数形结合在函数中的应用

２０２４年３月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀数形结合在函数与方程中的应用◉江苏省常熟市浒浦高级中学㊀李宝香㊀㊀函数与方程是高中数学的重要组成部分,也是高考的核心考点,二者既相互联系又相互区别．它们与其他知识点也有着密切的联系,学好这部分知识点对学生提高数学水平㊁提升数学能力都有着非常重要的意义．方程与函数相结合的题目比较灵活,学生解题时常常因为找不到合适的切入点而望而却步．数形结合作为一种重要的思想方法,其在解决函数与方程问题中有着重要的应用．日常教学中,教师应让学生充分体会函数与方程的转化关系,重视启发学生借助图象的直观来解决一些抽象的方程㊁不等式㊁函数单调性等问题,以此提高解题效率．下面笔者结合实例谈谈自己在这部分知识教学时的一些心得体会,若有不足,请指正．１利用数形结合思想研究一元二次方程的根的分布问题㊀㊀方程的根与函数的零点既是高中数学的重点,也是难点．在这部分知识教学中,教师应重视基础知识的讲解,让学生理解并掌握二者之间的等价关系,并学会用数形结合思想方法解决问题,感悟数形结合思想方法在解决此类问题中的价值,发展数学素养．１．１探寻基础,沟通联系在函数与方程的教学中,教师应重视引导学生将方程中的相关结论用函数图象来表达,以此将方程的根与函数的零点建立联系,通过数形结合,让学生深刻理解二者的等价关系,从而为后期的应用奠基．设一元二次方程a x ２＋b x ＋c ＝０(a ʂ０)的两个实数根分别为x １,x ２,且x １ɤx ２,有以下重要结论．结论１:x １＞０,x ２＞０{⇔Δȡ０,a ＞０,f (０)＞０,b ＜０ìîíïïïï或Δȡ０,a ＜０,f (０)＞０,b ＞０．ìîíïïïï根据结论１,结合二次函数图象得到函数零点的分布情况,如图１．图１结论２:x １＜０,x ２＜０{⇔Δȡ０,a ＞０,f (０)＞０,b ＞０ìîíïïïï或Δȡ０,a ＜０,f (０)＞０,b ＜０．ìîíïïïï同理,结合结论１的研究经验,根据结论２可以得到对应的二次函数图象,如图２．图２结论３:x １＜０＜x ２⇔ca ＜０．结论４:x １＝０,x ２＞０⇔c ＝０且ba＜０;x １＜０,x ２＝０⇔c ＝０且ba＞０．(对应图象如图３㊁图４)图３图４数 与 形 建立联系,为研究方程的根的分布情况带来了便利,促进了学生高阶思维能力的发展．１．２灵活应用,深化认知例１㊀假设x ２－２(m －１)x ＋２m ＋６＝０．(１)如果方程有两个根均大于０,求实数m 的取值范围;(２)如果方程的两个根一个比１大,一个比１小,３４学习指导２０２４年３月上半月㊀㊀㊀求实数m 的取值范围;(３)如果方程的两个根均大于１,求实数m 的取值范围．问题给出后,教师让学生独立完成．教师巡视,发现大多学生选择运用初中所学的方程知识来求解．有的因为运算复杂而望而却步,有的因为漏解最终导致结果错误,解题效果一般．在解决此类问题时,教师要引导学生运用数形结合思想,借助图形的直观去研究已知,探寻未知,有效避免错误的发生．教学中,教师选择了一些典型性解答过程进行展示,以下是学生给出的解问题(３)的解答过程．生１:根据Δ＝４(m ２－４m －５)ȡ０,(x １－１)(x ２－１)＞０,{可得m ȡ５或m ɤ－１．生２:由Δ＝４(m ２－４m －５)ȡ０,x １＋x ２＞２,x １x ２＞１,ìîíïïïï得m ȡ５．生１按照解决问题(１)的思路求解,解得m ȡ５或m ɤ－１;而生２按照解决问题(２)的思路求解,解得m ȡ５．可以看出,大多学生习惯性地利用根的判别式和韦达定理来求解此类问题．对于简单的问题,此种方法确实一个好的解题策略,该方法虽然运算上略显复杂,但是学生易于理解和接受．不过,对于复杂的问题,若依然采用该方法求解可能会陷入误区．教学中,教师让学生思考: 上述问题(３)的两种解法正确吗?你能否举例验证呢 在问题的引导下,学生积极思考,很快就发现了问题．对于生１给出的(x １－１)(x ２－１)＞０这一条件,学生给出这样一个反例:若x １＝－３,x ２＝－１,虽满足(x １－１)(x ２－１)＞０,但却不满足 方程两根均大于１ 这一条件．对于生２给的条件,同样也给出了反例:若x １＝４,x １＝１２,同样满足x １＋x ２＞２,x １x ２＞１,{但却不满足 方程两根均大于１ 这一条件．显然利用解决问题(１)和问题(２)的策略来研究问题(３)是行不通的．此时,教师不妨引导学生分析函数的零点,借助函数图象寻找解决问题的突破口．由y ＝x ２－２(m －１)x ＋２m ＋６的图象(此处略),可得Δ＝４(m ２－４m －５)ȡ０,２(m －１)２＞１,f (１)＞０,ìîíïïïï所以m ȡ５．在此基础上,教师可以引导学生运用函数零点分布的知识重新思考问题(１)和问题(２),以此通过对比分析发现不同解法的优缺点．以上问题求解后,教师还应引导学生向一般转化,思考这样几个问题:已知方程a x ２＋b x ＋c ＝０(a ＞０)有两个根．若方程有两个正根,此时应满足什么条件?若方程两根都比m 大,又应满足什么条件呢?若方程一个根比m 大,另一个根比m 小呢?由此通过由特殊到一般的转化,帮助学生总结二次函数零点分布的解法,提高学生解题技能．在数学教学中,不应仅将目光聚焦于问题解决上,还应思考问题解决过程中涉及的数学思想方法,让学生学会从整体㊁全局的角度去思考问题,通过深入探究提高学生分析和解决问题的能力．２利用数形结合思想解方程和不等式函数是方程与不等式的扩展,三者相互沟通㊁相互转化．谈起解方程,大家脑海中大多浮现的是解一元一次方程㊁一元二次方程(组),其实方程的类型远不止于此,有些方程直接求解可能很难找到合理的切入点,需要将其转化为函数,利用函数思想求解往往可以事半功倍．其实,在研究幂函数㊁指数函数㊁对数函数㊁三角函数等一些特殊形式的函数时,都会要求学生画出这些函数的图象,然后运用一些特殊方程与函数的交点问题来研究方程的根．３利用数形结合思想研究函数的单调性函数单调性是高中数学教学的一个难点内容．之所以难是因为函数单调性的概念比较抽象,部分学生直接应用定义法研究函数单调性时容易遇到障碍,从而影响解题效果．其实我们在学习新函数时,都会研究其图象,然后根据函数图象研究函数的相关性质．因此,在研究初等函数或者由初等函数复合而来的函数的单调性问题时,可以结合函数图象来分析,以此借助 形 的直观让问题更加形象,消除学生的畏难情绪,提高解题信心．例２㊀求函数y ＝x |x |－２|x |的单调区间．分析:在解决此类含绝对值的函数问题时,首先要引导学生去掉绝对值符号,然后结合函数图象研究其性质．根据绝对值的定义去掉绝对值,可得y ＝x ２－２x ,x ȡ０－x ２＋２x ,x ＜０,{然分别画出y ＝x ２－２x (x ȡ０)和y ＝－x ２＋２x (x ＜０)的函数图象,问题即可迎刃而解．数形结合在研究函数与方程问题中有着重要的应用,若在教学中合理加以利用可以淡化数学的抽象性,帮助学生更好地理解知识㊁解决问题,提高解题信心．因此,在课堂教学中,教师不仅要讲授知识,还要渗透思想与方法,以此提高教学质量和学生数学素养．Z４４。

例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用【摘要】二次函数教学中，数形结合思想的应用是非常重要的。

通过将数学与几何相结合，可以帮助学生更深入地理解二次函数的概念和特性。

通过实例分析和图形展示，学生能够直观地看到二次函数的图像与方程之间的关系，从而加深对这一知识点的理解。

通过实践操作，学生可以更好地掌握数学知识，提升他们的实际运用能力。

数形结合思想不仅可以提升学生的学习兴趣和效果，还可以帮助他们从多角度理解数学知识，提高数学素养。

在二次函数教学中，充分利用数形结合思想是非常有益的，可以有效提升学生的学习水平和综合素质。

【关键词】二次函数、数形结合、教学、图形、特性、实例分析、数学、几何、理解、实践操作、学习兴趣、学习效果、多角度、数学素养。

1. 引言1.1 二次函数教学的重要性二次函数作为高中数学中的重要内容之一，在学生数学学习中具有重要的地位。

学会了二次函数的相关知识，可以帮助学生理解和掌握高中数学中的很多概念和方法，为以后的学习打下坚实的基础。

二次函数的教学内容丰富多样，不仅可以帮助学生提高数学的解题能力，还可以培养学生的数学思维和创新能力。

二次函数具有许多独特的特性和规律，通过学习二次函数，可以让学生在数学上有更深入的认识和了解。

二次函数也广泛应用于生活和科学领域，学会了二次函数相关知识可以帮助学生更好地理解和解决实际问题。

二次函数教学的重要性不言而喻。

只有深入理解和掌握二次函数的相关知识，才能在数学学习中取得更好的成绩，为将来的发展打下坚实的基础。

二次函数的教学不仅具有重要的理论意义，更具有重要的实践意义。

通过深入的学习和实践，可以帮助学生更好地理解和应用二次函数相关知识，提高数学素养和解决实际问题的能力。

1.2 数形结合思想的意义数形结合思想在二次函数教学中扮演着至关重要的角色。

通过将数学与几何相结合，可以帮助学生更直观地理解抽象的数学概念，提高他们的学习兴趣与学习效果。

在二次函数这一抽象概念中，数形结合思想可以将函数的数学性质与图形的几何特征相联系，使学生更全面地理解二次函数的本质。

浅谈数形结合在函数背景下的应用数形结合是中学数学中重要的基本思想方法之一，是数学的本质特征。

华罗庚先生曾指出：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞。

数缺形时少直观，形少数时难入微。

”本文所阐述的是在函数图像背景下含有几何图形的综合题的解题思路，结合中学教材的实际情况，举例说明如何利用点的坐标与点到坐标轴的距离之间的关系将抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，解决问题。

中学的数学教学中，时至初二就开始接触函数，而研究函数关系的重要手段之一就是函数图像，此时的数形对应是借助有序实数对与平面直角坐标系中的点一一对应建立起直观的形象感受——函数图像。

不同的函数类型对应不同的图像特征。

这一前所未有的知识呈现方式让很多孩子望而生畏，而在这样的背景下再加入几何图形这一元素，更多的学生就彻底迷失了。

其实问题很容易得到解决，只要能把此类问题的解决办法做一个清晰的归纳，进行合理的设计示范，学生有章可循，掌握了基本的思想方法，这一难点就可以得到有效的化解。

这个方法简单概括就是一条思维线：利用函数关系式点的坐标线段长利用几何图形的元素关系得到关系式。

这是一条可自由选择方向的思路线，使用这样的思路解决函数综合题学生首先要具备以下几点基本认知：1.满足函数解析式的有序实数对对应函数图像上点的坐标；2.点到坐标轴的距离与点的横纵坐标的转化；3.在1的基础上，具备方程的建模思想，对于未知点的坐标会通过利用关系式用未知数表示横纵坐标；4.敏感于点在函数图像上的条件提示——将点的坐标带入关系式；5.对于特殊几何图形的特征、性质的掌握（直角三角形，平行四边形，相似三角形，等腰三角形等）；6.掌握简单的处理问题的方法（比如：几何图形的面积计算常使用的割补法）；7.模拟动点的意识，在已知函数表达式的图像上的动点可以用字母来表示坐标；8.选择简洁、合理的方案的能力。

在北师版九年级数学下册课本二次函数章后复习中有一题：如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成。

高中数学中数形结合思想在函数解题中的运用（一）数形结合在求函数定义域方面的应用例1：求函数y =的定义域. 解析：若要解决该函数的定义域，则有23200x x x ⎧-+≥⎨≠⎩，要解决此类不等式的解集， 需要借助图像，如右图：由图像可以看出，若要2320x x -+≥，只需1,x ≤或2x ≥，再由0x ≠，得出该函数的定义域即为：()(][),00,12,-∞+∞. 小结：随着学生做题熟练程度的增强，二次不等式的求解已不用再画图。

因此在求函数定义域方面，多见于画数轴选择出取值范围。

（二）数形结合在求函数值域方面的应用例2：求函数(]223,1,2y x x x =--∈-的值域. 解析：看到所求函数为二次函数，由于函数是非单调的，所以并不能代端点值去求出值域，因此需要借助图像来观察，如右图：借助图像的直观表达可知道，具有区间范围的该二次函数的图像应为黄色区域部分，此函数的最小值是在对称轴处取得，即当1x =时，4y =-。

从而该函数的值域为：(]0,4-。

小结：对于此类问题是学生的常见出错点，学生们习惯于直接带入端点值得出其值域，因此对于给定区间上的二次函数值域问题，培养学生数形结合的思想是非常重要的。

（三）数形结合在函数单调性方面的应用例3：已知2()2(1)2f x x a x =+-+在(],4-∞上是减函数，求实数a 的取值范围。

解析：函数解析式中含有字母，因此函数在坐标系内的具体位置不能固定，需要画图分析，看何种情况才能满足题干要求：通过图像分析可知：若要满足函数在给定区间上为单调函数，只能是后两种情况，也就是函数图像的对称轴不能出现在所给区间内，从而解题找到突破口。

所给函数对称轴方程：1x a =- ,由图像分析可知，需有a 14-≥，从而a 5≥。

小结：该类问题常见于二次函数中，因其单调性与对称轴的位置有关，故通常画图分析更能直观得出题目所需情况，从而快速得出结论。

（四）数形结合在函数奇偶性方面的应用例4：已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =+.试求当0x <时，函数()f x 的解析式。

数形结合思想在函数解题中的应用摘要：数形结合思想是数学教学重视数学思想培养之一。

高中数学教学和学习中，灵活地应用数形结合思想可以更好地对于数的概念以及形的特征把握，可以化抽象为具体，能通过数与形快速解决问题。

解决数学问题关键的一大利器是利用数形结合思想关键词：数形结合思想；函数；解题1. 阐述数形结合思想在高中数学的教与学的过程中要重视合理的转化数与形，实现将难懂的的数学问题的性质清晰表现处理。

寻找到潜藏在数与形之间的对应关系是数形结合思想的本质所在，常见的我们是把数转化成形，从而直观形象的解决问题，同时大家不要忽略有时学会形转化成数。

这是因为过于直观和具体的形，无法凝练出具有一般性的特征。

充分理解数与形互化关系，把形转化成为数，答案通过计算得出。

总而言之，数形结合是高中数学重要的数学思想之一，学会数学互化的重要思想。

本文主要讨论的是数形结合的思想在函数解题中的应用：研究单调性，求函数的最值，函数的零点问题等。

2.数形结合思想在函数性质中的应用新课改更注重学生的自主学习，自己提练信息，所以出题更偏爱将函数的几种性质综合在一起考查学生。

如果学生只是从代数的角度去解题，那无疑会增加解题的难度，如果能利用图形的直观性，能大大的提高解题效果。

我们要引导学生解题的要充分利用数形结合的思想。

（1）数形结合思想在函数单调中的应用例1.设函数f(x)=若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，求实数a取值范围解析：函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.总结：单调性是函数的重要性质之一，它的主要应用是用来求解最值，求解不等式，比较大小，求参数等，不管哪一种应用，能画出函数的图像，通过图像中的单调得出答案，能大大的提高解题效率，充分体现了数形结合思想的重要性（2）数形结合思想在函数最值中的应用例题1：定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设M=max{2x，2x－3，6－x}，求M的最小值解析：画出函数M={2x，2x－3，6－x}的图象(如图)，由图可知，函数M在点A(2，4)处取得最小值22=6－2=4，故M的最小值为4.总结：函数的最值是函数中比较热点的题目。

数形结合思想在函数与方程中的应用数形结合思想，就是把代数中的数与几何中的形结合起来理解问题，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想在高考数学中占有重要地位。

下面练习利用数形结合思想解决函数与方程问题（一）数形结合在函数中的应用例1.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(－x)，当x∈时，f(x)＝log(x＋1)，则f(x)在区间内是( )2A.减函数且f(x)>0B.减函数且f(x)<0C.增函数且f(x)>0D.增函数且f(x)<0解析由f(x＋1)＝f(－x)可知，函数f(x)的图象关于直线x＝对称，又函数f(x)为奇函数，故f(x＋1)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)的周期为2，又当x∈时，f(x)＝log(x＋1)，故可得到函数f(x)的大致图象如图所示.由图象可知选B.2答案 B例2.已知函数y＝的图象与函数y＝kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________.解析y＝＝＝函数y＝kx过定点(0，0).由数形结合可知：0＜k＜1或1＜k＜k，OC∴0＜k＜1或1＜k＜2.答案 (0，1)∪(1，2)例3.已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是( )A.9B.10C.11D.18解析：在坐标平面内画出y＝f(x)与y＝|lg x|的大致图象(如图)，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是10，故选B.答案 B[点评] 解决本题的关键是在同一坐标系中准确画出两函数的图象，有几个交点，原函数就有几个零点.1.数形结合在方程中的应用例4.已知点在函的图象上，且．求方程解的个数。

思路分析方程解的个数问题，用数形结合思想，其实是画出图像求图像交点个数答案：3解析：，画出及的图像，方程解的个数既为函数图像交点的个数，由图像知原方程有3个解。

数形结合思想在函数中的应用（江苏省泰州市海军中学杨金宝 225300）数形结合是数学研究的重要方法之一，是转化的数学思想的重要体现。

数形结合包括代数问题几何解和几何问题代数解两个方面，前者初中阶段有解析法和构造几何图形法，后者包括方程法和函数法。

本文从两方面探讨数形结合思想在初中数学中的应用。

（一）数形结合的简介中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。

恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。

”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。

“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。

（二）函数数形结合的应用1、图形信息的获取，建立适当的代数模型。

不少函数问题以图形的形式出现，图形中包含丰富的代数知识，仔细观察图形、图像、把握图形的特点、找出图形中的信息是解决问题的关键所在。

例1：某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头。

假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y（升）与接水时间x（分）的函数图像如图。

请结合图像，回答下列问题：（1）根据图中信息，请你写出一个结论；（2）问前15位同学接水结束共需要几分钟？（3）小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟。

数形结合在函数教学中的应用数学中存在着“数”与“形”两个基础概念，数量关系与空间图形往往有机结合在一起，相互解释，这便是“数形结合”的思想。

在初中函数中，函数变量关系与绘制图像联系密切，变量关系中彰显出隐含的图像信息，图像之中也能反映出函数的变量关系。

在解答函数题目时，往往需要结合绘制图像，在较为直观的图形中把握函数关系，为分析、解答提供了极大的方便。

例如在一次函数的教学中，设计了如下一些教学思路：（1）探究性课题：1、水电费账单数据的分析。

2、物理学科中电阻、电压、电流关系。

提出一些问题：探究这些变量之间的数量关系，画出相应的函数图象，并结合数学知识编制新问题。

这样把实际生活中的问题上升为数学问题并构建为数学模型。

设计练习：a:直角三角形的两个锐角的度数分别为x、y，用x表示y的关系式；b:从边长为20的正方形的四角剪去四个边长为x的小正方形，做成一个无盖的小方盒子，设此盒的容量为v，写出v关于x的函数解析式，所有这些问题中自变量的取值范围是什么？（2）问题情境：龟兔赛跑的结局提出新的问题：兔子醒来后，发现乌龟已在自己前面2500米处，很后悔，就以每小时3000米的速度去追，而乌龟仍以每小时500米的速度前进，那么谁能最终获胜？学生猜测、讨论思考：若设兔子醒后追了t小时，龟、兔离开睡觉处S（米）与时间t（小时）是什么关系？学生：兔：S=3000t (t>0)龟：S2=2500+500t (t>0)提问：1：能用学过的方法直观反映问题吗？（画图）2：图像的交点表示什么实际意义？交点的左侧呢？右侧呢？由学生通过讨论、计算得出3个结论。

教学策略：猜想—探究通过讨论、质疑、尝试，结合函数关系，利用数形结合进行分析，在实际问题与数学知识之间建立数学模型，探究结论，准确直观的解决问题。

在反比例函数和二次函数的教学中，有意识的去引导学生把“数”和“形”结合起来去解决相关问题，让学生在自我尝试中体会数学的魅力，从而降低了教与学的难度。

2020年36期208数形结合思想在二次函数问题中的应用探析李佳彬（福建省南安国光中学，福建 南安 362321）二次函数是我国中考必考的常见知识点，而且二次函数的考察方式也是十分灵活的，二次函数既可以以现实生活中实际的问题作为载体进行考察，又能出现在一些综合题中。

在对学生进行二次函数考察的过程中，能够很好地检验出学生对于二次函数知识掌握的情况，并巩固学生所学。

初中数学教师在教学的过程中需要结合数形结合的思想，让学生可以更加深入地理解二次函数的深刻含义。

一、数形结合思想的概述数形结合的思想主要包括两个方面，主要为“以数论性”和“以形论数”。

在年代比较久远的《中国数学杂志》中，就曾经提到过“形”与“数”之间比较密切的关系。

有关数形结合这一概念正式出现的地方是在我国著名数学家华罗庚的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一书中。

华罗庚在书中这样说道：“数无形而少直观，形无数而难入微”，通过数和形的相互转化能够简化一些比较复杂的难以理解的数学问题，体现了数学中精简的思想。

数形结合这种思想将直观的图像和数学语言相结合，将形象的思维和抽象的思维相结合，可以通过直观的图形发挥出抽象概念的支柱作用。

通过这种相互转化、相互补充，使得数形结合成为了解决数学问题的重要思想[1]。

二、数形结合思想在二次函数教学中的应用探析（一）从数到形，“以形论数”学过二次函数的我们都知道，y=ax2+bx+c的形式称之为二次函数，其中a、b、c是常数，a≠０，其中x是自变量，y是因变量，a、b、c是常 量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。

首先，数学教师要先让学生理解这个一元二次函数的内涵，让学生理解常数a不仅仅是二次函数中二次项的系数，也决定了二次函数图像的开口方向和开口的大小，常数a和b决定了二次函数对称轴的位置，常数c决定了二次函数y=ax2+bx+c与y轴交点的位置，在学生确定了常数a、b、c之后，就能确定二次函数的图像以及表达式。

“数形结合”在二次函数中的应用“数”与“形”是数学中的两个最基本的概念，每一个几何图形中都蕴含着一定的数量关系，同时每一个数量关系又常常可以通过几何图形直观的反映和描述出来，这正是数形结合的思想方法在研究数学问题中的重要体现，特别地，这种数形结合的思想方法在研究有关二次函数问题时的优点显得格外地突出，所以在具体解题时，若能巧妙地进行“数”与“形”相互转化，可使问题化难为易、化繁为简，达到简洁求解问题的目的.现就形结合思想在二次函数中的体现举例说明.一、由数定形例1二次函数y ＝ax 2+x +a 2－1的图象可能是如图1的（ ）分析 由于a ≠0，且抛物线的对称轴x ＝－12a，这时可对分大于和小于0讨论. 解 因为a ≠0，对称轴x ＝－12a ，所以当a ＞0时，x ＝－12a ＜0，图象A 、B 、C 、D一个也不符合，当a ＜0时，x ＝－12a＞0，只有图象可能符合.故应选B .评注 借助于函数的解析式来研究函数图象的性质，是一种很重要的方法. 二、由形定数例2（如图2所示的抛物线是二次函数y ＝ax 2－3x +a 2－1的图象，那么a 的值是 .分析 由图象可知，抛物线经过点（0，0），所以将此代入解析式即可求得a 的值.解 因为抛物线经过点（0，0），所以有0＝a ×02－3×0+a 2－1， 即a 2＝1，所以a ＝±1，又因为图象的开口向下，所以a ＝1舍去. 所以a 的值是－1.评注 通过对本题的求解可以看出，正确地的理解图象的意义，充分发挥图形的作用，及时捕捉求解的信息，是求解的关键.xy O xy O xy O xyO ABCD图1Oyx图2三、数形结合例3如图3，已知二次函数y ＝ax 2－4x +c 的图象经过点A 和点B . （1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P （m ，m ）与点Q 均在该函数图像上（其中m ＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m 的值及点Q 到x 轴的距离.分析 由图象可知，抛物线经过点A 和B 的坐标是已知的据此可以利用待定系数法求得解析式，从而可以确定该抛物线的对称轴及顶点坐标，由于点P （m ，m ）与点Q 均在该函数图像上，所以可以得到m 的一元二次方程，求出m ，于是又可以求得点Q 的坐标，从而使问题获解.解（1）将x ＝－1，y ＝－1；x ＝3，y ＝－9分别代入y ＝ax 2－4x +c ，得221(1)4(1),9343.a c a c ⎧-=⨯--⨯-+⎪⎨-=⨯-⨯+⎪⎩解得1,6.a c =⎧⎨=-⎩所以二次函数的表达式为y ＝x 2－4x －6. （2）因为y ＝x 2－4x －6＝(x －2)2－10，所以对称轴为x ＝2；顶点坐标为（2，－10）. （3）将（m ，m ）代入y ＝x 2－4x －6，得 m ＝m 2－4m －6，解得m 1＝－1，m 2＝6. 因为m ＞0，所以m 1＝－1不合题意，舍去.即 m ＝6.即P （6，6） 又因为点P 与点Q 关于对称轴x ＝2对称，所以P （－2，6）， 所以点Q 到x 轴的距离为6.说明 本题是一道典型地二次函数与一元二次方程的综合题，数形结合、方程思想、对称思想和待定系数法又是求解的关键.另外，依形判数，以数助形是解函数型综合题时重要的思想方法.xyO3－9－1 －1AB图3抛物线对称性的应用抛物线是轴对称图形，巧用抛物线的对称性，能使不少的问题得到简捷地解决，请看下面数例.例1 已知二次函数的图象经过点A（2，－3），对称轴为直线x=1，且与x轴两个交点之间的距离为4，求这个二次函数解析式.分析：若用弦长公式求解将要解一个较为复杂的方程组，题设中有抛物线的对称轴，启示我们可应用抛物线的对称性求解.解：由题设和抛物线的对称性可知，函数图象与x轴两个交点的坐标分别为(－1，0)、（3，0），于是可设解析式为y=a(x+1)(x－3)将点A坐标代入得，－3=－3a，求得a=1∴y=(x+1)(x－3),即y=x2－2x－3例2初三数学课本上，用“描点法”画2次函数y=ax2+bx+c的图象时，列了如下表格：X……－2 －1 0 1 2 ……y……－4 －2 ……根据表格上的信息回答问题，该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时，y= .（分析：本题的常规方法是先求函数解析式，再代入求其函数值，方法虽可行，但有一定的计算量，注意到x=0与x=2时函数值相等，启示我们可利用其对称性求解.解：∵x=0与x=2时，函数值均等于∴抛物线的对称轴为直线x=1，而横坐标为－1与3的两点恰好为一对对称点，因此，x=3时y=－4.例3抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点m(－2,－1)，与x轴的两个交点为A和B，点B 在点A的右边，ΔABM的三个内角∠M、∠A、∠B的对边分别为m、a、b，若关于x的一元二次方程（m－a）x2+2bx+(m+a)=0有两个相等的实根，求这个二次函数的解析式.分析：注意到点M在AB的垂直平分线上，启示我们可借助于抛物线的对称性解题.解：∵所给二次方程有两个相等的实根∴Δ=4b2－4(m－a)(m+a)=0，可化为a2+b2=m2∴∠M=900，由抛物线的对称性可知ΔABM是以AB为斜边的等腰RtΔAB=21=2，由对称性知两个交点A、B的坐标分别为A（－3，0）、B（－1，0）设函数解析式为y=a(x+2)2－1，将点B坐标代入得a=1∴y=（x+2）2－1，即y=x2+4x+3.。

“数形结合”在二次函数中的应用数形结合是数学中一种重要的解题方法，它通过利用图形的性质和数学的方法相结合，帮助我们更好地理解和解决问题。

在二次函数中，数形结合可以帮助我们分析二次函数的性质、研究函数的图像、解决实际问题等。

二次函数是一种以 x 的二次方为最高次幂的函数，一般可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 为常数且a ≠ 0。

二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。

首先，我们来看二次函数的图像。

对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx+ c，我们可以利用数形结合的方法来画出它的图像。

首先，我们可以找出它的顶点。

二次函数的顶点坐标为 (h, k)，其中 h = -b/2a，k =f(h)。

通过求解这个方程，我们就可以得到顶点坐标。

然后，我们找出函数的对称轴。

二次函数的对称轴是 x = h。

接下来，我们可以求解函数的y-截距。

即当 x = 0 时，f(x) = c，这个值就是函数的 y-截距。

有了顶点坐标、对称轴和 y-截距，我们就可以画出二次函数的图像，进一步分析函数的性质。

其次，数形结合在研究二次函数的性质和解决实际问题中也非常有用。

对于二次函数来说，我们可以通过分析函数的系数a、b和c，来研究函数的性质。

首先，系数a决定了抛物线的开口方向。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

其次，系数a的绝对值决定了抛物线的狭长程度。

绝对值越小，抛物线越狭窄；绝对值越大，抛物线越扁平。

最后，系数c决定了抛物线与y轴交点的位置，即y-截距。

通过分析这些性质，我们可以更好地理解二次函数的图像和性质。

另外，在解决实际问题中，数形结合方法也起到了非常重要的作用。

例如，当我们需要求解一个二次函数的最大值或最小值时，通过绘制函数的图像，并利用数学方法求解这个问题，可以更快地得到答案。

同样地，当我们需要求解一个实际问题中的最优解时，通过综合运用数学的分析方法和图形的特点，可以更好地解决问题。

教学·策略数形结合思想在初中数学教学中的应用———以“函数”教学为例文|林欣为了促进教学活动的顺利、高效开展，明确落实教学目标，教师需要重视对教学理念的创新与变革，以便为学生创造良好的学习环境，进一步挖掘学生的潜能，为学生高效开展数学学习奠定基础。

数形结合思想作为重要的数学思想，对提升学生的数学学习能力有着重要意义。

教师应将数形结合思想融入日常教学中，以助力学生更高效地解决数学问题，促使学生形成良好的数学思维。

同时函数作为初中数学的重要内容，对学生数学素养与能力的提升有着重要影响。

因此，在“函数”教学中，教师应重视对数形结合思想的有效应用，直观、生动地展现抽象的函数知识，充分发挥学生的形象思维能力，帮助学生掌握问题的本质，使其能够快速、高效地解决问题，从而为初中数学教学的高质、高效开展提供助力。

一、创设教学情境在初中数学教学活动中，教师可以结合教学知识创设生动、有趣的教学情境，以吸引学生的注意力，使学生能够真正关注到问题，并运用图形对问题中所包含的内容进行直观呈现，让学生亲身感受到数形结合所创造的便利，进而激发学生运用数形结合方法解决数学问题的热情，并深刻认识到数形结合思想的价值与意义。

例如，教师可以结合生活实际设置例题，通过创设良好的教学情境，激发学生的解题兴趣。

问题：25路公交车往返于A、B两地，两地的发车时刻表相同。

假设公交车均速直线向前行驶，从A 地到B地，从B地到A地所用时间都是60分钟，每间隔10分钟发一趟车。

提问：一辆25路公交车从A 地出发，途中能遇到几辆由B地出发的25路公交车？在分析问题后：学生1：能够遇到4辆。

学生2：能够遇到5辆。

学生3：能够遇到6辆。

学生4：能够遇到7辆。

教师：针对这一问题，大家的答案各不相同，以前也有数学家针对类似问题进行了激烈争论。

虽然这道题十分简单，却隐藏着重要信息，需要我们运用合理的方法解题。

学生一听数学家都没有解出这道题都感到十分的疑惑，非常想知道最后数学家是怎样解出问题的。

例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用1. 引言1.1 引言二次函数是数学教学中一个重要的内容，学生在学习过程中常常会面临着一些挑战。

如何让学生更好地理解和掌握二次函数，是每个教师都面临的问题。

在教学中，数形结合的思想被广泛应用，通过将数学概念与几何形态相结合，帮助学生更好地理解抽象的数学概念。

本文将介绍在二次函数教学中如何运用数形结合的思想，提高学生的理解能力和激发学生的兴趣。

通过具体的案例分析和教学实践，展示数形结合在二次函数教学中的重要性和实际应用。

通过本文的阐述，希望能够帮助教师更好地引导学生学习二次函数，同时也激发学生对数学的兴趣，提高他们的学习效果和学习动力。

2. 正文2.1 二次函数教学中的挑战在二次函数教学中，教师常常面临着一些挑战。

学生可能会对二次函数的概念和性质感到困惑，特别是对于开口方向、顶点坐标、零点、轴对称等概念可能存在误解。

二次函数的图像比较抽象，学生很难直观地理解二次函数的变化规律，导致他们缺乏对二次函数的直观感受和认识。

二次函数的解题方法比较复杂，涉及到方程的解法、图像的绘制等多个方面，容易让学生感到困惑和压力。

针对这些挑战，教师可以通过数形结合的教学方法来帮助学生更好地理解和掌握二次函数的相关知识。

通过将数学公式和图形结合起来，可以使学生更直观地理解二次函数的性质和规律。

可以通过绘制二次函数的图像来帮助学生理解二次函数的开口方向、顶点位置等特点，从而加深他们对二次函数的认识。

通过数学计算和几何推理相结合的方式，可以让学生从不同角度去理解和掌握二次函数的相关知识，提高他们的数学思维能力和解题能力。

数形结合在二次函数教学中具有重要的意义，可以帮助学生克服困难，提高学习效果，激发学生对数学的兴趣和热情。

通过巧妙地将数学概念与几何图形相结合，教师可以让学生在实践中更好地理解和掌握二次函数的相关知识，培养他们的数学思维能力和创造力。

【2000字】2.2 数形结合的重要性数形结合在二次函数教学中扮演着至关重要的角色。

数形结合思想在二次函数中的应用
当我们谈论二次函数时，可以把它看做一个有参数形状的函数，它可以帮助我们研究特定
物理现象中某种参数形状下的变化规律。

参数形状可以用弧型、抛物线或曲线等表示。

例如，当我们想要描述一个物体在自由落体中的位置变化时，就可以使用二次函数来描述这
种变化。

例如，我们可以使用一个二次函数来表示该物体的运动路径，比如s = 1/2at^2 + v_0t + s_0，其中a为加速度，V_0为初始速度，s_0为初始位置。

同样的，当我们讨论气体的物理性质时，也可以利用参数形状来从中获取函数公式。

比如，通过压力-体积图，我们可以建立一个二次函数来表示该图形，比如p=aV + bV^2，其中a,b为常数，V为体积。

这个公式能够描述不同体积下压力的变化规律，从而使我们更好
地理解气体的性质。

此外，参数形状的应用还可以用在函数外，例如在横坐标和纵坐标变化规律上，我们也可
以把它们表示成一幅参数形状图。

这个图形能够提供我们函数变化规律的大致轮廓，也可
以帮助我们推断函数的最高点、最低点以及函数上两个不同点的坐标等信息。

总之，二次函数可以说是物理现象中参数形状的最佳表现者，它能够有效地总结我们所要
研究的变化规律，从而为科学研究带来福音。

因此，借助参数形状的思想，我们能够更好
地利用函数来研究物理现象，为学术发展搭建良好的基础。

例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用1. 引言1.1 引言概述二次函数在数学教学中扮演着重要的角色，而数形结合思想则是二次函数教学中的一种重要方法。

数形结合思想是指将数学概念与几何图形相结合，通过观察和分析图形，深入理解数学概念。

在二次函数教学中，运用数形结合思想可以帮助学生更直观地理解函数的性质和特点，提高他们的学习兴趣和学习效果。

本文将围绕数形结合思想在二次函数教学中的应用展开讨论。

我们将探讨数形结合的重要性，说明其对学生学习的益处。

接着，我们将分析如何在二次函数教学中应用数形结合思想，介绍具体的教学方法和技巧。

然后，我们将讨论数形结合在二次函数图像的解析中的应用，以及在实际问题中的具体运用。

我们将总结数形结合思想在二次函数教学中的启示，展望其在其他数学教学中的潜在应用价值。

通过本文的讨论，希望能够为教师和学生提供有益的启示，促进数学教学的创新与发展。

2. 正文2.1 数形结合的重要性数形结合是数学教学中一种重要的思维方式，它通过将数学概念与几何形状相结合，帮助学生更深入地理解抽象的数学概念。

在二次函数教学中，数形结合的重要性体现在以下几个方面：数形结合能够帮助学生从直观的角度理解二次函数的性质。

通过观察二次函数图像的形状、拐点位置等特征，学生可以更加直观地感受到二次函数的凹凸性、极值点等数学概念，从而加深对二次函数性质的理解。

数形结合可以提高学生的解题能力和应用能力。

在解决与二次函数相关的实际问题时，通过将数学模型与几何图形相结合，学生可以更快地找到问题的解决方法，并更好地理解问题的本质，从而提高解题效率。

数形结合还能够激发学生对数学的兴趣和热情。

通过观察二次函数图像的变化规律、探讨数形结合在实际问题中的应用等，可以帮助学生发现数学的美感和实用性，从而增强对数学学习的动力和积极性。

数形结合在二次函数教学中的重要性不言而喻，它能够帮助学生更好地理解数学概念，提高解题能力，培养数学兴趣，促进学生全面发展。