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正定矩阵概念及例题(课堂PPT)

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高等代数课件§6.3 正定二次型与正定矩阵

高等代数课件§6.3 正定二次型与正定矩阵

f

x2 1

x2 2

5
x2 3
2t x1x2
2x1x3 4x2 x3
为正定二次型?
解
二次型的矩阵为
A


1 t 1
t 1 2
251 ,
要使二次型为正定二次型 , 则A的各阶顺序 主子式均为正 , 即
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
1＞0
（1） xTAx ＞0 ，则称 f 为正定二次型，
相应地矩阵A称为正定矩阵；
（2） xTAx ＜0 ，则称 f 为负定二次型，相应
地矩阵A称为负定矩阵；
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
（3）xTAx≥ 0 ，则称 f 为半正定二次型，相应
地矩阵A称为半正定矩阵；
（4）xTAx ≤0 ，则称 f 为半负定二次型，相应
0 1 2
2

5 2

2 6
2 0
2 0 4
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
解 (1) 2＞0,
2 2
1 2
5＞0,
2 1 0
1 2 1 4＞0, ∴该矩阵为正定矩阵.
0 1 2
解 (2)∵-5＞0, 5 2 26 ＞0, 2 6
, 1t
t 1
1 t 2＞0,
1t t1
1
2 5t 2 4t ＞0,
1 2 5
1 t 2＞0
因此

5t
2

4t ＜0
解之得 4＜t＜0 5
故当 4 ＜t＜0 时,该二次型为正定二次型. 5

《线性代数教学PPT》二次型的正定型

《线性代数教学PPT》二次型的正定型

P2


5 2
2 26 0,
6
P3 | A | 80 0,
f 负定.
数
即 (-1)k Pk > 0 (k = 1, 2, 3) = =
基本要求
线
(1)理解二次型的概念,掌握二次型的矩阵表示, 性 了解二次型的秩、合同矩阵与合同变换、惯
性定理等概念.
代
(2)掌握用正交变换化二次型为标准形的方法,
线
若f (x) xT Ax正定,即x Rn , x 0, 恒有xT Ax 0,
性
于是y Rn , y 0,有Cy 0(否则Cy 0,则C 1Cy 0,
即y 0,这与y 0矛盾),因此y Rn , y 0,有
代
yT (CT AC) y (Cy)T A(Cy) 0
线
解
A t 4 0
需
1 0 2
性
P1 1 0,

P2
1
t
t 4 t 2 0,
4
P3 | A | 4 2t 2 0,
代
4 2t2 0

4

t2

0
数
=
2t 2
所以，当 2 t 2 时f 为正定次型
所以,二次型yT (CT AC) y正定.同理可证,当
数
yT (CT AC) y正定时, 有xT Ax正定.
命题1亦表明A与CT AC有相同的正定性.即合同的
=
矩阵有相同的正定性.
=
例 设A, B 都是n 阶正定矩阵. 证明：kA + lB
也是正定矩阵 (k > 0, l > 0).

正定二次型及正定矩阵.ppt

正定二次型及正定矩阵.ppt
1 4 为半正定矩阵 6 0
2 2 ( 3) f x1 , x 2 x1 3 x 2 为负定二次型
1 为负定矩阵。 3 2 2 (4) f x1 , x2 , x3 x1 3 x2 为半负定二次型
交矩阵P，使得P T AP , 其中 diag(1 , 2 , , n )
对于任意非零向量 x x T Ax x T ( P 1 )T P 1 x ( P 1 x )T ( P 1 x )
T 设y P 1 x （y1 , y2 ,, yn） , 则y为非零向量
1
1
2
1
E n
设C PQ, 则C T AC E , 所以A与单位阵合同。
若A与单位阵合同，则存在可逆矩阵C,使A=
CTEC= CTC，则对于非零向量x xT Ax xT C T Cx (Cx )T (Cx )
C可逆，x 0, 故Cx 0，则(Cx )T (Cx ) 0 所以f正定。
1 3 为半负定矩阵。 0 2 2 (5) f x1 , x 2 x1 3 x2 为不定二次型
1 为不定矩阵。 3
二、正(负)定二次型的判别
准则1 对称矩阵A为正定的充分必要条件是： A的 特征值全为正． 证明 必要性 假设i ( i 1,2 , n)为A的特征值， i 为对应于i的
第六章
二次型
中南财经政法大学信息系
一、正(负)定二次型的概念
定义6.6 具有实对称矩阵A的n元二次型为
f X X AX
T
x1 x 1) 如果对于任意的非零向量 X＝ 2 ，都有 xn

正定矩阵

正定矩阵

5.4 正定矩阵 5.4.1 正定矩阵[1] 二次型的分类n 个变数的二次型∑===nj i Tji ij n x A x x x a x x q 1,1),,( ，其实就是定义在n R 的一个二次齐次函数，对n R 的每个特定向量q x ,0对应一个函数值)(0x q ，依据)(x q 值的符号，在教材184页上给出了二次型的分类定义：1．正定二次型。

若对一切nR x ∈，当0)(0>=⇒≠Ax x x q x T称二次型)(x q 正定。

显然，正定二次型也就是函数值定正的二次型（当然有唯一的例外，0=x 时，0=q ）。

2．正半定（或半正定）二次型。

若对一切nR x ∈，皆有0)(≥=Ax x x q T，且至少有一 00≠x 能使0)(0=x q .3．负定。

对二次型Ax x x q T=)(，当(-q )为正定时，称q 为负定二次型。

4．负半定（或半负定）。

对二次型Ax x x q T=)(，当(-q )为正半定时，称q 为负半定二次型。

5．不定二次型。

若二次型Ax x q T=既能取正值，又能取负值，称为不定二次型。

容易明白，对标准形的二次型（以下给出的均为充要条件）。

若系数全正为正定二次型；若系数全为非负，且至少有一为0，则为正半定二次型； 若系数全负为负定二次型；若系数全为非正，且至少有一为0，则为负半定二次型； 若系数有正、有负，则为不定二次型。

对于不是标准形的二次型，为确定其类型，可通过化成标准形，并依据惯性律而作出判断。

例19 设n a a a ,,,21 是n 个实数，问它们满足什么条件时，二次型212322221121)()()(),,,(x a x x a x x a x x x x q n n n ++++++=是正定二次型。

解 乍一看，这是n 个带正系数1的平方项之和，应明显是正定的。

但与定义一对照，发现这并非是二次型的标准形，每一项都是线性型而非单独变换的平方。

经济学的数学工具教学-第四章 二次型和正定矩阵-PPT精品文档

经济学的数学工具教学-第四章 二次型和正定矩阵-PPT精品文档
xA j x j A x i i j，同理， ( xA (x 由于 x j x i 是数量， j x i) i x jx i ) xx j xA j，则 i i x 而A对称，故 xAx 0 ( xx i j) i j
由于 i j ，则 xix j 0
第四章
二次型和正定矩阵
• 在本章中，我们将介绍特征值和特征向量， 然后介绍由特征向量组成的矩阵，并且运 用这些知识来判断二次型的正定性，与此 同时，我们也介绍特征值与行列式、秩、 迹的关系，最后我们介绍用行列式来判断 二次型正定性的方法，作为特征值方法的 补充。
第一节 引言
• 二次型 完整形式：
• 定理 如果 A 为对称矩阵，那么其所有特征值都为实数。 例
2 A 2 2 1
2 2 2 A I ( 2 ) ( 1 ) 2 3 21
则 A I 0为二次方程
其两个特征值为 1 0 和 2 3
定理 如果A为对称矩阵，那么对应着不同特征值的特征向量正 交。
• 证明 令 i 和 j 是两个不同特征值，分别对应于特征向量 x i 和 x 。 j 那么有 Axj j xj Axi i xi 分别左乘 x j 和 x i ，有 j xA x x i x j xx i j jA i ix jx i
已知A的两特征值为 1 0 和 2 3
1 0
I)x0得到 Ax 0 由(A 1
即
2 2
2 x1 0 1 x2
由方程可得 x2 2x1，那么 作为特征向量我们取
1 2 2 2 x x 1 3 x 1 x 1 2 1 1 3

线性代数 第4节 正定矩阵

线性代数 第4节 正定矩阵
求得 A 的特征值为 2, 2 3 ，
全为正， 因此二次型正定.
7
n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是 A 的 准则2 顺序主子式全大于零. 证略.
其中 A (aij )nn 的 k 阶顺序主子式是指行列式
a11 | Ak | a 21 ak 1
a12 a 22
a1k a2k ,
i 1 j 1
T 取 X i (0, ,1, ,0) ，则有
n
n
f ( X i ) aii 0, (i 0,1,.n) .
4.若 A 和 B 为正定矩阵，则 A+B 也为正定矩阵. 证 对任意非零向量X ，
X T ( A B) X X T AX X T BX 0 .
设 B T AB 为正定阵, 必要性：
这就是说,齐次线性方程组Bx 0 只有零解,
因此 B 列满秩,即 r ( B) n ；
T T T T T 充分性: 因为 ( B AB ) B A B B AB ,
可见 B AB 为实对称阵.
T
将上述过程逆推,即可得证.
23
T
证
因为 ( A A) A A , 故 A A 是 n 阶对称矩阵.
T T
T
T
又 r( A) n ，可知齐次线性方程组AX o 仅有零解，
于是 所以对任意 X o ，必有AX o ，
X T ( AT A) X ( AX )T ( AX ) 0 ,
即二次型 X T ( AT A) X 为正定二次型，
即矩阵 A A 为正定， A 的秩 r ( A) n ， A A 为 且 则 正定矩阵.
T
类似结论有：

正定矩阵ppt


X
T i
O)A
Xi O
0.
即Ai为正定矩阵,故其行列式 Ai 0.
, xi ),
14
充分必要性.设矩阵A的所有顺序主子式>0.要证 明A是正定矩阵.用数学归纳法证明.n=1时显然:
a11 0, x1 0,a11 x12 0.
设对于n－1结论成立.An-1正定,存在n-1阶非退化矩
阵G,使得
2 5 0 2 5 0 2 0 7 2 0 7
5
( 6)( 5)( 7) 4( 5) 4( 7) ( 6)( 5)( 7) 8 48 ( 6)( 2 12 35) 8( 6) ( 6)( 2 12 27) =( 3)( 6)( 9).
定义 如果实二次型f=XTAX对于某些向量X为 正数,并且对于对于某些向量X为负数,则称二 次型是不定的.
2
二、正定矩阵的充分必要条件
定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是其 特征值都是正数.
证明 设实对称矩阵A的特征值 1, ,n 都是正数. 存在正交矩阵Q,使得 QTAQ= , 为对角矩阵, 其对角线元素为1, ,n , 对于X O, 令Y Q1X ,
X T P T PX (PX )T PX PX 2 0.
设A正定,则A合同于单位矩阵,即存在可逆矩 阵,使得A=PTEP=PTP.
10
例 A正定,B实对称,则存在可逆矩阵R, 使得 RTAR和RTBR同时为对角形. 证明存在P,使得PTAP=E,PTBP实对称,存在正交 矩阵Q,使得 QTPTBPQ=D为对角形,令R=PQ,则
C2TC1T AC1C2
En1
TG
O 1
En1
TG
G T
ann
En1 O
GT

北京航空航天大学线性代数第六章64正定二次型和正定矩阵.ppt

北京航空航天大学 数学与系统科学学院
答疑时间：星期二晚上18:00－20:30 星期四晚上18:00－20:30
答疑地点：J4-102 Email: liyongzhu@
朱立永
线性代数
第六章 二次型
§6.1 二次型及其矩阵表示 §6.2 化二次型为标准形 §6.3 惯性定理 §6.4 正定二次型和正定矩阵
线性代数
§6.4 正定二次型和正定矩阵
定义6.4.1 设 f (x1, x2 ,, xn ) X T AX 为n元
实二次型. 若对于任意非零实向量 X
(x1, x2, , xn )T 0 ,都有
f (x1, x2 , , xn ) X T AX＞0 则称实二次型 f 为正定二次型;相应的实对 称矩阵 A称为正定矩阵.
件是 A的特征值全大于0,从而正定矩阵的
行列式大于0. 证 由定理5.3.5,必有正交矩阵 Q ,使
线性代数
1
QT AQ Q1AQ B
2 ,
n
其中,1, 2, , n 是 A 的全部特征值.因为
，
A正定的充要条件是B 正定.而 B对应的
二次型为
，
Y T BY
1 y12
2
y
2 2
n
y
2 n
由定理6.4.1可知,该二次型正定的充分必
要条件是 i 0(i 1, 2, , n).
线性代数
由于 A B 12 n＞ 0 ,即正定矩阵 的行列式大于0.证毕.
例6.4.1 判断实二次型 f (x1, x2, x3)
3x12 3x22 x32 4x1x2 的正定性.
，
解 二次型 f 的矩阵为
A3 A t
1

实二次型的正定性与正定矩阵

【解析】要注意首先要说明 AT A 是实对称矩阵.
【法一】由A可逆, 则有 AT A AT EA , 则AT A与单位阵合
同, 所以 AT A正定.
【法二】由A可逆, 则对任意n维实列向量X≠O, 有 AX≠O, X T AT AX ( AX )T AX 0, 所以 AT A 正定.
矩阵之间的关系
A的特征值均大于0 A与单位阵E合同 存在可逆阵P, 使得 A PT P A的各阶顺序主子式 > 0
例3 设A为n阶正定矩阵, E为n阶单位阵, 证明 A E 1
例4 A为n阶实对称矩阵, 且满足 A3 2A2 4A 3E O,
证明A为正定矩阵. 例5 证明
（1）若 An 正定，有实数域上矩阵 Pnm ，r(P) m n ，
2 4 5
例2 若二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x12 x22 x32 2 x1 x2 tx2 x3 是正定的, 则 t 的取值范围?
【解析】已知二次型正定,反求其中未知参数的取值范围一般用
顺序主子式求解.
2 1 0
二次型矩阵为
A2 1
21 0
——负定
2 2 2
(4)
XT
2
5
4
X
判断是否正定？
2 4 5
二、正定矩阵的充分必要条件
准则1 n阶实对称矩阵A正定 A的特征值全为正数.
2 2 2
例1
判断矩阵
A
2 2
5 4
4 5
是否为正定矩阵？
【解析】可求得A的全部特征值为1(二重)和10, 则该实对称矩阵A
的特征值全大于0, 故A为正定矩阵.
对于负定矩阵有类似的结论
A正定 -A负定 二次型 f 为正定 二次型 -f 为负定

正定矩阵的定义概念

正定二次型
★正定二次型和正定矩阵的概念 ★判别二次型或矩阵正定的方法
正定二次型是二次型中讨论最多的类型，本节 结合二次型的标准型中系数给出正定二次型的概念， 并给出了判定二次型正定及实对称矩阵的几种方法。
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正定二次型和正定矩阵的概念
二次型的标准形不是唯一的。 标准形中所含项数是确定的( 即是二次型的秩 )。 限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数是 不变的。
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第五章主要方法
一) 方阵的特征值与特征向量的求法
(1).计算A的特征多项式 f ( ) | A E |;
(2).求出f ( ) 0的全部根 ,即A的全部特征值 ;
( 3).把A的 特 征 值 逐 个 代 入 齐 线 次性 方 程 组 ( A E ) x 0, 并 求 出 这 个 方 程 组 的 个 一基 础 解 系, 则 这 个 基 础 解 系 的 非 线 零性 组 合 就 是 A的 属 于特征值 的 全 部 特 征 向 量 .
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3 1 0 例16 判定对称矩阵 A 1 3 0 正定性。 0 0 3 解 方法一 因为a11 3 0,
a11 a12 a21 a22
3 1 0 3 1 8 0, | A | 1 3 0 24 0, 1 3 0 0 3
1.定义法： 2. 用霍尔维兹定理： A 的各阶主子式都为正， 则A 是正定的; 3. 用A的特征值： A 的特征值全为正，则A 是正定的; 4. 化A所对应的二次型为标准形,根据标准形 中的正平方项个数判断;
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由实二次型的矩阵表示及对称矩阵的正定性判 别法知，判断二次型的正定性也有两种方法。 一是利用对称矩阵A 的正定性。若二次型 f 的 对称矩阵A 是正定的，则f 是正定二次型；若A 是 负定的，则 f 也是负定二次型。 二是将 f 化为标准形。若其标准形的 n 个系数 全为正，则 f 是正定的；若 f 的标准形的 n 个系数 全为负，则 f 是负定的。 由于将 f 化为标准形非常复杂，因此第二种方 法一般不用。
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并称对称阵 A 是负定的 ，记作 A < 0 。 定理12 实二次型 f xT Ax 为正定的充分
必要条件是：它的标准形的 n 个系数全为正。
证
设可逆变换
x
Cy使
n
f ( x) f (Cy) kyi2 . i 1
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先证充分性 设ki 0(i 1,2,
, n).任给x
证
因为A
为正定，所以对任意
x
0,
有f xT Ax 0, 取x eiT (0, ,1, ,0),
则xT
Ax
aii
0(i
1,2,
, n).
上页
1返5 回
第五章小结
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例16
3 判定对称矩阵 A 1
1 3
0 0
正定性。
0 0 3
解 方法一 因为a11 3 0,
310
a11
a12 3
1 8 0,
| A | 1
3
0 24 0,
a21 a22 1 3
003
所以A 是正定的。
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方法二：A 的特征多项式为
3 1 0 | A E | 1 3 0 (2 )(3 )(4 ),
正定二次型
★正定二次型和正定矩阵的概念 ★判别二次型或矩阵正定的方法
正定二次型是二次型中讨论最多的类型，本节 结合二次型的标准型中系数给出正定二次型的概念， 并给出了判定二次型正定及实对称矩阵的几种方法。
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正定二次型和正定矩阵的概念
二次型的标准形不是唯一的。
标准形中所含项数是确定的( 即是二次型的秩 )。
问取何值时, f为正定二次型.
1 1
解 f 的矩阵是 A 4 2 ,
1 2 4
A 的各阶主子式为：
a11
0,
a11 a21
a12 1
a22
4 2 0,
4
A 4( 1)( 2) 0,
解得 2 1时,二次型为正定的.
上页 下页 1返2 回
Ex.11 判别二次型 f x12 2 x1 x2 4 x1 x3 x32
二是将 f 化为标准形。若其标准形的 n 个系数 全为正，则 f 是正定的；若 f 的标准形的 n 个系数 全为负，则 f 是负定的。
由于将 f 化为标准形非常复杂，因此第二种方 法一般不用。
上页 下页 1返0 回
例17 判别二次型 f 5x2 6 y2 4z2 4xy 4xz
的正定性。
的各阶主子式都为正。即
a11
0,
a11 a21
a12
0,
a11 ,
a22
an1
a1n 0; ann
对称阵 A 为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为
负，而偶数阶主子式为正。即
a11 a1r (1)r 0,(r 1,2, , n).
ar1 arr 这个定理称为霍尔维兹定理。
上页 下页 返5 回
证
有f
xT
A因x为A0,为作正x定，C所y,以则对f 任意yTx(CT0A, C ) y,
由x
0及C可逆,
得y
C
1
x
0,
从而
f xT Ax yT (C T AC ) y 0,
即C TAC是正定的。
上页 下页 1返4 回
Ex.12 证明：若实对称矩阵A = ( aij ) 为正定矩阵， 则 aii > 0 ( i =1, 2, …, n ).
0 0 3
故A的特征值为1 2, 2 3, 3 4.从而知A是
正定的.
上页 下页 返9 回
判别二次型正定的方法
由实二次型的矩阵表示及对称矩阵的正定性判 别法知，判断二次型的正定性也有两种方法。
一是利用对称矩阵A 的正定性。若二次型 f 的 对称矩阵A 是正定的，则f 是正定二次型；若A 是 负定的，则 f 也是负定二次型。
限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数是
不变的。
它的定秩理是1r1，( 惯有性两定个理实的) 可设逆有变实换二x次型Cyf与 xxTAPx,z,
使
k1 y12 k2 y22 kr yr2 , (ki 0)
及
1z12 2z22 r zr2 , (i 0)
则k1, k2 , , kr中正数的个数与1, 2 , , r中正数的
0,
则C
1
x
0, 故
f
(
x)
n
ki yi2 0.
i 1
当显y然C再ese时证s ,必0(.要这单性与位：假坐用设标反向f 证量正法定) 时。矛，假盾f设(，C故有esk)kis≤k00s., 则0,
推论 对称阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的特 征值全为正。
上页 下页 返4 回
定理13 对称阵 A 为正定的充分必要条件是：A
注意：对于二次型，除了有正定和负定以外， 还有半正定和半负定及不定二次型等概念。
上页 下页 返6 回
判别矩阵正定的方法
根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A 的正定性有两种方法。
一是求出A 的所有特征值。若A 的特征值均为 正数，则A 是正定的；若A 的特征值均为负数，则A 为负定的。
二是计算A 的各阶主子式。若A 的各阶主子式 均大于零，则A 是正定的；若A 的各阶主子式中， 奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A 为负定的。
5 2 2
解 f 的矩阵是 A 2 6 0 ,
2 0 4
A 的各阶主子式为：
a11
5
0,
a11 a21
A 80 0,
a12 5 a22 2
2 26 0,
6
所以 f 是负定的。
上页 下页 1返1 回
例18 设二次型
f x12 4x22 4x32 2x1 x2 2x1 x3 4x2 x3
个数相等. 正数的个数称为正惯性指数，负数的个数
称为负惯性指数
上页 下页 返2 回
定义9 设有实二次型 f xT Ax, 如果对于任何 x ≠ 0 , 都有 f(x) > 0,（显然 f(0) = 0 ），则称 f 为正定
二次型，并称对称阵 A 是正定的。记作 A > 0 ；如果
对任何 x ≠ 0 , 都有 f(x) < 0 , 则称 f 为负定二次型，
的是 A 1 0 0, A 的各阶主子式为：
2 0 1
a11
1
0,
a11 a21
a12 1 a22 1
1 1 0,
0
112
A 1 0 0 1 0,
201
所以 f 既不是正定的，也不是负定的，即不定二次
型。
上页 下页 1返3 回
例19 设C 是满秩矩阵，实对称矩阵A 是正定的， 则C TAC是正定的。