复习课(三) 概 率古典概型填空题，也有解答题，且常与统计等问题综合考查．[考点精要]1．互斥事件与对立事件的概率(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．(2)当事件A 与B 互斥时，P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，当事件A 与B 对立时，P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝1，即P (A )＝1－P (B )．(3)求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P (A )＝1－P (A )求解．2．古典概型的求法对于古典概型概率的计算，关键是分清基本事件的总数n 与事件A 包含的基本事件的个数m ，有时需用列举法把基本事件一一列举出来，再利用公式P (A )＝m n求出事件发生的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某种顺序，以保证不重复、不遗漏．[典例] 柜子里有3双不同的鞋，随机地取出 2只，试求下列事件的概率：(1)取出的鞋不成双； (2)取出的鞋都是左脚的； (3)取出的鞋都是同一只脚的；(4)取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双． [解] 用A 1，A 2；B 1，B 2；C 1，C 2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚，则从6只鞋中取2只所有的取法有：A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 1C 1，A 1C 2， A 2B 1，A 2B 2，A 2C 1，A 2C 2， B 1B 2，B 1C 1，B 1C 2， B 2C 1，B 2C 2， C 1C 2，共15种．(1)取出的鞋不成双的所有取法有：A 1B 1，A 1B 2，A 1C 1，A 1C 2， A 2B 1，A 2B 2，A 2C 1，A 2C 2，B 1C 1，B 1C 2，B 2C 1，B 2C 2，共12种．其概率为P 1＝1215＝45.(2)取出的鞋都是左脚的所有取法有：A 1B 1，B 1C 1，A 1C 1，共3种．其概率为P 2＝315＝15.(3)取出的鞋都是同一只脚的所有取法有：A 1B 1，B 1C 1，A 1C 1，A 2B 2，A 2C 2，B 2C 2，共6种．其概率为P 3＝615＝25.(4)取出的鞋一只左脚的，一只右脚的但不成双的所有取法有：A 1B 2，A 1C 2，A 2B 1，A 2C 1，B 1C 2，B 2C 1，共6种．其概率为P 4＝615＝25.[类题通法]在古典概型中，计算概率的关键是准确找到基本事件的数目，这就需要我们能够熟练运用图表和树状图，把基本事件一一列出．而有许多试验，它们的可能结果非常多，以至于我们不可能将所有结果全部列出，这时我们不妨找找其规律，算出基本事件的数目．[题组训练]1．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A.310B.15C.110D.120解析：选C 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为110.故选C.2．某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)(1)的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5,3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率．解：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P ＝1545＝13.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个．根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个．因此A1被选中且B1未被选中的概率为P＝215.几何概型概率的求法，属于低档题．[考点精要]1．几何概型的基本特征：基本事件的无限性、每个事件发生的等可能性．2．几何概型的概率计算公式：P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果构成的区域长度面积或体积.[典例] (1)在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条弦，则其长超过圆内接等边三角形的边长的概率是多少？(2)在半径为1的圆内，过一条直径上任意一点作垂直于直径的弦，求弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率．(3)以半径为1的圆内任一点为中点作弦，求弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率．[解] (1)记事件A＝{弦长超过圆内接等边三角形的边长}，取圆内接等边△BCD 的顶点B 为弦的一个端点，当另一点在劣弧CD 上时，|BE |＞|BC |，而劣弧CD 的弧长是圆周长的13，所以由几何概率公式得P (A )＝13.(2)记事件A ＝{弦长超过圆内接等边三角形的边长}，如图所示，不妨在过等边△BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点作垂直于直径的弦，显然当弦为CD 时就是边长，弦长大于|CD |长的条件是圆心O 到弦的距离小于|OF |，由几何概率公式得P (A )＝12×22＝12.即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是12.(3)记事件A ＝{弦长超过圆内接等边三角形的边长}，如图所示，作等边三角形的内切圆，当以小圆上任一点为切点作弦时，弦长等于等边三角形的边长，所以弦长超过内接三角形边长时，当且仅当弦的中点在小圆内，小圆半径为12，所以由几何概率公式得P (A )＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122π×12＝14.即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是14.[类题通法]三个题目都是在圆内任意作弦使得弦长超过圆内接等边三角形的边长，但三个题目中由于“等可能”的含义不同，得到的概率不同．因而在解决几何概率问题时，必须找准观察角度，明确随机选取的含义，判断好基本事件的等可能性．[题组训练]1．在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1”发生的概率为() A.34 B.23 C.13D.14解析：选A 不等式－1≤log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12≤1可化为log 122≤log12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12≤log 1212，即12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，故由几何概型的概率公式得P ＝32－02－0＝34.2.如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图象上. 若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16B.14C.38D.12解析：选 B 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0，B 点坐标为(1,0)，所以C 点坐标为(1,2)，D 点坐标为(－2,2)，A 点坐标为(－2,0)，故矩形ABCD 的面积为2×3＝6，阴影部分的面积为12×3×1＝32，故P ＝326＝14. 3．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率 ，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1＜p 2＜p 3B ．p 2＜p 3＜p 1C ．p 3＜p 1＜p 2D ．p 3＜p 2＜p 1解析：选B 满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 及其边界上．事件“x ＋y ≥12”对应的图形为图①所示的阴影部分；事件“|x －y |≤12”对应的图形为图②所示的阴影部分；事件“xy ≤12”对应的图形为图③所示的阴影部分．对三者的面积进行比较，可得p 2＜p 3＜p 1.1．一个口袋内装有大小相同的红、蓝球各一个，若有放回地摸出一个球并记下颜色为一次试验，试验共进行三次，则至少摸到一次红球的概率是( )A.18B.78C.38D.58解析：选B 所有的基本事件为：(红，红，红)，(红，红，蓝)，(红，蓝，红)，(蓝，红，红)，(红，蓝，蓝)，(蓝，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，蓝)，共8个．三次都是蓝球的基本事件只有1个，其概率是18，根据对立事件的概率之间的关系，所求的概率为1－18＝78.选B.2．已知直线y ＝x ＋b ，b ∈[－2,3]，则直线在y 轴上的截距大于1的概率为( )A.38B.13C.23D.25解析：选D 直线在y 轴上的截距大于1，则b ∈(1,3]，故所求概率P ＝3－13－－2＝25.3．从含有a ，b ，c 的集合中任取一个子集，所取的子集是含有两个元素的集合的概率是( )A.310B.112C.4564D.38解析：选D 所有子集共8个；其中含有2个元素的为{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }．4．有4根木棍长度分别为2,5,7,10，从这4根木棍中任取3根，则所取的3根木棍首尾相接能构成一个三角形的概率为( )A.14B.13C.12D.25解析：选A 从4根木棍中任取3根，基本事件有(2,5,7)，(2,5,10)，(2,7,10)，(5,7,10)，共4个，能构成三角形的只有(5,7,10)这一个基本事件，故所求概率P ＝14.5．已知菱形ABCD 的边长为4，∠ABC ＝150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离都大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π4C.π8D ．1－π8解析：选D 分别以A ，B ，C ，D 为圆心，1为半径作圆，圆与菱形ABCD 重合部分的面积为2×π×12×112＋2×π×12×512＝π，而菱形ABCD 的面积为8，所以所求概率为8－π8＝1－π8.6.一只受伤的丹顶鹤向如图所示(直角梯形)的区域上空飞来，其中AD ＝ 2 km ，DC ＝2 km ，BC ＝1 km ，丹顶鹤随机地落在该区域上任意一处，若落在扇形沼泽区域ADE 以外，丹顶鹤能生还，则该丹顶鹤生还的概率是( )A.12－π15 B ．1－π10C ．1－π6D ．1－3π10解析：选B 过点D 作DF ⊥AB 于点F ，在Rt△AFD 中，易知AF ＝1，∠A ＝45°.梯形ABCD 的面积S 1＝12×(2＋2＋1)×1＝52，扇形ADE 的面积S 2＝(2)2×π×18＝π4，故丹顶鹤生还的概率P ＝S 1－S 2S 1＝52－π452＝1－π10. 7．从两名男生和两名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为________．解析：设两名女生为a 1，a 2，两名男生为b 1，b 2，则所有可能的结果如下：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 2，b 1)，(a2，b2)，(b1，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b2，b1)，(b2，a1)，(b2，a2)，共12种，其中星期六安排一名男生、星期日安排一名女生包括4种情况，所以所求概率为P＝412＝1 3.答案：138．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与抛物线y＝x2＋1有交点的概率是________．解析：易知过点(0,0)与抛物线y＝x2＋1相切的直线为y＝2x(斜率小于0的无需考虑)，集合N中共有16个元素，其中使OA 斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，由古典概型的概率计算公式知概率为P＝416＝14.答案：149．任意抛掷两颗骰子，得到的点数分别为a，b，则点P(a，b)落在区域|x|＋|y|≤3中的概率为________．解析：基本事件为6×6＝36，P(a，b)落在区域|x|＋|y|≤3中的有(1,1)，(1,2)，(2,1)，所以P＝36×6＝1 12.答案：11210．某电脑公司现有A，B，C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑，希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各随机选购一种型号的电脑．(1)写出所有选购方案；(2)如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A 型号电脑被选中的概率是多少？(直接写出结果即可)解：(1)画出树状图如图：则选购方案为：(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )．(2)A 型号电脑被选中的情形为(A ，D )，(A ，E )，即基本事件为2种，所以A 型号电脑被选中的概率为P ＝26＝13.11．已知甲袋中有1只白球、2只红球，乙袋中有2只白球、2只红球，现从两袋中各取一球．(1)求两球颜色相同的概率； (2)求至少有一只白球的概率．解：将甲袋中1只白球记为a 1,2只红球记为b 1，b 2；乙袋中2只白球记为a 2，a 3,2只红球记为b 3，b 4，所以“从两袋中各取一球”所包含的基本事件为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(b 1，a 2)，(b 1，a 3)，(b 1，b 3)，(b 1，b 4)，(b 2，a 2)，(b 2，a 3)，(b 2，b 3)，(b 2，b 4)，共有12种．(1)设A 表示“从两袋中各取一球，两球颜色相同”，所以事件A 包含基本事件(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(b 1，b 3)，(b 1，b 4)，(b 2，b 3)，(b 2，b 4)，共6种．所以P (A )＝612＝12.(2)设B 表示“从两袋中各取一球，至少有一只白球”，所以事件B 包含基本事件(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(b 1，a 2)，(b 1，a 3)，(b 2，a 2)，(b 2，a 3)，共8种，所以P (B )＝812＝23.12．有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：(1)从各组中抽取若干评委，其中从B 组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表：(2)在(1)2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选 1人，求这2人都支持1号歌手的概率．解：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽到的人数如下表：(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P＝418＝29.(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．某校有学生4 500人，其中高三学生有1 500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本，则样本中高三学生的人数为( ) A．50人B．100人C．150人D．20人解析：选B 因为该抽样是分层抽样，所以应在高三学生中抽取1 500×3004 500＝100(人)．2．阅读如图所示的算法框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出y的值为( )A．2 B．7C．8 D．128解析：选C由算法框图知，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，9－x ，x <2.∵输入x 的值为1，比2小，∴执行的程序要实现的功能为9－1＝8，故输出y 的值为8.3．阅读下面的算法框图，运行相应的程序，则输出i 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C S ＝10，i ＝0，i ＝i ＋1＝1，S ＝S －i ＝10－1＝9，不满足S ≤1； i ＝i ＋1＝2，S ＝S －i ＝9－2＝7，不满足S ≤1； i ＝i ＋1＝3，S ＝S －i ＝7－3＝4，不满足S ≤1； i ＝i ＋1＝4，S ＝S －i ＝4－4＝0，满足S ≤1，输出i ＝4.4．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1解析：选B 记3件合格品为a 1，a 2，a 3,2件次品为b 1，b 2，则任取2件构成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，共10个元素．记“恰有1件次品”为事件A ，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)}，共6个元素．故其概率为P (A )＝610＝0.6.5.如图，正方形ABCD 的边长为2，△EBC 为正三角形．若向正方形ABCD 内随机投掷一个质点，则它落在△EBC 内的概率为( )A.32B.34C.12D.14解析：选B 正方形的面积为4，S △EBC ＝12×2×3＝3，所以，质点落在△EBC 内的概率为34.6．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A ．45B ．50C ．55D ．60解析：选B 成绩在[20,40)和[40,60)的频率分别是0.1,0.2，则低于60分的频率是0.3.设该班学生总人数为m ，则15m＝0.3，m＝50.7．一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的5张标签，有放回地随机选取两张标签，两张标签上的数字之和为奇数的概率是( )A.25 B.35 C.1225D.925解析：选C 基本事件的总数为25个，其中两张标签上的数字之和为奇数的情况有：(1,2)，(2,1)，(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，(2,5)，(5,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，共12个，所以所求概率为P ＝1225.8.甲、乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别为x 甲，x 乙，则下列叙述正确的是( )A ．x 甲>x 乙；乙比甲成绩稳定B ．x 甲>x 乙；甲比乙成绩稳定C ．x 甲<x 乙；乙比甲成绩稳定D ．x 甲<x 乙；甲比乙成绩稳定 解析：选C 由题意可知，x 甲＝15×(72＋77＋78＋86＋92)＝81，x 乙＝15×(78＋88＋88＋91＋90)＝87.故x 甲<x 乙．又由方差公式可得s 2甲＝15×[(81－72)2＋(81－77)2＋(81－78)2＋(81－86)2＋(81－92)2]＝50.4，s 2乙＝15×[(87－78)2＋(87－88)2＋(87－88)2＋(87－91)2＋(87－90)2]＝21.6，因为s 2乙<s 2甲，故乙的成绩波动较小，乙的成绩比甲稳定． 9．阅读下列程序： 输入x ；If x ＜0 Then y ＝π2x ＋3ElseIf x ＞0 Then y ＝－π2x ＋5Else y ＝0 End If End If 输出y .如果输入x ＝－2，则输出结果y 为( ) A ．3＋π B ．3－π C ．π－5D ．－π－5解析：选B 输入x ＝－2，则x ＝－2＜0成立，则y ＝π2×(－2)＋3＝－π＋3，则输出3－π.10．某农科院在2×2的4块试验田中选出2块种植某品种水稻进行试验，则每行每列都有一块试验田种植水稻的概率为( )A.23 B.12 C.16D.13解析：选D 如图给4块试验田分别标号为A 1，A 2，B 1，B 2.A 1 A 2B 1B 2基本事件为：(A 1，A 2)11(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(B 1，B 2)共6个基本事件，其中“每行每列都有一块试验田种植水稻”的基本事件有：(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，共2个．∴P (A )＝26＝13.11．在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率为( ) A.14 B.34 C.49D.916解析：选D 设AB ，AC 上分别有点D ，E 满足AD ＝34AB 且AE＝34AC ，则△ADE ∽△ABC ，DE ∥BC 且DE ＝34BC .∵点A 到DE 的距离等于点A 到BC 的距离的34，∴DE 到BC 的距离等于△ABC 高的14.当动点P 在△ADE 内时，P 到BC 的距离大于DE 到BC 的距离，∴当P在△ADE 内部运动时，△PBC 的面积大于S 4，∴所求概率为S △ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝916. 12．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )A ．甲地：总体平均值为3，中位数为4B ．乙地：总体平均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体平均值为2，总体方差为3解析：选D 根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7，选项A 中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C 中也有可能；选项B 中的总体方差大于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数；选项D 中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)13.为了解电视对生活的影响，一个社会调查机构就平均每天看电视的时间调查了某地10 000位居民，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000位居民中再用分层抽样抽出100位居民做进一步调查，则在[2.5,3.0)(小时)时间段内应抽出的人数是________．解析：抽出的100位居民中平均每天看电视的时间在[2.5,3.0)(小时)时间内的频率为0.5×0.5＝0.25，所以这10 000位居民中平均每天看电视的时间在[2.5，3.0)(小时)时间内的人数是10 000×0.25＝2 500，抽样比是10010 000＝1100，则在[2.5,3)(小时)时间段内应抽出的人数是2 500×1100＝25.答案：2514．已知变量x，y的回归方程为y＝bx＋a，若b＝0.51，x＝61.75，y＝38.14，则回归方程为________．解析：因为a＝38.14－0.51×61.75＝6.647 5，所以回归方程为y＝0.51x＋6.647 5.答案：y＝0.51x＋6.647 515．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．解析：从4只球中一次随机摸出2只球，有6种结果，其中这2只球颜色不同有5种结果，故所求概率为56. 答案：5616．设点(p ，q )在|p |≤3，|q |≤3中按均匀分布出现，则方程x 2＋2px －q 2＋1＝0的两根都是实数的概率为________． 解析：已知点(p ，q )组成了边长为6的正方形，S 正方形＝62＝36.由方程x 2＋2px －q 2＋1＝0的两根都是实数得Δ＝(2p )2－4(－q 2＋1)≥0，即p 2＋q 2≥1.所以当点(p ，q )落在“正方形内且单位圆外”的阴影区域时，方程的两根都是正数．由图可知，阴影部分面积d ＝S 正方形－S 圆＝36－π.所以原方程两根都是实数的概率为1－π36. 答案：1－π36三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：．．．(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天．．开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨．．．的概率． 解：(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为2630＝1315. (2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78. 以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78. 18．(本小题满分12分)(广东高考)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图所示．(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？解：(1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x ＋0.005＋0.002 5)×20＝1得x ＝0.007 5，∴直方图中x 的值为0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230. ∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，则0.45＋0.012 5×(a －220)＝0.5，解得a ＝224，即中位数为224.(3)月平均用电量在[220,240)的用户有0.012 5×20×100＝25(户)，同理可求月平均用电量为[240,260)，[260,280)，[280,300)的用户分别有15户、10户、5户，故抽取比例为1125＋15＋10＋5＝15， ∴从月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5(户)．19．(本小题满分12分)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.(1)随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．解：(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．其中，没有1家的融合指数在[7,8]内的基本事件是：{B1，B2}，共1个．所以所求的概率P＝1－110＝9 10.(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4．5×220＋5.5×820＋6.5×720＋7.5×320＝6.05.20．(本小题满分12分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示.(1)计算甲班的样本方差；(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学，求身高为176 cm的同学被抽中的概率．解：(1)甲班的平均身高为x＝110(158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182)＝170，甲班的样本方差为s2＝110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.(2)设“身高为176 cm的同学被抽中”的事件为A，用(x，y)表示从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm的同学的身高，则所有的基本事件有(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)，共10个基本事件，而事件A含有(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，共4个基本事件，故P (A )＝410＝25. 21．(本小题满分12分)目前全世界面临能源紧张问题，降低油耗成为汽车制造厂家技术革新的目标．下表提供了某品牌汽车在技术革新后连续行驶x (百公里)与相应的油耗y (L)的几组对照数据.(1)(2)若该品牌汽车在技术革新前行驶5百公里的油耗为33 L ．试根据(1)求出的回归方程，预测现在汽车行驶5百公里比技术革新前降低多少升油耗．解：(1)根据表中数据可分别求得：x ＝2.5，y ＝15.6，∑i ＝14x i y i ＝186.4，∑i ＝14x 2i ＝30.所以b ＝186.4－4×2.5×15.630－4×2.52＝6.08. a ＝15.6－6.08×2.5＝0.4.所以回归方程为y ＝6.08x ＋0.4.(2)把x ＝5代入(1)中所求的回归方程，估计该品牌汽车在技术革新后行驶5百公里的油耗为5×6.08＋0.4＝30.8 L ，比技术革新前油耗降低了33－30.8＝2.2 L.22．(本小题满分12分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数．(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有可能的结果；②设A 为事件“编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A 发生的概率．解：(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共9种．因此，事件A 发生的概率P (A )＝915＝35.。
