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高数第一章函数第一节集合

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高数高等数学1.1映射与函数

高数高等数学1.1映射与函数
1 2 1 O 1 1 2 x
说明 (1) 分段函数对应不同的区间，函数有不同的表达式. (2) 分段函数表示一个函数，不是几个函数. (3) 分段函数的定义域是各分区间的定义域的并集.
1 例6 设 f ( x ) 2 1 解 f ( x) 2
0 x1
求 f ( x 2) .
解
2( x 2) 1, 0 x 2 1 f ( x 2) 4 ( x 2), 1 x 2 2
2 x 5, 2 x,
2 x 1 1 x 0
.
几个特殊的函数举例 (1)常函数
开区间
( a , b ) { x a x b}
o
闭区间
a
b
x
[a , b ] { x a x b }
o
a
b
x
半开区间
[a , b ) { x a x b}
( a , b] { x a x b }
无限区间
有限区间
称a, b为区间的端点， 称b－a为这些区间的长度.
1, 当 x > 0 0, 当x = 0
1 ,
1
当x<0
y4
3 2 1
o
-1
x
x sgn x x
(4)取整函数 y x
[x]表示不超过x 的最大整数
-4 -3 -2 -1 o -1 1 -2 -3 -4
2 3 4
x
(5)狄利克雷函数
y
1 1 当x是有理数时 • y D( x ) o• 0 当x是无理数时 无理数点
f (sin x ) (sin x )3 1

高等数学第一章.

高等数学第一章.
并集(Union) :设A和B是两个集合, 由属于集合A或属 于集合B的元素组成的集合,称为集合A和集合B的并集,
记作A
B,即A
B
x
xA或xB.
交集(Intersection): 设A和B是两个集合,由既属
于集合A又属于集合B的元素组成的集合,称为集合A
和集合B的交集, 空集:如果A和B没有公共元素，则称集合A和集合B
集合的表示方法：列举法和描述法。
1.列举法：就是把所有元素都列出来，用大括号括
起来。
s 例如：如果令 表示由2、3、4三个数组成的集合，
用列举法将其写成：s ={2,3,4}
2. 描述法：用语言描述出所有元素的共有特征。
若令 I 表示所有正整数集合,列举便很困难,则我们
可以简单地描述其元素,
写成：
称A是有限集,否则称为无限集(Infinite Set). 我们用N表示全体自然数的集合，即N{1,2,3,L }， 如果存在从A到自然数集合N的双射,则称A是可数无 限集(Countable Infinite Set). 1.2 实数 用Z表示全体整数的集合， 用Q表示全体有理数的集合。
有理数和无理数统称为实数, 用R表示. 把数轴叫做实直线。 上界(Upper Bound):令X是R的一个子集。若存在一 个实数u(不一定属于X), 满足对X中的任意x都有xu, 则称u是X的上界(Upper Bound). 这时称X是有上界的(Bounded Above).类似地，可以
定义下界(Lower Bound).
上确界(Supremum): 令X是R 的一个有上界的子集，
若s是X的一个上界，且对于任意的 y s 都存在一个 xX ,使得x y，则称s是X的上确界。 记为s=sup X; 类似地，可以定义X的下确界(Infimum)。 上确界是最小上界，下确界是最大下界 若X是R的一个有上界（下界）的子集，则X有上确界

人教版高中数学必修1课件：第一章__集合与函数概念_章末归纳总结课件

人教版高中数学必修1课件：第一章__集合与函数概念_章末归纳总结课件
(1)y＝f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于y轴对称； (2)y＝－f(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称； (3)y＝－f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于原点对称； (4)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y轴对称； (5)如果函数y＝f(x)对定义域内的一切x值，都满足 f(a＋x)＝f(a－x)，其中a是常数，那么函数y＝f(x)的图象关
①方程(※)有两不等实根⇔Δ>0，方程(※)有两相等
实根⇔Δ＝0，方程(※)无实根⇔Δ<0，方程(※)有实数解
⇔Δ≥0.
②方程(※)有零根⇔c＝0.
Δ≥0 ③ 方 程 (※) 有 两 正 根 ⇔ x1＋x2>0
x1x2>0
⇔较小的根 x＝
－b－ 2a
Δ >0 (a>0)
⇔－f(02)b>a>00
.
(2)集合 A 是直线 y＝x 上的点的集合，集合 B 是抛物线 y＝x2 的图象上点的集合，∴A∩B 是方程组yy＝ ＝xx2 的解为坐 标的点的集合，∴A∩B＝{(0,0)，(1,1)}．
2．熟练地用数轴与Venn图来表达集合之间的关系 与运算能起到事半功倍的效果．
[例2] 集合A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋p<0}， 若B A，则实数p的取值范围是________．
当 a≠0 时，应有 a＝1a，∴a＝±1.故选 D.
二、函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值 及应用
1．解决函数问题必须第一弄清函数的定义域
[ 例 1] 函 数 f(x) ＝ x2＋4x 的 单 调 增 区 间 为 ________．
[解析] 由x2＋4x≥0得，x≤－4或x≥0，又二次函数u ＝x2＋4x的对称轴为x＝－2，开口向上，故f(x)的增区间为 [0，＋∞)．

高等数学第一章第一课-2022年学习资料

高等数学第一章第一课-2022年学习资料

空集为任意集合A的子集，即Φ cA-若A与B互为子集，即AcB,且BCA,则称集合-A与B相等，记作A=B或 =A.-五、集合的运算-交集：A∩B={xxeA且xeB}:-→∩
并集：AUB={xx∈A或x∈B；-例5设A={1,2,4,6,B={2,4,7}-则AUB={1,2,3 4,6,7-A∩B={2,4-6设A={x-1≤x≤2，B={xx>0,-则AUB={xx≥-1，AnB= x0<x≤2-例7设A={xx≤1，B={x2≤x≤5}-则AUB={xx≤1，或2x≤5}，AnB=D. →∩
例4设fx=x2+x-1,求f1,fa,fx+1-〔》奶-解f1=1+1-1=1-fa=a2+a-1-fx =x++x+-1-=x2+3x+1-→
f[fx]=[fx]+[fx]-1-=x2+x-1+x2+x--1-=x4+2x3-1-→∩
如果自变量在定义域内任取一个数值时-对应的函数值总是只有一个，叫做单值函数，-否则叫做多值函数.-例如：y ±V2-x2-定义：点集C={x,yy=∫x,x∈D}称为-函数y=fx的图形-→∩
第一章-函数-极限与连续-§1.1-集合-一、概念-具有某种特定性质并且可以彼此区别的事物的-总体，称为集 -集合里的每一个事物称为集合的元素。-例1方程x2-3x+2=0的根.-有限集合-→∩
例2-全体实数.常记为R.-例3-全体正实数.常记为R-例4-全体自然数.常记为N.-无限集合-若某个元素 属于集合A,则记作x∈A;-若某个元素x不属于集合A,则记作xEA.-例如：-2R,4∈N.-二、集合的表 法-1.列举法：按任意顺序列出集合的所有元素-并用花括号括起来，

高中数学必修一第一章节集合与函数概念总结

高中数学必修一第一章节集合与函数概念总结

数集 f: A
y f ( x)
数集 B
集合
集合A
集合B
f
映射
第一章
集合与函数概念 ——复例题 方法专题 易错题
复习 总结
叁 肆 伍
巩固练习
壹 知识点（网络图）
2 -2 2
n
自然 语言 列举法 描述法
n
2 -1
真子集 确定性
n
非空真子集 子集
集合 注意 空集
子集 (n个元素) 相等 集合 元素 真子集 运算
互异性（检验）
无序性
{| xx 的 属 性 或 特 征 }
交集
并集 补集
壹 知识点（网络图）
图象法 列表法 解析法 限制条件 抽象函数 待定系数法 换元法 对应关系 方程组法 观察法 换元法 分离常数法 判别式法 值域 证明 求值域 比较大小 复合函数
定义域
表示法 三要素
单调性
函数
性质
奇偶性 综合运用
判断
求函数值 或解析式 求参数 抽象函数

高等数学-第1章课件

高等数学-第1章课件
x x0
三、函数极限的性质
第三节 极限的运算
一、极限的运算法则
法则1 法则2
x x0
lim[ f ( x) g ( x)] lim f ( x) lim g ( x) A B
x x0 x x0 x x0 x x0
x x0
lim[ f ( x ) g ( x )] lim f ( x ) lim g ( x ) A B
第 一 章 函 数 ︑ 极 限 与 连 续
目录
第一节 函数
第二节 极限
第三节 极限的运算 第四节 无穷小与无穷大 第五节 函数的间断性与连续点 第六节 初等函数的连续性
第一节 函数
一、集合、区间与邻域
1.集合
集合（简称集）是具有某种共同性质的事物的全 体，组成集合的单一事物称为该集合的元素。
有限集合 有限个元素构成 北京户籍人口
° a
• a •
a°Leabharlann a3.邻域设 x0, δ R, 其中δ > 0,以 x0为中心,以δ 为半径,长为 2δ的
开区间. 即
( x0 , x0 ) { x x x0 , 0}
称为点 x0 的 δ 邻域 , 记为U(x0 , δ ).
2
x0
x0
x0
集合的运算及关系
由所有属于集合A或属于集合B的元 并集 素所组成的集合，称为集合A与B的 并集 交集 差集 由属于集合A且属于集合B的所有元 素组成的集合，称为A与B的交集
由所有属于集合A 而不属于集合B 的 元素组成的集合
A∪B A∪B={x|x∈A,或 x∈B}
A∩B A-B
A∩B={x|x∈A,且 x∈B} A-B={x|x∈A,且 xB}

高中数学必修一第一章集合与函数的概念第一章课件PPT

答案
一般地，元素的三个特性是指 确定性 、 互异、性 ．无序性
答案
知识点四 常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号
N
N*或N＋
Z
Q
R
答案
返回
题型探究
重点难点 个个击破
类型一 集合的概念 例1 考察下列每组对象能否构成一个集合． (1)不超过20的非负数； 解 对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能 构成集合； (2)方程x2－9＝0在实数范围内的解； 解 能构成集合；
解析答案
(2)下列各组对象可以组成集合的是( B ) A.数学必修1课本中所有的难题 B.小于8的所有素数 C.直角坐标平面内第一象限的一些点 D.所有小的正数 解析 A中“难题”的标准不确定，不能构成集合； B能构成集合； C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确 定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合； D中没有明确的标准，所以不能构成集合.
1 23 45
答案
3.由“book中的字母”构成的集合中元素个数为( C )
A.1
B.2 C.3 D.4
1 23 45
答案
4.下列结论不正确的是( C )
A.0∈N
B. 2∉Q
C.0∉Q
1 23 45
D.－1∈Z
答案
1 23 45
5.已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，个子同学； 解 “高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地 判断，因此不能构成一个集合； (4) 3的近似值的全体． 解 “ 3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如
“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．

高数第一章1节

一般地,有限区间是指介于某两个实数之间的 全体实数.这两个实数叫做区间的端点. [a, ) {x | a x} (, b) {x | x b} 无限区间
oa
x
ob
x
(a, ) { x | a x},(, b] { x | x b},(, ) R
也都是无限区间.
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
9
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例 设A {x | 0 x 2}, B { y | 0 y 1},则
A B {( x, y) | 0 x 2, 0 y 1} 它表示平面直角坐标系中如图所示的矩形区域.
y
1
(2,1)
A×B
O
2x
10
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3.区间和邻域
a, b R,且a b. (符号 表示“对每(任）一个”) {x | a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
内排除0与负数的集.
2
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具体表示集合的方法 :
A {a1 , a2 , , an }
列举法
M { x | x具有性质P}
描述法
含有限个元素的集合称为有限集;含无限个元
素的集合称为无限集.
a M , a M(或a M ), 集合与元素的关系
若x A,则必x B,就说A是B的子集.记作A B.
所以 ( A B)c Ac Bc
x ( A B)c x A B x A或x B x Ac或x Bc x Ac Bc
所以 ( A B)c Ac Bc
8
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A与B的直积(或笛卡儿乘积) A B {( x, y) | x A 且 y B}

大一高数课件 ch1-1函数

第一章
函数
一、集合 二、映射 三、函数
第一节 集合
1. 集合的概念 集合是指所考察的具有确定性质的对象的总体， 简称集.通常用大写字母 A,B,X,Y …表示. 组成集合的每一个对象称为该集合的元素,通 常用小写字母a,b,x,y… 表示 . 元素 x 属于集合 A , 记作 x A. 元素 x 不属于集合 A , 记作 x A ( 或 x A ) . 由有限个元素构成的集合,称为有限集; 由无限多个元素构成的集合,称为无限集合 . 不含有任何元素的集合称为空集,记作 .
f
y f ( D) y y f ( x), x D
(值域)
(对应规则)
使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合. • 对应规律的表示方法: 解析法 、图象法 、列表法
例如, 反正弦主值
定义域 值域
例9. 绝对值函数
定义域 值 域
4. 函数的几何特性 (1) 奇偶性 若 若 则称 f (x) 为奇函数;
(4) 有界性
若 M 0 , 使得 f ( x) M , x I , 则称 f (x)
在 I 内有界, 也称它为 I 内的有界函数.
比如, y sin x 在 R 内有界; 1 y 在 [1,) 内有界, 但在 (0,) 内无界。 x
思考题： 证明 y x2 1 x
例1：X= {平面上所有三角形的全体} Y= {平面上所有圆的全体} f : X Y x y ( y是三角形 x 的外接圆 ). 例2： X { , , }, Y { a, b, c, d }, f ( ) a, f ( ) d , f ( ) b D f { , , } X R f { a, b, d } Y 设 例3： X R , Y R , 则对应关系 f : X Y

人教版高中数学必修一--第一章-集合与函数概念--知识点总结

人教版高中数学必修一--第一章-集合与函数概念--知识点总结本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March人教版高中数学必修一第一章函数与集合概念知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念：1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：{ … }如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}（1）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}（2）集合的表示方法：列举法与描述法。

（Ⅰ）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

（Ⅱ）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2}（3）图示法（文氏图）：4、常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集Q 实数集 R5、“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a∉A6、集合的分类：1．有限集含有有限个元素的集合2．无限集含有无限个元素的集合3．空集不含任何元素的集合二、集合间的基本关系1.“包含”关系———子集对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说两集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

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A ( B C ) ( A B) ( A C )
c c c ( A B ) B A ④对偶律: ( A B)c Bc Ac
6) .直积或笛卡儿（Descartes）乘积
设 A、B 是两个任意集合，则称集合
{( a , b) | a A , b B}
例如：太阳系的九大行星；
教室里的所有同学。
如果 a 是集合 M 中的元素，则记作 a M ，
否则记作 a
M.
2．分类：
由有限个元素组成的集合称为有限集
由无限个元素组成的集合称为无限集
3．表示方法：
①列举法
A {a1 , a2 ,, an }
②描述法 M { x x所具有的特征 }
k∈N}, 则A B （ , , , , ） 2.若R是全集，M={x|0≤x<1},N={x|x2-2x=0},则
A∩B = ______ 3. 集合M={x|x<m},N={x|x2-2x-8<0},若N M，
则m的取值范围是_________ 4. 已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，
无限区间
o
a o
b
x x
区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
8).邻域(neighborhood): 设a与是两个实数 , 且
0.数集{ x x a }称为点a的 邻域 ,
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径.
记作
U (a, ) { x a x a }.
C C A B _____ A={3，4，5}，B={1是（ A {0}
）
B {(x,y)|y2 =-x2 , x∈R，y∈R}
C {x|2x2+3x+2=0, x∈N}
D {x| sinx+cosx = 2 , x∈R} 6. 设全集I为R，函数f(x) = sinx , g(x) = cosx ,
x b o a { x a x b} 称为闭区间, 记作 [a, b] o a
b
x
{ x a x b} { x a x b}
称为半闭半开区间, 记作 [a , b) 称为半开半闭区间, 记作 (a , b] 有限区间
[a , ) { x a x }
( , b ) { x x b}
规定 空集为任何集合的子集.
5. 数集分类: N —自然数集 Q —有理数集 Z —整数集 R —实数集
N*—正整数集
数集间的关系: N N Z Q R
*
6、集合的运算
1). 并集: A B { x | x A 或 x B}
2). 交集: A B { x | x A 且 x B} 3). 差集: A \ B { x | x A 但 x B} 4). 余集: 研究某一问题时所考虑的对象的全体 称为全集，用 I 表示；把差集 I \ A 特别称为余 集或补集，记作Ac .
• 经济数学-微积分，吴传生，高等教育出版社
• 数学分析，陈传璋，高等教育出版社
上课认真听讲，多多思考与总结 ---掌握基本概念、基本理论 勤加练习，独立完成作业-----熟悉基本方法和题型
第一章
函 数
第一节 集合及其运算
一、集合及其运算
1.集合(set): 具有确定性质的对象的总体.
组成集合的每一个对象称为该集合的元素.
若x A, 则必x B, 就说A是B的子集 A B .
若A B, 且B A 集合A与B相等 ( A B).
例如： A {1, 2},
4. 子集：
C { x x 2 3 x 2 0}, 则 A C .
不含任何元素的集合称为空集
2
().
{x x R , x 1 0} 例如：
M = {x | f(x) = 0}, N = {x | g(x) = 0}, 则：集合
{x | f(x) g(x) ≠ 0} =（ ）
A. M N
B. MN
C. MN D. MN
练习题答案
1. 5. C 2. {0} 6. A 3. m≥4 4. {2，7，8}

a
点 a 的去心 邻域
0

a
a 记作 U ( a , ).
0
x
U (a , ) { x 0 x a }.
把开区间 (a , a ) 称为a 的左δ邻域，
把开区间 (a , a ) 称为a 的右δ邻域，

a

a
a
x
二、小结 思考题
1.集合的有关概念：集合、元素、子集、全集、
为 A 与 B 的直积，记作 A×B .
例如：R×R={(a，b)| a ∈ R ， b ∈ R }即为
xOy平面上全体点的集合， R×R常记作R 2 .
7).区间(interval): 区间是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a, b R, 且a b.
{ x a x b} 称为开区间, 记作 (a, b)
5). 运算规律:
①交换律: A B B A , A B B A ;
②结合律: A ( B C ) ( A B ) C
A ( B C ) ( A B) C
③分配律: A ( B C ) ( A B ) ( A C )
空集、交集、并集、补集、直积、区间、邻域. 交集、并集、补集、直积的求法. 2.集合的运算： 连续的点组成的集合的表示方法. 3.区间和邻域：
思考题
经调查，有彩电的家庭占96%，有冰箱的
家庭占87%，有音响的家庭占78%，有空调的 家庭占69%，试估计四种电器都有的家庭占多 少？
思考题解答
没有彩电的家庭占4%，没有冰箱的家庭占13%，
欢迎同学们！
经济数学——微积分
北京信息科技大学 理学院
教学安排
课时安排：理论课80学时
答疑安排：每周三下午，教二楼311
考试方式：闭卷
平时成绩30%(考勤+作业+期中测试)
期末考试70%
教学内容
第1章 函数
第2章 极限与连续
第3章 一元函数微分学 第4章 一元函数积分学
参考书目
• 高等数学 (同济大学第六版) , 高等教育出版社
没有音响的家庭占22%，没有空调的家庭占31%，
所以四种电器都有的至少占 1-(4 %+ 13 %+22 %+31 %)=30% 根据交集是任意集合的子集可知：四种电器都有
的最多占69%，所以四种电器都有的至少占30%， 最多占69%.
练 习 题
1. 设集合A={x|x = 2k+1,k∈N}, B={x | x = 2k-1,