正弦定理

正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R R为三角形外接圆的半径余弦定理:a^2=b^2+c^2-2bc*cosAsin(A+B)=sinCsin(A+B)=sinAcosB+sinBcosAsin(A-B)=sinAcosB+sinBcosAsin2A=2sinAcosAcos2A=2(cosA)^2-1=(cosA)^2-(sinA)^2=1-2(sinA)^2tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2](sinA)^2+(cosA)^2=1解三角形大概常用的就这些概率似乎没有什么现成的公式可以套立体几何求点面距离常用等积法,构建一个四面体,用另外一对底面和高算出体积再除以所求点面距作为高对应的底面的面积计算二面角常用三垂线定理,或者就是直接构造,原则是要方便计算,不要构造出来的角每条边都要算半天就得不偿失了圆锥曲线似乎没有现成的公式,但有一些常用方法,比如设点消点,或者椭圆的时候还可以用参数方程计算数列就更简单了,一般就是求通项然后证明不等式,不等式就没办法了,我也不能保证每次都证出来,通项常用的方法就是改变下标,比如Sn-S(n-1)=an直接求不出可以尝试着求倒数的通项,很可能很好求数学高考基础知识、常见结论详解二、函数一、映射与函数：（1）映射的概念：（2）一一映射：（3）函数的概念：如：若，；问：到的映射有个，到的映射有个；到的函数有个，若，则到的一一映射有个。

函数的图象与直线交点的个数为个。

二、函数的三要素：，，。

相同函数的判断方法：①；②(两点必须同时具备)（1）函数解析式的求法：①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法：（2）函数定义域的求法：①，则；②则；③，则；④如：，则；⑤含参问题的定义域要分类讨论；如：已知函数的定义域是，求的定义域。

⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。

如：已知扇形的周长为20，半径为，扇形面积为，则；定义域为。

三角形的正弦定理三角形的正弦定理是数学中用来描述三角形内角和边长之间的关系的一条重要的定理。

它可以帮助我们解决许多与三角形有关的问题。

本文将详细介绍三角形的正弦定理及其应用。

正文：三角形的正弦定理又称作正弦定理或正弦规律，它是解决三角形中角和边关系的一个重要工具。

根据三角形的正弦定理，三角形的三条边和其对应的角的正弦值之间存在着一个特定的关系。

具体来说，设三角形的三条边长度分别为a、b、c，而三个对应的角的正弦值分别为sin A、sin B、sin C，则正弦定理可以表达为以下等式：a/sin A = b/sin B = c/sin C在这个等式中，a、b、c分别表示三角形的三条边的长度，A、B、C表示该三角形的三个对应角的大小，sin A、sin B、sin C表示这三个角的正弦值。

三角形的正弦定理可以用来解决许多与三角形有关的问题。

常见的问题包括已知三角形的一个角和两边的长度，求第三边的长度；已知三角形的两个角和一个边的长度，求其他两边的长度；已知三角形的三边长度，求其中一个角的大小等等。

下面举一个例子来说明三角形的正弦定理的应用。

假设我们已知一个三角形的两边的长度分别为3cm和4cm，夹角为60度。

现在我们想求解第三边的长度。

根据正弦定理，我们可以得到以下等式：3/sin 60 = 4/sin C我们可以通过这个等式来求解sin C的值，进而求得角C的大小。

最后，再利用三角函数的逆函数来计算角C对应的正弦值。

最后，我们根据正弦定理的另一条等式，可以计算出第三边的长度。

三角形的正弦定理不仅可以使用角度制进行计算，也可以使用弧度制。

如果以弧度制表示角的大小，则我们将正弦定理的等式改变为以下形式：a/sin A = b/sin B = c/sin C在计算中，我们可以根据具体问题的需要，选择适合的角度制或弧度制进行计算。

总结起来，三角形的正弦定理是解决三角形内角和边长之间关系的一个重要定理。

通过应用正弦定理，我们可以解决许多与三角形有关的问题，如求解三角形的边长和角度等。

正弦定理的概念与余弦定理的概念正弦定理和余弦定理是在三角形中用于计算边长和角度的重要定理。

1. 正弦定理（Sine Rule）：正弦定理是用来计算三角形中的边长和角度的关系。

对于一个三角形ABC，正弦定理可以表述为：
a/sinA = b/sinB = c/sinC
其中a、b、c分别表示三角形的边长，A、B、C分别表示对应边的角度。

2. 余弦定理（Cosine Rule）：余弦定理是用来计算三角形中的边长和角度的关系。

对于一个三角形ABC，余弦定理可以表述为：
c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC
其中a、b、c分别表示三角形的边长，C表示对应边的角度。

正弦定理和余弦定理都可以在解决三角形问题时使用，它们提供了计算边长和角度的方法，可以帮助我们求解各种三角形相关的问题。

正弦定理的所有公式正弦定理是三角形中的重要定理之一，它描述了三角形中各边和角之间的关系。

这个定理可以用于求解任意三角形的边长和角度。

下面将介绍正弦定理的几个公式及其应用。

一、正弦定理的基本形式正弦定理的基本形式是：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c分别表示三角形的三条边的长度，A、B、C表示对应的三个角的大小。

这个公式表明，在任意三角形中，三条边的长度与对应的角的正弦值之间存在一定的比例关系。

二、利用正弦定理求解三角形的边长1. 已知两边和夹角当已知三角形的两条边a和b及它们之间的夹角C时，可以利用正弦定理求解第三条边c的长度。

根据正弦定理的基本形式，可得：c/sinC = a/sinA由此可得：c = (a*sinC) / sinA同理，还可以通过已知两边和夹角A或B来求解第三条边的长度。

2. 已知一边和两个夹角当已知三角形的一条边c及其对应的两个夹角A和B时，可以利用正弦定理求解另外两条边a和b的长度。

根据正弦定理的基本形式，可得：a/sinA = c/sinC由此可得：a = (c*sinA) / sinC同理，还可以通过已知一边和两个夹角A或B来求解另外两条边的长度。

三、利用正弦定理求解三角形的角度除了可以用正弦定理求解三角形的边长外，还可以利用正弦定理求解三角形的角度。

1. 已知三边当已知三角形的三条边a、b、c的长度时，可以利用正弦定理求解三个角A、B、C的大小。

根据正弦定理的基本形式，可得：sinA = (a*sinC) / c通过这个公式可以求解出角A的正弦值，然后可以通过反正弦函数求解出角A的大小。

同理，可以求解出角B和角C的大小。

2. 已知两边和夹角当已知三角形的两条边a和b及它们之间的夹角C时，可以利用正弦定理求解角A和角B的大小。

根据正弦定理的基本形式，可得：sinA = (a*sinC) / csinB = (b*sinC) / c通过这两个公式可以求解出角A和角B的正弦值，然后可以通过反正弦函数求解出角A和角B的大小。

三角形的正弦定理三角形的正弦定理是在解决三角形相关问题时非常重要的定理之一。

该定理是通过三角形的边长和角度之间的关系来描述三角形形状的定理。

定理表述：在任意三角形ABC中，三条边的长度分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C。

则有以下等式成立：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)证明：三角形的正弦定理可以通过以下步骤来证明。

假设三角形的面积为S，三角形任意一边对应的高为h。

根据面积公式，有S = 1/2 * a * h，而对应的角A的高为h = b * sin(A)，则可以得出S = 1/2 * a * b * sin(A)。

同理，可以得到S = 1/2 * b * c * sin(B)和 S = 1/2 * c * a * sin(C)。

将这三个式子等式相等，可以得到以下结果：1/2 * a * b * sin(A) = 1/2 * b * c * sin(B) = 1/2 * c * a * sin(C)整理上述等式，可以得到以下结果：a *b * sin(A) = b *c * sin(B) = c * a * sin(C)通过将上式两侧除以abc，可以得到三角形的正弦定理：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)应用：三角形的正弦定理在解决与三角形相关的问题时非常有用。

通过已知三边的长度或者已知两边长度及其对立角的情况下，可以利用正弦定理计算缺失的边长或角度。

例如，已知一个三角形的两边长度分别为5 cm和8 cm，并且这两边之间的夹角为60度，我们可以利用正弦定理来计算第三条边的长度。

根据正弦定理，我们可以得到以下等式：5/sin(60) = c/sin(C)通过这个等式，我们可以得到c ≈ 8.66 c m，也就是说第三条边的长度约为8.66 cm。

除了计算边长，正弦定理还可以在解决其他与三角形有关的问题时使用。

例如，通过已知三边的长度，可以计算出三角形的面积；通过已知两边长度及其对立角，可以计算三角形的高等等。

正弦定理公式
正弦定理是几何学中一条重要的定理，用于解决三角形的边长和角度之间的关系。

它可以表示为：
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]
其中，a，b，c分别是三角形的边长，A，B，C分别是相应的角度。

这个公式的意义在于，它能够通过已知的边长或角度来求解其他未知的边长或角度。

通过正弦定理，我们可以发现三角形的边长和角度之间的关系是不变的，不受三角形的大小和形状的影响。

使用正弦定理时，我们通常需要至少知道三个量：其中一个边长和与它相对的两个角度，或者一个边长和一个角度及其相对的边长。

根据已知的信息，我们可以利用正弦定理来计算其他未知的边长或角度。

需要注意的是，当使用正弦定理时，我们要保证所使用的角度单位一致，一般为弧度或角度。

另外，当计算角度时，我们可能会得到多个解，因此要根据实际情况选择合适的解。

总之，正弦定理是解决三角形问题的重要工具，通过它可以求解三角形的边长和角度，帮助我们更好地理解和分析三角形的性质和关系。

【知识梳理】1、正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： （1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。

正弦定理的变形应用：(1)sin sin sin sin sin sin a b b c a cA B B C A C===或或 （2）sin sin ,sin sin ,sin sin a B b A b C c B a C c A === (3)2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===,常用于边化角。

（4）sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===，常用于角化边。

(5)::sin :sin :sin a b c A B C =2、余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即 A bc c b a cos 2222-+=⇔bca cb A 2cos 222-+=B ac a c b cos 2222-+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔abc b a C 2cos 222-+=利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角（3）一边及其邻角【典型例题分析】例1、在△ABC 中，已知sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝3sin A sin C ，求B 的度数解：由定理得sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C －2sin A sin C cos B ， ∴－2sin A sin C cos B ＝3sin A sin C∵sin A sin C ≠0 ∴cos Β＝－23∴B ＝150°例2、在△ABC 中，已知2cos B sin C ＝sin A ，试判定△ABC 的形状解：在原等式两边同乘以sin A 得：2cos B sin A sin C ＝sin 2A ，由定理得sin 2A ＋sin 2C －sin 2Β＝sin 2A ，∴sin 2C ＝sin 2B ∴B ＝C 故△ABC 是等腰三角形变式练习：1、在△ABC 中已知a ＝2b cos C ，求证：△ABC 为等腰三角形证法一：欲证△ABC 为等腰三角形可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数由正弦定理得a ＝BAb sin sin ∴2b cos C ＝BAb sin sin ，即2cos C ·sin B ＝sin A ＝sin （B ＋C ）＝sin B cos C ＋cos B sin C ∴sin B cos C －cos B sin C ＝0即sin （B －C ）＝0，∴B －C ＝ｎπ（ｎ∈Ｚ）∵B 、C 是三角形的内角，∴B ＝C ，即三角形为等腰三角形证法二：根据射影定理，有a ＝b cos C ＋c c os B ， 又∵a ＝2b cos C ∴2b cos C ＝b cos C ＋c cos B∴b cos C ＝c cos B ，即.cos cos CB c b = 又∵.sin sin C B c b =∴,cos cos sin sin CB C B =即tan B ＝tan C ∵B 、C 在△ABC 中，∴B ＝C ∴△ABC 为等腰三角形证法三：∵cos C ＝,2cos 2222b a C ba c b a =-+及∴,22222baab c b a =-+ 化简后得b 2＝c2∴b ＝c ∴△ABC 是等腰三角形2、在任一△ABC 中求证：0)sin (sin )sin (sin )sin (sin =-+-+-B A c A C b C B a证：左边=)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2B A C R A C B R C B A R -+-+- =]sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin [sin 2B C A C A B C B C A B A R -+-+-=0=右边 例3、在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45︒ 求A 、C 及c解一：由正弦定理得：23245sin 3sin sin === b B a A ∵B=45︒<90︒ 即b <a ∴A=60︒或120︒当A=60︒时C=75︒ 22645sin 75sin 2sin sin +===BC b c当A=120︒时C=15︒ 22645sin 15sin 2sin sin -===B C b c 解二：设c =x 由余弦定理 B ac c a b cos 2222-+= 将已知条件代入，整理：0162=+-x x 解之：226±=x 当226+=c 时 2)13(231226223)226(22cos 22221=++=+⋅⋅-++=-+=bc a c b A从而A=60︒ ，C=75︒ 当226-=c 时同理可求得：A=120︒ ，C=15︒ 变式练习：在△ABC 中，已知2a =，22b =，15C =，求A ．错解： 由余弦定理，得2222cos15c a b ab =+-62482222+=+-⨯⨯843=- ∴62c =．又由正弦定理，得sin 1sin 2a C A c ==，而0180A <<， ∴30A =或150A =．辨析： 由题意b a >，∴B A >．因此150A =是不可能的．错因是没有认真审题，未利用隐含条件．在解题时，要善于应用题中的条件，特别是隐含条件，全面细致地分析问题，避免错误发生．正解： 同上62c =，1sin 2A =，∵b a >， ∴B A >，且0180A <<，∴30A =．例5、如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD, AD=10, AB=14, ∠BDA=60︒, ∠BCD=135︒ 求BC 的长解：在△ABD 中，设BD=x则BDA AD BD AD BD BA ∠⋅⋅-+=cos 2222即60cos 1021014222⋅⋅-+=x x 整理得：096102=--x x解之：161=x 62-=x （舍去） 由余弦定理：BCD BD CDB BC ∠=∠sin sin ∴2830sin 135sin 16=⋅=BC 例6 、△ABC 中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1︒求最大角 ;2︒求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积解：1︒设三边1,,1+==-=k c k b k a *∈N k 且1>k∵C 为钝角 ∴0)1(242cos 222<--=-+=k k ac c b a C 解得41<<k ∵*∈N k ∴2=k 或3 但2=k 时不能构成三角形应舍去 当3=k 时 109,41cos ,4,3,2=-====C C c b a 2︒设夹C 角的两边为y x , 4=+y xS )4(415415)4(sin 2x x x x C xy +-⋅=⋅-== 当2=x 时S 最大=15例7、 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，D 为B C 中点，且AD ＝4，求B C 边长分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC 为ｘ后，建立关于ｘ的方程而正弦定理涉及到两个角，故不可用此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用因为D 为BC 中点，所以BD 、DC 可表示为2x，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程解：设BC 边为ｘ，则由D 为BC 中点，可得BD ＝DC ＝2x，在△ADB 中，cos ADB ＝,2425)2(42222222x xBDAD AB BD AD ⨯⨯-+=⋅⋅-+在△ADC 中，cos ADC ＝.2423)2(42222222x x DCAD AC DC AD ⨯⨯-+=⋅⋅-+又∠ADB ＋∠ADC ＝180°∴cos ADB ＝cos （180°－∠ADC ）＝－cos ADC∴2423)2(42425)2(4222222x x x x ⨯⨯-+-=⨯⨯-+ 解得，ｘ＝2, 所以，BC 边长为2评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sin A ，思路如下：由三角形内角平分线性质可得35==DC BD AC AB ，设BD ＝5ｋ，DC ＝3ｋ，则由互补角∠ADC 、∠ADB 的余弦值互为相反数建立方程，求出BC 后，再结合余弦定理求出cos A ，再由同角平方关系求出sin A 例8、若,,a b c 是三角形的三边长，证明长为,,a b c 的三条线段能构成锐角三角形．错解： 不妨设0a b c <≤≤，只要考虑最大边的对角θ为锐角即可．()()()222cos 22a b c a b ca babθ+-+-==．由于,,a b c 是三角形的三边长，根据三角形三边关系，有a b c +>， 即cos 0θ>．∴长为,,a b c 的三条线段能构成锐角三角形．辨析： 三条线段构成锐角三角形，要满足两个条件：①三条边满足三角形边长关系；②最长线段的对角是锐角．显然错解只验证了第二个条件，而缺少第一个条件．正解： 由错解可得cos 0θ>．又∵a b c +-＝()()a b ca b ca b c+-++++＝2()a b c a b c +-++＝2a b c aba b c a b c+-+++++>0． 即长为,,a b c 的三条线段能构成锐角三角形． 例9、在△ABC 中，62c =+，30C =，求a b +的最大值．错解： ∵30C =，∴150A B +=，150B A =-． 由正弦定理，得()62sin sin 30sin 150a b A A +==-， ∴()262sin a A =+，()()262sin 150b A =+-．又∵sin 1A ≤，()sin 1501A -≤，∴()()262262a b +≤+++()462=+．故a b +的最大值为()462+．辨析： 错因是未弄清A 与150A -之间的关系．这里A 与150A -是相互制约的，不是相互独立的两个量，sin A 与()sin 150A -不能同时取最大值1，因此所得的结果也是错误的．正解： ∵30C =，∴150A B +=，150B A =-． 由正弦定理，得()62sin sin 30sin 150a b A A +==-． 因此()()262sin sin 150a b A A ⎡⎤+=++-⎣⎦ ()()262sin 75cos 75A =+⋅-()()62462cos 754A +=+- ()()843cos 75843A =+-≤+．∴a b +的最大值为843+．【课堂小练】1在△ABC 中，已知B =30°,b =503,c =150，那么这个三角形是( )A 等边三角形B 直角三角形C 等腰三角形D 等腰三角形或直角三角形 2在△ABC 中，若b 2sin 2C +c 2sin 2B =2bc cos B cos C ，则此三角形为( )A 直角三角形B 等腰三角形C 等边三角形D 等腰直角三角形 3在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C =6∶5∶4，则sec A =4△ABC 中，BAB A sin sin tan tan =，则三角形为在△ABC 中，角A 、B 均为锐角且cos A ＞sin B ，则△ABC 是6已知△ABC 中，A bB a c cb ac b a cos cos 2222==-+-+且，试判断△ABC 的形状 7在△ABC 中，（a 2+b 2）sin(A -B )=(a 2-b 2)sin(A +B )，判断△ABC 的形状参考答案：1D 2A 3 8 4等腰三角形5钝角三角形6等边三角形 7等腰三角形或直角三角形【课堂总结】进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解能力 解斜三角形基本类型 一般解法一边两角 先由内角和定理求第三角，再由正弦定理求另两边 两边夹角 先用余弦定理求第三边，再由正弦定理与内角和定理求角 三边由余弦定理和内角和定理求角两边和其中一边的对角先由正弦定理求另一边的对角，再由内角和定理与正弦定理求其余的边和角或者由余弦定理和解一元二次方程求边（解的情况可以确定）【课后练习】1、在△ABC 中，已知)sin()sin(sin sin C B B A C A --=，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列 证明：由已知得sin （B ＋C ）sin （B －C ）＝sin （A ＋B ）·sin （A －B ）cos2B －cos2C ＝cos2A －cos2B ⇒2cos2B ＝cos2A ＋cos2C22cos 122cos 122cos 12BA B -+-=-⋅∴2sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C由正弦定理可得2b 2＝a 2＋c 2, 即a 2，b 2，c 2成等差数列2、 在△ABC 中，A ＝30°，cos B ＝2sin B －3sin C(1)求证：△ABC 为等腰三角形；(提示B ＝C ＝75°)(2)设D 为△ABC 外接圆的直径BE 与AC 的交点，且AB ＝2，求AD ∶DC 的值答案：（1）略 （2）1∶33、在△ABC 中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的 三边长分析：由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系，故需利用正弦定理建立边角关系其中αααcos sin 22sin =利用正弦二倍角展开后出现了cos α，可继续利用余弦定理建立关于边长的方程，从而达到求边长的目的解：设三角形的三边长分别为ｘ，ｘ＋1，ｘ＋2，其中ｘ∈Ｎ*，又设最小角为α，则ααααcos sin 222sin 2sin ⋅+=+=x x x ,xx 22cos +=∴α①又由余弦定理可得ｘ2＝（ｘ＋1）2＋（ｘ＋2）2－2（ｘ＋1）（ｘ＋2）cos α将①代入②整理得：ｘ2－3ｘ－4＝0 解之得ｘ1＝4，ｘ2＝－1(舍) 所以此三角形三边长为4，5，6评述： 此题所求为边长，故需利用正、余弦定理向边转化，从而建立关于边长的方程4、已知三角形的一个角为60°，面积为103c ｍ2，周长为20c ｍ，求此三角形的各边长分析：此题所给的题设条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的基本元素，但是都与三角形的边长有关系，故可以设出边长，利用所给条件建立方程，这样由于边长为三个未知数，所以需寻求三个方程，其一可利用余弦定理由三边表示已知60°角的余弦，其二可用面积公式Ｓ△ABC ＝21ab sin C 表示面积，其三是周长条件应用解：设三角形的三边长分别为a 、b 、c ，B ＝60°，则依题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=︒⋅-+=︒2031060sin 21260cos 222c b a ac ac b c a ⎪⎩⎪⎨⎧=-+==++∴4020222ac ac c a b c b a 由①式得：b 2＝［20－（a ＋c ）］2＝400＋a 2＋c 2＋2ac －40（a ＋c ） ④ 将②代入④得400＋3ac －40（a ＋c ）＝0 再将③代入得a ＋c ＝13由⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==+588540132211c a c a ac c a 或解得 ∴b 1＝7，b 2＝7所以，此三角形三边长分别为5c ｍ，7c ｍ，8c ｍ评述： (1)在方程建立的过程中，应注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面积公式的应用(2)由条件得到的是一个三元二次方程组，要注意要求学生体会其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及运算能力5、已知△ABC 中，C=3B,求cb的取值范围。

正弦定理的公式是什么正弦定理的公式是什么sin^2(α/2)=(1-cosα)/2。

在直角三角形中，∠A(非直角)的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，故记作sinA，即sinA=∠A的对边/∠A的斜边古代说法，正弦是股与弦的比例。

古代说的“勾三股，四弦五”中的“弦”，就是直角三角形中的斜边。

股就是人的大腿，长长的，古人称直角三角形中长的那个直角边为“股”;正方的直角三角形，应是大腿站直。

正弦是∠α(非直角)的对边与斜边的比值，余弦是∠A(非直角)的邻边与斜边的比值。

勾股弦放到圆里。

弦是圆周上两点连线。

最大的弦是直径。

把直角三角形的弦放在直径上，股就是长的弦，即正弦，而勾就是短的弦，即余弦。

按现代说法，正弦是直角三角形某个角(非直角)的对边与斜边之比，即：对边/斜边。

余弦定理是什么余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求三角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

高中数学正弦定理公式数学正弦定理公式：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R;余弦定理公式：cosA=(b?+c?-a?)/2bc。

正余弦定理指正弦定理和余弦定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决三角形的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

一、正弦定理推论公式1、a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC。

2、a:b=sinA:sinB;a:c=sinA:sinC;b:c=sinB:sinC;a:b:c=sinA:sinB:sinC。

二、余弦定理推论公式1、cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc;2、cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac;3、cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab。

正弦定理正弦定理（The Law of Sines）是三角学中的一个基本定理，它指出“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D（r为外接圆半径，D为直径）。

定理定义在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R，直径为D。

则有：一个三角形中，各边和所对角的正弦之比相等，且该比值等于该三角形外接圆的直径（半径的2倍）长度。

[3]验证推导证明一做一个边长为a，b，c的三角形，对应角分别是A，B，C。

从角C向c边做垂线，得到一个长度为h的垂线和两个直角三角形。

很明显：和因此：和同理：证明二：外接圆①锐角三角形中如图，作△ABC的外接圆，O为圆心。

连结BO并延长交圆于D，设BD=2R。

根据直径所对圆周角是直角及同弧所对圆周角相等，可得:∠DAB=90°，∠C=∠D。

∴，∴。

同理可证, 。

∴。

②直角三角形中因为BC =a= 2R，可以得到所以可以证明③钝角三角形中线段BD是圆的直径根据圆内接四边形对角互补的性质所以因为BD为外接圆的直径BD = 2R。

根据正弦定义变形可得根据以上的证明方法可以证明得到得到三角形的一条边与其对角的正弦值的比等于外接圆的直径，即证明三：向量若△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j⊥,则j与的夹角为90°-∠A,j与的夹角为90°-∠C.由向量的加法原则可得为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,得到∴|j| ||Cos90°+|j| || Cos(90°-C)=|j| ||Cos(90°-A).∴asinC=csinA即同理,过点C作与垂直的单位向量j, 则j与的夹角为90°+∠C, j与的夹角为90°+∠B,可得若△ABC为钝角三角形,不妨设A>90°,过点A作与AB垂直的单位向量j, 则j与AC的夹角为∠A-90°,j与CB的夹角为90°+∠B. 同理a·Cos(90°-B)=b·Cos(A-90°),∴asinB=bsinA 即过点C作与垂直的单位向量j, 则j与的夹角为90°+∠C,j 与的夹角为90°+∠B,可得综上，。

正弦定理的几种证明方法正弦定理是初中数学中常见的定理，它描述了三角形内部三条边和三角形内角的关系。

在数学教学中，有多种证明正弦定理的方法，每种方法都有其独特的思路和逻辑，下面我们将介绍几种常见的证明方法。

第一种证明方法是利用三角形的面积公式。

我们知道，三角形的面积可以表示为S=1/2ab*sinC，其中a、b分别为任意两边的长度，C为这两边之间的夹角。

根据这个公式，我们可以推导出正弦定理。

假设有一个三角形ABC，其三边分别为a、b、c，夹角分别为A、B、C。

根据三角形的面积公式，我们有S=1/2ab*sinC，S=1/2bc*sinA，S=1/2ac*sinB。

将这三个式子分别除以abc，得到sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R，其中R为三角形的外接圆半径。

整理得到sinA/a=sinB/b=sinC/c，这就是正弦定理的形式。

第二种证明方法是利用三角形的内切圆。

我们知道，一个三角形的内切圆对三条边分别作了切线，这些切线对三角形的边所作的切点就构成一个三角形。

根据内切圆的性质，这个三角形的边长与原三角形的边长之比就满足正弦定理。

第三种证明方法是利用余弦定理。

正弦定理和余弦定理是三角形中最基本的两个定理之一，它们之间有密切的联系。

我们可以利用余弦定理推导正弦定理。

假设有一个三角形ABC，其三边分别为a、b、c，夹角分别为A、B、C。

根据余弦定理，我们有c^2=a^2+b^2-2ab*cosC。

根据正弦定理中的关系sinC=c/(2R)，其中R为三角形的外接圆半径。

将sinC的表达形式代入余弦定理中，整理得到a^2+b^2-2ab*cosC=4R^2*sinC^2。

然后再利用三角恒等式sin^2x+cos^2x=1，将sinC^2用1-cosC^2来表示，最终得到a^2+b^2-2ab*cosC=a^2+b^2-2ab*cosC，这就是正弦定理的形式。

以上是三种常见的证明正弦定理的方法，每种方法都有其独特的优势和适用范围。

初中数学什么是正弦定理在初中数学中，正弦定理是指在任意三角形中，三条边的比值等于对应角的正弦值的比值。

下面将详细介绍正弦定理的定义、证明和应用。

1. 正弦定理的定义：在任意三角形ABC中，设三角形的三边分别为a、b和c，对应角分别为A、B和C，则有a/sinA = b/sinB = c/sinC。

2. 正弦定理的证明：正弦定理有多种证明方法，其中最常用的是利用面积的性质进行证明。

具体证明步骤如下：-步骤1：将任意三角形ABC分成两个小三角形ABD和ACD，其中D点是在BC边上任意选取的一点。

-步骤2：由三角形的面积公式可知，三角形的面积等于底边长乘以高的一半。

-步骤3：根据步骤2的公式，可以得到ABD和ACD两个小三角形的面积公式，分别为S1 = (1/2) * a * h1和S2 = (1/2) * b * h2。

-步骤4：由于ABD和ACD两个小三角形共用一条边AD，因此它们的高相等，即h1 = h2。

-步骤5：将步骤3和步骤4的公式代入正弦定理的等式中，得到a/sinA = b/sinB的等式。

-步骤6：同理，可以得到b/sinB = c/sinC的等式。

-步骤7：由于步骤5和步骤6的结果相等，因此可以得到a/sinA = b/sinB = c/sinC的正弦定理的等式。

3. 正弦定理的应用：-求解缺失的边长：正弦定理可以用于求解任意三角形中缺失的边长。

如果已知一个角的度数和与之相对的另一条边的长度，可以利用正弦定理计算出另外两条边的长度。

-判定三角形的形状：正弦定理可以用于判断三角形的形状。

如果一个三角形的三条边之间满足正弦定理的等式，那么这个三角形就是锐角三角形；如果其中一条边的长度大于或等于另外两条边的长度之和，那么这个三角形就是钝角三角形。

-解决与三角形相关的几何问题：正弦定理可以应用在各种涉及三角形的几何问题中，如求解三角形的面积、判断三角形的相似性等。

总结起来，正弦定理是在任意三角形中，三条边的比值等于对应角的正弦值的比值。

如何证明正弦定理 正弦定理是高中数学中的一个重要定理，用于解决三角形中的各种问题。

它表明，在任意三角形ABC中，三条边a、b、c和对应的角A 、B、C之间存在着如下关系：a/sinA = b/sinB = c/sinC 下面将详细介绍如何证明正弦定理。

我们将使用几何和三角函数的一些基本概念和性质来进行推导。

1. 从三角形ABC出发，延长边AC，使其过点B，与边AB交于一点D。

2. 我们将证明三角形ABC与三角形CBD之间存在相似关系。

由于三角形ABC与三角形CBD有一个公共角B，所以只需证明角C和角D相等即可。

3. 角C是三角形ABC的内角，角D是三角形CBD的内角，根据三角形内角和等于180度的性质，我们有角C+角D=180度。

4. 接下来，我们利用三角恒等式来进一步证明角C和角D相等。

利用三角形ABD和BCD中的正弦定理，我们可以得到：a/sinA = b/sinB （三角形ABD）b/sinC = c/sinD （三角形BCD） 将这两个等式联立起来，可以得到 a/sinA = c/sinD 5. 接下来，我们再观察三角形ABC和三角形CBD的共边BC，以及三角形对边AC和BD。

它们都共享相同的角B，根据正弦定理可以得到：a/sinA = c/sinD 再次使用三角恒等式，我们可以得到 sinA/sinD = sinC 再进一步化简，可以得到 sinA/sinC = sinD 6. 根据三角恒等式的性质，我们知道 sinA/sinC = sinD 等价于sinC/sinA = sinD 因此，最终我们得到 sinC/sinA = sinD 7. 再进一步观察，我们可以发现 sinC/sinA = c/a，代入之前的等式可以得到 c/a = sinD或者写成 a/sinA = c/sinD 8. 综上所述，我们得到了 a/sinA = b/sinB = c/sinC，即正弦定理的表达式。

数学公式：正弦定理公式
正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中 R 表示三角形的外接圆半径
余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c 的夹角
圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圆心坐标
圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4Fgt;0
抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积S=c’*h
正棱锥侧面积S=1/2c*h’ 正棱台侧面积
S=1/2(c+c’)h’
圆台侧面积S=1/2(c+c’)l=pi(R+r)l 球的表面积
S=4pi*r2
圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积
S=1/2*c*l=pi*r*l
弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r gt;0 扇形面积公式 s=1/2*l*r
锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式
V=1/3*pi*r2h
斜棱柱体积V=S’L 注：其中,S’是直截面面积， L 是侧棱长
柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h
小编为大家整理的数学公式：正弦定理公式就先到这里，希望大家学习的时候每天都有进步。

正弦角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA（由英语sine一词简写得来），即sinA=角A的对边/斜边古代说法，正弦是股与弦的比例。

古代说的“勾三股四弦五”中的“弦”，就是直角三角形中的斜边. 股就是人的大腿，长长的，古人称直角三角形中长的那个直角边为“股”;正放的直角三角形，应是大腿站直。

正弦是股与弦的比例，余弦是余下的那条直角边与弦的比例。

正弦=股长/弦长勾股弦放到圆里。

弦是圆周上两点连线。

最大的弦是直径。

把直角三角形的弦放在直径上，股就是长的弦，即正弦，勾就是短的弦，即余下的弦——余弦。

按现代说法，正弦是直角三角形的对边与斜边之比。

现代正弦公式是sin = 直角三角形的对边比斜边. 如图，斜边为r，对边为y，邻边为x。

斜边与邻边夹角asin=y/r无论y>x或y≤x无论a多大多小可以任意大小正弦的最大值为1 最小值为-1三角形公式1.已知三角形三边a,b,c，则（海伦公式）（p=(a+b+c)/2）S=sqrt[p(p-a)(p-b)(p-c)]=（1/4）[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]2.已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝1/2 * absinC，即两夹边之积乘夹角的正弦值。

3.设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r则三角形面积=(a+b+c)r/24.设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R 则三角形面积=abc/4R5..海伦——秦九韶三角形中线面积公式:S=√[(a+b+c)*(b+c-Ma)*(c+a-b)*（a+b-c)]/3函数函数是数学中的一种对应关系，是从非空数集A到实数集B的对应。

简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数。

精确地说，设X是一个非空集合，Y是非空数集，f是个对应法则，若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素y与之对应，就称对应法则f是X上的一个函数，记作y＝f（x），称X为函数f（x）的定义域，集合{y|y=f（x），x∈R}为其值域（值域是Y的子集），x叫做自变量，y叫做因变量，习惯上也说y是x的函数。

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。

即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径的两倍）
证明：
方法1.
在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。

作CH⊥AB垂足为点H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中，
b/sinB=c/sinC
方法2.
证明a/sin=b/sinB=c/sinC=2R：
任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
作直径BD交⊙O于D. 连接DA.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.
所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R
类似可证其余两个等式。

方法3
记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c ∴a+b+c=0 则i（a+b+c）
=i·a+i·b+i·c
=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)
=-asinC+csinA=0
接着得到正弦定理。