概率相加来计算整体概率。
结论独立事件是指事件之间的发生与否相互独立，没有关联性；互斥事件是指事件之间的发生与否是相互排斥的。
理解独立事件和互斥事件的概念对于正确计算概率和进行概率推断至关重要。
在实际应用中，我们需要根据具体情况判断事件之间的关系，选择适当的方法进行概率计算和分析。
“互斥事件”与“相互独立事件”的概念辨析
江少芳 上海市上海大学附属中学 邮编 （200444）
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互斥事件和相互独立事件是概率论中的两个重要概念，但是很多同学在学习了这两个概念之后产生了混淆，从而在解题时导致了一些不易察觉的错误，那么互斥事件和相互独立事件到底有什么联系与区别？下面就来对这两个概念做一个有效的辨析。
一、概念辨析：
（1）互斥事件：对于事件A 、B ，若不可能同时发生，则称A 、B 为互斥事件。
从集合的角度来认识，满足A B φ⋂=，进一步的，当A B =ΩU 时，事件A 、B 是对立事件。
因此有概率加法公式：()()()P A B P A P B ⋃=+，
即()0P AB =，特别地，当A 、B 对立，记B A =，有()()=1P A P A +。
（2）独立事件：对于事件A 、B ，如果()()()P AB P A P B =•，那么称A 、B 是相互独立事件。
直观解释就是，事件A （或B ）发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响。
上述定义中的公式即相互独立事件的概率乘法公式。
可以证明，如果A 与B 相互独立，则A B A B A B 与、与、与也都相互独立。
二、实例辨析：
判断下列事件A 、B 是否是互斥事件？是否是相互独立事件？
（1）将一枚硬币连抛两次，事件A ：“两次出现正面”，事件B ：“只有一次出现正面”； 解析：显然事件A 、B 不可能同时发生，故为互斥事件，()0P AB =。
()()()()()11,42
P A P B P AB P A P B ==≠•Q 又，则，因此A 、B 不是相互独立事件。
（2）如图所示，用A 、B 两类不同的元件连接成系统S ，当元件A 、B 都正常工作时，系统S 正常工作，已知元件A 、B 正常工作的概率依次为、，求系统S 正常工作的概率；
解析：设元件A 、B 正常工作分别为事件A 、B ，由已知得()()0.80.9P A P B ==，，显然事件A （或B ）发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，A 、B 是相互独立事件，()()()0.720P AB P A P B =•=≠，即事件A 、B 完全可能同时发生，不是互斥事件。
（3）一个袋子里装有同质的5个白球和3个黄球，事件A ：“从8个球中任取1个，取出的是白球”，事件B ：“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
解析：显然事件A 、B 完全可能同时发生，不是互斥事件，()2528514
C P AB C ==，又()58P A =，当A 发生时，()47P B =，当A 不发生时，()57
P B =，因此事件A 、B 也不是相互独立事件。
（4）事件A ：“常温下，水结冰”，事件B ：“掷一枚硬币，出现正面”；
分析：显然事件A 是不可能事件，所以()0P A =，因此A 、B 不可能同时发生，是互斥事件，并且不管A 是否发生，都有()12
P B =，也即A 、B 也是相互独立事件。
()()()=0P AB P A P B =•。
三、归纳感悟： 从上述实例中我们会发现，互斥事件与相互独立事件有如下关系：
（1）对事件A 、B ，若()()00P A P B ≠≠且，有以下结论：若A 、B 相互独立，则A 、B 一定不互斥（否则与()0P AB =矛盾）；若A 、B 互斥，则A 、B 一定不相互独立。
反之，不互斥的两个事件可能相互独立也可能不相互独立，同样，不相互独立的两个事件可能互斥也可能不互斥。
（2）若事件A 、B 至少有一个为不可能事件，即至少有一个的概率为0，则A 、B 一定互斥，且一定相互独立。
同时，我们也不难归纳出对两个事件是否相互独立的两种判断方法：
（1）经验法：根据问题的实质，从直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率，若没有影响，则可判断相互独立。
（2）定义法：根据定义式()()()P AB P A P B =•来判断，这是因为并不是所有的问题都是那么容易通过“直觉”判断的，比如说一个家庭中有两个小孩（假定生男、生女是等可能的），令{}{}=A B =一个家庭中有男孩、又有女孩，一个家庭中最多有一个女孩，
则()()()(){}=Ω男，男，男，女，女，男，女，女，()(){}A =男，女，女，男，()12P A =
，()()(){}B =男，男，男，女，女，男， ()34P B =，()(){}AB =男，女，女，男，()12
P AB =，由此可知，()()()P AB P A P B ≠，故A B 与不相互独立。
四、综合应用：
甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率均为，求：
（1）两人都击中目标的概率；
（2）其中恰有1人击中目标的概率；
（3）至少有1人击中目标的概率。
解析：（1）记“甲射击一次击中目标”为事件A ，“乙射击一次击中目标”为事件B ，显然A 、 B 相互独立，所以()()()0.80.80.64P AB P A P B =•=⨯=。
（2）有两种情况：甲击中乙未击中，即AB 或甲未击中乙击中，即AB ，显然在一次试验中，两种情况不可能同时发生，即AB 与AB 是互斥的，又因为A B A B 与及与是相互独立的，所以()()()P AB AB P AB P AB =+U ()()()
()P A P B P A P B =•+•()=0.810.8⨯-+ ()10.80.8=0.32-⨯
（3）从正面考虑有三种情况：AB 或AB AB 或，从对立角度考虑只有一种情况：AB ，因为A B 与相互独立，所以()()()()()()()
11P AB P A P B P A P B =•=-•- =0.20.2=0.04⨯，所求概率为()10.96P AB -=。
总而言之，只有当我们厘清了事件之间的相互关系之后，才能正确的使用公式，才能对所要解答的问题有客观的认识从而作出准确的解答。
参考文献
魏宗舒等.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，1983：41-46。
