高中数学人教A版高二选修1-1课时达标训练：(七) 含解析

温馨提示：课时自测·当堂达标1.命题p:∃m 0∈R,方程x 2+m 0x+1=0有实根,则¬p 是 ( )A.∃m 0∈R,方程x 2+m 0x+1=0无实根B.∀m ∈R,方程x 2+mx+1=0无实根C.不存在实数m,使方程x 2+mx+1=0无实根D.至多有一个实数m 0,使方程x 2+m 0x+1=0有实根【解析】选B.特称命题的否定为全称命题,所以命题p:∃m 0∈R,方程x 2+m 0x+1=0有实根的否定为“∀m ∈R,方程x 2+mx+1=0无实根”.2.已知命题p:∀x ∈R,x>sinx,则p 的否定形式为 ( )A.¬p :∃x 0∈R,x 0<sinx 0B.¬p :∀x ∈R,x ≤sinxC.¬p :∃ x 0∈R,x 0≤sinx 0D.¬p :∀x ∈R,x<sinx【解析】选C.因为命题p:∀x ∈R,x>sinx 为全称命题, 所以命题p 的否定形式为:∃x 0∈R,x 0≤sinx 0.3.命题“∃x 0∈R,f(x 0)<0”的否定是 ( )A.∃x 0∉R,f(x 0)≥0B.∀x ∉R,f(x)≥0C.∀x ∈R,f(x)≥0D.∀x ∈R,f(x)<0【解析】选C.命题“∃x 0∈R,f(x 0)<0”的否定为∀x ∈R,f(x)≥0.4.命题“对任意实数x,都有x 2-2x+2>0”的否定为________.【解析】因为全称命题的否定为特称命题,所以命题的否定为:存在实数x 0,使得-2x 0+2≤0.答案:存在实数x 0,使得-2x 0+2≤0 5.写出下列命题的否定,并判断真假:(1)q:∀x ∈R,x 不是5x-12=0的根.(2)r:有些质数是奇数.(3)s:∃x 0∈R,|x 0|>0.【解析】(1)¬q :∃x 0∈R,x 0是5x 0-12=0的根,真命题. (2)r:每一个质数都不是奇数,假命题. (3) s:∀x ∈R,|x|≤0,假命题.。

2018高二数学下选修1-1课时达标训练含答案（人教A版18份）本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址阶段质量检测（三）一、选择题．已知f＝lnxx2，则f′＝A.1e3B.1e2c．－1e2D．－1e32．若函数f＝13x3－f′&#8226;x2－x，则f′的值为A．0B．2c．1D．－13．曲线y＝xx＋2在点处的切线方程为A．y＝2x＋1B．y＝2x－1c．y＝－2x－3D．y＝－2x－24．已知对任意实数x，有f＝－f，g＝g．且x&gt;0时，f′&gt;0，g′&gt;0，则x&lt;0时A．f′&gt;0，g′&gt;0B．f′&gt;0，g′&lt;0c．f′&lt;0，g′&gt;0D．f′&lt;0，g′&lt;05．函数f＝lnxxA．在上是增函数B．在上是减函数c．在上是增函数，在上是减函数D．在上是减函数，在上是增函数6．若函数y＝a的递增区间是－∞，－33，33，＋∞，则a的取值范围是A．a＞0B．－1＜a＜0c．a＞1D．0＜a＜17．已知函数f＝x有两个极值点，则实数a的取值范围是A．B.0，12c．D．8．方程2x3－6x2＋7＝0在内根的个数为A．0B．1c．2D．39．函数y＝12x－2sinx的图象大致是0．若函数f在R上可导，且f&gt;f′，则当a&gt;b时，下列不等式成立的是A．eaf&gt;ebfB．ebf&gt;eafc．ebf&gt;eafD．eaf&gt;ebf1．设函数f′是奇函数f的导函数，f＝0，当x&gt;0时，xf′－f&lt;0，则使得f&gt;0成立的x的取值范围是A．∪B．∪c．∪D．∪2．若定义在R上的函数f满足f＝－1，其导函数f′满足f′&gt;k&gt;1，则下列结论中一定错误的是A．f1k&lt;1kB．f1k&gt;1k－1c．f1k－1&lt;1k－1D．f1k－1&gt;kk－1二、填空题3．若曲线y＝ax2－lnx在点处的切线平行于x轴，则a ＝________．4．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．5．已知a&lt;0，函数f＝ax3＋12alnx，且f′的最小值是－12，则实数a的值为________．6．函数y＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则a＝________．三、解答题7．设定义在上的函数f＝ax＋1ax＋b．求f的最小值；若曲线y＝f在点)处的切线方程为y＝32x，求a，b的值．8．已知a∈R，函数f＝ex.当a＝2时，求函数f的单调区间；若函数f在上单调递增，求实数a的取值范围．9．设函数f＝e2x－alnx.讨论f的导函数f′零点的个数；证明：当a&gt;0时，f≥2a＋aln2a.20．已知函数f＝lnxx.判断函数f的单调性；若y＝xf＋1x的图象总在直线y＝a的上方，求实数a 的取值范围．21．已知函数f＝lnx－ax.若f存在最小值且最小值为2，求a的值；设g＝lnx－a，若g&lt;x2在＝ln1＋x1－x.求曲线y＝f在点)处的切线方程；求证：当x∈时，f＞2x＋x33；设实数k使得f＞kx＋x33对x∈恒成立，求k的最大值．.解析：选D ∵f′＝x2x－2xlnxx4＝1－2lnxx3，∴f′＝1－2lnee3＝－1e3.2.解析：选A ∵f＝13x3－f′&#8226;x2－x，∴f′＝x2－2f′&#8226;x－1，∴f′＝1－2f′－1，∴f′＝0.3.解析：选A ∵y′＝x′（x＋2）－x（x＋2）′（x ＋2）2＝2（x＋2）2，∴k＝y′|x＝－1＝2（－1＋2）2＝2，∴切线方程为：y＋1＝2，即y＝2x＋1.4.解析：选B f为奇函数且x&gt;0时单调递增，所以x&lt;0时单调递增，f′&gt;0;g为偶函数且x&gt;0时单调递增，所以x&lt;0时单调递减，g′&lt;0.5.解析：选c 由f′＝1－lnxx2，令f′＞0，得0＜x ＜e；令f′＜0得e＜x＜10，故选c.6.解析：选A 依题意得y′＝a＞0的解集为－∞，－33，33，＋∞，∴a＞0.7.解析：选B 由题知，x&gt;0，f′＝lnx＋1－2ax，由于函数f有两个极值点，则f′＝0有两个不等的正根，即函数y＝lnx＋1与y＝2ax的图象有两个不同的交点，则a&gt;0.设函数y＝lnx＋1上任一点处的切线为l，则kl＝y′＝1x0，当l过坐标原点时，1x0＝1＋lnx0x0&#8658;x0＝1，令2a＝1&#8658;a＝12，结合图象知0&lt;a&lt;12.8.解析：选B 设f＝2x3－6x2＋7，则f′＝6x2－12x＝6x．∵x∈，∴f′&lt;0.∴f在上递减，又f＝7，f＝－1，∴f在上有且只有一个零点，即方程2x3－6x2＋7＝0在内只有一个根．9.解析：选c 因为y′＝12－2cosx，所以令y′＝12－2cosx＞0，得cosx＜14，此时原函数是增函数；令y′＝12－2cosx＜0，得cosx＞14，此时原函数是减函数，结合余弦函数图象，可得选项c正确．0.解析：选 D ∵f（x）ex′＝exf′（x）－exf（x）（ex）2＝ex[f′（x）－f（x）]（ex）2&lt;0，∴y＝f（x）ex单调递减，又a&gt;b，∴f（a）ea&lt;f（b）eb，∴eaf&gt;ebf．1.解析：选A 当x&gt;0时，令F＝f（x）x，则F′＝xf′（x）－f（x）x2&lt;0，∴当x&gt;0时，F＝f（x）x 为减函数．∵f为奇函数，且由f＝0，得f＝0，故F＝0.在区间上，F&gt;0；在上，F&lt;0.即当0&lt;x&lt;1时，f&gt;0；当x&gt;1时，f&lt;0.又f为奇函数，∴当x∈时，f&gt;0；当x∈时，f&lt;0.综上可知，f&gt;0的解集为∪．2.解析：选c 构造函数F＝f－kx，则F′＝f′－k&gt;0，∴函数F在R上为单调递增函数．∵1k－1&gt;0，∴F1k－1&gt;F．∵F＝f＝－1，∴f1k－1－kk－1&gt;－1，即f1k－1&gt;kk－1－1＝1k－1，∴f1k－1&gt;1k－1，故c错误．3.解析：由曲线在点处的切线平行于x轴得切线的斜率为0，由y′＝2ax－1x及导数的几何意义得y′|x＝1＝2a－1＝0，解得a＝12.答案：124.解析：由题知y′＝ex＋xex，令y′＝0，解得x＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为－1，－1e，又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故切线方程为y＝－1e.答案：y＝－1e5.解析：f′＝3ax2＋12ax，则f′＝3a＋12a.∵a&lt;0，∴f′＝－（－3a）＋21－a≤－2（－3a）×12－a＝－12.当－3a＝12－a，即a＝－2时，取“＝”．答案：－26.解析：∵y′＝3x2＋2ax＋b，∴1＋a＋b＋a2＝10，3＋2a＋b＝0&#8658;a＝－3，b＝3或a＝4，b＝－11.当a＝－3，b＝3时，y′＝3x2－6x＋3＝32≥0，函数无极值，故a＝4，b＝－11.答案：47.解：法一：由题设和均值不等式可知，f＝ax＋1ax＋b≥2＋b，当且仅当ax＝1等号成立，即当x＝1a时，f取最小值为2＋b.法二：f的导数f′＝a－1ax2＝a2x2－1ax2，当x&gt;1a时，f′&gt;0，f在1a，＋∞上单调递增；当0&lt;x&lt;1a时，f′&lt;0，f在0，1a上单调递减．所以当x＝1a时，f取最小值为2＋b.由题设知，f′＝a－1ax2，f′＝a－1a＝32，解得a＝2或a＝－12．将a＝2代入f＝a＋1a＋b＝32，解得b＝－1.所以a＝2，b＝－1.8.解：当a＝2时，f＝ex，f′＝ex.令f′&gt;0，即ex&gt;0，注意到ex&gt;0，所以－x2＋2&gt;0，解得－2&lt;x&lt;2.所以，函数f的单调递增区间为．同理可得，函数f的单调递减区间为和．因为函数f在上单调递增，所以f′≥0在上恒成立．又f′＝[－x2＋x＋a]ex，所以[－x2＋x＋a]ex≥0，注意到ex&gt;0，因此－x2＋x＋a≥0在上恒成立，也就是a ≥x2＋2xx＋1＝x＋1－1x＋1在上恒成立．设y＝x＋1－1x＋1，则y′＝1＋1（x＋1）2&gt;0，即y＝x＋1－1x＋1在上单调递增，则y&lt;1＋1－11＋1＝32，故a≥32.即实数a的取值范围为32，＋∞.9.解：f的定义域为，f′＝2e2x－ax.当a≤0时，f′&gt;0，f′没有零点；当a&gt;0时，设u＝e2x，v＝－ax，因为u＝e2x在上单调递增，v＝－ax在上单调递增，所以f′在上单调递增．又f′&gt;0，当b满足0&lt;b&lt;a4且b&lt;14时，f′&lt;0，故当a&gt;0时，f′存在唯一零点．证明：由，可设f′在上的唯一零点为x0，当x∈时，f′&lt;0；当x∈时，f′&gt;0.故f在上单调递减，在上单调递增，所以当x＝x0时，f取得最小值，最小值为f．由于2e2x0－ax0＝0，所以f＝a2x0＋2ax0＋aln2a≥2a＋aln2a.故当a&gt;0时，f≥2a＋aln2a.20.解：f′＝1－lnxx2.当0&lt;x&lt;e时，f′&gt;0，f为增函数；当x&gt;e时，f′&lt;0，f为减函数．依题意得，不等式a&lt;lnx＋1x对于x&gt;0恒成立．令g＝lnx＋1x，则g′＝1x－1x2＝1x1－1x.当x∈时，g′＝1x1－1x&gt;0，则g是上的增函数；当x∈时，g′&lt;0，则g是上的减函数．所以g的最小值是g＝1，从而a的取值范围是．21.解：f′＝1x＋ax2＝x＋ax2，当a≥0时，f′&gt;0，f在上是增函数，f不存在最小值；当a&lt;0时，由f′＝0得x＝－a，且0&lt;x&lt;－a，时f′&lt;0，x&gt;－a时，f′&gt;0.∴x＝－a时，f取得最小值，f＝ln＋1＝2，解得a＝－e.g&lt;x2即lnx－a&lt;x2，即a&gt;lnx－x2，故g&lt;x2在＝lnx－x2，则h′＝1x－2x＝1－2x2x，由h′＝0及0&lt;x≤e得x＝22.当0&lt;x&lt;22时，h′&gt;0，当22&lt;x≤e时，h′&lt;0，即h在0，22上为增函数，在22，e上为减函数，所以当x＝22时h取得最大值为h22＝ln22－12.所以g&lt;x2在因为f＝ln－ln，所以f′＝11＋x＋11－x，f′＝2.又因为f＝0，所以曲线y＝f在点)处的切线方程为y＝2x.证明：令g＝f－2x＋x33，则g′＝f′－2＝2x41－x2.因为g′&gt;0，所以g在区间上单调递增．所以g&gt;g＝0，x∈，即当x∈时，f&gt;2x＋x33.由知，当k≤2时，f&gt;kx＋x33对x∈恒成立．当k&gt;2时，令h＝f－kx＋x33，则h′＝f′－k＝kx4－k＋21－x2.所以当0&lt;x&lt;4k－2k时，h′&lt;0，因此h在区间0，4k－2k上单调递减．故当0&lt;x&lt;4k－2k时，h&lt;h＝0，即f&lt;kx＋x33.所以当k&gt;2时，f&gt;kx＋x33并非对x∈恒成立．综上可知，k的最大值为2.。

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课时达标训练1.下列语句不是命题的有( )①2<1;②x<1;③若x<2,则x<1;④函数f(x)=x2是R上的偶函数.A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选B.①③④可以判断真假,是命题;②不能判断真假,所以不是命题.2.下列命题中,是真命题的是( )A.{x∈R|x2+1=0}不是空集B.若x2=1,则x=1C.空集是任何集合的真子集D.x2-5x=0的根是自然数【解析】选D.A中方程在实数范围内无解,故是假命题;B中若x2=1,则x=±1,故B是假命题;因空集是任何非空集合的真子集,故C是假命题.3.命题“菱形的对角线相互垂直平分”的结论是( )A.这个四边形是菱形B.这个四边形的对角线相互平分C.这个四边形的对角线相互垂直D.这个四边形的对角线既相互垂直,也相互平分【解析】选D.把命题改为“若p,则q”的形式:“若一个四边形是菱形,则这个四边形的对角线既相互垂直,也相互平分”.4.若命题“ax2-2ax+5<0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是________.【解析】因为ax2-2ax+5<0不成立,所以ax2-2ax+5≥0恒成立.当a=0时,5≥0恒成立;当a≠0时,则有错误！未找到引用源。

解得0<a≤5.综上可得,0≤a≤5.答案:[0,5]5.判断下列语句是否是命题,并说明理由.(1)李华长得很帅.(2)2030年,人类能登上火星.(3)1是素数.(4)若x<0,则x>3.【解析】(1)“帅”的标准没有明确的定义,何谓“帅”,是无法判断,模棱两可的,故不能判断真假.该语句不是命题.(2)因为2030年还没有到来,所以该语句现在不能判断真假,但随着科技的进步,将来一定能判断真假,这类语句也能称之为命题. (3)1既不是素数也不是合数,该语句判断为假,又是陈述句,故是命题.(4)若x<0,则x>3,该语句是用式子表达的且能判断真假,故是命题.关闭Word文档返回原板块。

综合测试(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“当a >1时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“矩形的对角线互相垂直且平分”是真命题D ．命题“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题 答案 D2．如果命题“綈p 且綈q ”是真命题，那么下列结论中正确的是( ) A ．“p 或q ”是真命题 B ．“p 且q ”是真命题 C ．“綈p ”为真命题 D ．以上都有可能解析 若“綈p 且綈q ”是真命题，则綈p ，綈q 均为真命题，即命题p 、命题q 都是假命题，故选C.答案 C3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x解析 由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，可知c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴b a ＝12，故双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选A.答案 A4．若θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4表示的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．圆解析 当sin θ＝1时，曲线表示圆． 当sin θ<0时，曲线表示的双曲线． 当sin θ>0时，曲线表示椭圆． 答案 C5．曲线y ＝x 3＋1在点(－1,0)处的切线方程为( ) A ．3x ＋y ＋3＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．3x －y ＝0D ．3x －y －3＝0解析 y ′＝3x 2，∴y ′| x ＝－1＝3，故切线方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0. 答案 B6．下列命题中，正确的是( )A ．θ＝π4是f (x )＝sin(x －2θ)的图像关于y 轴对称的充分不必要条件 B ．|a |－|b |＝|a －b |的充要条件是a 与b 的方向相同 C ．b ＝ac 是a ，b ，c 三数成等比数列的充分不必要条件D ．m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件答案 A7．函数f (x )＝x 2＋a ln x 在x ＝1处取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．4D ．－4解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)， 又f ′(x )＝2x ＋a x ，∴由题可知，f ′(1)＝2＋a ＝0，∴a ＝－2. 当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x －1)(x ＋1)x ， 当0<x <1时，f ′(x )<0. 当x >1时，f ′(x )>0， ∴f (x )在x ＝1处取得极值． 故选B. 答案 B8．设P 是椭圆x 29＋y 24＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则cos ∠F 1PF 2的最小值是( )A ．－19B ．－1 C.19D.12解析 由椭圆方程a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 1|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－|F 1F 2|2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝(2a )2－(2c )2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝162|PF 1|·|PF 2|－1.∵|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝9， ∴cos ∠F 1PF 2≥162×9－1＝－19，故选A.答案 A9．给出下列三个命题： ①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b1＋b；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n2；③设P (x 1，y 1)为圆O 1：x 2＋y 2＝9上任一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝2时，圆O 1与圆O 2相切．其中假命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析 考查不等式的性质及其证明，两圆的位置关系．显然命题①正确，命题②用“分析法”便可证明其正确性．命题③：若两圆相切，则两圆心间的距离等于4或2，二者均不符合，故为假命题．故选B.答案 B10．如图所示是y ＝f (x )的导数图像，则正确的判断是( ) ①f (x )在(－3,1)上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数； ④x ＝2是f (x )的极小值点． A ．①②③ B ．②③ C ．③④D ．①③④解析 从图像可知，当x ∈(－3，－1)，(2,4)时，f (x )为减函数，当x ∈(－1,2)，(4，＋∞)时，f (x )为增函数，∴x ＝－1是f (x )的极小值点， x ＝2是f (x )的极大值点，故选B. 答案 B11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是直线l ：x ＝a 2c (c 2＝a 2＋b 2)上一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝4ab ，则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3C. 2D. 3解析 设直线l 与x 轴交于点A ，在Rt △PF 1F 2中，有|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|·|P A |，则|P A |＝2ab c ，又|P A |2＝|F 1A |·|F 2A |，则4a 2b 2c 2＝(c －a 2c )·(c ＋a 2c )＝c 4－a 4c 2，即4a 2b 2＝b 2(c 2＋a 2)，即3a 2＝c 2，从而e ＝ca ＝ 3.选B.答案 B12．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥8x x 2＋4对任意x >0恒成立，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x 2＋4x ＋m ≥0对任意x ∈R 恒成立，故Δ≤0，即m ≥43；m ≥8xx 2＋4对任意x >0恒成立，即m ≥(8x x 2＋4)max ，因为8x x 2＋4＝8x ＋4x ≤2，当且仅当x ＝2时，“＝”成立，故m ≥2.易知p 是q 的必要不充分条件．答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析 ∵双曲线y 212－x 24＝1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±23)， ∴椭圆的顶点坐标为(0，±4)，焦点坐标为(0，±23)，在椭圆中a ＝4，c ＝23，b 2＝4.∴椭圆的方程为x 24＋y 216＝1. 答案 x 24＋y 216＝114．给出下列三个命题：①函数y ＝tan x 在第一象限是增函数；②奇函数的图像一定过原点；③函数y ＝sin2x ＋cos2x 的最小正周期为π，其中假．命题的序号是________．解析 ①不正确，如x ＝π4时tan x ＝1，当x ＝9π4时tan x ＝1，而9π4>π4，所以tan x 不是增函数；②不正确，如函数y ＝1x 是奇函数，但图像不过原点；③正确．答案 ①②15．若要做一个容积为324的方底(底为正方形)无盖的水箱，则它的高为________时，材料最省．解析 把材料最省问题转化为水箱各面的面积之和最小问题，然后列出所用材料和面积关于边长a 的函数关系式．设水箱的高度为h ，底面边长为a ，那么V ＝a 2h ＝324，则h ＝324a 2，水箱所用材料的面积是S ＝a 2＋4ah ＝a 2＋1296a ，令S ′＝2a －1296a 2＝0，得a 3＝648，a ＝633， ∴h ＝324a 2＝324(633)2＝333，经检验当水箱的高为333时，材料最省． 答案 33316．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，则m 的取值范围是________．解析 因为函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于0的实根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图像可得－2m >1，即m <－12.答案 m <－12三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．解 本题涉及了3个未知量，由题意可列出三个方程即可求解． ∵y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)， ∴a ＋b ＋c ＝1.①又∵在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切， ∴4a ＋2b ＋c ＝－1.②∴y ′＝2ax ＋b ，且k ＝1. ∴k ＝y ′| x ＝2＝4a ＋b ＝1， ③联立方程①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.18．(12分)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，直线l ：y ＝－x ＋22与以原点为圆心、以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆相切．求椭圆C 1的方程．解 ∵e ＝63，∴e 2＝c2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2.∵直线l ：y ＝－x ＋22与圆x 2＋y 2＝b 2相切， ∴222＝b ，∴b ＝2.∴b 2＝4，a 2＝12.∴椭圆C 1的方程是x 212＋y 24＝1.19．(12分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )． (1)求函数F (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解 (1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋a x (x >0)，则F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2(x >0)， ∵a >0，由F ′(x )>0，得x ∈(a ，＋∞)，∴F (x )在(a ，＋∞)上单调递增； 由F ′(x )<0，得x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上单调递减．∴F (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞)．(2)由(1)知F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3)，则k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立，即a ≥(－12x 20＋x 0)max ，当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12，∴a min ＝12.20．(12分)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P ，Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．解 (1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线． ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意知，直线l 2的方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)，与抛物线方程联立消去y 得x 2－4kx －4＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.又易得点R 的坐标为(－2k ，－1)．∴RP →·RQ →＝(x 1＋2k ，y 1＋1)·(x 2＋2k ，y 2＋1)＝(x 1＋2k )(x 2＋2k )＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2k ＋2k )(x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k (2k ＋2k )＋4k 2＋4 ＝4(k 2＋1k 2)＋8. ∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号，∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.21．(12分)已知函数f (x )＝x 2－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x .(1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围；(3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有唯一解，试求实数m 的值．解 (1)因为f ′(x )＝2x －8x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6，又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)，即y ＝－6x ＋7.(2)因为f ′(x )＝2(x ＋2)(x －2)x， 又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0.即f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减，欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎨⎧ a ≥2，a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.故a 的取值范围是[2,6](3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点．又h ′(x )＝4x －8x －14＝2(x －4)(2x ＋1)x，且x >0， 所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.22．(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点M (4,1)，直线l ：y ＝x ＋m 交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l 不过点M ，试问直线MA ，MB 与x 轴能否围成等腰三角形？解 (1)根据题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为e ＝32，a 2－b 2＝c 2，所以a 2＝4b 2.又椭圆过点M (4,1)，所以16a 2＋1b 2＝1，则可得b 2＝5，a 2＝20，故椭圆的方程为x 220＋y 25＝1.(2)将y ＝x ＋m 代入x 220＋y 25＝1并整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0，Δ＝(8m )2－20(4m 2－20)>0，得－5<m <5. 设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1和k 2， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8m 5，x 1x 2＝4m 2－205. k 1＋k 2＝y 1－1x 1－4＋y 2－1x 2－4＝(y 1－1)(x 2－4)＋(y 2－1)(x 1－4)(x 1－4)(x 2－4). 上式分子＝(x 1＋m －1)(x 2－4)＋(x 2＋m －1)·(x 1－4) ＝2x 1x 2＋(m －5)(x 1＋x 2)－8(m －1)＝2(4m 2－20)5－8m (m －5)5－8(m －1)＝0， 即k 1＋k 2＝0.所以直线MA，MB与x轴能围成等腰三角形．。