杭州市重点高中高考数学命题比赛参赛试题

浙江省杭州市重点高中 高考数学4月命题比赛参赛试题6试卷命题双向细目表选 择题填空题解答题考查 总 难度 知识内容题 分 题分 题分内容分系数次值次值次值值集合、简易2, 3 10集合的运算100. 9+0.逻辑充分必要条7件不等式85164基本不等式90. 6+0.线性规划7函数与方程7 5 14 4函数图像性9 0. 7+0.质导数及应平面向量1 74三角函数 导及应用15 0. 421 18140. 6+0.数列 1 1 4立体几5, 6 10何解析几10 5 1 5 4解三角形9 7基向量思想4 0. 6向量几何意义19 14 等比等差数18 0. 95列+. 0.数列求和620 14 三视图、线面24 0. 7+0.位置、线面角6 +0. 622 15 直线与圆锥24 0. 6 +0. 7+0.概率与统计45 13 4 算法初步124复数1 5小结10507题28题分分概率，统计 9 0. 9程序框图4 0. 8复数概念］50. 955题 72高中数学I1 50. 7分浙江省2013年高考模拟试卷文科数学测试卷 （本卷满分150分 考试时间120分钟）选择题部分（共50分）柱体的体积公式WSh其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 台体的体积公式/ V1 h （ S S + S ）i +iS 3 2其中S, S 分别表示台体的上、下底面积， h 表示台体的高h 表示锥体的高如果事件A, B 互斥，那么RA+D=P(A+P(B)参考公式： 球的表面积公式8=4 兀 R球鈞体积公式V=433疗R其中R 表示球的半径v=锥体的体积公式1ShV= 3其中S 表示锥体的底面积,亠、选择题：本大题共 10小题，每小题有一项是符合题目要求的。

=45分，共50分。

在每小题给岀的四个选项中^3—z1a l,z +a<i,苓为纯率咚贝弊挚a=（门z22 X2、（原题）若集合A XX 4 3 0 ,B x1 x 2 ，则A B 为B. 0C. 1D. 1或・lA. {x|1 x 3}B. {x |1 x 2}仁已知i是虚数单位，若1A・-1（改编）已知集合P {x||x 2| O函数y log （x 1）的定义城为Q,则1Q A P =（）A. {x|1 <x <3}B. {x |1 < x < 2}C. {x | 2 < x < 3}D. {x | x > 1}3、"原题）cos2 a" 2 是S ，na=2 的4、（原题） 抛掷一枚骰子两次，两次的点 数之和是奇数的概率为( )11 小11A・一B.C.—D.-6234（改编）在6瓶饮料中，有 2瓶已过了保质期。

2013年浙江省杭州市重点高中高考命题比赛数学参赛试卷07（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合M ={x|y =√x −1}，N ={x|y =log 2(2−x)}，则∁R (M ∩N)=( ) A [1, 2) B (−∞, 1)∪[2, +∞) C [0, 1] D (−∞, 0)∪[2, +∞)2. 已知cos(π2+φ)=√32，且|φ|<π2，则tanφ=( )A −√33 B √33C −√3D √3 3. 已知log m 12<log n 12<0，则（ ）A n <m <1B m <n <1C 1<m <nD 1<n <m4. 已知空间两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是（ ） A 若m // α，n ⊂α，则m // n B 若α∩β=m ，m ⊥n ，则n ⊥α C 若m // α，n // α，则m // n D 若m // α，m ⊂β，α∩β=n ，则m // n5. 阅读程序框图，则输出的S 等于（ ） A 40 B 38 C 32 D 206. 为了得到函数y =sin2x 的图象，只需把y =cos2x 的图象（ ） A 向左平移π4 B 向右平移π4 C 向左平移π2 D 向左平移π27. 已知正数a ，b 满足ab =1，则“a =b =1”是“a 2+b 2=2”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 8. 函数f(x)=sin2x −πx 存在零点的区间为（ ） A (0, 1) B (2, 3) C (3, 4) D (5, 6) 9. 过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的左焦点F 作⊙O:x 2+y 2=a 2的两条切线，记切点为A ，B ，双曲线左顶点为C ，若∠ACB =120∘，则双曲线的渐近线方程为（ ） A y =±√3x B y =±√33x C y =±√2x D y =±√22x 10. 设函数f(x)=(x 2−10x +c 1)(x 2−10x +c 2)(x 2−10x +c 3)(x 2−10x +c 4)(x 2−10x +c 5)，集合M ={x|f(x)=0}={x 1, x 2, ..., x 9}⊆N ∗，设c 1≥c 2≥c 3≥c 4≥c 5，则c 1−c 5为（ ）A 20B 18C 16D 14二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11. 某高中共有2000名学生，采用分层抽样的方法，分别在三个年级的学生中抽取容量为100的一个样本，其中在高一、高二年级中分别抽取30、30名学生，则该校高三有________名学生．12. 设z =1+i （i 是虚数单位），则2z 2+z =________．13. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．14. 已知长方体的所有棱长之和为48，表面积为94，则该长方体的外接球的半径为________． 15. 已知实数x ，y 满足{y ≥2x +y +4≥0x −y −2≤0，则|yx |的最小值为________．16. 已知a →，b →均为单位向量，且它们的夹角为60∘，当|a →+λb →|(λ∈R)取最小值时，λ=________．17. 连续抛掷两枚正方体骰子（它们的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），记所得朝上的面的点数分别为x ，y ，过坐标原点和点P(x −3, y −3)的直线的倾斜角为θ，则θ>60∘的概率为________（规定：P 与坐标原点重合时不满足θ>60∘的情形）．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，√3b =2a ⋅sinB ，且AB →⋅AC →>0． (1)求∠A 的度数； (2)若cos(A −C)+cosB =√32，a =6，求△ABC 的面积．19. 已知数列{a n }中，a n =2n p +qn （p ，q 为常数）（1）若p =q =1，求数列{a n }的前n 项和S n ；（2）若p =1，问常数q 如何取值时，使数列{a n }为等比数列？20. 在直角梯形A 1A 2A 3D 中，A 1A 2⊥A 1D ，A 1A 2⊥A 2A 3，且B ，C 分别是边A 1A 2，A 2A 3上的一点，沿线段BC ，CD ，DB 分别将△BCA 2，△CDA 3，△DBA 1翻折上去恰好使A 1，A 2，A 3重合于一点A ．（1）求证：AB⊥CD；（2）已知A1D=10，A1A2=8，试求：AC与平面BCD所成角的正弦值．21. 已知定义在R上的函数f(x)=x2(ax−3)，其中a为常数．（1）若x=l是函数f(x)的一个极值点，求a的值；（2）若函数g(x)=f(x)+f′(x)，x∈[0, 2]，在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围．22. 已知抛物线C:y2=2px(p>0)，F为抛物线C的焦点，A为抛物线C上的动点，过A作抛物线准线l的垂线，垂足为Q．(1)若点P(0, 2)与点F的连线恰好过点A，且∠PQF=90∘，求抛物线方程；(2)设点M(m, 0)在x轴上，若要使∠MAF总为锐角，求m的取值范围．2013年浙江省杭州市重点高中高考命题比赛数学参赛试卷07（文科）答案1. B2. C3. C4. D5. B6. B7. C8. C9. A10. C11. 80012. 113. π+114. 5√2215. 1316. −1217. 5918. 解：(I)∵ 3b=2√3a⋅sinB，∴ 由正弦定理知：3sinB=2√3sinA⋅sinB，∵ B是三角形内角，∴ sinB >0，从而有sinA =√32， ∵ AB →⋅AC →>0， ∴ ∠A =60∘(II)将B =π−(A +C)代入cos(A −C)+cosB =√32得：cos(A −C)−cos(A +C)=√32， 利用两角和与差的余弦公式展开得：sinAsinC =√34；sinC =12．相应的有：∠C =30∘，∴ △ABC 的面积为6√3． 19. 解：（1）p =q =1时，a n =2n +n −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−∴ S n =(2+22+23+...+2n )+(1+2+3+...+n)=2(1−2n )1−2+n(n+1)2=2n+1−2+n(n+1)2，----（2）p =1时，a n =2n +qn ，---------------------------------------------得a 1=2+q ，a 2=4+2q ，a 3=8+3q ，a 4=16+4q −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−若数列{a n }为等比数列，则a 32=a 2⋅a 4，-----------------------即(8+3q)2=(4+2q)(16+4q)，得q =0，-------------------------------------- 此时a n =2n ，得{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列．∴ q =0−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 20. 解：（1）证明：因为A 1A 2A 3D 为直角梯形， 所以A 1B ⊥A 1D ，A 2B ⊥A 2C ．即在第二个图中，AB ⊥AC ，AB ⊥AD ． 又因为AC ∩AD =A ， ∴ AB ⊥面ACD ． ∵ CD ⊂面ACD ，∴ AB ⊥CD ．（2）在第一个图中，作DE ⊥A 2A 3于E ， ∵ A 1A 2=8，∴ DE =8， 又∵ A 1D =A 3D =10，∴ EA 3=6，∴ A 2A 3=10+6=16．而A 2C =A 3C ，∴ A 2C =8，即第二个图中AC =8，AD =10． 由A 1A 2=8，A 1B =A 2B ，可得第二个图中AB =4． 所以S △ACD =S △A 3CD =12×8×8=32，由（1）知，AB ⊥面ACD ，所以V B−ACD =13×32×4=1283．设点A 到平面BCD 得距离为ℎ，由右边图象可得：S △BCD =12(10+16)×8−12×4×8−12×8×8−12×4×10=36．因为V B−ACD =V A−BCD ， 所以V A−BCD =13×ℎ×S △−BCD =1283，所以ℎ=329．设AC 与平面BCD 所成角为α，所以sinα=ℎAC =49．21. 解：（1）∵ f(x)=x 2(ax −3)=ax 3−3x 2，∴ f′(x)=3ax 2−6x ， ∵ x =l 是函数f(x)的一个极值点，∴ f′(1)=0， 解得，a =2，此时f′(x)=6(x 2−x)=6x(x −1)，∴ 当x ∈(0, 1)时，f′(x)<0，当x ∈(−∞, 0)，(1, +∞)时，f′(x)>0， ∴ a =2．（2）由题意得g(x)=f(x)+f′(x)=ax 3+3(a −1)x 2−6x ，a >0且x ∈[0, 2]， ∴ g′(x)=3ax 2+6(a −1)x −6=3[ax 2+2(a −1)x −2]， 令g′(x)=0，即ax 2+2(a −1)x −2=0， 且△=4(a −1)2+8a =4a 2+4>0，∴ 方程ax 2+2(a −1)x −2=0有两个不同的根，设为x 1，x 2，则 x 1x 2=−2a <0，不妨设x 1<0<x 2，当0<x 2<2时，g(x 2)为极小值，则g(x)在[0, 2]上的最大值只能为g(0)或g(2)； 当x 2≥2时，则g(x)在[0, 2]上是单调减函数， ∴ g(x)在[0, 2]上的最大值只能为g(0)，综上得，g(x)在[0, 2]上的最大值只能为g(0)或g(2)； ∵ g(x)在x =0处取得最大值，∴ g(0)≥g(2)， 即0≥20a −24，得a ≤65， ∵ a >0，∴ a ∈(0, 65]．22. 解：(1)由题意知：|AQ|=|AF|， ∵ ∠PQF =90∘，∴ A 为PF 的中点， ∵ F(p2，0)，∴ A(p 4,1)，且点A 在抛物线上，代入得1=2p ⋅p4⇒p =√2， 所以抛物线方程为y 2=2√2x ． (2)设A(x, y)，y 2=2px ，根据题意：∠MAF 为锐角⇒AM →⋅AF →>0且m ≠p2， AM →=(m −x,−y)，AF →=(p 2−x,−y)， AM →⋅AF →>0⇒(x −m)(x −p2)+y 2>0⇒x 2−(p 2+m)x +pm 2+y 2>0，∵ y 2=2px ， ∴ x 2+(3p 2−m)x +pm 2>0对x ≥0都成立，令f(x)=x 2+(3p2−m)x +pm 2=(x +3p 4−m 2)2+mp 2−(3p 4−m2)2>0对x ≥0都成立，①若m 2−3p 4≥0，即m ≥3p 2时，只要使mp2−(3p4−m2)2>0成立，整理得：4m 2−20mp +9p 2<0⇒p 2<m <9p 2，且m ≥3p 2，∴3p 2≤m <9p 2．②若m 2−3p 4<0，即m <3p 2，只要使mp 2>0成立，得m >0，∴ 0<m <3p 2，由①②得m 的取值范围是0<m <9p 2且m ≠p2．。

浙江省杭州市重点高中2013届高考数学4月命题比赛参赛试题16本试卷设计是在《学科教学指导意见》的基础上，通过对《考试说明》与《2013高考命题解析》的学习与研究，精心编撰形成。

对函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化及整体思想都有一定的涉及。

注重考查学生的基础知识与基本运算能力；同时也注重学生对通解通法的掌握，不追求解题的技巧。

题目基本上追求原创，部分题目进行了改编，每个题目都呈现出编者的意图，说明考查的知识点。

整个试卷的结构、题型、分数的分布、内容的选择都力求与高考保持一致，同时也为了更适合本校学生的整体水平与现阶段的考查要求。

对知识点力求全面但不追求全面，做到突出主干知识，强化基础知识，着力于能力考查，对相关知识联系设问。

从了解、理解、掌握三个层次要求学生。

对能力考查做到多层次、多方位，选题以能力立意，侧重对知识的理解与应用，考查他们知识的迁移及学生思维的广度与深度。

试题明细表2013年高考模拟数学试卷（文科）本试卷满分为150分，考试用时为120分钟参考公式： 球的表面积公式 柱体的体积公式 S =4πR 2V =Sh球的体积公式 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 V =34πR 3 台体的体积公式其中R 表示球的半径 V =31h (S 1+21S S +S 2) 锥体的体积公式其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积，V =31Sh h 表示台体的高 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 如果事件A ，B 互斥，那么 P (A +B )=P (A )+P (B )第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．【改编自泉洲一模】 1．已知集合{1,2},{,},a A B a b ==若1{}2A B =,则A B 为A ．1{,1,}b B ．1{1,}- C ．1{1,} D ．1{1,,1}2-（ ））A ． B. C. D.i（选题意图：本题考查复数的概念及复数的四则运算。

试卷设计说明（命题报告）一、整体思路本试卷设计是在《学科教课指导建议》的基础上，经过对《 2019 年浙江省考试说明》的学习与研究前提下，精心编撰形成。

整体题目可分为三大类：原创题、改编题与选编题。

整个试卷的构造与 2018 年高考试卷构造一致，从题型，分数的散布与内容的选择力争与高考保持一致，同时也为了更合适学生的整体水平与现阶段的观察要求。

试题的题型和背景熟习而常有，整体试题灵巧，思想含量高．试卷内容上表现新课程理念，切近中学数学教课，坚持对基础知识、基本技术以及数学思想方法的观察．在保持稳固的基础上，进行适量的改革和创新，“以稳为主”的试卷构造安稳，保持“低起点、宽入口、多层次、划分好”的特点，主要有以下特点：1．着重观察双基、着重覆盖试题覆盖高中数学的核心知识，波及函数的图象、单一性、周期性、最大值与最小值、三角函数、数列、立体几何、分析几何等主要知识，观察全面而又深刻．2．着重通性通法、突显能力试题看似熟习平庸，但将数学思想方法和修养作为观察的要点，淡化了特别的技巧，全面观察通性通法，表现了以知识为载体，以方法为依靠，以能力观察为目的的命题要求，提升了试题的层次和品位，试题保持了洁净、简短、朴素、了然的特点，充足表现了数学语言的形式化与数学的意义．3．着重分层观察、逐渐加深试题有条有理，由浅入深，各种题型的起点难度较低，但落点较高，选择、填空题的前几道不需花太多时间就能破题，尔后几题则需要在充足理解数学观点的基础上灵巧应变；解答题的 5 个题目仍旧表现高考的“多问把关”的命题特点．数学形式化程度高，不单需要考生有较强的数学阅读与审题能力，并且需要考生有灵巧机智的解题策略与剖析问题解决问题的综合能力．4．着重紧靠考纲、稳中有变试题在观察要点保持稳固的前提下，表现数学文化的观察与思虑，浸透现代数学思想和方法，在内涵方面，增添了基础性、综合性、应用性、创新性的要求．二、试题安排详细思路1、对新增内容的观察。

2013年浙江省杭州市重点高中高考命题比赛数学参赛试卷01（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合M ={x|3+2x −x 2>0}，N ={x|x ≥1}，则M ∩N =( ) A (3, +∞) B [1, 3) C (1, 3) D (−1, +∞)2. 已知a >0，b >0且a ≠1，则“log a b >0”是“(a −1)(b −1)>0”的( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 3. 若复数z =1+i （i 是虚数单位），则（ ）A 2z 2−2z −1=0B 2z 2−2z +1=0C z 2−2z −2=0D z 2−2z +2=0 4. 在(√x +√x 3)24的展开式中，x 的幂指数是整数的有（ ）A 3项B 4项C 5项D 6项5. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果是（ ）A 12B 23C 34D 456. 函数f(x)={1−3−x ，x ≥03x −1，x <0，则该函数为（ ）A 单调递增函数，奇函数B 单调递增函数，偶函数C 单调递减函数，奇函数D 单调递减函数，偶函数7. 已知△ABC 中，AB =AC =3，cos∠ABC =23．若圆O 的圆心在边BC 上，且与AB 和AC 所在的直线都相切，则圆O 的半径为（ ） A3√52 B 2√53 C √3 D 2√338. 如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2a 的等腰三角形，俯视图是半径为a 的半圆，则该几何体的表面积是（ ）A 32πa 2+2√3a 2 B πa 2+2√3a 2 C 32πa 2+√3a 2 D πa 2+√3a 29. 已知点F(−c, 0)(c >0)是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的左焦点，过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆x 2+y 2＝c 2交于点P ，且点P 在抛物线y 2＝4cx 上，则该双曲线的离心率的平方是（ ） A3+√52B √5 C√5−12 D 1+√5210.如图，在扇形OAB 中，∠AOB =60∘，C 为弧AB 上且与A ，B 不重合的一个动点，OC →=xOA →+yOB →，若u =x +λy ，(λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为（ ） A (12，1) B (1, 3) C (12，2) D (13，3)二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11. 在平面直角坐标系中，不等式组{x +y ≥0x −y +4≥0x ≤a （a 为常数）表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为________．12. 记数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2(a n −1)，则a 2=________．13. 将6人分成3组，要求每组至少1人至多3人，则不同的分组种数是________．14. 已知A 为直线l:x +y =2上一动点，若在O:x 2+y 2=1上存在一点B 使∠OAB =30∘成立，则点A 的横坐标取值范围为________．15. 函数f(x)=cos(x3+φ)(0<φ<2π)，在区间(−π, π)上单调递增，则实数φ的取值范围为________．16. 若方程lgkx =2lg(x +1)仅有一个实根，那么k 的取值范围是________．17. 棱长为2的正四面体ABCD 在空间直角坐标系中移动，但保持点A ，B 分别在x 轴、y 轴上移动，则原点O 到直线CD 的最近距离为________．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosC =3acosB −ccosB ． （1）求cosB 的值；（2）若BA →⋅BC →=2，且b =2√2，求a 和c 的值．19. 袋中共有10个大小相同的编号为1、2、3的球，其中1号球有1个，2号球有m 个，3号球有n 个．从袋中依次摸出2个球，已知在第一次摸出3号球的前提下，再摸出一个2号球的概率是13．（1）求m ，n 的值；（2）从袋中任意摸出2个球，设得到小球的编号数之和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．20.如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ，∠A 1AC =60∘．∠BAC =60∘，（1）求侧棱AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值的大小；（2）已知点D 满足BD →=BA →+BC →，在直线AA 1上是否存在点P ，使DP // 平面AB 1C ？若存在，请确定点P 的位置；若不存在，请说明理由．21. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点A(−2, 0)，过右焦点F 且垂直于长轴的弦长为3．(I)求椭圆C 的方程；(II)若过点A 的直线l 与椭圆交于点Q ，与y 轴交于点R ，过原点与l 平行的直线与椭圆交于点P ，求证：|AQ|⋅|AR||OP|2为定值．22. 已知函数f(x)=(a −12)e 2x +x ．(a ∈R)（1）若f(x)在区间(−∞, 0)上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若在区间(0, +∞)上，函数f(x)的图象恒在曲线y =2ae x 下方，求a 的取值范围．2013年浙江省杭州市重点高中高考命题比赛数学参赛试卷01（理科）答案1. B2. C3. D4. C5. C6. A7. B8. C9. D 10. C 11. 1 12. 4 13. 7514. 0≤a ≤2． 15. [4π3，5π3]16. k =4或k <017. √2−1 18. 解：（1）由正弦定理得a =2RsinA ，b =2RsinB ，c =2RsinC ， 则2RsinBcosC =6RsinAcosB −2RsinCcosB ， 故sinBcosC =3sinAcosB −sinCcosB ， 可得sinBcosC +sinCcosB =3sinAcosB ， 即sin(B +C)=3sinAcosB ，可得sinA =3sinAcosB ．又sinA ≠0， 因此cosB =13．（2）解：由BA →⋅BC →=2，可得accosB =2， 又cosB =13，故ac =6，由b 2=a 2+c 2−2accosB ， 可得a 2+c 2=12，所以(a −c)2=0，即a =c ，所以a =c =√6． 19. 解：（1）记“第一次摸出3号球”为事件A ，“第二次摸出2号球”为事件B ， 则P(B|A)=m 9=13，…∴ m =3，n =10−3−1=6…（2）ξ的可能的取值为3，4，5，6．… P(ξ=3)=1⋅C 31C 102=115，P(ξ=4)=1⋅C 61+c 32C 102=15，P(ξ=5)=C 31C 61C 102=25，P(ξ=6)=C 62C 102=13．…∴ ξ的分布列为Eξ=3×115+4×15+5×25+6×13=5．…20.解：（1）∵ 侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ，作A 1O ⊥AC 于点O ，∴ A 1O ⊥平面ABC ．又∠ABC =∠A 1AC =60∘，且各棱长都相等，∴ AO =1，OA 1=OB =√3，BO ⊥AC ．故以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，则 A(0, −1, 0)，B(√3, 0, 0)，A 1(0, 0, √3)， C(0, 1, 0)，AA 1→=(0,1,√3)； ∴ AB 1→=(√3,2,√3)，AC →=(0,2,0)． 设平面AB 1C 的法向量为n →=(x, y, 1) 则{n →⋅AC →=2y =0˙， 解得n =(−1, 0, 1)．由cos <AA 1→，n →>=|AA 1→|⋅|n →|˙=√32√2=√64． 而侧棱AA 1与平面AB 1C 所成角，即是向量AA 1→与平面AB 1C 的法向量所成锐角的余角， ∴ 侧棱AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值的大小为√64． （2）∵ BD →=BA →+BC →，而BA →=(−√3,−1,0)，BC →=(−√3,1,0)． ∴ BD →=(−2√3,0,0)．又∵ B(√3, 0, 0)，∴ 点D 的坐标为D(−√3, 0, 0)．假设存在点P 符合题意，则点P 的坐标可设为P(0, y, z)． ∴ DP →=(√3,y,z)∵ DP // 平面AB 1C ，n =(−1, 0, 1)为平面AB 1C 的法向量，∴ 由AP →=λAA 1→，得{y +1=λ√3=λ√3，∴ y =0．又DP ⊄平面AB 1C ，故存在点P ，使DP // 平面AB 1C ，其坐标为(0, 0, √3)，即恰好为A 1点．21. 解：(1)a =2，设过右焦点F 且垂直于长轴的弦为MN ，将M(c, y M )代入椭圆方程c 2a 2+y M2b 2=1，解得y M =±b 2a，…故2b 2a=3，可得b 2=3． …所以，椭圆方程为x 24+y 23=1． …(2)由题意知，直线AQ ，OP 斜率存在，故设为k ，则直线AQ 的方程为y =k(x +2)，直线OP 的方程为y =kx ．可得R(0, 2k)， 则|AR|=2√1+k 2，…设A(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，联立方程组{y =k(x +2)x 24+y 23=1，消去y 得：(4k 2+3)x 2+16k 2x +16k 2−12=0， x 1+x 2=−16k 24k 2+3，x 1x 2=16k 2−124k 2+3，则|AQ|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=12√1+k 24k 2+3． …设y =kx 与椭圆交另一点为M(x 3, y 3)，P(x 4, y 4)，联立方程组{y =kx x 24+y 23=1，消去y 得(4k 2+3)x 2−12=0，|x 4|=√124k 2+3，所以|OP|=√1+k 2|x 4|=√1+k 2⋅√124k 2+3． …故|AQ|⋅|AR||OP|2=2√1+k 212√1+k 24k 2+3(√1+k 2√124k 2+3)=2．所以|AQ|⋅|AR||OP|2等于定值2…22. 解：（1）f(x)在区间(−∞, 0)上单调递增，则f ′(x)=(2a −1)e 2x +1≥0在区间(−∞, 0)上恒成立． 即1−2a ≤1e 2x，而当x ∈(−∞, 0)时，1e 2x>1，故1−2a ≤1．∴ a ≥0．（2）令g(x)=f(x)−2ae x =(a −12)e 2x −2ae x +x ，定义域为R ．在区间(0, +∞)上，函数f(x)的图象恒在曲线y =2ae x 下方等价于g(x)<0在区间(0, +∞)上恒成立．∵ g ′(x)=(2a −1)e 2x −2ae x +1=(e x −1)[(2a −1)e x −1]， ①若a >12，令g ′(x)=0，得极值点x 1=0，x 2=ln12a−1，当x 2>x 1=0，即12<a <1时，在(x 2, +∞)上有g ′(x)>0，此时g(x)在区间(x 2, +∞)上是增函数，并且在该区间上有g(x)∈(g(x 2)，+∞)，不合题意； 当x 2≤x 1=0，即a ≥1时，同理可知，g(x)在区间(0, +∞)上， 有g(x)∈(g(0)，+∞)，也不合题意；②若a ≤12，则有2a −1≤0，此时在区间(0, +∞)上恒有g ′(x)<0，从而g(x)在区间(0, +∞)上是减函数；要使g(x)<0在此区间上恒成立，只须满足g(0)=−a −12≤0⇒a ≥−12，由此求得a的范围是[−12，12]．综合①②可知，当a∈[−12，12]时，函数f(x)的图象恒在直线y=2ae x下方．。

浙江省杭州市重点高中2013届高考数学4月命题比赛参赛试题142013年高考模拟试卷数学卷（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

参考公式：如果事件,A B 互斥，那么 柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+ v sh =如果事件,A B 相互独立，那么 其中s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13v sh =选择题部分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1、定义：A *B ={z |z =xy ，x ∈A ，y ∈B }，设A ={1,2}，B ={0,2}，则集合A *B 的所有元素之和为 （ ）（A ） 0 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 6 【命题意图】本题主要考察集合的相关知识。

2、复数=++-ii 12（ ） （A ） i 21- （B ）i 211+ （C ）1 （D ）i 21+【命题意图】本题考查复数的四则运算。

3、已知⎪⎩⎪⎨⎧-≥>+-≤-+10101y y x y x ，则84422+--+=y x y x u ，则u 的最小值为 （ ）（A ）223 （B ）29 （C ）22（D ）21【命题意图】本题考查线性规划问题。

4、已知:p x 是偶数；错误！未找到引用源。

:q )0,(x 是函数错误！未找到引用源。

xy 2tanπ=的对称中心，则p 是q 的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【命题意图】本题主要考查充要条件和正切函数的基本性质。

5、设b a ,为两条直线，βα,为两个平面，则下列结论成立的是（ ）（A ）若βα⊂⊂b a ,，且b a //，则βα// （B ）若βα⊂⊂b a ,，且b a ⊥，则β⊥（C ）若αα⊂b a ,//，则b a // （D ）若αα⊥⊥b a ,，则b a //【命题意图】本题主要考查线线、线面位置关系的观察、判定，以及空间想象能力和推理论证能力。

浙江省杭州市重点高中2013届高考数学4月命题比赛参赛试题19全卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 棱柱的体积公式)()()(B P A P B A P +=+ Sh V =如果事件A 、B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是Sh V 31=P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 次的概率 棱台的体积公式kn k k nn P P C k P --=)1()(),,2,1,0(n k Λ= )(312211S S S S h V ++=球的表面积公式 其中S1，S2分别表示棱台的上、下底面积，h24R S π=表示棱台的高球的体积公式334R V π=球 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（根据浙江卷改编）已知i 是虚数单位，则1111i i -=-+（ ）A ．iB ．i -C ．1D ．1-2．（根据考试说明样卷改编）已知b a ,是实数，则“||||||b a b a +=-”是“0<ab ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．(根据广东一模试题改编)已知函数()f x 的图像如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ） A ．2()2ln f x x x=- B ． ()||ln f x x x=-C ．()||2ln f x x x=- D ．2()ln f x x x=-4．（根据湖北卷改编）已知数列{}n a 的前n 项和*32,n n S n N =-∈，则（ ）A ．{}n a 是递增的等比数列B ．{}n a 是递增数列，但不是等比数列C ．{}n a 是递减的等比数列 D ．{}n a 不是等比数列，也不单调5．若圆224260x y x my m +-+++=与y 轴的两交点,A B 位于原点的同侧，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．6m >-B ．2m >或61m -<<-C ．3m >或62m -<<-D ．3m >或1m <-6．（根据辽宁试题改编）如图给出的是计算20121614121++++Λ的 值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（ ） A ．1005i ≤ B ．1006i ≤C ．1005i >D ．1006i >7．(根据优化方案改编)已知实数,x y 满足10240y y x y x ≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax =-取得最大值时的最优解(,)x y 有无数个，则a 的值为 （ ）A ．1B ．2C ．0D ．1- 8．（根据浙江模拟卷改编）设函数f(x)(x ∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x3．又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的零点个数为( )．A ．5B ．6C ．7D ．89．（根据哈尔滨模拟卷改编）如图，F1，F2是双曲线C ：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF2 | :| AF2|＝3:4 : 5，则双曲线的离心率为 ( )A C ．2 D 10．(根据安徽一模试题改编)对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：xy OAB F1F2EA 设'()f x 是函数()y f x =的导数，()f x ''是'()f x 的导数，若方程''()0f x =有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”。

2013年浙江省杭州市重点高中高考命题比赛数学参赛试卷21（文科）一、选择题1. 设U =R ，集合A ={y|y =2x , x ∈R}，B ={x ∈Z|x 2−4≤0}，则下列结论正确的是（ ）A A ∪B =(0, +∞) B (∁u A)∪B =(−∞, 0]C (∁u A)∩B ={−2, −1, 0}D (∁u A)∩B ={1, 2} 2. 在△ABC 中，设命题p:a sinB=b sinC=csinA，命题q:△ABC 是等边三角形，那么命题p 是命题q 的（ ）A 充要条件B 必要不充分条件C 充分不必要条件D 即不充分也不必要条件 3. 设m ，n 是不同的直线，a ，β是不同的平面，则下列四个命题： ①若α // β，m ⊂α，则m // β， ②若m // α，n ⊂α，则m // n ， ③若α⊥β，m // α，则m ⊥β， ④若m ⊥α，m // β，则α⊥β 其中正确的是（ ）A ①③B ②③C ①④D ②④4. 已知函数f(x)=x 3−2x +2有唯一零点，则存在零点的区间是（ ） A (−2,−32) B (−32，−1) C (−1,−12) D (−12，0)5. 某学校组织班班有歌声比赛，8个评委为某个班级的打出的分数如茎叶图所示，则这些数据的中位数是（ ） A 84 B 85 C 88 D 866.函数y =tan(π4x −π2)的部分图象如图所示，则(OA →+OB →)⋅AB →=( )A 4B 6C 1D 27. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)与抛物线y 2=8x 有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF|=5，则双曲线的离心率为( ) A 2 B 2√2 C√5+12D √6 8. 已知数列{a n }满足条件：a 1=12，a n+1=1+an 1−a n(n ∈N +)，则对n ≤20的正整数，a n +a n+1=16的概率为（ ）A 120B 14C 15D 09. 若非零实数x ，y ，z 满足{x −2y +z >04x +4y +z <0，则有（ ）A y 2>xz 且x >0B y 2>xzC y 2>xz 且x <0D y 2<xz10. 函数f(x)的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f(x 1)≤f(x 2)，则称函数f(x)在D 上为非减函数，且满足以下三个条件：①f(0)=0；②f(x3)=12f(x)；③f(1−x)=1−f(x)．则f(13)+f(18)=( ) A 34B 12C 1D 23二、填空题11. 若复数z 1=1−2i ，z 2=1(1+i)2，则z 1−z 2在复平面上对应的点位于第________象限． 12. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．13. 如果执行如图程序框图，那么输出的k 的值为________．14. 若在数列{a n }中，a 1=2，a n+1=a n +lg(1+n −1)，则a 10=________．15. 过点P(0, 1)作直线l 交圆C:x 2+y 2=4与两点，过其中任一点A 作直线l 的垂线交圆于点B ，当直线l 绕点P 转动时，则AB 最长为________．16. 点M(a, b)在由不等式组{x ≥0y ≥0x +y ≤2确定的平面区域内，则点N(a +b, a −b)所在平面区域的面积是________．17. 定义在R上的偶函数y=f(x)满足：①对任意x∈R都有f(x+2)=f(x)+f(1)成立；②f(0)=−1；③当x∈(−1, 0)时，都有f′(x)<0．若方程f(x)=0在区间[a, 3]上恰有3个不同实根，则实数a的取值范围是________．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18. 已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a=2，c=√3．（1）若sinC=√33，求sinA的值；（2）设f(C)=√3sinCcosC−cos2C，求f(C)的取值范围．19. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=−5，S5=−20．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求使不等式S n>a n成立的n的最小值．20. 在直角梯形ABCD中∠ABC=∠DAB=90∘，∠CAB=30∘，BC=1，AD=CD，把△DAC沿对角线AC折起后如图所示（点D记为点P），点P在平面ABC上的正投影E落在线段AB上，连接PB．若F是AC的中点，连接PF，EF．（1）求证：AC⊥平面PEF．（2）求直线PC与平面PAB所成的角的大小．21. 已知函数f(x)=13x3−12(2a+1)x2+(a2+a)x（1）若f(x)在x=1处取得极大值，求实数a的值；（2）若a>−1，求f(x)在区间[0, 1]上的最大值．22. 已知A(x1, y1)，B(x2, y2)是抛物线y2=4x上相异两点，且满足x1+x2=2．（1）AB的中垂线经过点P(0, 2)，求直线AB的方程；（2）AB的中垂线交x轴于点M，△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程．2013年浙江省杭州市重点高中高考命题比赛数学参赛试卷21（文科）答案1. C2. A3. C4. A5. D6. B7. A8. B9. B 10. A 11. 二 12. 7613. 65 14. 3 15. 2 16. 417. (−3, −1]18. 解：（1）∵ a =2，c =√3，sinC =√33， ∴ 由正弦定理asinA=c sinC得：sinA =asinC c=2×√33√3=23；（2）在△ABC 中，由余弦定理，c 2=a 2+b 2−2ab ⋅cosC ， ∴ 3=b 2+4−4bcosC ，即b 2−4cosC ⋅b +1=0， 有题知关于b 的一元二次方程应该有解，令△=16cos 2C −4≥0，解得：cosC ≤−12（舍去）或cosC ≥12，∴ 0<C <π3， 则f(C)=√32sin2C −1+cos2C2=sin(2C −π6)−12，∵ −π6<2C −π6≤π2， ∴ −1<f(C)≤12．19. 解：（1）设{a n }的公差为d ，依题意，有a 2=a 1+d =−5，S 5=5a 1+10d =−20， 联立得{a 1+d =−55a 1+10d =−20解得{a 1=−6d =1，所以a n =−6+(n −1)⋅1=n −7． （2）因为a n =n −7， 所以S n =a 1+a n2n =n(n−13)2，令n(n−13)2>n −7，即n 2−15n +14>0，解得n<1或n>14，又n∈N∗，所以n>14，所以n的最小值为15．20. 解：（1）∵ PA=PC，∴ PF⊥AC．∵ 点E为点P在平面ABC上的正投影，∴ PE⊥平面ABC，∴ PE⊥AC．∵ PF∩PE=P．PF⊂平面PEF，PE⊂平面PEF，∴ AC⊥平面PEF．（2）∵ ∠ABC=∠DAB=90∘，∠CAB=30∘，BC=1．∴ AB=BCtan30∘=√3，AC=2，∠DAC=60∘．∴ AD=CD=AC=2．∵ PE⊥平面ABC，∴ PE⊥BC．∵ BC⊥AB，PE∩AB=E，PE⊂平面PAB，∴ BC⊥平面PAB，∴ ∠CPB为直线PC与平面PAB所成的角．在Rt△CBP中，BC=1，PC=DC=2，∴ sin∠CPB=BCPC =12．∵ 0∘<∠CPB<90∘，∴ ∠CPB=30∘．∴ 直线PC与平面PAB所成的角为30∘．21. 解：（1）因为f′(x)=x2−(2a+1)x+(a2+a)=(x−a)[x−(a+1)]，令f′(x)=0，得x1=(a+1)，x2=a，所以f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：所以a=1；（2）因为a>−1，所以a+1>0，当a≥1时，f′(x)≥0对x∈[0, 1]成立，所以当x=1时，f(x)取得最大值f(1)=a2−16；当0<a<1时，在x∈(0, a)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，在x∈(a, 1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以当x=a时，f(x)取得最大值f(a)=13a3+12a2；当a=0时，在x∈(0, 1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以当x=0时，f(x)取得最大值f(0)=0；当−1<a<0时，在x∈(0, a+1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，在x∈(a+1, 1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，又f(0)=0,f(1)=a2−16，当−1<a<−√66时，f(x)在x=1时取得最大值f(1)=a2−16，当−√66<a <0时，f(x)在x =0取得最大值f(0)=0，当a =−√66时，f(x)在x =0，x =1处都取得最大值0．综上所述，当a ≥1或−1<a <−√66时，f(x)取得最大值f(1)=a 2−16，当0<a <1时，f(x)取得最大值f(a)=13a 3+12a 2， 当a =−√66时，f(x)在x =0，x =1处都取得最大值0，当−√66<a ≤0时，f(x)在x =0取得最大值f(0)=0．22. 解：方法一：（1）当AB 垂直于x 轴时，显然不符合题意，所以设直线AB 的方程为y =kx +b ，代入方程y 2=4x 得：k 2x 2+(2kb −4)x +b 2=0 ∴ x 1+x 2=4−2kb k 2=2，…得：b =2k−k ，∴ 直线AB 的方程为y =k(x −1)+2k ，∵ AB 中点的横坐标为1， ∴ AB 中点的坐标为(1, 2k ) …∴ AB 的中垂线方程为y =−1k(x −1)+2k=−1kx +3k，∵ AB 的中垂线经过点P(0, 2)，故3k =2，得k =32 … ∴ 直线AB 的方程为y =32x −16，…（2）由（1）可知AB 的中垂线方程为y =−1kx +3k，∴ M 点的坐标为(3, 0)…因为直线AB 的方程为k 2x −ky +2−k 2=0， ∴ M 到直线AB 的距离d =22√k 4+k 2=2√k 2+1|k|…由{k 2x −ky +2−k 2=0y 2=4x 得k 24y 2−ky +2−k 2=0， y 1+y 2=4k ，y 1y 2=8−4k 2k 2，|AB|=√1+1k 2|y 1−y 2|=4√1+k 2√k 2−1k 2…∴ S △AMB =4(1+1k 2)√1−1k 2，设√1−1k 2=t ，则0<t <1， S =4t(2−t 2)=−4t 3+8t ，S′=−12t 2+8，由S′=0，得t =√63，即k =±√3时S max =16√69， 此时直线AB 的方程为3x ±√3y −1=0．… （本题若运用基本不等式解决，也同样给分） 法二：①根据题意设AB 的中点为Q(1, t)，则k AB =y 2−y 1x 2−x 1=2t …由P 、Q 两点得AB 中垂线的斜率为k =t −2，… 由(t −2)⋅2t =−1，得t =43，… ∴ 直线AB 的方程为y =32x −16，…②由①知直线AB 的方程为y −t =2t (x −1)，…AB 中垂线方程为y −t =−t2(x −1)，中垂线交x 轴于点M(3, 0)，点M 到直线AB 的距离为d =2√t 2+4=√t 2+4，…由{y −t =2t (x −1)y 2=4x得：4x 2−8x +(t 2−2)2=0，∴ |AB|=√1+4t 2|x 1−x 2|=√(t 2+4)(4−t 2)，x 1+x 2=2，x 1x 2=(t 2−2)24∴ S =12|AB|⋅d =12√(t 2+4)2(4−t 2)=√24√(t 2+4)2(8−2t 2)≤√24√(163)3=16√69，当t 2=43时，S 有最大值16√69，此时直线AB 方程为3x ±√3y −1=0…。