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第五章 广义逆及最小二乘解在应用上见得最频繁的、大约莫过于线性方程组了。
作一番调查或整理一批实验数据，常常归结为一个线性方程组：Ax b =然而是否是相容方程呢？倘若不是，又如何处理呢？最小二乘解是常见的一种处理方法。
其实它不过是最小二乘法的代数形式而已。
广义逆从1935年Moore 提出以后，未得响应。
据说： (S.L.Campbell ＆ C.D.Meyer.Jr Generalized Inverses of Linear Transformations 1979 P9)原因之一，可能是他给出的定义，有点晦涩。
其后，1955年Penrose 给出了现在大都采用的定义以后，对广义逆的研究起了影响，三十年来，广义逆无论在理论还是应用上都有了巨大发展，一直成为了线性代数中不可缺少的内容之一。
为了讨论的顺利进行，我们在第一节中先给出点准备，作出矩阵的奇值分解。
§5.1 矩阵的酉交分解、满秩分解和奇值分解在线行空间中，知道一个线性变换在不同基偶下的矩阵表示是相抵的或等价的。
用矩阵的语言来说，就是：若 ,m n A B C ×∈，倘有非异矩阵()P m n ×，()Q n n ×存在，使B PAQ =则称A 与B 相抵的或等价的。
利用初等变换容易证明m n A C ×∈，秩为r ，则必有P ，Q ，使000r m nI PAQ C ×⎛⎞=∈⎜⎟⎝⎠(5.1-1) 其中r I 是r 阶单位阵。
在酉空间中，上面的说法，当然也成立，如果加上P ，Q 是酉交阵的要求，情形又如何呢？下面就来讨论这个问题。
定理 5.1.1 (酉交分解) m n A C ×∈，且秩为r ，则(),(),,H H m n U m n V n n U U I V V I ∃××==，使00r HU AV Δ⎛⎞=×⎜⎟⎝⎠(m n) (5.1-2) 其中r Δ为r 阶非异下三角阵。
第一部分：程序设计思路、辨识结果分析和算法特点总结 (3)一：RLS遗忘因子法 (3)RLS遗忘因子法仿真思路和辨识结果 (3)遗忘因子法的特点: (4)二：RFF遗忘因子递推算法 (4)仿真思路和辨识结果 (4)遗忘因子递推算法的特点： (6)三:RFM限定记忆法 (6)仿真思路和辨识结果 (6)RFM限定记忆法的特点： (7)四:RCLS偏差补偿最小二乘法 (7)仿真思路和辨识结果 (7)RCLS偏差补偿最小二乘递推算法的特点： (9)五：增广最小二乘法 (9)仿真思路和辨识结果 (9)RELS增广最小二乘递推算法的特点: (11)六：RGLS广义最小二乘法 (11)仿真思路和辨识结果 (11)RGLS广义最小二乘法的特点： (13)七：RIV辅助变量法 (14)仿真思路和辨识结果 (14)RIV辅助变量法的特点： (15)八：Cor-ls相关最小二乘法（二步法） (15)仿真思路和辨识结果 (15)Cor—ls相关最小二乘法（二步法)特点： (17)九：MLS多级最小二乘法 (17)仿真思路和辨识结果 (17)MLS多级最小二乘法的特点: (21)十:yule_walker辨识算法 (21)仿真思路和辨识结果 (21)yule_walker辨识算法的特点: (22)第二部分：matlab程序 (23)一：RLS遗忘因子算法程序 (23)二：RFF遗忘因子递推算法 (24)三:RFM限定记忆法 (26)四:RCLS偏差补偿最小二乘递推算法 (29)五:RELS增广最小二乘的递推算法 (31)六；RGLS 广义最小二乘的递推算法 (33)七:Tally辅助变量最小二乘的递推算法 (37)八：Cor-ls相关最小二乘法（二步法) (39)九:MLS多级最小二乘法 (42)十yule_walker辨识算法 (46)第一部分:程序设计思路、辨识结果分析和算法特点总结一：RLS遗忘因子法RLS遗忘因子法仿真思路和辨识结果仿真对象如下：其中, v(k ）为服从N（0,1)分布的白噪声。
4.5 广义最小二乘法（GLS ） GLS----Generalized Least Squares 1. 基本原理广义最小二乘法的基本思想在于引入一个所谓成形滤波器（白化滤波器），把相关噪声)(k ξ转化成白噪声)(k ε。
由方程（4-4）、（4-5），系统的差分方程可以表示为)()()()()(11k k u z b k y z a ξ+=-- （4-114）式中n n z a z a z a z a ----++++=ΛΛ221111)(nn z b z b z b b z b ----++++=ΛΛ221101)(如果知道有色噪声序列)(k ξ的相关性，则可以把)(k ξ看成白噪声通过线性系统后所得的结果。
这种线性系统通常称为成形滤波器，其差分方程为)()()()(11_k z d k zc εξ---= （4-115）式中)(k ε是均值为零的白噪声序列，)()(11_---z d 、z c 是1-z 的多项式。
令 _111212_1()()1()m m c z f z f z f z f z d z ------==+++L L （4-116）有 )()(1)()()()(11k z f k k k z f εξεξ--==或 （4-117）即1212(1)()()m m f z f z f z k k ξε---++++=L L （4-118）或)()()2()1()(21k m k f k f k f k m εξξξξ+-------=ΛΛ ()1,,n k n N =++L L（4-119）这一噪声模型（自回归模型）的阶m ，一般事先是不知道的，实际经验表明，若指定m为2或3，就可以获得令人满意的描述)(k ξ的模型。
把方程（4-119）看作输入为零的差分方程，并由此式来写出N 个方程。
⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+---+--+-=+++-+---+-=+++-+-----=+)()()2()1()()2()2()()1()2()1()1()1()()1(212121N n m N n f N n f N n f N n n m n f n f n f n n m n f n f n f n m m m εξξξξεξξξξεξξξξΛΛM ΛΛΛΛ写成向量矩阵形式为εξ+Ω=f （4-120）其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=)()1(N n n ξξξM ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=m f f f M 1，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++=)()1(N n n εεεM ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+--+--+--+--+--+----=Ω)()2()1()2()()1()1()1()(m N n N n N n m n n n m n n n ξξξξξξξξξM Λ(4-120)式所示的线性组合关系是辨识问题的基本表达形式,称作最小二乘格式。
广义最小二乘法的推导1. 引言广义最小二乘法（Generalized Least Squares, GLS）是一种用于解决线性回归问题的方法。
与最小二乘法相比，GLS可以处理数据中存在异方差（heteroscedasticity）和自相关（autocorrelation）的情况，提高了回归模型的准确性和效果。
在本文中，我们将详细推导广义最小二乘法的数学原理和推导过程。
首先，我们将介绍最小二乘法的基本概念和原理，然后讨论广义最小二乘法的推导过程，并最后给出一个示例来说明广义最小二乘法的应用。
2. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的用于拟合线性回归模型的方法。
其基本思想是通过最小化残差平方和来选择最优的回归系数。
对于一个具有n个数据点的线性回归模型：Y=Xβ+ε其中，Y是n维的因变量向量，X是n行p列的自变量矩阵，β是p维的系数向量，ε是n维的误差向量。
最小二乘法的目标是找到最优的β，使得残差平方和最小：εTεminβ通过对目标函数求导，并令导数等于零，可以得到最优解的闭式解表达式：β̂=(X T X)−1X T Y其中，β̂表示最优的回归系数。
3. 广义最小二乘法最小二乘法假设误差项具有同方差且不相关的性质，然而在实际问题中，数据往往存在异方差和自相关的情况。
为了解决这些问题，我们引入广义最小二乘法。
3.1 异方差问题当误差项具有异方差性质时，最小二乘法的估计结果可能是偏误的。
为了解决异方差问题，我们可以对误差项进行加权处理。
假设误差项的方差为σi2，我们可以使用加权最小二乘法来估计回归系数。
目标函数可以表示为：minεT Wεβ其中，W是一个对角矩阵，对角线元素为σi−2。
通过对目标函数求导，并令导数等于零，可以得到最优解的闭式解表达式：β̂GLS=(X T WX)−1X T WYβ̂GLS表示广义最小二乘法的估计系数。
3.2 自相关问题当误差项存在自相关性质时，最小二乘法的估计结果也可能是偏误的。
广义空间两阶段最小二乘法stata代码
广义空间两阶段最小二乘法是一种用于解决具有内生性问题的经济学分析方法，它可以有效地控制内生变量对估计结果的影响。
下面是一份stata代码，以便更好地理解这种方法的实现：
第一阶段：
reg instrument1 instrument2 control1 ... controlk, robust 生成一个工具变量回归模型，其中instrument1和instrument2是被认为与内生自变量有关联的工具变量，control1到controlk是被认为影响被解释变量但不影响内生自变量的控制变量。
robust选项指定鲁棒标准误，以避免误差项的异方差性问题。
predict ivresid1, resid
将第一阶段的残差（即ivresid1）预测出来，并用其代替内生自变量，以控制内生性问题的影响。
第二阶段：
reg y ivresid1 control1 ... controlk, robust
生成第二阶段回归模型，其中y是被解释变量，ivresid1是第一阶段生成的工具变量残差，control1到controlk是被认为影响被解释变量但不影响内生自变量的控制变量。
再次指定robust选项来控制标准误。
通过这种方法，广义空间两阶段最小二乘法可以有效地控制内生性问题，得到更可靠的估计结果。
广义最小二乘法的推导广义最小二乘法是一种用于拟合数据的统计方法，在该方法中，我们希望通过拟合一个参数向量β，使得模型预测值与实际观测值之间的残差（差异）平方和最小。
设我们有一个数据集D，其中包含n个样本，每个样本都有d个特征。
我们用矩阵X表示这些样本的特征，其中每行对应一个样本，每列对应一个特征。
向量y表示样本的目标值（即实际观测值）。
根据最小二乘法的原理，我们的目标是找到一个参数向量β，使得模型预测值ŷ和实际观测值y之间的平方差和最小。
我们的模型可以表示为：ŷ= Xβ为了表示残差的平方差和最小，我们引入了损失函数（loss function）的概念。
广义最小二乘法使用的损失函数是残差的平方和的平均值，即均方误差（mean squared error）：L(β) = (∑(y - ŷ)²) / n为了推导广义最小二乘法，我们需要最小化损失函数。
为了实现这一目标，我们需要计算损失函数关于参数向量β的导数，并将导数等于零的点解释为参数的最优解。
计算损失函数关于β的导数，可以得到一个关于β的向量，记为∇L(β)。
令∇L(β)等于零并求解，可以得到参数向量β的估计值β_hat。
为了计算∇L(β)，我们可以利用矩阵运算和微积分的规则。
具体而言，我们可以将损失函数展开，然后计算其关于β的偏导数。
这样，我们就可以使用线性代数的方法将∇L(β)表示为一个与数据集相关的矩阵和向量的函数。
当我们求解∇L(β) = 0时，可能没有解析解。
此时，我们可以使用数值优化算法，如梯度下降法（gradient descent），来逼近解。
梯度下降法通过迭代更新参数向量β，使得损失函数逐渐减小，从而找到最优解β_hat。
总之，广义最小二乘法通过最小化损失函数，找到一个最优的参数向量β，从而实现数据拟合的目标。
这是一种常用的统计方法，在回归分析等领域得到了广泛应用。
广义最小二乘法第五章广义最小二乘法当计量经济学模型同时存在序列相关和异方差,而且随机误差项的方差-协方差矩阵未知时我们可以考虑使用广义最小二乘法(gls)。
即下列模型：y=xβ+μ满足这样一些条件：e(μ)=0cov(μμ')=δ2ωω=11ω1221ω221ωn2...ω1n...ω2nωnn设立ω=dd'用d左乘y=xβ+μ的两边，得到一个新的模型d-1y=d-1xβ+d-1μy=x**-1β+μ*（1）该模型具备同方差性和随机误差相互独立性。
因为可以证明：e(μ*μ*')=δ2i于是需用普通最轻二乘法估算（1）式，获得的参数估计结果为ˆ=(x*'x*)-1x*'y*β=(x'ωx)x'ωy整个过程最重要的一步就是要估计ω，当模型存在一阶自相关时。
我们取-1-1-1ρn-1ρn-2ρn-1ρn-21案例四：广义最小二乘法在这里我们举例子去表明广义最轻二乘法的应用领域。
在探讨这个问题时所使用的数据如下表中5.1右图：首先我们计算ρ，我们可以直接根据ols估计出来的dw来计算，ols估计出来的结果为下表5.2：可以根据ρ=1-dw/2，dw=0.8774，因此ρ=0.5613,在这个基础上,我们可以得出结论这个方差-协方差矩阵。
方差协方差矩阵可以由以下一个程序去赢得：!p=0.5613matrix(17,17)fac1for!i=1to17fac1(!i,!i)=1for!j=1to17for!i=!j+1to17fac1(!i,!j)=!p^(!i-!j)fac1(!j,!i)=fac1(!i,!j)得到的矩阵结果为下表5.3下面再展开cholosky水解,获得d,展开cholosky水解时所用至的命令如下:1sym(17,17)fact1matrixfact1=@cholesky(fact)得到的fact1矩阵如下解fact1的逆矩阵就可以将数据展开切换,获得m2和gdp,解逆矩阵时使用的命令如下:matrix(17,17)fact2**fact2=@inverse(fact)得到的fact1矩阵的逆矩阵fact2如下m2*=m2*fact2gdp*=gdp*fact这样就可以获得一组转换后的数据,数据如下再对这组数据进行普通最小二乘法就可以得到这个方程的广义最小二乘法的估计结果,结果如下:可以看见，采用广义最轻二乘法后，序列有关的情况获得提升。
计量经济学名词解释1．经济变量：经济变量是用来描述经济因素数量水平的指标。
（3分）2．解释变量：是用来解释作为研究对象的变量（即因变量）为什么变动、如何变动的变量。
（2分）它对因变量的变动做出解释，表现为方程所描述的因果关系中的“因”。
（1分）3．被解释变量：是作为研究对象的变量。
（1分）它的变动是由解释变量做出解释的，表现为方程所描述的因果关系的果。
（2分）11．相关关系：如果一个变量y的取值受另一个变量或另一组变量的影响，但并不由它们惟一确定，则y与这个变量或这组变量之间的关系就是相关关系。
（3分）12．最小二乘法：用使估计的剩余平方和最小的原则确定样本回归函数的方法，称为最小二乘法。
（3分）13．高斯－马尔可夫定理：在古典假定条件下，OLS估计量是模型参数的最佳线性无偏估计量，这一结论即是高斯－马尔可夫定理。
（3分）14．总变差（总离差平方和）：在回归模型中，被解释变量的观测值与其均值的离差平方和。
（3分）15．回归变差（回归平方和）：在回归模型中，因变量的估计值与其均值的离差平方和，（2分）也就是由解释变量解释的变差。
（1分）16．剩余变差（残差平方和）：在回归模型中，因变量的观测值与估计值之差的平方和，（2分）是不能由解释变量所解释的部分变差。
（1分）17．估计标准误差：在回归模型中，随机误差项方差的估计量的平方根。
（3分），定系数会随着解释变量的增加而增大的缺陷提出来的，（2分）其公式为：2/(1)1()/(1)tte n kRy y n--=---∑∑（1分）。
27．偏相关系数:在Y、X1、X2三个变量中，当X1既定时（即不受X1的影响），表示Y与X2之间相关关系的指标，称为偏相关系数，记做2.1YR。
（3分）28.异方差性：在线性回归模型中，如果随机误差项的方差不是常数，即对不同的解释变量观测值彼此不同，则称随机项i u 具有异方差性。
（3分）29.戈德菲尔特-匡特检验:该方法由戈德菲尔特（S.M.Goldfeld ）和匡特（R.E.Quandt ）于1965年提出，用对样本进行分段比较的方法来判断异方差性。
第一章导论1、截面数据：截面数据是许多不同的观察对象在同一时间点上的取值的统计数据集合，可理解为对一个随机变量重复抽样获得的数据。
2、时间序列数据:时间序列数据是同一观察对象在不同时间点上的取值的统计序列，可理解为随时间变化而生成的数据。
3、虚变量数据:虚拟变量数据是人为设定的虚拟变量的取值。
是表征政策、条件等影响研究对象的定性因素的人工变量，其取值一般只取“0”或“1”。
4、内生变量与外生变量:。
内生变量是由模型系统决定同时可能也对模型系统产生影响的变量，是具有某种概率分布的随机变量,外生变量是不由模型系统决定但对模型系统产生影响的变量，是确定性的变量。
第二章一元线性回归模型1、总体回归函数：是指在给定X i下Y分布的总体均值与X i所形成的函数关系（或者说将总体被解释变量的条件期望表示为解释变量的某种函数）2、最大似然估计法（ML): 又叫最大或然法,指用产生该样本概率最大的原则去确定样本回归函数的方法。
3、OLS估计法：指根据使估计的剩余平方和最小的原则来确定样本回归函数的方法。
4、残差平方和：用RSS表示,用以度量实际值与拟合值之间的差异，是由除解释变量之外的其他因素引起的被解释变量变化的部分。
5、拟合优度检验：指检验模型对样本观测值的拟合程度，用表示,该值越接近1表示拟合程度越好。
第三章多元线性回归模型1、多元线性回归模型:在现实经济活动中往往存在一个变量受到其他多个变量影响的现象，表现在线性回归模型中有多个解释变量,这样的模型被称做多元线性回归模型，多元是指多个解释变量2、调整的可决系数：又叫调整的决定系数，是一个用于描述多个解释变量对被解释变量的联合影响程度的统计量，克服了随解释变量的增加而增大的缺陷，与的关系为。
3、偏回归系数：在多元回归模型中，每一个解释变量前的参数即为偏回归系数，它测度了当其他解释变量保持不变时，该变量增加1单位对被解释变量带来的平均影响程度。
4、正规方程组:采用OLS方法估计线性回归模型时，对残差平方和关于各参数求偏导,并令偏导数为0后得到的方程组,其矩阵形式为。
常用算法分析——最小二乘法目录1.引言2.普通最小二乘法（OLS）3.OLS实现4.广义最小二乘法（GLS）简介1、引言最小二乘法应该是我们最早接触的一种数值估计算法。
它的特殊形式，一元线性回归，被广泛地应用于多种数值统计分析场合。
例如，在验证欧姆定律（U = IR）时，通常的实验方法是分别测量出多个不同电压Ui下，通过电阻的电流值Ii，然后将这些(Ui, Ii)观测点，代入到一元最小二乘公式(1-1)中，便可计算出\hat{R}。
\begin{cases}a&=&\frac{\sum{xy}-\frac{1}{N}\sum{x}\sum{y}}{\sum{x^2}-\frac{1}{N}(\sum{x})^2}\\b&=&\frac{1}{N}\sum{y}-\frac{a}{N}\sum{x}\end{cases} (1-1)由此可得出线性拟合式(1-2)\hat{y}=a\hat{x}+b (1-2)其中，\hat{y}=\hat{U},\ \hat{x}=\hat{I},\ a=\hat{R},\ b 是残差。
通过此方法将观测点及拟合曲线绘制在同一个直角坐标系中，正常情况下可以直观地看到，观测点会均匀分布在直线附近，且每个点的残差平方和（即方差）最小。
“最小二乘法”由此得名。
2、普通最小二乘法（OLS）最小二乘法显然不只是一元线性回归那么简单，它还可以应用于多元参数的拟合。
本节将对普通最小二乘法（Ordinary Least Squares）的原理进行简单的推导和证明。
2.1、高斯—马尔可夫定理高斯—马尔可夫定理（the Gauss–Markov theorem，简称G-M定理）在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计量（即Best Linear Unbiased Estimator，简称BLUE)。
G-M定理共对OLS普通线性方程提出5个假设：假设1（线性关系）：要求所有的母集团参数（population parameters）为常数，用来保证模型为线性关系。
