2019版中考数学 第一部分 基础知识过关 第四章 图形的初步认识与三角形 第16讲 等腰三角形与证明精练

经典教育资源

最新教育资料 第16讲 等腰三角形与证明

A组 基础题组

一、选择题

1.下列命题错误的是( )

A.对角线互相平分的四边形是平行四边形

B.对角线相等的平行四边形是矩形

C.一条对角线平分一组对角的四边形是菱形

D.对角线互相垂直的矩形是正方形

2.如图,等边△OAB的边长为2,则点B的坐标为(

)

A.(1,1)

B.(,1)

C.(,)

D.(1,)

3.平面直角坐标系中,已知A(2,2)、B(4,0).若在坐标轴上取点C,使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是( )

A.5 B.6

C.7 D.8

4.(2017滨州)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD=BA,则∠B的大小为(

)

A.40° B.36°

C.30° D.25°

二、填空题

5.如图,△ABC是等边三角形,BD平分∠ABC,点E在BC的延长线上,且CE=1,∠E=30°,则BC=

. 经典教育资源

最新教育资料

三、解答题

6.(2017肥城模拟)已知:如图,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连接DH与BE相交于点G.

(1)求证:BF=AC;

(2)求证:CE=BF.

7.(2018淄博)(1)操作发现:如图1,小明画了一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,在△ABC的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD,ACE,分别取BD,CE,BC的中点M,N,G,连接GM,GN.小明发现了:线段GM与GN的数量关系是 ;位置关系是 ;

(2)类比思考:

如图2,小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形,其中AB>AC,其他条件不变,小明发现的上述结论还成立吗?请说明理由;

(3)深入研究:

如图3,小明在(2)的基础上,又作了进一步的探究.向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD,ACE,其他条件不变,试判断△GMN的形状,并给予证明.

经典教育资源

最新教育资料

B组 提升题组

一、选择题

1.已知直线y=-x+3与坐标轴分别交于点A,B,点P在抛物线y=-(x-)2+4上,能使△ABP为等腰三角形的点P的个数是( )

A.3 B.4

C.5 D.6

二、填空题

2.(2017泰安宁阳模拟)“在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行”这个命题的条件是 ,结论是 ,

它是一个 命题.

3.有一面积为5的等腰三角形,它的一个内角是30°,则以它的腰长为边长的正方形的面积为

.

三、解答题

4.动手操作题:如图,在一张长为7 cm,宽为5 cm的矩形纸片上,现要剪下一个腰长为4 cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,其余的两个顶点在矩形的边上),求剪下的等腰三角形的面积.

第16讲 等腰三角形与证明

A组 基础题组 经典教育资源

最新教育资料

一、选择题

1.C 2.D

3.A 如图,

①当AB=AC时,以点A为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两个交点(点B除外),即O(0,0),C0(0,4),其中点C0与A、B两点共线,不符合题意;②当AB=BC时,以点B为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两个交点,均符合题意;③当AC=BC时,作AB的垂直平分线,与坐标轴有两个交点,均符合题意.所以满足条件的点C有5个,故选A.

4.B 根据题目中给定的条件,可以判定△ADC、△ABD和△ABC均为等腰三角形,设∠C=x°,则∠B=x°,∴∠ADB=2x°(三角形中两内角和为等于第三个角的外角),∴∠BAD=2x°,根据三角形内角和180°,解得x=36°,所以答案为B.

二、填空题

5.答案 2

解析 ∵△ABC是等边三角形,

∴∠ABC=∠ACB=60°,BA=BC.

∵BD平分∠ABC,

∴∠DBC=∠E=30°,BD⊥AC,

∴∠BDC=90°,

∴BC=2DC.

∵∠ACB=∠E+∠CDE,

∴∠CDE=∠E=30°,

∴CD=CE=1,

∴BC=2CD=2.

故答案为2.

三、解答题

6.证明 (1)∵CD⊥AB,∠ABC=45°,

∴△BCD是等腰直角三角形.

∴BD=CD. 经典教育资源

最新教育资料 ∵∠DBF=90°-∠BFD,

∠DCA=90°-∠EFC,

且∠BFD=∠EFC,

∴∠DBF=∠DCA.

在Rt△DFB和Rt△DAC中,

∴Rt△DFB≌Rt△DAC(ASA),

∴BF=AC.

(2)∵BE平分∠ABC,

∴∠ABE=∠CBE.

在Rt△BEA和Rt△BEC中,

∴Rt△BEA≌Rt△BEC(ASA).

∴CE=AE=AC.

由(1)知BF=AC,

∴CE=BF.

7.解析 (1)MG=NG;MG⊥NG,

连接BE,CD相交于H,

∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形,

∴AB=AD,AC=AE,AB=AC,

∠BAD=∠CAE=90°,

∴∠CAD=∠BAE,

∴△ACD≌△AEB(SAS),

∴CD=BE,∠ADC=∠ABE,

∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°,

∴∠BHD=90°, 经典教育资源

最新教育资料 ∴CD⊥BE,

∵点M,G分别是BD,BC的中点,

∴MGCD,

同理:NGBE,

∴MG=NG,MG⊥NG,

故答案为MG=NG,MG⊥NG.

(2)成立,理由如下:

连接CD,BE,相交于H,

同(1)的方法得,MG=NG,MG⊥NG.

(3)等腰直角三角形.

连接EB,DC并延长,使其相交于H,

∵M,N,G分别是BD,CE,BC的中点,

∴MG∥CD,MG=CD,NG∥BE,NG=BE,

同(1)的方法得,△ABE≌△ADC,

∴∠AEB=∠ACD,BE=DC,

∴∠CEH+∠ECH=∠AEH-∠AEC+180°-∠ACD-∠ACE=∠ACD-45°+180°-∠ACD-45°=90°,MG=NG,

∴∠DHE=90°,

∴MG⊥NG.

B组 提升题组

一、选择题

1.A 以点B为圆心,线段AB长为半径作圆,交抛物线于点C、M、N,连接AC、BC,如图所示. 经典教育资源

最新教育资料

令一次函数y=-x+3中x=0,则y=3,

∴点A的坐标为(0,3).

令一次函数y=-x+3中y=0,

即-x+3=0,解得x=.

∴点B的坐标为(,0).∴AB=2.

由题意知抛物线的对称轴为x=,

∴点C的坐标为(2,3),

∴AC=2=AB=BC,

∴△ABC为等边三角形.

令y=-(x-)2+4中y=0,

即-(x-)2+4=0,

解得x=-或x=3.

∴点M的坐标为(-,0),点N的坐标为(3,0).

△ABP为等腰三角形分三种情况:

①当AB=BP时,以B点为圆心,AB的长度为半径作圆,与抛物线交于C、M、N三点;

②当AB=AP时,以A点为圆心,AB的长度为半径作圆,与抛物线交于C、M两点; 经典教育资源

最新教育资料 ③当AP=BP时,作线段AB的垂直平分线,与抛物线交于C、M两点.

∴能使△ABP为等腰三角形的点P的个数是3.故选A.

二、填空题

2.答案 同一平面内两直线垂直于同一条直线;这两条直线平行;真

3.答案 20或20

解析 在等腰△ABC中,设AB=AC=x.当顶角∠A=30°时,如图1,作CD⊥AB,垂足为D.

∵sin 30°==,

∴CD=x,∴·x·x=5,

∴x2=20,

即以它的腰长为边长的正方形的面积为20;

当底角∠B=∠ACB=30°时,如图2,作CD⊥BA,交BA的延长线于D.

∵∠DAC=∠B+∠ACB=60°,

∴sin 60°==,∴CD=x,

∴·x·x=5,

∴x2=20,即以它的腰长为边长的正方形的面积为20.

综上,以它的腰长为边长的正方形的面积为20或20.

三、解答题

4.解析 分三种情况计算:

(1)当AE=AF=4 cm时,如图1: 经典教育资源

最新教育资料

∴S△AEF=AE·AF=×4×4=8(cm2);

(2)当AE=EF=4 cm时,如图2:

则BE=5-4=1 cm,

BF=== cm,

∴S△AEF=·AE·BF=×4×=2(cm2);

(3)当AE=EF=4 cm时,如图3:

则DE=7-4=3 cm,

DF=== cm,

∴S△AEF=AE·DF=×4×=2(cm2).

故剪下的等腰三角形的面积为8 cm2或2 cm2或2 cm2.