等腰三角形的轴对称性

B
D M N A C E
种不同的分割方法， 用1～3种不同的分割方法，将1个等边 三角型分割成4个等腰三角形。 三角型分割成4个等腰三角形。
拓展提高
说能出你这节课的收获和体验让大家 与你分享吗？ 与你分享吗？
等边三角形的性质: 等边三角形的性质: 名 称 等 边 三 角 B 形 图 形 性 三条边都相等
C
如图,在 例1如图 在△ABC中,AB=AC,∠BAC=1200 如图 中 ∠ AD⊥AB, AE⊥AC. ⊥ ⊥ ⑵△ADE是等边三角形吗 为什么 是等边三角形吗?为什么 ⑵△ 是等边三角形吗 为什么? A
B
E
D
C
如图,在 例1如图 在△ABC中,AB=AC,∠BAC=1200 如图 中 ∠ AD⊥AB, AE⊥AC. ⊥ ⊥ ⑶在Rt△ABD中, ∠B=___°,AD=___BD; △ 中 ° 有类似结论吗? 在Rt△ACE中,有类似结论吗 △ 中 有类似判定方法: 等边三角形的判定方法:
• 1.三边相等的三角形是等边三角形 三边相等的三角形是等边三角形. 三边相等的三角形是等边三角形 • 2.三个内角都等于 三个内角都等于60 °的三角形是 三个内角都等于 等边三角形. 等边三角形 • 3.有一个内角等于 有一个内角等于60 °的等腰三角 有一个内角等于 形是等边三角形. 形是等边三角形
观察 图中有几条 对称轴? 对称轴?请你 画出来. 画出来.
如图,在 例1如图 在△ABC中,AB=AC,∠BAC=1200 如图 中 ∠ AD⊥AB, AE⊥AC. ⊥ ⊥ 等于30 等于60 ⑴图中,等于 0的角有 图中 等于 的角有__________,等于 0 等于 ; 的角有 A
B
E
D
A

10 ①设小方格的边长为1,则AB=______; 设小方格的边长为1,则 =______; 1,
的中点M, =_______,理 ②取AB的中点 ,连接 的中点 连接CM,则CM=_______,理 , =_______, 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 由是:__________________. 由是:__________________.
∴DM=BM
M
A
N
又∵N为BD的中点 为 的中点 ∴MN⊥BD ⊥
C
B
拓展提高 如图在△ABC中 M,N分 如图在△ABC中,CF⊥AB,BE⊥AC, M,N分 别是BC EF的中点 试说明： BC与 的中点, 别是BC与EF的中点, 试说明：MN ⊥EF.
A
F
N E
B M
C
●本节课你还有哪些疑问? 本节课你还有哪些疑问?
5
2.如图,在四边形 2.如图,在四边形ABCD中， 如图 中 =∠ADC=900，M、N ∠ABC=∠ =∠ =90 的中点， 分别是AC 分别是 、BD的中点，说明： 的中点 说明： MN⊥BD. ⊥ . ∵∠ABC=∠ADC=90º ∵∠ ∠
D
M为AC的中点 为 的中点 ∴DM=1/2AC，BM=1/2AC
B
2 1
C
2 1
B
AAຫໍສະໝຸດ 2.如图 将纸条沿截线 折叠 在所 如图,将纸条沿截线 折叠,在所 如图 将纸条沿截线AB折叠 仍有∠ ∠ 度量边 度量边AC和 得△ABC中,仍有∠1=∠2.度量边 和BC 中 仍有 的长度,你有什么发现 你有什么发现? 的长度 你有什么发现
在一张薄纸上画线段AB,并在 同 并在AB同 在一张薄纸上画线段 并在 侧利用量角器画两个相等的锐角∠ 侧利用量角器画两个相等的锐角∠BAM 相交于点C,量一量 和∠ABN.设AM与BN相交于点 量一量 设 与 相交于点 AC与BC的长度 或折纸使 ∠BAM与 的长度,或折纸使 与 的长度 与 重合,你和同学所得的结论相同吗 ∠ABN重合 你和同学所得的结论相同吗 重合 你和同学所得的结论相同吗? 如果一个三角形有两个角相等,那么这两 如果一个三角形有两个角相等 那么这两 个角所对的边也相等(简称 等角对等边” 简称“ 个角所对的边也相等 简称“等角对等边”).

3.培养学生严谨、细致的学习态度，提高学生的逻辑思维能力；
4.培养学生的空间想象能力，为高中阶段的立体几何学习打下基础。
在教学过程中，教师要关注学生的个体差异，充分调动学生的学习积极性，鼓励学生主动探究、积极思考，使学生在掌握知识的同时，提高综合素养。
二、学情分析
八年级学生对几何图形具有一定的认识和了解，但在轴对称性方面的知识掌握程度不同。大部分学生已经掌握了等腰三角形的定义和基本性质，但对等腰三角形轴对称性的理解尚不深入。在学习本章节时，学生可能面临以下情况：
2.课后思考题：
a.请举例说明等腰三角形的轴对称性质在实际生活中的应用；
b.运用等腰三角形的性质，设计一个美丽的轴对称图案，并简要说明设计思路。
通过思考题，激发学生的创新意识，培养学生的几何审美观念。
3.小组合作探究题：
a.探讨等腰三角形与等边三角形的区别与联系；
b.分析等腰三角形在几何图形中的应用，如等腰三角形在建筑、艺术等方面的运用。
（五）总结归纳，500字
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，总结等腰三角形的轴对称性质及其应用。
2.学生分享自己的学习心得，总结自己在学习过程中遇到的困难和解决方法。
3.教师对本节课的重点知识进行梳理，强调等腰三角形与等边三角形的区别与联系。
4.布置课后作业，要求学生在课后对所学知识进行巩固，提高自己的几何素养。
3.设计多样化的课堂活动，如小组讨论、合作交流，让学生在互动中深入理解等腰三角形的性质；
4.强化练习环节，针对教学难点设计梯度性练习题，帮助学生巩固所学知识；
5.创设实际问题情境，引导学生运用轴对称性质解决实际问题，培养学生的应用意识和创新意识；
6.注重课堂反馈，及时发现学生存在的问题，给予个性化指导。

5.3.1等腰三角形的轴对称性（教案）
一、教学内容
本节课选自《初中数学课程标准》七年级下册第五章第三节第一部分“5.3.1等腰三角形的轴对称性”。教学内容主要包括以下两点：
1.等腰三角形的定义及其性质：通过观察和分析，让学生掌握等腰三角形的定义，了解等腰三角形两腰相等、底角相等的特点。
2.等腰三角形的轴对称性：引导学生探索等腰三角形沿着底边中点所在的直线进行对折时，两腰及两底角的变化规律，从而得出等表达：如何让学生从具体的实例中抽象出轴对称性的数学表达，并用准确的语言进行描述。
难点突破方法：
-通过实际操作，如让学生动手折叠等腰三角形，观察对折后的图形，亲身体验轴对称性的特点。
-引导学生运用数学语言描述轴对称性，如对称轴、对称点等概念，并给出具体的例子进行解释。
-设计一些有关等腰三角形轴对称性的实际问题，让学生运用所学知识解决问题，如求解等腰三角形的高、中线等。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调等腰三角形的定义和轴对称性这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与等腰三角形轴对称性相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过折叠等腰三角形，观察其对折后的形状，从而验证轴对称性。
-等腰三角形的轴对称性：讲解等腰三角形沿着底边中点所在的直线进行对折时，两腰及两底角的变化规律，明确轴对称性的概念。
举例解释：
在讲解等腰三角形的性质时，可以通过绘制不同类型的等腰三角形，如等腰直角三角形、等腰锐角三角形、等腰钝角三角形等，让学生观察并总结两腰相等、底角相等的规律。
2.教学难点
-理解并运用轴对称性：学生在理解等腰三角形的轴对称性过程中，可能会对“轴对称”这一概念感到困惑，不知道如何在实际问题中运用这一性质。

E A F
B
G
D
C
例3、如图，已知0B、OC为△ABC的 角平分线，DE∥BC，（1）说明： DE=BD+CE （2）△ADE的周长为10， BC长为8，求△ABC的周长.
A
D
0
E
B
C
已知△ABC中AB=AC，D，E分别是 AB和 BC上的点，连接DE并延长，且与 AC的延长线交于点F，若DE=EF，试说 A 明BD=CF
A
D B C E
例3.如图,△ABC和△CDE都是等边三角 形,且点A,C,E在一条直线上. 试说明: CM=CN
B
D M N A
C
E
例4.如图,△ABC和△CDE都是等边三角 形,且点A,C,E在一条直线上. 试说明: △CMN 是等边三角形
B
D M N A
C
E
例1如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=1200, AD⊥AB, AE⊥AC. ⑴图中,等于300的有__________,等于 600的角有 ; ⑵△ADE是等边三角形吗?为什么? A
问题：
⊿ABC中，∠B= ∠C，AB等 于AC吗？为什么？
A
B
D
C
等腰三角形的判定:
如果一个三角形有两个角相等， 则这两个角所对的边也相等。 (简写“等角对等边”)
A
∵∠B＝∠C ∴ AB=AC (等角对等边)
B C
AC和BC有什么数量关系
C A
1
2
B
如图，AB=AC，D是AB上一点， DE⊥BC于E，DE的延长线交CA的延长 线于F，那么⊿ADF是等腰三角形吗？ 说明理由。
A N M
B
C
3.如图,在△ABC中，∠C=900， ∠ABD=2∠EBC，AD∥BC， 求证:DE=2AB.

归纳 如果一个三角形有两个角相等,那么这两 个角所对的边也相等(简称”等角对等 边”) A 如图,在△ABC中,若 ∠B=∠C,则AB=AC
B C
例1 如图在△ABC中,AB=AC,角平 分线BD、CE相交于O点.OB于 OC相等吗?请说明理由.
A
E B
O
D C
（1）等腰三角形是轴对称图形，这与其顶角的大 小无关，或者说，这与等腰三角形是锐角三角形 或者钝角三角形或者直角三角形无关，并且对称 轴一定是顶角平分线所在的直线，而不是任意角 的平分线所在的直线。
（2）“等边对等角”仅限于同一个三角形中。
（3）“三线合一”是等腰三角形的重要性质，它 是说明线段相等，角相等，垂直关系的重要依据 之一。
例题分析
例1 如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上, 且AD=BD.找出图中相等的角并说明理由. 解: ∠C=∠B=∠1,∠3=∠BAC A 根据“等边对等角”, 1 2 ∵AB=AC,AD=BD, 3 ∴∠C=∠B,∠B=∠1. B C D 从而∠C=∠1. ∵∠3是△ADC的外角, ∴∠3=∠C+∠2. 而∠C=∠1, ∴∠3=∠1+∠2=∠BAC
C
3.等腰三角形一个底角为75°,它的另外两 75°,30° 个角为_______. 4.等腰三角形一个角为70°,它的另外两个 角为___________________. 70°,40°或55°,55°
5.等腰三角形一个角为110°,它的另外两 35°,35° 个角为________. ④0°＜顶角＜180° 结论:在等腰三角形中, ⑤0°＜底角＜90° ① 顶角+2×底角=180° ② 顶角=180°－2×底角 ③ 底角=（180°－顶角）÷2
例2. 已知：如图，房屋的顶角 ∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC， 屋椽AB=AC, 求顶架上∠B、∠C、∠BAD、 ∠CAD的度数,并说明理由。

化学实验
生物学实验
在生物学实验中，等腰三角形可用于 模拟生物体的形态和结构，如细胞结 构和生物体的平衡。
在化学实验中，等腰三角形可用于表 示化学反应中的物质变化和能量转化。
04
等腰三角形与其他几何图形的关系
与直角三角形的关系
直角三角形可以是等腰的，即两个锐 角相等，两腰也相等。
等腰直角三角形是一种特殊的等腰三 角形，它的两个锐角都是45度，两腰 相等，并且斜边是两腰的平方和的平 方根。
THANK YOU
感谢聆听
角度判定
如果一个三角形有两个底角相 等，则它是等腰三角形。
综合判定
如果一个三角形同时满足边长 相等和角度相等，则它是等腰 三角形。
02
等腰三角形的轴对称性
轴对称的定义
轴对称
如果一个平面图形关于某一直线对称 ，那么这个图形叫做轴对称图形，这 条直线叫做对称轴。
轴对称的性质
轴对称图形是全等图形，对称轴两侧 的图形可以完全重合。
角度相等
等腰三角形的两个底角相等，顶角与底角也相等。
等腰三角形的性质
80%
轴对称
等腰三角形是轴对称图形，其对 称轴是穿过顶角的高线。
100%
角度恒定
等腰三角形的角度恒定，即两个 底角相等，顶角与底角也相等。
80%
面积恒定
等腰三角形的面积恒定，可以通 过底和高计算面积。
等腰三角形的判定
边长判定
如果一个三角形有两边长度相 等，则它是等腰三角形。
绘画和雕塑
等腰三角形在绘画和雕塑 中常被用来表现形式美感 和立体感，如人体结构和 自然形态。
服装设计
在服装设计中，等腰三角 形可以作为设计元素，用 于服装的款式和图案设计。

24或27
.
⁠
3或
⁠
22. [应用意识]（衢州中考变式）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提
出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有
槽的棒 OA ， OB 组成，两根棒在 O 点相连并可绕 O 转动， C 点固定， OC ＝ CD ＝
DE ，点 D ， E 可在槽中滑动.若∠ BDE ＝75°，求∠ CDE 的度数.
F . 若△ AFC 是等边三角形，则∠ B ＝
30 °.
⁠
第12题
图
13. 如图所示，以正方形 ABCD 的边 AB 为边作等边△ ABE ，连接 DE ，则∠ AED
的度数为
15°
.
⁠
第13题
图
14. 如图，已知△ ABC 和△ BDE 都是等边三角形.试说明： AE ＝ CD .
◉答案 解：∵△ ABC 和△ BDE 都是等边三角形，∴ AB ＝ BC ， BE ＝ BD ，∠ ABC ＝
＋ CD ＝ AC ＋ CD ，所以 CE ＝ AC ＋ CD .
∠ DBE ＝60°.在△ ABE 和△ CBD 中， AB ＝ BC ，∠ ABE ＝∠ CBD ， BE ＝ BD ，∴△
ABE ≌△ CBD （SAS），∴ AE ＝ CD .
15. [一题多解：代换法·平移法]（招远期中）如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，∠ A
＝30°，点 P 是△ ABC 内一点，连接 PB ， PC . 若∠1＝∠2，则∠ BPC 的度数是
∠ BDE ＝105°，∴∠ CDE ＝105°－25°＝80°.
【母题探究——双等边三角形】
23. 母题：如图，△ ABC 是等边三角形， AD 是角平分线，△ ADE 是等边三角形，

要点全析：等腰三角形1．等腰三角形（isosceles triangle）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．如图14-3-1，△ABC中，AB＝AC，则△ABC是等腰三角形．相等的两条边叫腰，另一条边BC叫底边，两腰所夹的角叫顶角，如∠BAC，底边和腰的夹角∠ABC和∠ACB叫底角．如图14-3-2中，∠C＝90°，AC＝BC，那么，AC、BC为腰，AB边为底，∠A、∠B为底角，∠C为顶角．【说明】要理解等腰三角形的定义，需注意以下几点：（1）等腰三角形的底不一定在下方，而顶角不一定在上方，如图14-3-2中，AB为底，∠C为顶角．它是根据两腰的位置来确定的．（2）等腰三角形的三边仍要满足条件：任意两边之和大于第三边（或任意两边之差小于第三边）．若图14-3-1中，AB＝AC＝m，BC＝a，则2m＞a，即m>a/2时，才能构成三角形，否则不成立．如边长分别为2，2.5的三条线段不能构成三角形，因为2＋2＜5．例如：（1）下列各组数据为边长时，能否组成三角形？①a＝2，b＝3，c＝5；②a＝4，b＝3，c＝2；③a＝1，b＝2，c＝2；④a＝2 005，b＝2 004，c＝2 008．（2）已知等腰三角形的两边为6 cm，7 cm，求其周长．（3）已知等腰三角形的两边长为2 cm，7 cm，求其周长．解：（1）①由于2＋3＝5，即a＋b＝c，而不满足a＋b＞c，∴不能组成三角形．②由于2＋3＝5＞4，即b＋c＞a，所以a、b、c可以组成三角形．③由于1＋2＞2，即a＋b＞c，所以a、b、c可以组成三角形．④由于a＋b＞c，因此a、b、c可以组成三角形．（2）因等腰三角形的两边长分别为6 cm、7 cm当腰长为6 cm时，周长为6＋6＋7＝19（cm）当腰长为7 cm时，周长为6＋7＋7＝20（cm）．∴等腰三角形的周长为19 cm或20 cm．（3）因等腰三角形的两边长分别为2 cm，7 cm，所以腰长为7 cm，而不能是2 cm．若为2 cm，则2＋2＝4＜7，不能组成三角形．因此周长为7＋7＋2＝16（cm），∴等腰三角形的周长为16 cm．2．等腰三角形的性质1等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）如图14-3-3，△ABC中，AB＝AC，则∠B＝∠C证法一：（利用轴对称）过点A作△ABC的对称轴AD．∵AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上．又∵AD为△ABC的对称轴，∴△ABD≌△ACD（轴对称性质）．∴∠B＝∠C证法二：（作顶角平分线）过点A作AD平分∠BAC交BC于D，如图14-3-3，在△ABD和△ACD中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠ADADCADBADACAB＝＝＝∴△ABD≌△ACD（SAS）．∴∠B＝∠C【说明】还可以作底边BC的中线和高来证明．3．等腰三角形的性质2（简称“三线合一”）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合．如图14-3-6，在△ABC中，AB＝AC，AD为顶角的平分线，那么AD既是中线，又是高线，这三条线重合．在使用时，在这三条线段中，只要作出其中一条，另外两条也就可以认为作出来了．即△ABC中，AB＝AC，若AD平分∠BAC，则AD⊥BC，BD＝CD；若BD＝CD，则AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD；若AD⊥BC，则BD＝DC，∠BAD＝∠CAD．因此，等腰三角形中的这条线非常重要，一旦作出，边、角的等量关系就都有了．【说明】（1）“三线合一”仅限于等腰三角形中才有，其他三角形中没有．（2）在一般三角形中，这三条线是不会重合的．如图14-3-7，在△ABC中，AD为高，AE为中线，AF平分∠BAC，因此，这三条线不重合．只有等腰时，三条线才会重合；反过来，若某一三角形中三线重合，则该三角形为等腰三角形．（3）在今后的证明题中，经常会使用“三线合一”进行证明．例如：△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D，如图14-3-8．求证：∠BAC＝2∠DBC证法一：在△BCD中，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°．∴∠DBC＝90°－∠C．在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∴∠BAC＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝180°－2∠ACB＝2（90°－∠C）．∴∠BAC＝2∠DBC证法二：借助于三线合一的性质，过A作AM⊥BC于M，则AM平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAM＝2∠CAM.又∵BD⊥AC交AC于D，AM⊥BC交BC于M，∴∠DBC＝90°－∠C又∵AM⊥BC，∴∠CAM＝90°－∠C，∴∠DBC＝∠CAM4．等腰三角形的性质3（轴对称性）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴．如图14-3-9，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，则△ABC的对称轴为AD所在的直线，△ABD≌△ACD．过D作DE⊥AB，交AB于E，作DF⊥AC，交AC于F．由△ABD≌△ACD可知DE＝DF．同理，过D分别作AB、AC边上的中线和角平分线，它们都相等．因此，得到等腰三角形的一个重要结论．重要结论：过等腰三角形底边的中点向两腰所作的高线、中线以及角平分线，其与两腰所截得的线段都分别对应相等．5．等腰三角形的性质4（两腰上的对应线段相等）等腰三角形两腰上的中线、高线和两底角平分线对应相等．例如：如图14-3-10，△ABC中，AB＝AC，若BD、CE分别为AC、AB边上的高线，则BD ＝CE．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠CEB＝90°．在△BCD和△CBE中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠，＝，＝，＝CBBCCEBBDCCBEBCD∴△BCD≌△CBE（AAS）．∴BD＝CE．或S△ABC＝0.5×AB·CE＝0.5×AC·BD．∵ AB＝AC，∴BD＝CE．此法较为简便．同样道理，可分别作出两腰上的中线，两底角的平分线，也分别对应相等．6．等腰三角形的判定定理（等角对等边）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．例如：如图14-3-11，△ABC中，若∠B＝∠C，则AB＝AC证明：过点A作AD平分∠BAC，交BC于点D，则∠BAD＝∠CAD．在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（AAS）．∴AB＝AC因此，这一结论可直接利用．【说明】（1）在使用“等边对等角”或“等角对等边”时，一定要注意是在同一个三角形中才有这一对应关系，不在同一三角形中的边、角没有这一对应关系．（2）有了这一结论，为今后证明线段相等又添了一种重要的解题途径．例如：如图14-3-12，△ABC中，AB＝AC，BD、CE相交于O点．且BE＝CD求证：OB＝OC．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）．在△BCE和△CBD中⎪⎩⎪⎨⎧∠∠，＝，＝，＝CBBCDCBEBCCDBE∴△BCE≌△CBD（SAS）．∴∠BCE＝∠CBD，即∠OBC＝∠BCO∴OB＝OC（等角对等边）．【说明】证两条线段相等，若这两条线段在同一个三角形中，可利用等腰三角形的判定定理来证明．7．已知底边和底边上的高，求作等腰三角形已知线段a、b，求作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，高为b．作法：（1）作线段BC＝a；（2）作线段BC的垂直平分线MN与BC交于点D；（3）在MN上截取AD＝b；（4）连接AB、AC，△ABC就是所求的等腰三角形．【说明】（1）由作法知MN为BC的垂直平分线，∴AB＝AC∴△ABC为等腰三角形，如图14-3-13．（2）以前所作的三角形分别为：已知三边，两边夹角，两角夹边和已知斜边、直角边求作三角形，今天又学习了已知底边和底边上的高求作等腰三角形，共有五种情况，今后还将学习一些更为复杂的作法，都是以这五种为基础进行作图的．8．等边三角形（equilateral triangle）（1）定义：三条边都相等的三角形，叫等边三角形．如图14-3-14，△ABC中，AB＝BC ＝CA，则△ABC为等边三角形．（2）性质：①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．如图14-3-14中，若△ABC 为等边三角形，则∠A＝∠B＝∠C＝60°．②除此之外，还具有等腰三角形的一切性质，如三线合一，轴对称等．（3）判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形．②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．下面证明以上两条判定．判定①：如图14-3-15，已知△ABC中，∠A＝∠B＝∠C求证：△ABC是等边三角形．证明：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC又∵∠A＝∠B∴AC＝BC∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形．判定②：如图14-3-15，已知△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°．求证：△ABC是等边三角形．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．又∵∠B＝60°，∴∠B＝∠C＝60°．又∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝180°－（∠B＋∠C）＝60°．∴∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝BC＝AC．∴△ABC为等边三角形．（4）应用：例如：如图14-3-16，△ABC为等边三角形，D、E为直线BC上的两点，且BD＝BC＝CE，求∠DAE的度数．分析：要求∠DAE的度数，需分开求，先求∠BAC，再求∠DAB和∠CAE，由△ABC为等边三角形知∠BAC＝60°，又∵BD＝BC，而BC＝BA，则BD＝BA，∴△ABD为等腰三角形，∴∠D＝∠DAB＝0.5×∠ABC＝30°．同理可知，∠CAE＝30°．解：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°．又∵BD＝BC，∴BD＝BC＝AB．∴∠DAB＝∠D，又∵∠ABC＝∠D＋∠DAB，∴∠ABC＝2∠DAB＝60°，∴∠DAB＝30°．同理，∠CAE＝30°．∴∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝30°＋60°＋30°＝120°．【说明】本题中用到了等边三角形的性质．再如：如图14-3-17，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别为△ABC三边上的点，且BD＝CE＝AF，直线AD、BE、CF两两相交于点R、Q、P．求证：△PQR是等边三角形．分析：本题既用到了等边三角形的性质，又用到了其判定．要证△PQR为等边三角形，证三边相等难度较大，可考虑证其三角相等．也可先证∠PQR＝60°，而∠PQR＝∠ACQ＋∠QAC，又因为∠ACQ＋∠BCF ＝60°，只需证∠BCF＝∠DAC，由此可联想证△BCF与△CAD全等．证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝CA．又∵BD＝CE＝AF，∴BF＝DC＝AE在△ABE和△BCF和△CAD中，⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠，＝＝，＝＝，＝＝CDBFAEDCAFBCBAECABCAB∴△ABE≌△BCF≌△CAD（SAS）．∴∠ABE＝∠BCF＝∠CAD．∵∠ACQ＋∠BCF＝60°，∴∠ACQ＋∠CAQ＝60°．∴∠AQF＝∠ACQ＋∠CAQ＝60°，即∠PQR＝60°．同理，∠RPQ＝∠PRQ＝60°．∴△PQR为等边三角形．【说明】（1）此题证明思路比较清晰，只是步骤书写较繁，书写应认真；（2）在证明过程中用到了三个三角形全等的连等形式，可仿照两个三角形全等的方式使用．9．含30°角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．如图14-3-18，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则BC＝0.5×AB，这一性质反过来也成立．即在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝0.5×AB，则∠A＝30°．因此Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30° BC＝AB/2这一性质在解题中经常用到．例如：如图14-3-19，在Rt△ABC中，∠BAC为直角，高AD交BC于D，∠B＝30°，BC ＝12米，求CD，BD的长．解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，∴∠C＝60°，BC＝2AC∴AC＝BC/2＝6（米）．在Rt△ACD中，∵AD⊥BC，∠C＝60°，∴∠CAD＝30°．∴DC＝AC/2＝0.5××6＝3（米）．∴BD＝BC－DC＝9－6＝12－3＝9（米）．【说明】在本题中两次用到直角三角形的这一性质，并且用的方式都一样．。

A
F NE
B
M
C
27.如图,在△ABC中，∠C=900，
∠ABD=2∠EBC，AD∥BC，
求证:DE=2AB.
A
D
F E
BC
那么∠A＝1_2_0_ °，∠B＝_3_0_ °，∠C ＝_3_0_ °．
(4)如果有一个角等于50°，那么另两个角等于多少
度？若顶角为50°，
若底角为50°，
则另外两角为65°、65° 则另外两角为50°、80°
3.(1)等腰三角形的两边长分别为3cm和6cm, 则它的周长为__15_c_m__.
定相等吗?为什么?
连接BD
∵AB=AD
B
∴∠ABD=∠ADB
又∠ABC=∠ADC
∴∠DBC=∠BDC
∴BC=DC
A D
C
13.如图，在△ABC中，BC=5cm，BP，CP分 别是∠ABC 和∠ACB的角平分线 ,PD∥AB, PE∥AC ，则△PDE的周长是_____cm
5
A
P
B
1 2
3
D
645 C E
例1.如图，在△ABC中，AB＝AC，
点D在BC上，且AD＝BD，求证: ∠ADB＝∠BAC.
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
A
∠ADB=180°-2∠B
AD＝BD ∠B=∠BAD
∠BAC=180°-∠B-∠C
B
D
C
AB＝AC
∠B=∠C ∠BAC=180°-2∠B
4.如图，△ABC中，AB=AC，AD=AE.
若测得AM的长为1.2 km,则M,C两点之间的距离为 ( D )
A.0.5 km
B.0.6 km
C.0.9 km

苏科版数学八年级上册2.5《等腰三角形的轴对称性》说课稿2一. 教材分析《等腰三角形的轴对称性》是苏科版数学八年级上册第二章第五节的内容。

本节课的主要内容是让学生掌握等腰三角形的轴对称性，并会运用轴对称性解决一些实际问题。

教材通过引入等腰三角形的定义和性质，引导学生探究等腰三角形的轴对称性，从而让学生更深入地理解等腰三角形的性质。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了三角形的性质，对三角形有了一定的了解。

但等腰三角形是三角形的一种特殊形式，它的性质和普通三角形有所不同，所以学生需要通过学习来掌握等腰三角形的性质。

另外，学生已经学习过轴对称的概念，但对轴对称性的理解和应用还不够深入，这也是本节课需要重点解决的问题。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解等腰三角形的轴对称性，并能运用轴对称性解决一些实际问题。

2.过程与方法目标：通过学生自主探究、合作交流的方式，培养学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和自主学习能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：等腰三角形的轴对称性。

2.教学难点：如何引导学生发现和证明等腰三角形的轴对称性。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用学生自主探究、合作交流的教学方法，引导学生发现和证明等腰三角形的轴对称性。

2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等教学辅助工具，帮助学生直观地理解等腰三角形的轴对称性。

六. 说教学过程1.导入：通过复习三角形的性质，引出等腰三角形的定义和性质。

2.探究：让学生分组讨论，每组尝试找出等腰三角形的轴对称性，并说明理由。

3.展示：每组选出一名代表，向全班展示他们的探究成果。

4.讲解：教师对学生的探究结果进行点评，并给出正确的证明过程。

5.练习：让学生运用轴对称性解决一些实际问题，巩固所学知识。

6.小结：对本节课的内容进行总结，强调等腰三角形的轴对称性。

七. 说板书设计板书设计如下：等腰三角形的轴对称性1.定义：等腰三角形2.性质：轴对称性3.证明：利用几何画板，展示等腰三角形的轴对称性八. 说教学评价本节课的教学评价主要从学生的学习效果和课堂表现两个方面进行。

等腰三角形的轴对称性1.知识.能力聚焦1.等腰三角形的性质（1）等腰三角形是轴对称图形，顶角的角平分线所在直线是它的对称轴。

（2）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）（3）等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）2.等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角对等边”），这就是等腰三角形的重要判定方法。

3.直角三角形的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

在应用该性质时应注意以下两点：（1）必须是在直角三角形中；（2）中线必须是斜边上的中线，二者缺一不可。

4.等边三角形（1）定义：三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。

（2）性质：应为等边三角形是特殊的等腰三角形，所以它除了具有等腰三角形的一切性质外，还具有如下性质：①等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴。

②等边三角形是每个角都等于60°（3）识别：判定等边三角形有如下三种方法:①三边相等的三角形是等边三角形。

②三个角都相等的三角形是等边三角形。

③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

创新.思维拓展等腰三角形性质的拓展由于等腰三角形的特殊性，除了边、角的等量关系以外，还有以下特殊的性质；（1）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等。

（2）等腰三角形两底角的平分线相等。

（3）等腰三角形底边中线上的任一点到两腰的距离相等。

（4）在一个三角形中，等边对等角，如果边不等则所对的角也不等，并且大边对大角。

再探直角三角形的性质在直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半。

EDCB A第2题图习题1．(1)等腰三角形中，如果底边长为6，一腰长为8，那么周长是 ；(2)等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，那么它的周长是 ； (3)若等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则它的周长为( ) A ．9 B ．12 C ．15 D ．12或152．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD 是BC 边上的中线，且BD=BE ，则∠ADE 是 °．3．等腰三角形的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为( )A ．80°、80°、20°B ．80°、50°、50°C ．80°、80°、20°或80°、50°、50°D ．以上答案都不对4．（2009年贵州黔东南州）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，则∠A 等于（ ）A ．30o B ．40o C ．45o D ．36o5． 如图，已知E 、F 两点在线段BC 上，AB ＝AC ，BF ＝CE ，你能判断线段AF 和AE 的大小关系吗?说明理由．(用两种不同的方法说明)6．如图，点E 是等边△ABC 内一点，且EA=EB ，△ABC 外一点D 满足BD=AC ，且BE 平分∠DBC ，求∠BDE 的度数．专题二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半10．在直角三角形ABC 中，如果斜边上的中线CD=3cm ，斜边上的高为2cm ，△ABC 的面积是___________．11．如图，在△ABC 中，CF ⊥AB 于F ，BE ⊥AC 于E ，M 为BC 的中点，EF=5，BC=8，则△EFM 的周长是 ( ) A ．21B ．18C ．13D ．1512．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝8，AE 平分∠BAC 交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连结DE ，则△ADE 的周长是_________．(结果保留根号)DCBAEDACBAAEFMCB第11题图专题三：等腰三角形的判定13．（2009年嘉兴市）如图，等腰△ABC 中， ∠A ＝36°，∠ABC 的平分线交AC 于D ，∠BCD 的平分线交BD 于E ，图中共有等腰三角形( )A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个14．把一张长方形纸，按如图所示折叠，重合部分是什么形状？请说明理由．15．如图，等边△ABC 中，点D 在延长线上，CE 平分∠ACD ，且CE=BD ． 说明：△ADE 是等边三角形．16．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=90°，D 、E 分别为AB 、BC 上的动点，且BD=CE ，M 是AC 的中点，试探究在DE 运动的过程中，△DEM 的形状是否发生变化？它是什么形状的三角形？AD CE B1ABC DE5423 第12题图C‘EDCB AMEDCBA。

B、有一个角为45°的直角
三角形
C、两个内角分别为33°、114°的三角形
D、有一个内
角为60°的三角形
4、（2009年浙江省绍兴市）如图，在中，，分别以为边作两个等腰直 角三角形和，使． （1）求的度数；（2）求证：．
）
A．7
B．11
C．7或11
D．7或10
12、(2009武汉)如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，
∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠ADO+∠DCO的大小是（ ）
A．70°
B．110° C．140°
D．150°
13、是如图，∠B＝∠C，∠1＝∠3，则∠1与∠2之间的关系是（
）
A、∠1＝2∠2 B、3∠1－∠2=180° C、∠1＋3∠2＝180° D、
BC=10，求△OEF的周长．
19、如图，在△ABC中，AC⊥BC，D、E为AB上的点，且AD=AC， BE=BC，
A E D C B 求∠ECD的度数．
20、（2009临沂）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中 点．，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思 考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME， 则AM=EC，易证，所以．在此基础上，同学们作了进一步的研究：
2∠1＋∠2＝180°
A
1 2 3 A B C E D
B
D
C
14、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，CE⊥AB，且
AC=6，BC=8，
EC=，则CD的长度是
15、若等腰三角形的腰长为8，那么底边长的范围是
__________________；若等腰三角形的底边长为8，那么腰长的范围

C 840
420 A B
变式练习
1、如图，AD∥BC，BD平分∠ABC， 求证：AB＝AD 2、如果BD平分∠ABC，AB＝AD 求证：AD∥BC 3、如果AB＝AD，AD∥BC 求证：BD平分∠ABC A D
B
C
A
D
E
观察图中 有哪些相 等的线段？ 由此你得 到什么结？ 论？
B
C
例 题 ： 四 边 形 ABCD ， ∠BAD=∠BCD=Rt∠，O为BD的中点 E为AC的中点，你能说明AC与OE的关 系吗？ A E O
A
B D C
1.将性质1反过来： 如果一个三角形 有两个角相等，那么这两个角所对 的边也相等吗？
1、画一个三角形ABC，使它的 两个角∠A和∠B都等于700，用刻 度尺量一量AC与BC的长度，你有 什么发现？
2、在一张长方形的纸上任意画 一条截线AB，所得的∠1与∠2相 等吗？ A
2
B
1
C
2
B
C
D
如果一个三角形有一个角平分线、 对边的中线、对边上的高这三条线中 的任意两条重合，这个三角形是什么 三角形？
小结
你能总结一下判定一个三角形是 等腰三角形有几中方法？。
等腰三角形的轴对称性
温故知新
等腰三角形有哪些性质？
1、等边对等角：等腰三角形的两个底角 相等。 2、三线合一：等腰三角形的顶角平分线， 底边上的中线和底边上的高互相重合。 3、等腰三角形是轴对称图形。
例1 已知：如图，房屋的顶∠BAC=100 º , 过屋顶A的立柱AD BC , 屋椽AB=AC. 求 顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度 数.
A
B
1
有两个角相等的三角形是等腰三角形 简称：等角对等边

初中数学八年级
(苏科版)
上册
1.5 等腰三角形的轴对称性（1）
定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形.
A
顶 角 底角
腰
腰
B
底边
Cபைடு நூலகம்
动手操作
A
把等腰三角形沿顶角平分线对折并展开 A A
B
C
D
C
B
D
C
你有什么发现?
A
等腰三角形的轴对称性:
B
D
C
结论：等腰三角形是轴对称图形.
顶角平分线所在的直线是它的对称轴.
A E B D
C
F
如图，AB = AC = AD，且AD∥BC， ∠C =2∠D吗？试说明理由.
A D
B
C
如图，在△ABC中，AB=AC，AD=AE， ∠BAD=30°，求∠EDC的度数.
A
E
B
D
C
如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边 BC、AB、AC上，且BD=BE，CD=CF， ∠A=70°，求∠FDE的度数.
D
C
等腰三角形的性质
• 等腰三角形是轴对称图形, 顶角平 分线所在直线是的它的对称轴. • 等腰三角形的两个底角相等. (简称 “等边对等角”)
• 等腰三角形的顶角平分线、底边上 的中线、底边上的高互相重合（“三线 合一”）.
例1 根据下列条件求等腰三角形中其余 两个角的度数.
◆一个内角为700 ★一个外角为1000
A
用符号语言表示为：
12
在△ABC中 （1）∵AB=AC，AD⊥BC， BD CD 2 ∴∠___=∠___，____=____； B 1 （2）∵AB=AC，AD是中线， AD BC 1 2 ∴∠＿=∠＿，____⊥____； （3）∵AB=AC，AD是角平分线， BD CD AD BC ∴____⊥____，____=____。

(2)若等腰三角形中有一个角等于100° ，则这个等腰三角形 的顶角的度数为( C ) A．20° B．40° C．100° D． 40°或100°
(3)在等腰三角形ABC中，若∠A=80°，则∠B= 50°、20°、. 80°
例题精讲 等腰三角形对形状进行分类讨论 例3. (1)△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线
等腰三角形
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD，故可以 延长CD交AB于点E，则△ACE是等腰三角形．
4 课堂小结
课堂小结 1、知识点 2、（按边、角、形状）分类讨论思想 3、构造等腰三角形（基本图形）
再见
知识点复习：
3.等腰三角形的判定
判定1：有两条边相等的三角形是等腰三角形.
判定2：有两个角相等的三角形是等腰三角形. “等角对等边”
热身练习
1.如图，在△ABC 中，AC=AD=DB, ∠C=70°则∠CAB的度数是（ A ）
A. 75° B. 70° C. 40° D. 35° 运用等腰三角形“两底角相等”求角的度数
基本图形：“角平分线＋平行线”
等腰三角形
若∠1＝∠2，AC∥OB，则△OAC为等腰三角形．
例题精讲 利用角平分线和垂线得到等腰三角形
例6. 如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°， BF平分∠ABC，CD⊥BF交BF的延长线于点D. 求证：BF＝2CD.
基本图形：“角平分线＋垂线”
热身练习
1.如图，以正方形ABCD的一边CD为边向形外作等边三角形CDE， 则∠AEB = ___3_0_°____.
A
D
E
B
C
运用等边三角形“每个内角都等于60°”求角的度数

【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题2.5等腰三角形的轴对称性（1）：等腰三角形【名师点睛】1.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．2.等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．【典例剖析】【例1】（2021秋•南阳期末）在△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，如果∠BAD＝30°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝ ．（2）如图2，如果∠BAD＝40°，AD是BC上的高，AD＝AE，则∠EDC＝ ．（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？并给予证明．【变式1】．（2018秋•宜兴市期中）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE＝CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC＝45°，原题设其它条件不变．求证：AE＝BC．【例2】（2020秋•仪征市期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点O在BC边上运动（O不与B、C重合），连接AO．作∠AOD＝∠B，OD交AB于点D．（1）当OD∥AC时，判断△AOB的形状并证明；（2）在点O的运动过程中，△AOD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDO的度数；若不可以，请说明理由．【变式2】（2019秋•常熟市期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝40°，边AB的垂直平分线与边AB交于点E，与边BC交于点D．（1）求∠ADC的度数；（2）求证：△ACD为等腰三角形．【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2022春•无锡期末）在△ABC中，∠C＝20°，∠A＝∠B，则∠A的度数是（ ）A．40°B．60°C．80°D．160°2．（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm3．（2022•崇川区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD为△ABC的角平分线，∠C＝70°，则∠BDC＝（ ）A．30°B．40°C．70°D．75°4．（2022•高邮市模拟）若一个等腰三角形的周长为32，则该等腰三角形的腰长x的取值范围是（ ）A．0＜x＜32B．0＜x＜16C．8＜x＜16D．8＜x＜325．（2021秋•梁溪区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，点E为AC的中点，连接DE．若△ABC 的周长为20cm，则△CDE的周长为（ ）A．10 cm B．12 cm C．14 cm D．16cm6．（2021秋•滨湖区期末）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝5，边AC的垂直平分线分别交AC、BC于D、E，则△ABE的周长是（ ）A．8B．9C．10D．117．（2022•建湖县一模）如图，每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且△ABC是等腰三角形，那么点C的个数为（ ）A．1B．2C．3D．48．（2021秋•苏州期中）如图，在3×3的正方形网格中，A，B是两个格点，连接AB，在网格中找到一个格点C，使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）A．5B．6C．7D．89．（2018秋•高邮市期末）如图，在△ABC中，AB＝3cm、AC＝4cm、BC＝5cm，在△ABC所平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画的条数为（ ）A．3B．4C．5D．610．（2020秋•江阴市期中）如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线平行于BC，分别交AB、AC于点E、F，当∠A大小变化时，线段EF和BE+CF的大小关系是（ ）A．EF＞BE+CF B．EF＜BE+CF C．EF＝BE+CF D．不能确定二．填空题（共8小题）11．（2022春•锡山区期中）等腰三角形的两边长分别是4cm、9cm，则它的周长为 ．12．（2022春•镇江期中）三角形的三边长为2，a，5，如果这个三角形中有两条边相等，那么它的周长是 ．13．（2022•兴化市一模）顶角为80°的等腰三角形的底角为 ．14．（2022春•靖江市校级月考）在△ABC中，∠A＝∠B，过点A作AD⊥CB交直线BC于点D，∠DAC＝36°，则∠C＝ °．15．（2022•金坛区二模）如图，在△ABD中，C是边BD上一点．若AB＝AC＝CD，∠BAC＝40°，则∠D ＝ °．16．（2022•常州二模）如图、在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，且BD＝AB，连接AD，DC．则∠BDC的度数为 °．17．（2019秋•崇川区校级期中）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直线BC上取一点P使得△PAB 是等腰三角形，则符合条件的点P有 个．18．（2022•秦淮区一模）如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点（OM＜ON），∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是 ．三．解答题（共6小题）19．（2021秋•泗阳县期中）如图，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．（1）求证：AB＝AC；（2）若点H是BC的中点，求证：AH⊥AD．20．（2021秋•鼓楼区期中）证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形．已知：如图，在△ABC中， ；求证： ；证明：21．（2017秋•灌云县期中）已知如图，△ABC中，EF∥BC，交AB、AC于E、F，∠B的平分线交EF于O 点．（1）求证：EO＝BE；（2）若EF＝BE+CF，求证：OC平分∠ACB．22．（2018秋•崇川区校级期中）如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F 作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形．（2）若AE＝8，AB＝10，GC＝2BG，求△ABC的周长．23．（2021秋•泗洪县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，角平分线BD，CE相交于点O，求证：OB＝OC．24．（2021秋•邗江区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E．（1）若∠A＝50°，求∠CBD的度数；（2）若AB＝7，△CBD周长为12，求BC的长．。