算法多样化

“算法多样化”的背后——兼论数学教学的真实意义吴亚萍随着社会的进步和人们对数学教学观念认识的发展，许多教师已然能够认识到传统的数运算教学的不足。

这种传统的教学观念就是一味地强调通过大题量的操练，以达到学生运算技能和考试分数双重提高的目的。

在传统教学观念的影响下，学生被淹没在大量重复操练的题海之中。

机械枯燥的练习成为影响学生思维发展和提升的主要障碍。

为了改变这种状况，国家数学课程标准提出了大幅度调整教学内容和改进数运算教学的实施要求。

具体地说，就是删减繁琐运算的教学内容，以及在数学运算教学中提倡“算法多样化”。

教学内容的调整在一定程度上确实为师生进行数运算教学的改革探索提供了时间和空间的保证。

对于教师来说，他们有可能从仅仅关注教案完成的教学转换到关注和针对学生学习状态教学；对于学生来说，他们有可能从大题量和高密度的机械运算中解放出来，有时间来思考和分析问题解决的各种条件、不同方案，以及在多种方案中作出恰当的选择。

教学内容的减少意味着教学时间的相对增加，那么这部分相对增加的教学时间是否得到了高效的利用？教师又是怎样来理解认识和实施“算法多样化”的教学呢？时下的数运算教学中的算法是否当真“多样”了？怎样才能让学生从掌握一种统一的标准化的算法真正转变为掌握灵活多样的算法呢？这种“算法多样化”的教学是否起到了促进学生逻辑推理发展和思维品质提升的作用？这些问题既是绕不过去也是改革必然遇到的，更是我们必须做出回答的。

为此，本文围绕这些问题展论述，揭示算法表面“多样”的背后所掩藏的真实问题，对这些问题提出重建的设想，进一步探讨如何真正地实现教学的“算法多样化”，以及面对学生“多样”的算法，我们的教学应选择怎样的价值追求，与此相应又该做出怎样的积极回应。

（一）数运算教学中的“算法多样化”可以说是一个“仁者见仁，智者见智”的问题。

然而，现实中对“算法多样化”的实践却表现出基本趋同的教学状态。

下面的“百以内加法”的教学过程是其典型代表的反映：首先，教师提出问题：29+17这一题你们是怎样计算的？学生围绕问题或独立思考，或小组讨论，形成问题解决的方案。

其次，在学生形成方案的基础上进行全班交流。

在学生一个接一个地交流的同时，教师将学生交流的各种不同算法一类一类排列整齐地呈现在黑板上，如下所示：①29+17=30+17-1 把29凑成整十数②29+17=29+20-3 把17凑成整十数③29+17=30+20-4 把29和17都凑成整十数④29+17=29+1+16 从17分拆出1与29凑整⑤29+17=26+3+17 从29分拆出3与17凑整⑥29+17=29+10+7 分拆17先加整十数⑦29+17=29+7+10 分拆17先加一位数⑧29+17=20+9+17 分拆29先加一位数⑨29+17=20+17+9 分拆29先加整十数⑩29+17=20+9+10+729与17同时分拆，十位上数与十位上数加，个位上数与个位上数加最后，教师进行小结，表扬学生想出了那么多的算法。

同时，还注意引导学生对这些算法进行比较，找出最好最简便的算法，然后鼓励学生“用自己喜欢的算法”做巩固练习。

从这样的教学过程中，我们至少可以发现存在以下几方面的问题：第一，教学中呈现的算法表面上看各种各样，而实际上大多数学生却因为思维的惰性而表现出算法单一的状态。

尽管黑板上呈现的各种算法十分丰富，但是事实上这些算法基本上是个别学生（充其量也就是十来个学生）“凑”出来的。

如果我们仔细地观察一下，就会发现其实大部分学生基本上还是停留在一种单一算法的思维水平上。

换句话说，算法的“多样”仅仅表现在黑板上，而不是体现在学生个体身上，学生个体所表现出来的算法依然“单一”而不是“多样”。

很显然，在这些“多样”的算法背后，掩盖的事实是学生思维的积极化程度还明显不够。

第二，黑板上呈现的各种算法从表面上看归类整齐，而实际上学生却缺乏“类方法”的意识。

尽管黑板上呈现的各种算法一类一类地排列得相当整齐，但是这些归类的工作不是通过学生自己亲历比较和归纳的过程来实现的，而是由教师包办替代学生来完成的。

这一“替代”过程的背后是，大多数学生对各种不同算法之间的差异和本质联系既不清晰也不敏感，他们对各种算法较多的是散点的认识和记忆，对将各种不同算法分别归“类”的过程还缺乏体验和认识。

显而易见的是，教师不可能永远抱着学生走，学生如果没有自己的亲历亲为又怎么会有真实的成长体验呢？第三，教学中学生交流表达的状态表面上看热闹非凡，而实际上教师采用“串联”的呈现方式不仅低效而且还占用了课堂大量的教学时间。

所以“串联”的呈现方式，就是在某一个学生陈述自己算法的同时，教师在黑板上板书这个学生的算法，学生一个接着一个地交流，教师分别将这些算法一一呈现在黑板上。

表面看课堂教学的气氛热烈活跃，学生踊跃参与，但深入观察会发现大部分学生其实满足于自己的算法，他们积极地争取机会仅仅是为了展示和表现自己，而不是通过交流来发现各种不同算法之间的区别和本质联系。

再者，由于教师引导和点拨得不够，学生对于各种算法的认识也难以有本质的提升。

不仅如此，由于这种“串联”的呈现方式占用了课堂大部分的教学时间，因此学生在一节课内要完成的题量从原来的十几个减至现在的三四个左右，这意味着教学从大题量、高密度练习的一个极端走向了“少数学生多说、多数学生少做”的另一个极端。

因此，相对增加的教学时间并没有被高效地利用起来，相反，其教学效果无论从质上还是从量上，在一定程度上都表现出一种水平低下的状态。

也就是说，在这些热烈的气氛背后，掩盖的事实是学生对算法的认识依然停留在原来的水平。

第四，教学过程从表面上看层次清晰、层层递进，实际上却是一种从高级到低级、从抽象到具象的过程。

由于课堂上学生发言的随机性，所以课堂上常常表现出这样的状态，即越是有比较好的算法（抽象度比较高的方法）的学生，往往越是有机会抢在别人前面交流自己的算法，因为教师也会不由自主地把机会优先地给予这些好学生；而采用一般算法（比较直观具象的方法）的学生，往往因自信心的缺乏总是要轮到别人后面才有交流的机会。

这样，前面交流的算法常常比较高级，其解题步骤也比较简洁，思维加工过程不仅抽象度比较高而且灵活度也比较大，如上述直接凑整的方法①、方法②和方法③，以及通过分拆一个数与另一个数实现凑整的方法④和方法⑤；而后面交流的算法往往比较一般，有的算法甚至还比较麻烦，如上述转化的方法⑥、方法⑦、方法⑧和方法⑨，以及相同数位上的数相加的方法⑩。

教学中算法交流的过程不是从低级到高级的递进过程，学生的认识也不是从具象到抽象的提升过程，相反地，却是呈现出一种从高级到低级、从抽象到具象的递退状态，而这恰恰又是违背人的认识规律的。

第五，教师对“算法多样化”的认识偏差和片面追求，导致学生的逻辑推理和思维水平难以获得真实的发展。

面临课堂上不同学生所表现出的各种不同的算法，教师该怎么办呢？许多教师对“算法多样化”问题不仅存在着认识的偏差，而且还表现出片面追求的状态。

一方面，他们认为教学要尊重学生，要让学生的个性得到发展，就应该让学生“用自己喜欢的方法去解决问题”，所以满足学生“喜欢”的需求已成为教师教学的一种时尚。

另一方面，他们又认为在算法多样化的基础上，还要进一步比较和归纳，对计算方法进行优化，形成较为高效的方法。

于是“优化”算法又成为教师教学的一种期待。

更有甚者，有的教师甚至还期望在教学中既满足学生“喜欢”的需要，又体现算法的“优化”。

而这只是一种美好的愿望而已，在现实教学中可以说几乎是难以实现的。

事实上，学生“喜欢”的算法不一定能够体现“优化”的追求，而“优化”的算法也不一定能够满足学生“喜欢”的需要。

所以，一方面要满足学生“喜欢”的需要，另一方面又要体现算法“优化”的追求，两者之间实在是难以保持一种平衡，只能让教师置身于左右为难、矛盾尴尬的境地。

我们认为，对于学生来说具有真实发展意义的教学，应该既不是一味地满足学生“喜欢”的需要，也不是片面地追求算法的“优化”，而是要引导学生在比较和归纳各种不同算法之间的区别与联系的基础上，提升学生对高级算法和抽象思考的学习需求，形成学生判断与选择的意识与能力。

即学生能够对各种问题情境作出相应的判断，并能根据各自的具体情境选择恰当和灵活的算法。

之所以这么认为是缘于以下的思考和认识：首先，仅仅用“喜欢”这种方式来诠释“尊重学生的个性发展”显然是有失偏颇的。

如果教学一味地让学生“你喜欢什么方法就用什么方法计算”，他们往往会以自我为中心地局限于自己的方法，又怎么会去关心和思考其他的方法呢？从而也就不会产生提升自己认识和思维水平的内在需求。

于是，他们在进教室时用的是什么算法，往往在出教室时依然还是囿于原来的算法，学生对算法的学习和掌握实际上是从“一”到“一”的过程，并没有达到从“一”到“多”的目的。

因此，这种一味地满足学生“喜欢”愿望的教学，从表面上看是对学生个性的张扬，而实际上却容易导致学生的认识依然停留在原来的水平，很难使他们在教学的过程中获得真实的发展和提升，这样的教学对于学生来说往往也就不具有真实发展的价值。

教学要对学生产生真实发展的意义，其前提是不仅需要面对和承认学生的差异，而且还要关注和解读学生各自的状态，并在此基础上提出不同的要求，以促进他们达到更高的水平。

事实上，不是每个学生在教学的一开始都能够进行抽象思考和应用高级的算法，如若不然还需要我们的教学做什么呢？对于大部分学生来说，他们在教学一开始的状态大多只是具象的思考和应用一般方法甚至是低级方法的水平，正因为如此，需要通过我们的教学来引导这部分学生学会应用高级的算法，提升他们的抽象思考的水平。

而对于少数好学生来说，尽管他们已经能够进行抽象思考和应用高级的算法，但是他们的思考往往还比较点状且缺乏结构的意识，对方法使用的条件和灵活运用尚缺乏足够的认识，也还是需要通过教学来提升他们根据具体情境灵活运用方法的能力，使他们的认识达到结构化的思维水平。

因此，无论前者还是后者，都需要教师在他们各自已有的基础之上提出相应的更高要求，以此来不断地提升他们学习的内在需求，而不是一味地满足他们“喜欢”的需要。

学生在努力达到这些更高要求的过程中，才有可能实现逻辑推理能力的真实发展和抽象思维水平的真实提升。

其次，强调算法的“优化”实际上是一种片面的极端追求。

因为对算法进行“优化”的最终结果，只能是一种统一的标准化的教学状态，这岂不是兜了一个圈子又回到从前的教学？更令人担忧的是，许多教师往往认为简便算法就是“最优”的好方法，甚至在教学中一味地“将最优算法进行到底”，却忽视了方法在具体情境中的现实意义。

事实上，脱离了具体情境的方法往往是一种机械的和“僵死”的方法，学生对这种机械方法操练得越多，他们的思维就有可能变得越来越教条和僵化。