第一章 质点运动学
本章提要
1、 参照系：描述物体运动时作参考的其他物体。
2、 运动函数：表示质点位置随时间变化的函数。
位置矢量：k t z j t y i t x t r r
)()()()(++==
位置矢量：)()(t r t t r r
-?+=? 一般情况下：r r
?≠?
3、速度和加速度： dt r d v
= ； 2
2dt r
d dt v d a ==
4、匀加速运动： =a 常矢量 ； t a v v +=0 2
210t a t v r
+= 5、一维匀加速运动：at v v +=0 ； 2210at t v x += ax v v 2202=-
6、抛体运动： 0=x a ； g a y -=
θcos 0v v x = ； gt v v y -=θsin 0
t v x θcos 0= ； 2
210s i n gt
t v y -=θ 7、圆周运动：t n a a a
+=
法向加速度：22
ωR R v a n == 切向加速度：dt
dv a t = 8、伽利略速度变换式：u v v
+'=
【典型例题分析与解答】
1.如图所示,湖中有一小船。岸上有人用绳跨过定滑轮拉船靠岸。设滑轮距水面高度为h ，滑轮到原船位置的绳长为l 。当人以匀速v 拉绳，船运动的速度v '为多少?
解：取如图所示的坐标轴, 由题知任一时刻由船到滑轮的绳长为l=l 0-vt 则船到岸的距离为：
2
2022)(-h -vt l -h l x == 因此船的运动速率为：
2
0 ?
??
? ??--==
vt l h l v
dt
dx
v
2.一质点具有恒定的加速度2
)46(m/s j i a +=,在t=0时刻,其速度为零, 位置矢量i r 10= (m).
求:(1)在任意时刻的速度和位置矢量;(2)质点在 xoy 平面的轨迹方程,并画出轨迹的示意图.
解. (1)由加速度定义dt v
d a =,根据初始条件 t 0=0 v 0=0 可得
???+==t
t v )d t
j i (dt a v d 0
46 s m j t i t v /)46(
+=
由dt
r d v =及 t 0=0i
r r 100==得
?
??+==t t r r dt j t i t dt v r d 0
)46(0
m j t i t j t i t r r ]2)310[(232
2220 ++=++=
(2)由以上可得质点的运动方程的分量式x=x(t) y=y(t) 即 x=10+3t 2
y=2t 2
消去参数t,得质点运动的轨迹方程为 3y=2x-20
这是一个直线方程.由m i r
100=知
x 0=10m,y 0=0.而直线斜率 3
2==
=t g a d y /d x k , 则1433'=
a 轨迹方程如图所示
3. 质点的运动方程为2
3010t t -x +=和2
2015t t-y =,(SI)试求:(1) 初速度的大小和方向;(2)加速度
的大小和方向.
解.(1)速度的分量式为 t -dx/dt v x 6010+== t -dy/dt v y 4015== 当t=0时,v 0x =-10m/s,v 0y =15m/s,则初速度的大小为0182
0200.v v v y x =+=m/s
而v 0与x 轴夹角为 1412300'== x
y v v arctg
a
(2)加速度的分量式为 260-x
x ms dt dv a == 240-y y ms dt
dv a == 则其加速度的大小为 17222
.
a a a y x =+=
ms
-2 X
10
a 与x 轴的夹角为
1433'== -a a arctg
x
y β(或91326' )
4. 一质点以25m/s 的速度沿与水平轴成30°角的方向抛出.试求抛出5s 后,质点的速度和距抛出点的位置.
解. 取质点的抛出点为坐标原点.水平方向为x 轴竖直方向为y 轴, 质点抛出后作抛物线运动,其速度为
αc o s 0v v x = gt v v y -=αsin 0 则t=5s 时质点的速度为 v x =21.65m/s v y =-36.50m/s
质点在x,y 轴的位移分别为
x=v 0x t=108.25m 0602
2
0.-gt t-v y y ==m 质点在抛出5s 后所在的位置为 )06025108(j .-i .j y i x r
=+=m
5.两辆小车A 、B 沿X 轴行驶,它们离出发点的距离分别为 XA=4t+t 2, XB= 2t 2+2t 3 (SI)问:(1)在它们刚离开出发点时,哪个速度较大?(2)两辆小车出发后经过多少时间才能相遇?(3)经过多少时间小车A 和B 的相对速度为零? 解.(1) t /dt dx v A A 24+== 2
64t t /dt dx v B B +==
当 t=0 时, v A =4m/s v B =0 因此 v A > v B
(2)当小车A 和B 相遇时, x A =x B 即 3
2
2
224t t t t +=+ 解得 t=0、1.19s -1.69s(无意义)
(3)小车A 和B 的相对速度为零,即 v A -v B =0 3t 2+t-2=0 解得 t=0.67s . -1s(无意义).
第二章 质点力学（牛顿运动定律）
本章提要
1、牛顿运动定律
牛顿第一定律 o F =
时 =v
常矢量
牛顿第二定律 k ma i ma i ma a m F z y x
++==
X
牛顿第三定律 '
F F -=
2、技术中常见的几种力：
重力 g m P
= 弹簧的弹力 kx f -= 压力和张力
滑动摩擦力 N f k k μ= 静摩擦力 N f s s μ≤
3、基本自然力：万有引力、弱力、电磁力、强力。
4、用牛顿运动定律解题的基本思路：
认物体→看运动→查受力（画示力图）→列方程 5、国际单位制（SI ）
量纲：表示导出量是如何由基本量组成的幂次式。
【典型例题分析与解答】
1. 一木块在与水平面成a 角的斜面上匀速下滑.若使它以速度v 0 沿此斜面向上滑动,如图所示.证明
它能沿该斜面向滑动的距离为v 02/4gsina. 证.选如图所示坐标,当木块匀速下滑时,由牛顿第二定理有
mgsina-f =0
因此木块受到的摩擦阻力为 f = mgsina (1) 当木块上行时,由牛顿第二定律有 - mgsina - f=ma (2) 联立(1)(2)式可得a= -2gsina 式中负号表示木块沿斜面向上作匀减速直线运动.木块以初速v 0开始向上滑至某高度时,v=0,由v 2=v 02+2as 可得木块上行距离为 s=-v 02/2a=v 02/4gsina
2.如图所示,已知F=4.0×104N,m1=
3.0×103kg,m2=2.0×103kg 两物体与平面间的摩擦系数为0.02,设滑轮与绳间的摩擦系数均不计算.求质量m 2物体的速度及绳对它的拉力. 解.如图所示,设m 2的加速度为a 2,m 1的加速度 为a 1.由牛顿第二定律分别列出m 1,m 2的运动方 程为 22221111a m g m -T a m g m -F-T ==μμ 由于滑轮质量、滑轮与绳之间的摩擦力不计,则有021=''-T T 考虑到2211T ',T T 'T ==,且绳子不被拉长,则有122a a = 联立上述各式,可得21
21227844)
2(22-m.s .m m m m g F-a =++=
μ
N .a g m T 4
22210351)(?=+=μ
3.在一只半径为R 的半球形碗内,有一粒质量为m 的小钢球.当小钢球以角速度ω
在水平面内沿碗内
x
y f
f
1m 2g F f 2
壁作匀速圆周运动时,它距碗底有多高?
解.如图所示,钢球以角速度ω在水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动.当它距碗底高为 h 时,其向心加速度为θωωsin 22R r a n ==，钢球所受到的作用力为重力P 和碗壁对球的 支持力N,其合力就是钢球匀速圆周运动所需的向心力F.由图 有 θωθsin sin 2
mR N F == `则 2
ωmR N = (1) 考虑到钢球在垂直方向受力平衡,则有 mg P N ==θcos (2)
由图可知 /R R-h )(cos =θ. 故有 2ωR-g/h =
4. 一质量为m 的小球最最初位于如图所示的A 点,然后沿半径为r 的光滑圆弧的内表面ADCB 下滑.试求小球在点C 时的角速度和对圆弧表面的作用力.
解.取图所示的坐标系,小球在运动过程中受重力P 和圆弧内表面的作用力N.由牛顿第二定律得小球在切向方向运动方向方程为 t t ma F = 即 mdv/dt a -mg =sin
由 /d t rd ds/dt v α== 可得 /v rd dt α=.
将其代入上式后,有 ααd -r g v d v
s i n = 根据小球从A 运动到C 的初末条件对上式两边进行积分,则有
??
=α
παα2
)s i n (0
d rg vdv v
得αcos 2rg v =
小球在C 点的角速度为
/r g v/r αωcos 2==
小球在法线方向的运动方程为 F n =ma n
即 ααcos 2cos 2
mg /r mv N-mg == 由此得小球对圆弧的作用力为 αcos 3mg --N N'==
5.有一个可以水平运动的倾角为α的斜面,斜面上放一质量为m 的物体,物体与斜面间的静摩擦系数
为μ,如果要使物体在斜面上保持静止,斜面的水平加速度应如何?
解.物体m 在斜面上保持静止,因而具有和斜面相同的加速度a.可以直观的看出,如果斜面的加速度太小,则物体将向下滑;如果斜面的加速度过大, 则物体会向上滑. (1)假定物体静止在斜面上,但有向下滑的趋势; 物体受力分析如图(1)所示,由牛顿运动定律有 )(sin cos -a m -N f =αα 0cos sin =+-mg N f αα
F
D
t
a
y
N f μ≤则 g a
μa a
a-μa sin cos cos sin +≥
(1)假定物体静止在斜面上,但有向上滑的趋势;物体受力分析如图(2)所示,由牛顿运动定律有
)(sin cos -a m -N f =-αα 0cos sin =+--mg N f αα
N f μ≤则 g a
μa a
μa a sin cos cos sin -+≤
故
g a
μa a
μa a g a μa a a-μsin cos cos sin sin cos cos sin -+≤≤+
第三章 功与能
本章提要
1、功：r d F dW
?= ??
??++==?=
=B
A
B A
B
A
z y x dz f dy f dx F dr F r d F dW W )(cos θ
2、动能定理：2
12
12
221mv mv W -= 3、保守力与非保守力： ?
=?=
L
r d F W 0 保 ?≠?=L
r d F W 0
非
4、势能：对保守内力可以引入势能概念 万有引力势能：r
m m G
E p 2
1-=以两质点无穷远分离为势能零点。 重力势能：mgh E p =以物体在地面为势能零点。
弹簧的弹性势能：2
21kx
E p =以弹簧的自然伸长为势能零点。 5、机械能受恒定律：在只有保守内力做功的情况下，系统的机械能保持不变。
1、用力推地面上的石块.已知石块的质量为20kg,力的方向和地面平行. 推力随位移的增加而线性增加,即F=6x(SI).试求石块由x 1=16m 移到x 2= 20m 的过程中,推力所作的功. 解.由于推力在作功过程中是一变力,按功的定义有
J -xdx x d F W x x 432)1620(362220
16
2
1
===?=??
2、一颗速率为700m/s 的子弹,打穿一木块后速率降为500m/s.如果让它继续穿过与第一块完全相同的第二块木板.求子弹的速率降到多少?
解.由动能定理可知,子弹穿过第一块和第二块木板时克服阻力所作的功分别为
y
22
2
1232
1
22
12122211mv
-mv W mv
-mv W ==
式中v 1为子弹初速率,v 2为穿过第一块木板后的速率,v 3为穿过第二块木板后的速率.由题意知两块木
板完全相同,因此子弹穿过木板过程中克服阻力所作的功可认为相等,即 W 1=W 2,故有
222123212121222
1mv -mv
mv -mv = 由此得子弹穿过第二块木板后的速率为 m/s -v v v 1002212
23==
3、.用铁锤把钉子敲入木板.设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比.若第一次敲击能把钉子打入木板m 101.0-2
?.第二次打击时, 保持第一次打击钉子的速度,那么第二次能把钉子打多深. 解.锤敲钉子使钉子获得动能.钉子钉入木板是使钉子将获得的动能用于克服阻力作功.由于钉子所受
阻力f 与进入木板的深度x 成正比,即f=kx,其中k 为阻力系数.而锤打击钉子时,保持相同的速度,故钉子两次进入木板过程中所作功也相等, 所以有
??
=x
kxdx kxdx 01
.001
.00
m x 0141.0=
即钉子经两次敲击进入木板的总深度为0.0141m.由此可知第二次打击使钉子进入木板的深度为
m .x-x d 004101==
4、一半径为R 的光滑球固定在水平面上. 另有一个粒子从球的最高点由静止沿球面滑下.摩擦力略去不计.求粒子离开球的位置以及粒子在该位置的速度.
解.如图所示,粒子在光滑球面上滑动时仅受球面支持力和地球引力 mg 的作用.由于N 始终与球的运
动方向垂直,故系统机械能守恒.当粒子从最高点A 滑至离开球的位置B 时,有
θcos 2
21mgR mv mgR +=
根据牛顿第二定律,有21
cos mv N mg R
=-θ
而粒子刚好离开时,N=0.因此有
θθcos cos 21mgR mgR mgR +=
则物体刚离开球面处的角位置为 此时,粒子的速率为Rg
gR v 32cos ==
θ v 的方向与P 夹角为
8.4190=-=θa
5、一劲度系数为K 的水平轻弹黉,一端固定在墙上,另一端系一质量为M 的物体A 放在光滑的水平
面上.当把弹黉压缩x 0后,再靠着A 放一质量为m 的物体B,如图所示.开始时系统处于静止,若不计一切摩擦.试求:(1)物体A 和B 分离时,B 的速度;(2)物体A 移动过程中离开o 点的最大距离.
解.(1)以A 、B 及弹黉为系统,假定A 、B 分离时的共同速度为v. 由机械能守恒定律,有
2
02122
1)(kx v m M =+
248arccos 32.==θ 248arccos 32
.==
θ
则 0)(x m M K/v +=
(2)若设x 为物体A 离开o 点的最大距离,
由系统机械能守恒,有221
221kx Mv =
则0)(x m M M/x +=
第四章 动量
本章提要
1、动量定理：合外力的冲量等于质点（或质点系）动量的增量。21p p dt F -=
对于质点系∑=
i
i p p
2、动量受恒定律：系统所受合外力为零时，∑=i
i p p
常矢量。
3、质心的概念 质心的位矢：∑∑=
i
i
i i
i
i c r m m m
r m r )1(
?=dm r m r c 1 4、质心运动定律：质点系所受的合外力等于其总质量乘以质心的加速度。c a m F
=
质点系的动量受恒等同于它的质心速度不变。
1、如图所示,质量为m 、速度为v 的子弹,射向质量为M 的靶,靶中有一小孔, 内有劲度系数为k 的弹黉,此靶最初处于静止状态,但可在水平面作无摩擦滑动.求子弹射入靶内弹黉后,弹黉的最大压缩距离.
解.质量为m 的子弹与质量为M 的靶之间的碰撞是从子弹与固定在靶上的弹黉接触时开始的,当弹黉受到最大压缩时,M 和m 具有共同的速度v 1, 此时弹黉的压缩量为x 0.在碰撞过程中,子弹和靶组成的系统在水平方向上无外力作用, 故由动量守恒定律可得
1)(v M m mv += (1)
在碰撞过程中,系统的机械能守恒,有
2021
212122
1)(kx v M m mv ++= (2)
联立(1) (2)式,得)
(0M m k mMv
x +=
2、质量为kg 107.2-23
?、速率为m/s 106.07
?的粒子A, 与另一个质量为其一半而静止的粒子B
发
生完全弹性的二维碰撞,碰撞后粒子A 的速率为m/s 105.07
?.求( 1)粒子B 的速率及相对粒子A 原来速度方向的偏角;(2);粒子A 的偏转角.
解.取如图所示的坐标.当A 、B 两粒子发生碰撞时,系统的动量守恒.在xoy 平面内的二维直角坐标中, 有αβcos mv cos mv 2
1
mv B21A222A1+=+
=x B x A mv mv αβin s mv sin mv 0B22
1A 2-=
由碰撞前后系统机械能守恒,有
2A 221
2B2212A 12
1mv (m/2)v mv +=
则碰撞后粒子B 的速率为
m/s.104.69v 7B2?=
粒子B 相对于粒子A 原方向的偏转角6'54
=β, 粒子A 的偏转角20'22
=a
3、如图所示为一弹黉振子,弹黉的劲度系数为K,质量不计.有一质量为m 、速度为v 的子弹打入质量为M 的物体,并停留在其中,若弹黉被压缩的长度为x,物体与平面间的滑动摩擦系数为μ,求子弹的初速度.
解.以M 、m 和弹黉为研究对象,系统在水平 方向动量守恒,有mv=(m+M)u (1) 子弹打入物体后,在弹黉被压缩的过程中, 由功能原理,可得
M)gx (m Kx M)u (m 2
2
122
1++=+μ (2)
联立(1)(2)式得gx
2m)/(M Kx m M
m v 2
μ+++=
4、质量为m 的物体从斜面上高度为h 的A 点处由静止开始下滑,滑至水平段B 点停止.今有一质量为m 的子弹射入物体中,使物体恰好能返回到斜面上的A 点处. 求子弹的速率. 解.以地球和物体为研究系统,物体从A 处滑到B 处的过程中,由功能原理可得摩擦力的功的数值 为 W f =mgh
取子弹和物体为系统,子弹射入物体的过程系统 的动量守恒,有 mv=2mu
再以地球、物体和子弹为系统,由功能原理有 2mgh -(2m)u 2W 221f =
由此可得gh 4v =
5、如图所示,质量为m 的小球沿斜坡在h 处由静止开始无摩擦滑下, 在最低点与质量为M 的钢块作完全弹性碰撞.
v A1
B2
m
求:(1)碰撞后小球沿斜坡上升的高度.(2)若钢块和地面间摩擦系数为μ,碰撞后钢块经过多长时间后停下来.
解.小球沿斜坡滑下过程中系统机械
能守恒2
21mv mgh =
小球m 以速度v 在斜坡底端和M 发生完全弹性碰撞,有
21Mv mv mv +=
2221
212122
1Mv mv mv +=
小球沿斜坡上升过程中系统机械能守恒,有mgh'mv 2121=
若钢块M 在平面上运动经t ?秒后停下来,由动量定理有
2Mv -0t Mg -=?μ
联立求解可得h m M m M h'2
?
?
?
??+-= g h m M m t /2)(2+=?μ 第五章 刚体的转动
本章提要：
1、 刚体的定轴转动：
角速度：dt d θω=
角加速度；dt
d ω
β=
匀加速转动：t βωω+=0
22
100t t βωθθ＋＝- βθωω2202=- 2、 刚体的定轴转动定律：βJ M = 3、 刚体的转动惯量：∑=
i
i
i r
m J 2
?
=dm r J 2
平行轴定理2md J J c += 4、 力矩的功：?=
θMd W
转动动能：22
1
ωJ E k =
刚体定轴转动的动能定理：2
02122
1ωωJ J W -=
刚体的重力势能：c p mgh E =
机械能守恒定律：只有保守力做功时，=+p k E E 常量 5、 角动量：
质点的角动量：v r m P r L
?=?=
质点的角动量定理：
L dt
d M = 质点的角动量守恒定律：=?==v m r L M
, 0常矢量
刚体定轴转动的角动量：ωJ L = 刚体定轴转动的角动量定理：L dt
d M =
刚体定轴转动的角动量受恒定理：当合外力矩为零时 =ωJ 常量 1、设某机器上的飞轮的转动惯量为63.6kg.m 2,转动的角速度为31.4s -1,在制动力矩的作用下,飞轮经过20s 匀减速地停止转动,求角加速度和制动力矩.
解.由题意知飞轮作匀减速运动,角加速度β应为常量,故有
-1.57rad/s 31.4)/20-(0)/t -(0===ωωβ.
根据转动定律,可得制动力矩-99.9N.m (-1.57)63.6J M =?==β
式中负号表示角加速度、制动力矩的方向均与飞轮转动的角速度方向相反.
2、如图(a)所示为一阿脱伍德(Atwood)机.一细而轻的绳索跨过一定滑轮, 绳的两端分别悬有质量为m 1和m 2的物体,且m 1>m 2.设定滑轮是一质量为M 、半径为r 的圆盘,绳的质量不计,且绳与滑轮间无相对运动.试求物体的加速度和绳的张力.如果略去滑轮的运动,将会得到什么结果?
解.分别作出滑轮M,物体m 1和m 2的受力分析图如图(b)所示.由于绳索质量不计,且长度不变,故m 1和m 2两物体运动的加速度a 和a'大小相等,均为a,但方向相反.对物体m 1和m 2以及滑轮M 分别应用牛顿第二定律和转动定律,可得
m 1g-T 1=m 1a (1) T ’2-m 2g=m 2a ’ (2)
βJ )r T -(T 21= (3) 而 2
21Mr J = (4) βr a = (5) 联立(1)(2)(3)(4)(5)式,可得
g M/2
m m m -m a 222
1++=
g m M/2m m M/22m T l 2221+++=
g m M/2
m m M/2
2m T 22212+++=
如果略去滑轮的运动,即T 1=T 2=T,有
2
a ’
a
1
1 1
2121m m )g m -(m a +=
2
12121m m g
m 2m T T T +===
3、质量为0.50kg,长为0.40m 的均匀细棒,可绕垂直于棒的一端的水平轴转动.如将此棒放在水平位置,
然后任其下落.求:(1)在开始转动时的角加速度;(2)下落到铅直位置时的动能;(3)下落到铅直位置时的角速度.
解.(1)如图所示,棒绕端点o 的转动惯量J=m l 2/3. 在水平位置时,棒所受的重力矩 Ｍ=mg l /2,
根据转动定律,得-2
36.8rad.s )3g/(2M/J ===l β
(2)取棒和地球为系统,以棒处于竖直位置时其中 心点A 处为重力势能零点.在棒的转动过程中只有 保守内力作功,系统的机械能守恒.棒从静止时的水 平位置下落到竖直位置时,其动能为 E k =mg l /2=0.98J
(3)棒在竖直位置时的动能就是此刻棒的转动动能,则有E k =1/2 J ω2,所以竖直位置时棒的角速度为
8.57rad/s 3g//J 2E k ===l ω
4、如图所式,A 、B 两个轮子的质量分别为m 1和m 2,半径分别为r 1和r 2.另有一绳绕在两轮上,并按图示连接.其中A 轮绕固定轴o 转动.试求:(1)B 轮下落时, 其轮心的加速度;(2)细绳的拉力. 解.取竖直向下为x 轴正向,两轮的受力分析如图示.A 轮绕轴o 作定轴转动,故有
A 2
11211r m r ' T β= 且
1A A /r a =β
故 A 121a m ' T = (1)
对于B 轮除了绕其轴C 的转动外,还有B 轮质心C 的平动.根据牛顿定律,B 轮质心运动方程为
c 22a m T -g m = (2)
又根据转动定律,对B 的转动有 B 222212r m Tr β=
且有
2B B /r a =β
故 B 22
1
a m T = (3) 而 T=T '
a A =a c -a B (4) 联立求解可得
2T/m 1=a c -2T/m 2
故 2
1c
212m 2m a m m T += (5)
联立(2)(5)式可得 2121c 2m 3m )g m 2(m a ++=
2
121c 2m 3m g
m m )a -(g m T +==
A B
x
5、在图示的装置中,弹黉的劲度系数K=2.0N/m,滑轮的转动惯量J=0.50kg.m 2, 半径R=0.30m,物体质量m=6×10-2kg.开始时用手将物体托住使弹黉为原长, 系统处于静止状态.若不计一切摩擦,求物体降落0.4m 处的速率. 解.以滑轮、物体、弹黉和地球为系统,在物体下落过程中,系统的机械能守恒.设物体下落h=0.4m 时
的速率为v,则 221221221mv J(v/R)Kh mgh ++=
0.16m/s )
(J/R m Kh)h
-(2mg v 2
=+=
6、如图所示,质量为m 1和m 2 的两物体通过定滑轮用轻绳连接在一起,滑轮与轴、物体与桌面的摩擦忽略不计.当m 1由静止下降距离h 时,求:(1)若滑轮质量不计,此时m 1的速率是多少?(2)若滑轮的转动惯量J=MR 2/2,此时m 1的速率又为多少? (3)若在(2)中把m 1换成拉力F,此时滑轮的角加速度为多少? 解.(1)
2
212
11)v m (m gh m += v = (2)考虑到滑轮的转动, 21
221212J )v m (m gh m ω++= (3)由转动定律,有 βJ T )R -(F = 而 βR m m T 22==a 则
M/2)R]F/[(m 2+=β
第六章 气体动理论
本章提要
1、 系统和外界，宏观量和微观量；
2、 平衡态和平衡过程；
3、 理想气体状态方程：RT m
PV μ
=
普适气体常数： -1
-1
k mol 8.31J R ??= 阿佛加德罗常数：1
23
mol 10023.6-?=A N 玻尔兹曼常数：123k J 1038.1--??==
A
N R
k 4、 理想气体的压强：k n v nm P ε322
31==
5、 温度的统计概念：kT 2
3=k ε 6、 能均分定理：
每一个自由度的平动动能为：kT 21 一个分子的总平均动能为：kT i
=
ε
mol μ
M
理想气体的内能为：RT 2
i M E μ=
7、 速率分布函数：Ndv
dN
v f =
)( 三速率：最概然速率μ
RT
2kT
2==
m
v p
平均速率 πμπRT
8kT 8=
=
m v 方均根速率μ
RT
3kT 32=
=
m v 8、 分子的平均自由程：P
d n
d 2
2
2kT
21
ππλ==
9、 输送过程：内摩擦（输送分子定向动量）
热传导（输送无规则运动能量） 扩散（输送分子质量）
1、目前实验室所能获得的真空,其压强为1.33×10-8pa.试问在27℃的条件下, 在这样的真空中每立方厘米内有多少个气体分子?
解. 由 P=nkT 可得单位体积内的分子数 n=P/(kT)=3.21×1012m -3
故每立方厘米内的分子数为3.21×106个 2、2g 氢气装在20×10-3m 3的容器中,当容器内的压强为3.99×104Pa 时, 氢气分子的平均平动动能为多大?
解.理想气体分子的平均平动动能取决于温度,且有kT mv 23
221=, 而一定量气体在确定的体积和
压强的前提下,其温度可由状态方程得
MR
PV
T μ=
则
J 101.99MR
PV
23k mv 21-22
1
?==
μ
3、 求温度为127℃的氢气分子和氧气分子的平均速率, 方均根速率及最概然速率.
解.分别按平均速率,方均根速率和最概然速率的计算公式, 可求得氢分子相对应的各种速率为 m/s 102.06RT/1.60v 3?==μ
m/s 102.23RT/1.73v 32?==μ
m/s 101.82RT/1.41v 3p ?==μ 由于三种速率与分子的摩尔质量成反比,而4/H 0=μμ,则氧分子的三种速率均为氢分子速率的1/4.
即
v 0=5.16×102m/s,
m /s 105.58v 220?=,
(v p )0=4.45×102m/s
4、在30×10-3m 3的容器中装有20g 气体,容器内气体的压强为0.506×105Pa,求 气体分子的最概然速率
解.最概然速率 μRT/1.41v p =,式中气体的温度T 可根据状态方程,以压强P 和体积V 代替,即
P V/(M R )
T μ=, 故 389m/s PV/M 1.41v P ==
5、收音机所用电子管的真空度为1.33×10-3Pa.试求在27℃时单位体积中的分子数及分子的平均自由程(设分子的有效直经d=3.0×10-8cm).
解. 由压强公式可得单位体积中的分子数 n=P/(kT)=3.21×1017m -3 分子的平均自由程为
7.77m P)d 2kT/(2==πλ
第七章 热力学基础
本章提要
1、 准静态过程：过程中的每一个时刻，系统的状态都接近于平衡态。准静态过程中系统对外做的
体积功
pdV dW = ?=2
1
V V P d V W
2、 热量：系统和外界或两个物体由于温度不同而交换的热运动能量。
3、 热力学第一定律：W )E (E Q 12+-= dW dE dQ +=
4、 理想气体的摩尔摩尔热容量：R C 2i V = R C 2
2
i P +=
迈耶公式：R C C V P =- 摩尔热容比：i
2
i C C V P +=
=γ 5、 理想气体的四种过程：
等体过程：0PdV dW V ==
RdT dT C E dQ 2
V V i M M
d μμ
=
=
=
)T R(T )T (T C E E Q 1212V 12V -=-=
-=i M M
μμ
等压过程：PdV dE dQ P +=
)
T (T C )T R(T )T (T C PdV
E E Q 12P 12212V V 12P 2
1
-=
-+-=+-=?μ
μμM
i M M
V
等温过程：0dT = 0dE = pdV dW dQ T T == 1
2
1
2
T T P P RT ln
V V RT ln
PdV Q W μ
μ
M
M
==
=
=? 绝热过程：0dQ = )T (T C PdV W 12V μ
M --
==?a
绝热方程：=γ
PV 常量 ＝－T V
1
γ常量 ＝－－γγT P 1常量
6、 循环过程：
热循环（正循环）：系统从高温热源吸热，对外做功，向低温热源放热。
循环效率：1
21Q Q 1－Q W
＝＝
η 致冷循环（逆循环）：系统从低温热源吸热，接收外界做功，向高温热源放热。 致冷系数：2
12
12－Q Q Q ＝
W Q ＝
ω 7、 卡诺循环：系统只与两个恒温热源进行热量交换的准静态循环过程。
正循环的效率：1
2
T T 1-
＝c η 逆循环的致冷系数：2
12
T T T -=
c ω
8、热力学第二定律：克劳修斯说法（热传导） 开尔文说法（功热转换） 9、可逆过程和不可逆过程
不可逆：各种实际宏观过程都是不可逆的，而它们的不可逆性又是相互沟通的。 三个实例：功热转换、热传导、气体自由膨胀。
可逆过程：外界条件改变无穷小的量就可以使过程反向进行的过程（其结果是系统和外界能同时回
到初态），无摩擦的准静态过程是可逆过程。 1、一定质量的空气,吸收了1.17×103J 的热量,并保持在1.013×105Pa 下膨胀,体积从10-2m 3增加到15×10-3m 3,问空气对外作了多少功?内能增加了多少?
解.空气等压膨胀所作的功为 W=P(V 2-V 1)=5.07×102J 由热力学第一定律 W E Q +?=, 可得空气内能的改变为 J 101.12W -Q E 3?==?
2、100g 水蒸气自120℃升到140℃.问(1)在等体过程中,(2)在等压过程中,各吸收了多少热量.
解. 水蒸气为三原子分子,其自由自由度为i=6,定体摩尔热容C v =(i/2)R, 定压摩尔热容 C p =(i/2+1)R,则
(1)等体过程中吸收的热量为
J
102.77 )
T -)R(T (M/)T -(T )C (M/dT )C (M/Q 3
122i
12v v v ?====μμμ
(2)等压过程中吸收的热量为
J
103.69 )T -1)R(T )(i/2(M/)T -(T )C (M/dT )C (M/Q 3
1212p p p ?=+===μμμ
3、压强为1.013×105Pa,体积为10-3m 3的氧气0℃加热到100℃,问(1)当压强不变时, 需要多少热量?(2)
当体积不变时,需要多少热量?(3) 在等压或等体过程中各作多少功? 解. 在给定状态下该氧气的摩尔数为 )/(RT PV M/11=μ
(1)压强不变的过程即等压过程,氧气所需的热量为
130J
)T -)(T /T (PV )T -)R(T /(RT PV )T -(T )C (M/Q 12112
7
12112712p p ====μ
(2)体积不变的过程即等体过程,氧气所需的热量为
92.8J
)T -)(T /T (PV )T -)R(T /(RT PV )T -(T )C (M/Q 121125121125
12v v ====μ
(3)由热力学第一定律 W E Q +?= 得等压过程中氧气所作的功为
37.1J
)T -)(i/2)R(T (M/-)T -1)R(T )(i/2(M/E -Q W 1212p p =+=?=μμ
此结果亦可由 )V -P (V P d V W 1
2
p ==
? 及 V 1/V 2=T 1/T 2
得到.
在等体过程中氧气所作的功为
0)T -(T )C (M/-)T -(T )C (M/E -Q W 12v 12v v v ==?=μμ 此结果亦可直接由 0P d V W v ==
? 得到.
4、如图所示,使1mol 的氧气(1)由a 等温的到b;(2)由a 等体的变到c;再由c 等压变到b.试分别计算所作的功和所吸收的热量.
解.(1)氧气在a 到b 的等温过程中所作的功为
J
103.15)/V ln(V V P )
/V RTln(V PdV W 3
a b b b a b M
b
a
T ?===
=?μ
由于等温过程中内能不变,由热力学第一定律
W E Q +?=,可得氧气在a 到b 过程中所
吸收的热量为 Q=WT=3.15×103J
(2)由于等体过程中气体不作功,而等压过程中所作的功为V P W P ?=,图中ac 为等体过程,cb 为等压过程.因此,氧气在acb 过程中所作的功为 W=W ac +W cb =W cb =P c (V b -V c )=2.27×103J
氧气在acb 过程中所吸收的热量为ac 和cb 两个过程中吸收热量之和,即
J
102.27 )V -(V P )R] /[(M/
)V P -V P )(C -(C )(M/ )
T -(T )C (M/)T -(T )C (M/Q Q Q 3c b c b b c c p v c b p a c v cb ac ?===+=+=μμμμ
5、一卡诺热机的低温热源温度为7℃,效率为40％,若将其效率提高到50％,求高温热源的温度提高多
少度?
解. 由卡诺热机的效率η=1-(T 2/T 1)可知, 具有相同低温热源而效率分别为η'和η"的两热机,其高温热源的温度分别为
T 1'=T 2/(1-η') T 1"=T 2/(1-η") 因此,为提高效率而需提高的温度为
△T=T 1"-T 1'=93.3K
第八章 静电场
本章提要：
1、 电荷的基本性质：
两种电荷；量子性；电荷守恒；相对不变性
2、 库仑定律：两个静止的点电荷之间的作用力：0
2
21041E r r q q πε＝
真空中的介电常数：212120m N C 1085.8---???=ε 3、 电场力叠加原理：∑=
i
i F F
4、 电场强度：0
q F
E
=
10-3m 3）
5、 场强叠加原理：∑=
i
i E E
∑i 0i 2i i 0r r q 41E πε＝ ?020r r dq 41E πε＝ 6、 电通量：??=Φs
e S d E
7、 高斯定律：∑?=
?i
i
s
q
1
S d E ε
8、 典型静电场：
均匀带电球面：?????
=（球面外）（球面内）02
0r r
q 410
πεE
均匀带电无限长直线：r
02E πελ
=
，方向垂直于带电直线。 均匀带电无限大平面：0
2E εδ
＝
，方向垂直于带电平面。 9、 静电场对电荷的作用力：E q F
=
10、静电场是保守力场：0d E =??L
l
11、电势差：?
?=
-Q
Q P d E U U P
l
电势：?
∞
?=
P
l d E U P
电势叠加原理：∑=
i
U
U
12、电荷的电势：r
04q U πε=
电荷连续分布的带电体的电势：?=
r 0
4dq
U πε
13、场强E
和电势U 的关系：
积分形式：?
∞
?=
P
l d E U P
微分形式：U E -?=
电场线处处与等势面垂直，并指向电势降低方向，电场线密处等势面间间距小。 14、电荷在外电场的电势能：qU W =
移动电荷时电场力做的功：Q p Q P PQ W W )U q(U A -=-=
1、有一边长为a 的正六角形,六个顶点都放有电荷, 试计算如图所示的四种情况在六角形中点处的场强.
解.(1)如图所示,各点电荷在点o 处产生的场强两两对应相消,所以,点o 处场强 E o =0 (2) 取图中所示坐标.位于六角形的三条对角线上的电荷分别在点o 处产生的场强为 E 1,
E 2,E 3,且E 1=E 2=E 3,点o 处的总场强在坐标轴上 的分量分别为
sin60E -sin60E E 0E -cos60E cos60E E 12y 321x ===+=
所以 0j E i E E y x 0=+=
(3)此时六角形的三条对角线上的电荷在o 处 所产生的场强分别为图所示的 E 1,E 2,E 3.且
E 1=E 2=E 3
点o 处的总场强在坐标轴的分量分别为
=sin60E -sin60E =E k4q/a =2k2q/a =2E =cos60E +E +cos60E =E 31y 222321x
所以 E o =k4q/a 2
(4)取图所示坐标,除在x 轴上的点o 处所产生的场强彼此加强外, 其它两条对角线上的电荷在 中心点o 处的场强彼此相消.所以,总场强为 Eo=2kq/a 2=k2q/a 2 8-5.一半径为R 的半圆细环,均匀分布+Q 电荷,求环心处的电场强度. 解. 以环心o 为原点取如图坐标轴,在环上取一线元d l ,其所带电量为
R)Qdl/(dq π=,它在环心处的电场强度dE 在y 轴上的分量为
)R
1
/sin R Qd 41
dE 20y θππεl =
由于环对y 轴对称,电场强度在x 的分量为零.因此半圆环上的电荷在环心o 处的总的电场强度为
j R
2Q -j d sin R 4Q - j d sin R Q 41-j dE -E 202020230y επθθεπθππεπ====??? l 8-9.两条无限长相互平行的导线,均匀带有相反电荷,相距为a,电荷线密度为λ.(1)求两导线构成的平
面上任一点的场强(设该点到其中一导线的垂直距离为x);(2)求每一根导线上单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力.
解.(1)以一导线上任一点o 为原点,在两导线所在平面内,垂直于导线的方向为x 轴.在x 轴任一点P 处的场强 E=E ++E - ,其中E +和E -分别为正、负带电导线在P 点的场强.根据长直导线附近的场强公式
,
-q
必修1 集合复习 知识框架： 1.1.1 集合的含义与表示 1．下列各组对象 ①接近于0的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点O 的距离等于1的点的全体； ④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数有( ) A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．5组 2．设集合M ＝{大于0小于1的有理数}，N ＝{小于1050的正整数}， P ＝{定圆C 的内接三角形}，Q ＝{所有能被7整除的数}，其中无限集是( ) A ．M 、N 、P B ．M 、P 、Q C ．N 、P 、Q D ．M 、N 、Q 3．下列命题中正确的是( ) A ．{x ｜x 2＋2＝0}在实数范围内无意义 B ．{(1，2)}与{(2，1)}表示同一个集合 C ．{4，5}与{5，4}表示相同的集合 D ．{4，5}与{5，4}表示不同的集合 4．直角坐标平面内，集合M ＝{(x ，y )｜xy ≥0，x ∈R ，y ∈R }的元素所对应的点是( ) A ．第一象限内的点 B ．第三象限内的点 C ．第一或第三象限内的点 D ．非第二、第四象限内的点 5．已知M ＝{m ｜m ＝2k ，k ∈Z }，X ＝{x ｜x ＝2k ＋1，k ∈Z }，Y ＝{y ｜y ＝4k ＋1，k ∈Z }，则( ) A ．x ＋y ∈M B ．x ＋y ∈X C ．x ＋y ∈Y D ．x ＋y ?M 6．下列各选项中的M 与P 表示同一个集合的是( ) A ．M ＝{x ∈R ｜x 2＋0.01＝0}，P ＝{x ｜x 2＝0} B ．M ＝{(x ，y )｜y ＝x 2＋1，x ∈R }，P ＝{(x ，y )｜x ＝y 2＋1，x ∈R } C ．M ＝{y ｜y ＝t 2＋1，t ∈R }，P ＝{t ｜t ＝(y －1)2＋1，y ∈R } D ．M ＝{x ｜x ＝2k ，k ∈Z }，P ＝{x ｜x ＝4k ＋2，k ∈Z } 7．由实数x ，－x ，｜x ｜所组成的集合，其元素最多有______个． 8．集合{3，x ，x 2－2x }中，x 应满足的条件是______． 9．对于集合A ＝{2，4，6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是______． 10．用符号∈或?填空： ①1______N ，0______N ．－3______Q ，0.5______Z ，2______R ． ②2 1______R ，5______Q ，｜－3|______N ＋，｜－3｜______Z ． 11．若方程x 2＋mx ＋n ＝0(m ，n ∈R )的解集为{－2，－1}，则m ＝______，n ＝______． 12．若集合A ＝{x ｜x 2＋(a －1)x ＋b ＝0}中，仅有一个元素a ，则a ＝______，b ＝______． 13．方程组?? ???=+=+=+321x z z y y x 的解集为______． 14．已知集合P ＝{0，1，2，3，4}，Q ＝{x ｜x ＝ab ，a ，b ∈P ，a ≠b }，用列举法表示集合Q ＝______． 15．用描述法表示下列各集合：
1.质点运动学单元练习（一）答案 1．B 2．D 3．D 4．B 5．3.0m ；5.0m （提示：首先分析质点的运动规律，在t <2.0s 时质点沿x 轴正方向运动；在t =2.0s 时质点的速率为零；，在t >2.0s 时质点沿x 轴反方向运动；由位移和路程的定义可以求得答案。） 6．135m （提示：质点作变加速运动，可由加速度对时间t 的两次积分求得质点运动方程。） 7．解：（1）)()2(22 SI j t i t r -+= )(21m j i r += )(242m j i r -= )(3212m j i r r r -=-=? )/(32s m j i t r v -=??= （2）)(22SI j t i dt r d v -== )(2SI j dt v d a -== )/(422s m j i v -= )/(222--=s m j a 8．解： t A tdt A adt v t o t o ωω-=ωω-== ?? sin cos 2
t A tdt A A vdt A x t o t o ω=ωω-=+=??cos sin 9．解：（1）设太阳光线对地转动的角速度为ω s rad /1027.73600 *62 /5-?=π= ω s m t h dt ds v /1094.1cos 3 2 -?=ωω== （2）当旗杆与投影等长时，4/π=ωt h s t 0.31008.144=?=ω π = 10．解： ky y v v t y y v t dv a -==== d d d d d d d -k =y v d v / d y ??+=- =-C v ky v v y ky 2 22 121, d d 已知y =y o ，v =v o 则2020 2 121ky v C --= )(22 22y y k v v o o -+=
大学物理知识点总结汇总 大学物理知识点总结汇总 大学物理知识点总结都有哪些内容呢?我们不妨一起来看看吧！以下是小编为大家搜集整理提供到的大学物理知识点总结，希望对您有所帮助。欢迎阅读参考学习！ 一、物体的内能 1.分子的动能 物体内所有分子的动能的平均值叫做分子的平均动能. 温度升高，分子热运动的平均动能越大. 温度越低，分子热运动的平均动能越小. 温度是物体分子热运动的平均动能的标志. 2.分子势能 由分子间的相互作用和相对位置决定的能量叫分子势能. 分子力做正功，分子势能减少， 分子力做负功，分子势能增加。 在平衡位置时(r=r0),分子势能最小. 分子势能的大小跟物体的体积有关系. 3.物体的内能
(1)物体中所有分子做热运动的动能和分子势能的总和，叫做物体的内能. (2)分子平均动能与温度的关系 由于分子热运动的无规则性，所以各个分子热运动动能不同，但所有分子热运动动能的`平均值只与温度相关，温度是分子平均动能的标志，温度相同，则分子热运动的平均动能相同，对确定的物体来说，总的分子动能随温度单调增加。 (3)分子势能与体积的关系 分子势能与分子力相关：分子力做正功，分子势能减小;分子力做负功，分子势能增加。而分子力与分子间距有关，分子间距的变化则又影响着大量分子所组成的宏观物体的体积。这就在分子势能与物体体积间建立起某种联系。因此分子势能分子势能跟体积有关系， 由于分子热运动的平均动能跟温度有关系，分子势能跟体积有关系，所以物体的内能跟物的温度和体积都有关系：温度升高时，分子的平均动能增加，因而物体内能增加; 体积变化时，分子势能发生变化，因而物体的内能发生变化. 此外, 物体的内能还跟物体的质量和物态有关。 二.改变物体内能的两种方式 1.做功可以改变物体的内能.
大学物理上册期末考试 重点例题 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998
第一章 质点运动学习题 1-4一质点在xOy 平面上运动，运动方程为 x =3t +5, y = 2 1t 2 +3t -4.（SI ） (式中t 以 s 计，x ,y 以m 计．) (1)以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式； (2)求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，并计算这1秒内质点的位移； (3)计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度； (4)求出质点速度矢量表示式，并计算t ＝4 s 时质点的速度； (5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度； (6)求出质点加速度矢量的表示式，并计算t ＝4s 时质点的加速度。 (请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)． 解：（1）质点位置矢量 21 (35)(34)2r xi yj t i t t j =+=+++-m (2)将1=t ,2=t 代入上式即有 211 [(315)(1314)](80.5)2t s r i j m i j m ==?++?+?-=- 221 [(325)(2324)](114)2 t s r i j m i j ==?++?+?-=+m 21(114)(80.5)(3 4.5)t s t s r r r i j m i j m i j m ==?=-=+--=+ (3) ∵ 20241 [(305)(0304)](54)2 1 [(345)(4344)](1716)2 t s t s r i j m i j m r i j m i j m ===?++?+?-=-=?++?+?-=+ ∴ 1140(1716)(54)(35)m s 404 t s t s r r r i j i j v m s i j t --==-?+--= ==?=+??-
集合 一．【课标要求】 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用二．【命题走向】 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主。 预测高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体 三．【要点精讲】 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合 a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A b?； 记作A （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或 者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；
互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集），记作N ； 正整数集，记作N *或N +； 整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ； 实数集，记作R 。 2．集合的包含关系： （1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ?B （或B A ?）； 集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A ?B 且B ?A ，则称A 等于B ，记作A =B ；若A ?B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B ； （2）简单性质：1）A ?A ；2）Φ?A ；3）若A ?B ，B ?C ，则A ?C ；4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n 个子集（其中2n －1个真子集）； 3．全集与补集： （1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ； （2）若S 是一个集合，A ?S ，则，S C =}|{A x S x x ?∈且称S 中子集A 的补集； （3）简单性质：1）S C (S C )=A ；2）S C S=Φ，ΦS C =S 4．交集与并集：
第一章 质点运动学 1 -1 质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r ,速度为v ,速率为v,t 至(t ＋Δt )时间内的位移为Δr , 路程为Δs , 位矢大小的变化量为Δr ( 或称Δ｜r ｜),平均速度为v ,平均速率为v ． (1) 根据上述情况,则必有( ) (A) ｜Δr ｜= Δs = Δr (B) ｜Δr ｜≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d s ≠ d r (C) ｜Δr ｜≠ Δr ≠ Δs ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d r ≠ d s (D) ｜Δr ｜≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d r = d s (2) 根据上述情况,则必有( ) (A) ｜v ｜= v ,｜v ｜= v (B) ｜v ｜≠v ,｜v ｜≠ v (C) ｜v ｜= v ,｜v ｜≠ v (D) ｜v ｜≠v ,｜v ｜= v 分析与解 (1) 质点在t 至(t ＋Δt )时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs ＝PP′, 位移大小｜Δr ｜＝PP ′,而Δr ＝｜r ｜-｜r ｜表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可能)．但当Δt →0 时,点P ′无限趋近P 点,则有｜d r ｜＝d s ,但却不等于d r ．故选(B)． (2) 由于｜Δr ｜≠Δs ,故t s t ΔΔΔΔ≠r ,即｜v ｜≠v ． 但由于｜d r ｜＝d s ,故t s t d d d d =r ,即｜v ｜＝v ．由此可见,应选(C)． 1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r (x,y )的端点处,对其速度的大小有四种意见,即 (1)t r d d ； (2)t d d r ； (3)t s d d ； (4)2 2d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x ． 下述判断正确的是( ) (A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确
大学物理学知识总结 第一篇 力学基础 质点运动学 一、描述物体运动的三个必要条件 （1）参考系（坐标系）：由于自然界物体的运动是绝对的，只能在相对的意义上讨论运动，因此，需要引入参考系，为定量描述物体的运动又必须在参考系上建立坐标系。 （2）物理模型：真实的物理世界是非常复杂的，在具体处理时必须分析各种因素对所涉及问题的影响，忽略次要因素，突出主要因素，提出理想化模型，质点和刚体是我们在物理学中遇到的最初的两个模型，以后我们还会遇到许多其他理想化模型。 质点适用的范围： 1.物体自身的线度l 远远小于物体运动的空间范围r 2.物体作平动 如果一个物体在运动时，上述两个条件一个也不满足，我们可以把这个物体看成是由许多个都能满足第一个条件的质点所组成，这就是所谓质点系的模型。 如果在所讨论的问题中，物体的形状及其在空间的方位取向是不能忽略的，而物体的细小形变是可以忽略不计的，则须引入刚体模型，刚体是各质元之间无相对位移的质点系。 （3）初始条件：指开始计时时刻物体的位置和速度，（或角位置、角速度）即运动物体的初始状态。在建立了物体的运动方程之后，若要想预知未来某个时刻物体的位置及其运动速度，还必须知道在某个已知时刻物体的运动状态，即初台条件。 二、描述质点运动和运动变化的物理量 （1）位置矢量：由坐标原点引向质点所在处的有向线段，通常用r 表示，简称位矢或矢径。 在直角坐标系中 zk yi xi r ++= 在自然坐标系中 )(s r r = 在平面极坐标系中 rr r = （2）位移：由超始位置指向终止位置的有向线段，就是位矢的增量，即 1 2r r r -=?
位移是矢量，只与始、末位置有关，与质点运动的轨迹及质点在其间往返的次数无关。 路程是质点在空间运动所经历的轨迹的长度，恒为正，用符号s ?表示。路程的大小与质点运动的轨迹开关有关，与质点在其往返的次数有关，故在一般情况下： s r ?≠? 但是在0→?t 时，有 ds dr = （3）速度v 与速率v ： 平均速度 t r v ??= 平均速率 t s v ??= 平均速度的大小（平均速率） t s t r v ??≠ ??= 质点在t 时刻的瞬时速度 dt dr v = 质点在t 时刻的速度 dt ds v = 则 v dt ds dt dr v === 在直角坐标系中 k v j v i v k dt dz j dt dy i dt dx v z y x ++=++= 式中dt dz v dt dy v dt dx v z y x = == ,, ，分别称为速度在x 轴，y 轴，z 轴的分量。
例1：1 mol 氦气经如图所示的循环，其中p 2= 2 p 1，V 4= 2 V 1，求在1~2、2~3、3~4、4~1等过程中气体与环境的热量交换以及循环效率（可将氦气视为理想气体）。O p V V 1 V 4 p 1p 2解：p 2= 2 p 1 V 2= V 11234T 2= 2 T 1p 3= 2 p 1V 3= 2 V 1T 3= 4 T 1p 4= p 1V 4= 2 V 1 T 4= 2 T 1 （1）O p V V 1 V 4 p 1p 21234)(1212T T C M m Q V -=1→2 为等体过程， 2→3 为等压过程， )(2323T T C M m Q p -=1 1123)2(23RT T T R =-=1 115)24(2 5RT T T R =-=3→4 为等体过程， )(3434T T C M m Q V -=1 113)42(2 3 RT T T R -=-=4→1 为等压过程， )(4141T T C M m Q p -=1 112 5)2(25RT T T R -=-= O p V V 1 V 4 p 1p 21234（2）经历一个循环，系统吸收的总热量 23121Q Q Q +=1 112 13 523RT RT RT =+=系统放出的总热量1 41342211 RT Q Q Q =+=% 1.1513 2 112≈=-=Q Q η三、卡诺循环 A → B ：等温膨胀B → C ：绝热膨胀C → D ：等温压缩D →A ：绝热压缩 ab 为等温膨胀过程：0ln 1>=a b ab V V RT M m Q bc 为绝热膨胀过程：0=bc Q cd 为等温压缩过程：0ln 1<= c d cd V V RT M m Q da 为绝热压缩过程：0 =da Q p V O a b c d V a V d V b V c T 1T 2 a b ab V V RT M m Q Q ln 11= =d c c d V V RT M m Q Q ln 12= =, 卡诺热机的循环效率： p V O a b c d V a V d V b V c ) )(1 212a b d c V V V V T T Q Q (ln ln 11-=- =ηT 1T 2 bc 、ab 过程均为绝热过程，由绝热方程： 11--=γγc c b b V T V T 1 1--=γγd d a a V T V T (T b = T 1, T c = T 2)(T a = T 1, T d = T 2) d c a b V V V V =1 212T T Q Q -=- =11η p V O a b c d V a V d V b V c T 1T 2 卡诺制冷机的制冷系数： 1 2 1212))(T T V V V V T T Q Q a b d c ==(ln ln 2 122122T T T Q Q Q A Q -= -== 卡ω
第一章集合 §1．1集合 基础知识点： ⒈集合的定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合， 也简称集。 2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 4.常用的数集及记法： 非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集. 整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R； 5.关于集合的元素的特征 ⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大 发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性； 而“比较大的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元 素是不确定的. ⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1, 2},而不是{1, 1, 2} ⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： ⑴大于3小于11的偶数；⑵我国的小河流； ⑶非负奇数；⑷方程x2+1=0的解； ⑸徐州艺校校2011级新生；⑹血压很高的人； ⑺著名的数学家；⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点 6.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?”两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A； ⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。 例如，（1）A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4?A，等等。 （2）A={2，4，8，16}，则4∈A，8∈A，32?A.
第一章质点运动学 1、(习题1.1)：一质点在xOy 平面内运动，运动函数为2 x =2t,y =4t 8-。（1）求质点的轨道方程；（2）求t =1 s t =2 s 和时质点的位置、速度和加速度。 解：（1）由x=2t 得， y=4t 2-8 可得： y=x 2 -8 即轨道曲线 （2）质点的位置 ： 2 2(48)r ti t j =+- 由d /d v r t =则速度： 28v i tj =+ 由d /d a v t =则加速度： 8a j = 则当t=1s 时，有 24,28,8r i j v i j a j =-=+= 当t=2s 时，有 48,216,8r i j v i j a j =+=+= 2、（习题1.2）： 质点沿x 在轴正向运动，加速度kv a -=，k 为常数．设从原点出发时速 度为0v ，求运动方程)(t x x =. 解： kv dt dv -= ??-=t v v kdt dv v 001 t k e v v -=0 t k e v dt dx -=0 dt e v dx t k t x -?? =0 00 )1(0 t k e k v x --= 3、一质点沿x 轴运动，其加速度为a = 4t (SI)，已知t = 0时，质点位于x 0=10 m 处，初速度v 0 = 0．试求其位置和时间的关系式． 解： =a d v /d t 4=t d v 4=t d t ? ?=v v 0 d 4d t t t v 2=t 2 v d =x /d t 2=t 2 t t x t x x d 2d 0 20 ?? = x 2= t 3 /3+10 (SI) 4、一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，求： （1）小球的运动方程； （2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的 d d r t ，d d v t ，t v d d . 解：（1） t v x 0= 式（1） 2gt 21h y -= 式（2） 201 ()(h -)2 r t v t i gt j =+ （2）联立式（1）、式（2）得 2 2 v 2gx h y -= （3） 0d -gt d r v i j t = 而落地所用时间 g h 2t = 所以 0d -2g h d r v i j t = d d v g j t =- 2 202y 2x )gt (v v v v -+=+= 21 20 212202)2(2])([gh v gh g gt v t g dt dv +=+=
y 第一章质点运动学主要内容 一. 描述运动的物理量 1. 位矢、位移和路程 由坐标原点到质点所在位置的矢量r r 称为位矢 位矢r xi yj =+r v v ,大小 r r ==v 运动方程 ()r r t =r r 运动方程的分量形式() ()x x t y y t =???=?? 位移是描述质点的位置变化的物理量 △t 时间内由起点指向终点的矢量B A r r r xi yj =-=?+?r r r r r △，r =r △路程是△t 时间内质点运动轨迹长度s ?是标量。 明确r ?r 、r ?、s ?的含义(?≠?≠?r r r s ) 2. 速度（描述物体运动快慢和方向的物理量） 平均速度 x y r x y i j i j t t t u u u D D = =+=+D D r r r r r V V r 瞬时速度(速度) t 0r dr v lim t dt ?→?== ?r r r (速度方向是曲线切线方向) j v i v j dt dy i dt dx dt r d v y x ??????+=+==，2222y x v v dt dy dt dx dt r d v +=?? ? ??+??? ??==?? ds dr dt dt =r 速度的大小称速率。 3. 加速度(是描述速度变化快慢的物理量） 平均加速度v a t ?=?r r 瞬时加速度(加速度) 220lim t d d r a t dt dt υυ→?===?r r r r △ a r 方向指向曲线凹向j dt y d i dt x d j dt dv i dt dv dt v d a y x ????ρ ?2222+=+== 2 2222222 2 2???? ??+???? ??=? ?? ? ??+??? ??=+=dt y d dt x d dt dv dt dv a a a y x y x ? 二.抛体运动 运动方程矢量式为 2 012 r v t gt =+ r r r
大学物理典型例题分析 第１3章光的干涉 例13－1如图将一厚度为l ，折射率为n 的薄玻璃片放在一狭缝和屏幕之间，设入射光波长为λ,测量中点Ｃ处的光强与片厚l 的函数关系。如果l =0时，该点的强度为 0I ,试问: (1)点Ｃ的光强与片厚ｌ的函数关系是什么； (２)l 取什么值时,点C 的光强最小。 解 (1)在C 点来自两狭缝光线的光程差为nl l δ=- 相应的相位差为 22(1)n l π π ?δλ λ ?= = - 点C 的光强为： 2 14cos 2I I ??= 其中：Ｉ１ 为通过单个狭缝在点C 的光强。 014I I = (2)当 1(1)()2 n l k δλ =-=-时 点C 的光强最小。所以 1() 1,2,3, 21l k k n λ=-=- 例13-２如图所示是一种利用干涉方法测量气体折射率的干涉示意图。其中T 1 ,T 2 为一对完全相同的玻璃管，长为l ,实验开始时，两管中为空气，在 P ０ 处出现零级明纹。然后在T ２ 管中注入待测气体而将空气排除,在这过程中,干涉条纹就会移动，通过测定干涉条纹的移 动数可以推知气体的折射率。 设l =２0cm ，光波波长589.3nm λ=,空气的折射率1.0０02７6，充一某种气体后，条纹 移动2００条,求这种气体的折射率。 解当两管同为空气时，零级明纹出现在P 0处,则从S 1和S 2射出的光在此处相遇时，光程差为零。T 2管充以某种气体后,从Ｓ2射出的光到达屏处的光程就要增加,零级明纹将要向下移动,出现在o P ' 处。如干涉条纹移动Ｎ条明纹，这样P ０ 处将成为第N 级明纹,因此，充气后两 光线在P ０ 处的光程差为 S 1 L 1 L 2 T 2 T 1 S 2 S E P 0 P 0 ' 例13-2图 例13-1图
集合知识点总结及习 题
集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ??????????? ???????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ???? ?????????? ???????? ?????????????????????? ??????????????????????=??????? 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3．元素与集合的关系——（不）属于关系 （1）集合用大写的拉丁字母A 、B 、C …表示
大学物理典型例题分析 第13章光的干涉 例13-1如图将一厚度为I,折射率为n的薄玻璃片放在一狭缝和屏幕之间, I (k 1k 1,2,3，川 2 n 1 种利用干涉方法测量气体折射率的干涉示意图。其中 对完全相同的玻璃管，长为I，实验开始时，两管中为空气，在P0处出现零级明纹。然后 在T2管中注入待测气体而将空气排除，在这过程中，干涉条纹就会移动，通过测定干涉条纹的移动数可以推知气体的折射率。 设l=20cm，光波波长589.3nm，空气的折射率1.000276,充一某种气体后，条纹移动 200条，求这种气体的折射率。 解当两管同为空气时，零级明纹出现在P。处，则从S和S2射出的光在此处相遇时, 光程差为零。T2管充以某种气体后，从s射出的光到达屏处的光程就要增加，零级明纹将要向下移动，出现在 FO 处。如干涉条纹移动N条明纹，这样P。处将成为第N级明纹，因此, 充气后两光线在P0处的光程差为 n2l n1l ，测量中点C处的光强与片厚I的函数关系。如果1=0时，该点的强度为 (1) 点C的光强与片厚I的函数关系是什么； (2) I取什么值时，点C的光强最小。 解(1)在C点来自两狭缝光线的光程差为 相应的相位差为 长为 nl Io ，试问: I M1 C 点C的光强为: 2 I 2 其中：h为通过单个狭缝在点 I 411 cos 例13-1图 ⑵当 —(n 1)I C的光 强。 I i (n 1)l 1 (k 2)时 设入射光波 点C的光强最小。所以 例13-2如图所示是
所以 n 2l nj N 即 代入数据得 n 2 N l n 1 n 2 200 589.3 103 1.0002 7 6 1.000865 0.2 例13-3.在双缝干涉实验中，波长 =5500?的单色平行光垂直入射到缝间距 a=2 10 -4 m 的双缝上，屏到双缝的距离 D = 2m .求： (1 )中央明纹两侧的两条第 10级明纹中心的间距； (2)用一厚度为e=6.6 10-6 m 、折射率为n=1.58的玻璃片覆盖一缝后，零级明纹将移到 原来的 第几级明纹处 ？ D 解：(1)因为相邻明(暗)条纹的间距为 T ，共20个间距 x 20— 0.11m 所以 a (2)覆盖玻璃后，零级明纹应满足： r 2 (r 1 e) ne 0 设不盖玻璃片时，此点为第k 级明纹，则应有 r 2 r 1 k 所以 (n 1)e k (n 1)e k 6.96 7 零级明纹移到原第 7级明纹处. 例13-4薄钢片上有两条紧靠的平行细缝，用波长 =5461?的平面光波正入射到钢片 上。屏幕距双缝的距离为 D =2.00m ，测得中央明条纹两侧的第五级明条纹间的距离为 x =12.0mm., (1) 求两缝间的距离。 (2) 从任一明条纹(记作0)向一边数到第20条明条纹，共经过多大距离？ (3) 如果使光波斜入射到钢片上，条纹间距将如何改变？ 2kD x --------- 解(1) d 2kd d x 此处 k 5 10D d 0.910mm x (2)共经过20个条纹间距，即经过的距离
大学物理上册答案详解 习题解答 习题一 1-1 ｜r ?｜与r ? 有无不同? t d d r 和t d d r 有无不同? t d d v 和t d d v 有无不同?其不同在哪里?试举例说明． 解：（1）r ?是位移的模，?r 是位矢的模的增量，即r ?12r r -=， 12r r r -=?； （2） t d d r 是速度的模，即t d d r ==v t s d d . t r d d 只是速度在径向上的分量. ∵有r r ?r =（式中r ?叫做单位矢），则 t ?r ?t r t d d d d d d r r r += 式中 t r d d 就是速度径向上的分量， ∴ t r t d d d d 与r 不同如题1-1图所示. 题1-1图 (3)t d d v 表示加速度的模，即t v a d d =，t v d d 是加速度a 在切向上的分量. ∵有ττ (v =v 表轨道节线方向单位矢），所以 t v t v t v d d d d d d ττ += 式中 dt dv 就是加速度的切向分量.
(t t r d ?d d ?d τ 与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) 1-2 设质点的运动方程为x =x (t )，y =y (t )，在计算质点的速度和加 速度时，有人先求出r ＝2 2 y x +，然后根据v =t r d d ，及a ＝22d d t r 而求 得结果；又有人 v =2 2 d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x 及a = 2 222 22d d d d ??? ? ??+???? ??t y t x 你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？ 解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标 系中，有j y i x r +=， j t y i t x t r a j t y i t x t r v 22 2222d d d d d d d d d d d d +==+==∴ 故它们的模即为 2 222 22222 2 2 2d d d d d d d d ? ?? ? ??+???? ??=+=? ? ? ??+??? ??=+=t y t x a a a t y t x v v v y x y x 而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作 22d d d d t r a t r v == 其二，可能是将22d d d d t r t r 与误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明 t r d d 不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，22d d t r 也不是加速
y 第一章质点运动学主要容 一. 描述运动的物理量 1. 位矢、位移和路程 由坐标原点到质点所在位置的矢量r r 称为位矢 位矢r xi yj =+r v v ,大小 r r ==v 运动程 ()r r t =r r 运动程的分量形式() ()x x t y y t =???=?? 位移 是描述质点的位置变化的物理量 △t 时间由起点指向终点的矢量B A r r r xi yj =-=?+?r r r r r △，r =r △路程是△t 时间质点运动轨迹长度s ?是标量。 明确r ?r 、r ?、s ?的含义(?≠?≠?r r r s ) 2. 速度（描述物体运动快慢和向的物理量） 平均速度 x y r x y i j i j t t t u u u D D ==+=+D D r r r r r V V r 瞬时速度(速度) t 0r dr v lim t dt ?→?== ?r r r (速度向是曲线切线向) j v i v j dt dy i dt dx dt r d v y x ??????+=+==，2222y x v v dt dy dt dx dt r d v +=?? ? ??+??? ??==?? ds dr dt dt =r 速度的大小称速率。 3. 加速度(是描述速度变化快慢的物理量） 平均加速度v a t ?=?r r 瞬时加速度(加速度) 220lim t d d r a t dt dt υυ→?===?r r r r △ a r 向指向曲线凹向j dt y d i dt x d j dt dv i dt dv dt v d a y x ????ρ ?2222+=+== 2 2222222 2 2???? ??+???? ??=? ?? ? ? ?+??? ??=+=dt y d dt x d dt dv dt dv a a a y x y x ? 二.抛体运动
例1 路灯离地面高度为H，一个身高为h 的人，在灯下水平路面上以匀速度步行。如图3-4所示。求当人与灯的水平距离为时，他的头顶在地面上的影子移动的速度的大小。 解:建立如右下图所示的坐标，时刻头顶影子的坐标为 ，设头顶影子的坐标为，则 由图中看出有 则有 所以有 ; 例2如右图所示，跨过滑轮C的绳子，一端挂有重物B，另一端A被人拉着沿水平方向匀速运动，其速率。A离地高度保持为h，h =1.5m。运动开始时，重物放在地面B0处，此时绳C在铅直位置绷紧，滑轮离地高度H = 10m，滑轮半径忽略不计，求： (1) 重物B上升的运动方程； (2) 重物B在时刻的速率和加速度； (3) 重物B到达C处所需的时间。 解：(1)物体在B0处时，滑轮左边绳长为l0 = H-h，当重物的位移为y时，右边绳长为
因绳长为 由上式可得重物的运动方程为 (SI) (2)重物B的速度和加速度为 (3)由知 当时，。 此题解题思路是先求运动方程，即位移与时间的函数关系，再通过微分求质点运动的速度和加速度。 例3一质点在xy平面上运动，运动函数为x = 2t, y = 4t2-8(SI)。 (1) 求质点运动的轨道方程并画出轨道曲线； (2) 求t1=1s和t2=2s时，质点的位置、速度和加速度。
解：(1) 在运动方程中消去t，可得轨道方程为 ， 轨道曲线为一抛物线如右图所示。 (2) 由 可得: 在t1=1s 时， 在t2=2s 时, 例4质点由静止开始作直线运动，初始加速度为a0，以后加速度均匀增加，每经过τ秒增加a0，求经过t秒后质点的速度和位移。 解：本题可以通过积分法由质点运动加速度和初始条件，求解质点的速度和位移。 由题意可知，加速度和时间的关系为: 根据直线运动加速度的定义
高中数学必修一 第一章集合与函数概念 课时一：集合有关概念 1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东 西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 2.一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 3.集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。例：世界上最高的山、中国古代四大美女、…… （2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。 例：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} （3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 例：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{…} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} （1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。 1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……} 2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。 {x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。 4、集合的分类： （1）有限集：含有有限个元素的集合 （2）无限集：含有无限个元素的集合 （3）空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 5、元素与集合的关系： （1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a A 注意：常用数集及其记法：(&&&&&) 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 课时二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 （1）定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系， A?（或B?Ａ） 称集合A是集合B的子集。记作：B A?有两种可能（1）A是B的一部分，； 注意：B （2）A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) 或若集合A?B，存在x∈B且x A，则称集合A是集合B的真子集。 ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C