随机变量的分布列一、【考点系统归纳】1.离散型随机变量——如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量.2.离散型随机变量的概率分布（离散型随机变量的分布列）X 1x2x⋯i x⋯ n xP1p2p⋯i p ⋯n p离散型随机变量的分布列的性质： （1）；，，，，n i p i ⋯=≥321,0 （2）121=⋯++n p p p .3.离散型随机变量的期望与方差： (1)期望:=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望．数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值(2) 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望． 4.几种分布列： （1）二点分布：其中p q p -=<<1,10，则称离散型随机变量的X 服从参数为p 的二点分布. 举例：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得一分，不中得0分.已知某篮球运动员罚球命中得概率为0.8，则他罚球一次的得分的分布列为随机变量X 服从参数p 的二项分布.二点分布的期望与方差：期望p X E =)(,方差)1()(p q pq X D -==. (2).超几何分布：设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件(n ≤N )，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率P (X ＝m )＝C M m C N －M n －m C Nn(0≤m ≤l ，l 为n 和M 中较小的一个)，称这种离散型随机变量的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N 、M 、n 的超几何分布．超几何分布给出了求解这类问题的方法，可以当公式直接运用求解．超几何分布的期望：NMn X E ⋅=)( （3）.二项分布： 如下：ξX0 1p…kp…nX 10 Pp qq p C n n n P n n q p C 0011-n n qp C p… n k k n qp C -p…由于kn k k n qp C -恰好是二项展开式011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+-- 中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作(),B n p ξ，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝();,b k n p ．…二项分布的期望与方差：若(),B n p ξ，则E np ξ= ，()1D np p ξ=-5.正态分布：（1）正态变量概率密度曲线的函数表达式：(2)正态曲线的性质：曲线在x 轴的上方，并且关于 对称； 曲线在 处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐 ,呈现“中间 ，两边 ”的形状；曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线越“ ”，σ越小，曲线越“ ”. 二、【典型例题精讲】求离散型随机变量的分布列的步骤：（1）要确定随机变量ξ的可能取值有哪些.明确每个值所表示的意义.（2）分清概率类型，计算取得每一个值时的概率（取球、抽取产品等问题还要注意是放回抽样还是不放回抽样）.（3）列表，给出分布列，并用分布列的性质验证.【例1】 （优质试题年高考上海市理科6）随机变量的概率分布率由下图给出：则随机变量的均值是【例2】.(优质试题年全国高考宁夏卷6）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（A ）100 （B ）200 （C ）300 （D ）400【例3】（上海理9）马老师从课本上抄录一个随机变量ε的概率分布律如下表 请小牛同学计算ε的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同。
