基于Matlab的非线性规划问题的求解

题 目 非线性规划的MATLAB 解法及其应用（一） 问题描述非线性规划是具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支。

非线性规划是20世纪50年代才开始形成的一门新兴学科。

70年代又得到进一步的发展。

非线性规划在工程、管理、经济、科研、军事等方面都有广泛的应用，为最优设计提供了有力的工具。

在经营管理、工程设计、科学研究、军事指挥等方面普遍地存在着最优化问题。

例如：如何在现有人力、物力、财力条件下合理安排产品生产，以取得最高的利润；如何设计某种产品，在满足规格、性能要求的前提下，达到最低的成本；如何确定一个自动控制的某些参数，使系统的工作状态最佳；如何分配一个动力系统中各电站的负荷，在保证一定指标要求的前提下，使总耗费最小；如何安排库存储量，既能保证供应，又使储存 费用最低；如何组织货源，既能满足顾客需要，又使资金周转最快等。

对于静态的最优化 问题，当目标函数或约束条件出现未知量的非线性函数，且不便于线性化，或勉强线性化后会招致较大误差时，就可应用非线性规划的方法去处理。

具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支。

非线性规划研究一个n 元实函数在一组等式或不等式的约束条件下的极值问题，且目标函数和约束条件至少有一个是未知量的非线性函数。

目标函数和约束条件都是线性函数的情形则属于线性规划。

本实验就是用matlab 软件来解决非线性规划问题。

（二） 基本要求掌握非线性规划的MATLAB 解法,并且解决相关的实际问题。

题一 ：对边长为3米的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？题二： 某厂生产一种产品有甲、乙两个牌号，讨论在产销平衡的情况下如何确定各自的产量，使总利润最大. 所谓产销平衡指工厂的产量等于市场上的销量.符号说明：z(x 1,x 2)表示总利润；p 1，q 1，x 1分别表示甲的价格、成本、销量； p 2，q 2，x 2分别表示乙的价格、成本、销量； a ij ，b i ，λi ,c i （i ，j =1，2）是待定系数.题三：设有400万元资金, 要求4年内使用完, 若在一年内使用资金x 万元, 则可得效益x 万元(效益不能再使用),当年不用的资金可存入银行, 年利率为10%. 试制定出资金的使用计划, 以使4年效益之和为最大.（三） 数据结构题一:设剪去的正方形的边长为x ，则水槽的容积为：x x )23(2-;建立无约束优化模型为：min y=-x x )23(2-， 0<x<1.5题二：总利润为： z(x1,x2)=(p1-q1)x1+(p2-q2)x2若根据大量的统计数据,求出系数b1=100,a11=1,a12=0.1,b2=280,a21=0.2,a22=2,r1=30,λ1=0.015,c1=20, r2=100,λ2=0.02,c2=30,则问题转化为无约束优化问题：求甲,乙两个牌号的产量x1，x2，使总利润z 最大.为简化模型,先忽略成本,并令a12=0,a21=0,问题转化为求:z1 = ( b1 - a11x1 ) x1 + ( b2 - a22x2 ) x2的极值. 显然其解为x1 = b1/2a11 = 50, x2 = b2/2a22 = 70,我们把它作为原问题的初始值.题三：设变量i x 表示第i 年所使用的资金数,则有 4,3,2,1,04.5321.121.1331.14841.121.14401.1400..max 43213212114321=≥≤+++≤++≤+≤+++=i x x x x x x x x x x x t s x x x x z i（四） 源程序题一：编写M 文件fun0.m:function f=fun0(x)f=-(3-2*x).^2*x;主程序为wliti2.m:[x,fval]=fminbnd('fun0',0,1.5);xmax=xfmax=-fval题二：建立M-文件fun.m:function f = fun(x)y1=((100-x(1)- 0.1*x(2))-(30*exp(-0.015*x(1))+20))*x(1); y2=((280-0.2*x(1)- 2*x(2))-(100*exp(-0.02*x(2))+30))*x(2); f=-y1-y2;输入命令:x0=[50,70];x=fminunc(‘fun ’,x0),z=fun(x)题三：建立M 文件 fun44.m,定义目标函数:function f=fun44(x)f=-(sqrt(x(1))+sqrt(x(2))+sqrt(x(3))+sqrt(x(4)));建立M 文件mycon1.m 定义非线性约束：function [g,ceq]=mycon1(x)g(1)=x(1)-400;g(2)=1.1*x(1)+x(2)-440;g(3)=1.21*x(1)+1.1*x(2)+x(3)-484;g(4)=1.331*x(1)+1.21*x(2)+1.1*x(3)+x(4)-532.4;ceq=0主程序youh4.m 为:x0=[1;1;1;1];vlb=[0;0;0;0];vub=[];A=[];b=[];Aeq=[];beq=[];[x,fval]=fmincon('fun44',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,'mycon1')（五） 运行结果题一:运算结果为: xmax = 0.5000,fmax =2.0000.即剪掉的正方形的边长为0.5米时水槽的容积最大,最大容积为2立方米.题二：运行结果为:x=23.9025, 62.4977, z=6.4135e+003即甲的产量为23.9025,乙的产量为62.4977,最大利润为6413.5.题三：运行结果为：x1=86.2;x2=104.2;x3=126.2;x4=152.8;z=43.1（六） 相关知识用Matlab 解无约束优化问题一元函数无约束优化问题21),(m in x x x x f ≤≤常用格式如下：（1）x= fminbnd (fun,x1,x2)（2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options)（3）[x ，fval]= fminbnd （...）（4）[x ，fval ，exitflag]= fminbnd （...）（5）[x ，fval ，exitflag ，output]= fminbnd （...）其中（3）、（4）、（5）的等式右边可选用（1）或（2）的等式右边。

Matlab中的数学优化与非线性规划方法数学优化和非线性规划是数学领域中的重要分支，广泛应用于各个科学领域和工程实践中。

Matlab作为一种常用的数学建模和计算软件，对于解决优化和非线性规划问题具有强大的功能和丰富的工具包。

本文将介绍Matlab中的数学优化和非线性规划方法，探讨其原理和应用。

一、Matlab中的数学优化方法数学优化方法旨在寻找一个函数的最大值或最小值，常用的方法包括线性规划、整数规划和非线性规划等。

在Matlab中，优化问题可以通过建立目标函数和约束条件的数学模型来求解。

1.1 线性规划线性规划是一种求解带有线性约束条件的优化问题的有效方法。

在Matlab中，可以使用linprog函数来求解线性规划问题。

该函数采用单纯形法或者内点法等算法，在给定线性约束条件下，寻找目标函数的最小值。

例如，我们考虑一个简单的线性规划问题：最小化目标函数 f = 3x1 + 4x2约束条件为：-5 <= x1 <= 5-3 <= x2 <= 32x1 + 3x2 >= 6首先，我们需要将目标函数和约束条件表示为Matlab中的向量和矩阵形式。

然后，使用linprog函数求解最小值。

1.2 整数规划整数规划是一种求解带有整数变量的优化问题的方法。

在Matlab中，可以使用intlinprog函数来求解整数规划问题。

该函数使用分支定界法或者割平面法等算法，在给定整数约束条件下，寻找目标函数的最小值。

例如，我们考虑一个简单的整数规划问题：最小化目标函数 f = 3x1 + 4x2约束条件为：0 <= x1 <= 50 <= x2 <= 5x1 + x2 = 5在Matlab中，我们可以定义目标函数和约束条件，并使用intlinprog函数求解最小值。

1.3 非线性规划非线性规划是一类求解带有非线性约束条件的优化问题的方法。

在Matlab中，可以使用fmincon函数来求解非线性规划问题。

非线性整数规划的遗传算法Matlab程序（附图）通常，非线性整数规划是一个具有指数复杂度的NP问题，如果约束较为复杂，Matlab 优化工具箱和一些优化软件比如lingo等，常常无法应用，即使能应用也不能给出一个较为令人满意的解。

这时就需要针对问题设计专门的优化算法。

下面举一个遗传算法应用于非线性整数规划的编程实例，供大家参考！模型的形式和适应度函数定义如下：这是一个具有200个01决策变量的多目标非线性整数规划，编写优化的目标函数如下，其中将多目标转化为单目标采用简单的加权处理。

function Fitness=FITNESS(x,FARM,e,q,w)%% 适应度函数% 输入参数列表% x 决策变量构成的4×50的0-1矩阵% FARM 细胞结构存储的当前种群，它包含了个体x% e 4×50的系数矩阵% q 4×50的系数矩阵% w 1×50的系数矩阵%%gamma=0.98;N=length(FARM);%种群规模F1=zeros(1,N);F2=zeros(1,N);for i=1:Nxx=FARM{i};ppp=(1-xx)+(1-q).*xx;F1(i)=sum(w.*prod(ppp));F2(i)=sum(sum(e.*xx));endppp=(1-x)+(1-q).*x;f1=sum(w.*prod(ppp));f2=sum(sum(e.*x));Fitness=gamma*sum(min([sign(f1-F1);zeros(1,N)]))+(1-gamma)*sum(mi n([sign(f2-F2);zeros(1,N)]));针对问题设计的遗传算法如下，其中对模型约束的处理是重点考虑的地方function [Xp,LC1,LC2,LC3,LC4]=MYGA(M,N,Pm)%% 求解01整数规划的遗传算法%% 输入参数列表% M 遗传进化迭代次数% N 种群规模% Pm 变异概率%% 输出参数列表% Xp 最优个体% LC1 子目标1的收敛曲线% LC2 子目标2的收敛曲线% LC3 平均适应度函数的收敛曲线% LC4 最优适应度函数的收敛曲线%% 参考调用格式[Xp,LC1,LC2,LC3,LC4]=MYGA(50,40,0.3)%% 第一步：载入数据和变量初始化load eqw;%载入三个系数矩阵e,q,w%输出变量初始化Xp=zeros(4,50);LC1=zeros(1,M);LC2=zeros(1,M);LC3=zeros(1,M);LC4=zeros(1,M);Best=inf;%% 第二步：随机产生初始种群farm=cell(1,N);%用于存储种群的细胞结构k=0;while k %以下是一个合法个体的产生过程x=zeros(4,50);%x每一列的1的个数随机决定for i=1:50R=rand;Col=zeros(4,1);if R<0.7RP=randperm(4);%1的位置也是随机的Col(RP(1))=1;elseif R>0.9RP=randperm(4);Col(RP(1:2))=1;elseRP=randperm(4);Col(RP(1:3))=1;endx(:,i)=Col;end%下面是检查行和是否满足约束的过程，对于不满足约束的予以抛弃 Temp1=sum(x,2);Temp2=find(Temp1>20);if length(Temp2)==0k=k+1;farm{k}=x;endend%% 以下是进化迭代过程counter=0;%设置迭代计数器while counter%% 第三步：交叉%交叉采用双亲双子单点交叉newfarm=cell(1,2*N);%用于存储子代的细胞结构Ser=randperm(N);%两两随机配对的配对表A=farm{Ser(1)};%取出父代AB=farm{Ser(2)};%取出父代BP0=unidrnd(49);%随机选择交叉点a=[A(:,1:P0),B(:,(P0+1):end)];%产生子代ab=[B(:,1:P0),A(:,(P0+1):end)];%产生子代bnewfarm{2*N-1}=a;%加入子代种群newfarm{2*N}=b;%以下循环是重复上述过程for i=1:(N-1)A=farm{Ser(i)};B=farm{Ser(i+1)};P0=unidrnd(49);a=[A(:,1:P0),B(:,(P0+1):end)];b=[B(:,1:P0),A(:,(P0+1):end)];newfarm{2*i-1}=a;newfarm{2*i}=b;endFARM=[farm,newfarm];%新旧种群合并%% 第四步：选择复制FLAG=ones(1,3*N);%标志向量，对是否满足约束进行标记%以下过程是检测新个体是否满足约束for i=1:(3*N)x=FARM{i};sum1=sum(x,1);sum2=sum(x,2);flag1=find(sum1==0);flag2=find(sum1==4);flag3=find(sum2>20);if length(flag1)+length(flag2)+length(flag3)>0FLAG(i)=0;%如果不满足约束，用0加以标记endendNN=length(find(FLAG)==1);%满足约束的个体数目，它一定大于等于N NEWFARM=cell(1,NN);%以下过程是剔除不满主约束的个体kk=0;for i=1:(3*N)if FLAG(i)==1kk=kk+1;NEWFARM{kk}=FARM{i};endend%以下过程是计算并存储当前种群每个个体的适应值SYZ=zeros(1,NN);syz=zeros(1,N);for i=1:NNx=NEWFARM{i};SYZ(i)=FITNESS2(x,NEWFARM,e,q,w);%调用适应值子函数endk=0;%下面是选择复制，选择较优的N个个体复制到下一代while k minSYZ=min(SYZ);posSYZ=find(SYZ==minSYZ);POS=posSYZ(1);k=k+1;farm{k}=NEWFARM{POS};syz(k)=SYZ(POS);SYZ(POS)=inf;end%记录和更新，更新最优个体，记录收敛曲线的数据minsyz=min(syz);meansyz=mean(syz);pos=find(syz==minsyz);LC3(counter+1)=meansyz;if minsyz Best=minsyz;Xp=farm{pos(1)};endLC4(counter+1)=Best;ppp=(1-Xp)+(1-q).*Xp;LC1(counter+1)=sum(w.*prod(ppp));LC2(counter+1)=sum(sum(e.*Xp));%% 第五步：变异for i=1:Nif Pm>rand%是否变异由变异概率Pm控制AA=farm{i};%取出一个个体POS=unidrnd(50);%随机选择变异位R=rand;Col=zeros(4,1);if R<0.7RP=randperm(4);Col(RP(1))=1;elseif R>0.9RP=randperm(4);Col(RP(1:2))=1;elseRP=randperm(4);Col(RP(1:3))=1;end%下面是判断变异产生的新个体是否满足约束，如果不满足，此次变异无效 AA(:,POS)=Col;Temp1=sum(AA,2);Temp2=find(Temp1>20);if length(Temp2)==0farm{i}=AA;endendendcounter=counter+1end%第七步：绘收敛曲线图figure(1);plot(LC1);xlabel('迭代次数');ylabel('子目标1的值');title('子目标1的收敛曲线'); figure(2);plot(LC2);xlabel('迭代次数');ylabel('子目标2的值');title('子目标2的收敛曲线'); figure(3);plot(LC3);xlabel('迭代次数');ylabel('适应度函数的平均值');title('平均适应度函数的收敛曲线'); figure(4);plot(LC4);xlabel('迭代次数');ylabel('适应度函数的最优值');title('最优适应度函数的收敛曲线');贴出一幅运行得到的收敛曲线。

本科毕业论文(设计)论文题目：非线性规划问题的建模与Matlab求解实现的案例分析学生：许富豪学号：1204180137专业：信息与计算科学班级：计科1201指导教师：王培勋完成日期：2015年6月25日非线性规划问题的建模与Matlab求解实现的案例分析容摘要非线性规划问题通常极其抽象，并且求解计算极其复杂，本文举个别非线性规划问题案例，通过对抽象的非线性规划问题先建立数学模型，再利用Matlab软件高效快捷的实现非线性规划问题的求解，最后分析利用Matlab软件得出的案例结果。

关键词：非线性规划建立数学模型Matlab目录（三号黑体居中）空一行空一行一、※※※※※※ (1)（一）※※※※※※ (1)1.※※※※※※※※※※※※※ (1)2.※※※※※※※ (4)（二）※※※※ (7)（三）※※※※※※※※ (12)二、※※※※ (16)（一）※※※※※ (16)（二）※※※※※ (24)1.※※※※ (24)2.※※※※※ (30)3.※※※※ (31)（三）※※※※ (33)三、※※※※ (36)（一）※※※※※ (38)（二）※※※※ (43)四、※※※※ (45)参考文献 (48)附录 (50)（标题顺序号、容及其开始页码均为四号宋体，一级标题为黑体四号）序 言非线性规划问题通常难以用人力计算，所以我们一般利用Matlab 软件代替人去计算抽象的非线性规划问题，解决了耗费时间、耗费精力的问题，快速准确的得出计算结果。

因此，善于利用Matlab 实现非线性规划问题的求解非常重要，而求解非线性规划问题之前必须先对问题进行建立数学模型，才能准确的理解题意并快速的运用Matlab 求解。

一、非现性规划的基本概念(一)定义如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数,则最优化问题就叫做非线性规划问题，简记为NP 。

(二)一般形式min (),n f x x E ∈,()=0(=1,2,..()0(j=1,2i jh x j m s t g x l ⋯≤⎩⋯⎧⎨），，）其中：1,2,n =()Tx x x x ⋯称为模型（NP ）的决策变量，f 称为目标函数，(=1,...,)i h i m 和(=1,...,)j g j l 称为约束函数；()=0(=1,...,)i h x i m 称为等式约束；()0(=1,...,)j g x j l ≤称为不等式约束。

这个函数的基本形式为x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon，options)其中fun为你要求最小值的函数，可以单写一个文件设置函数，如以上给的例子中。

1.如果fun中有N个变量，如x y z, 或者是X1, X2,X3, 什么的，自己排个顺序，在fun 中统一都是用x(1),x(2）....x(n) 表示的。

2. x0, 表示初始的猜测值，大小要与变量数目相同3. A b 为线性不等约束，A*x <= b， A应为n*n阶矩阵，学过线性代数应不难写出A和b4 Aeq beq为线性相等约束，Aeq*x = beq。

Aeq beq同上可求5 lb ub为变量的上下边界，正负无穷用 -Inf和Inf表示， lb ub应为N阶数组6 nonlcon 为非线性约束，可分为两部分，非线性不等约束 c，非线性相等约束，ceq可按下面的例子设置function [c,ce] = nonlcon1(x)c = -x(1)+x(2)^2-4;ce = []; % no nonlinear equality constraints7，最后是options，可以用OPTIMSET函数设置，见上例具体可见OPTIMSET函数的帮助文件。

对于优化控制，MATLAB提供了18个参数，这些参数的具体意义为：options(1)-参数显示控制（默认值为0）。

等于1时显示一些结果。

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;options(2)-优化点x的精度控制(默认值为1e-4)。

options = optimset('TolX',1e-8)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;options(3)-优化函数F的精度控制(默认值为1e-4)。

options = optimset('TolFun',1e-10)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;options(4)-违反约束的结束标准(默认值为1e-6)。

基于M A T L A B的非线性规划的求解The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020基于MATLAB 的非线性0-1规划的求解学 生：易棉生指导教师：宋来忠三峡大学理学院摘要：本文主要研究非线性0-1整数规划的解法。

首先，通过对传统求解方法的研究，提出从0-1整数规划的变量只取值0和1这个特点来求解，为利用好这个特点，构造了一种数据结构——组合树，还根据目标函数和约束条件所含的变量是否被包含在解中取值为1的变量集中，将0-1整数规划的解细分为目标特殊解和约束特殊解。

然后，把这个特点具体化为4条性质。

根据这些性质，设计出合理的算法，并用MATLAB 实现该算法。

实验表明，该算法是有效的。

Abstract: In this paper, the problem about solving nonlinear 0-1 integer programming is studied. Firstly the view that we can use the feature that the variables of 0-1 integer programming only have two values 0 and 1 is raised after discussing some traditionalalgorithms. To express the feature, a new tree structure, called combination tree in the paper is given and also object-satisfied solution and constrain-satisfied solution is defined, based on whether the variables with the value 1 in objective function and constrained condition belong to the variables with the value 1 in solution. Then it can be specified by 4 properties. According to these properties, a new algorithm is designed and implemented with MATLAB language. From the experiment, it is proved that the algorithm is effective.关键词：0-1规划 非线性 组合树 解的标记 MATLABkey words: 0-1 integer programming; nonlinear; combination tree; the mark of solution; MATLAB前言本文研究的模型可是：111min ()..()0()0{0,1}f x Ax b A x b s t C x C x x ≤=⎧⎪≤=⎨⎪∈⎩，，，，(1) 其中，()f x 都是非线性函数，A 、b 、1A 、1b 是矩阵，1()()C x C x 、非线性矩阵函数。

MATLAB⾮线性规划问题⼀．⾮线性规划课题实例1 表⾯积为36平⽅⽶的最⼤长⽅体体积。

建⽴数学模型：设x、y、z分别为长⽅体的三个棱长，f为长⽅体体积。

max f = x y (36-2 x y)/2 (x+y)实例2 投资决策问题某公司准备⽤5000万元⽤于A、B两个项⽬的投资，设x1、x2分别表⽰配给项⽬A、B的投资。

预计项⽬A、B的年收益分别为20%和16%。

同时，投资后总的风险损失将随着总投资和单位投资的增加⽽增加，已知总的风险损失为2x12+x22+(x1+x2)2.问应如何分配资⾦，才能使期望的收益最⼤，同时使风险损失为最⼩。

建⽴数学模型：max f=20x1+16x2-λ[2x12+x22+(x1+x2)2]s.t x1+x2≤5000x 1≥0,x2≥0⽬标函数中的λ≥0是权重系数。

由以上实例去掉实际背景，其⽬标函数与约束条件⾄少有⼀处是⾮线性的，称其为⾮线性问题。

⾮线性规划问题可分为⽆约束问题和有约束问题。

实例1为⽆约束问题，实例2为有约束问题。

⼆．⽆约束⾮线性规划问题：求解⽆约束最优化问题的⽅法主要有两类：直接搜索法(Search method)和梯度法(Gradient method)，单变量⽤fminbnd,fminsearch,fminunc;多变量⽤fminsearch,fminnuc 1．fminunc函数调⽤格式：x=fminunc(fun,x0)x=fminunc(fun,x0,options)x=fminunc(fun,x0,options,P1,P2)[x,fval]=fminunc(…)[x,fval, exitflag]=fminunc(…)[x,fval, exitflag,output]=fminunc(…)[x,fval, exitflag,output,grad]=fminunc(…)[x,fval, exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(…)说明：fun为需最⼩化的⽬标函数，x0为给定的搜索的初始点。

用Matlab 求解非线性规划1．无约束优化问题)(min x f n Rx ∈，其中向量x 的n 个分量i x 都是决策变量，称)(x f 目标函数。

用Matlab 求解：先建立函数文件mbhs.m ，内容是)(x f 的表达式；再回到Matlab 命令区输入决策变量初值数据x0，再命令[x,fmin]=fminunc(@mbhs,x0) 如：)32(m in 22212x x R x +∈的最优解是.)0,0(T x = 用Matlab 计算，函数文件为 function f=mbhs(x)f=2*x(1)^2+3*x(2)^2;再输入初值 x0=[1;1]; 并执行上述命令，结果输出为 x =？ fmin =？ 略。

2．约束优化问题.),,...,2,1(,0)(),,...,2,1(,0)(..)(min U x L m i x h p i x g t s x f i i Rx n ≤≤===≤∈其中：向量x 的n 个分量i x 都是决策变量，称)(x f 目标函数、)(x g i 等式约束函数、)(x h i 不等式约束函数、L 下界、U 上界。

用Matlab 求解：先把模型写成适用于Matlab 的标准形式.,0)(,0)(,,..)(min U x L x h x g beq x Aeq b Ax t s x f n Rx ≤≤=≤=≤∈ 约束条件中：把线性的式子提炼出来得前两个式子；后三个式子都是列向量。

（如：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡===⨯⨯)()()([],[],,,11262x g x g x g beq Aeq b A p ）再建立两个函数文件：目标函数mbhs.m ；约束函数yshs.m再回到Matlab 命令区，输入各项数据及决策变量初值数据x0，执行命令[x,fmin]=fmincon(@mbhs,x0,A,b,Aeq,beq,L,U,@yshs)例：单位球1222≤++z y x 内，曲面xy y x z 1.05.022--+=的上方，平面008.0=-++z y x 之上（不是上面），满足上述三个条件的区域记为D ，求函数)1cos()sin(2-+-+-z e z y x e xy xyz 在D 上的最大值、最大值点。