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基础回顾 什么叫函数?
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x 在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y 总有唯一确定的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫 做函数关系。
对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。 x叫自变量， y叫应变量。
目前，我们已经学习了那几种类型的函数？
变 量 之 间函 的数 关 系
解：设所求的二次函数 为y ax2 bx c,由题意得：
｛a b c 10 abc 4
4a 2b c 7ห้องสมุดไป่ตู้
待定系数法
解得，a 2,b 3, c 5
所求的二次函数是 y 2x2 3x 5
牛刀小试
已知二次函数 y 2(x 1)2 4
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必 须根据题意确定自变量的取值范围.
1、下列函数中，（x是自变量），是二次函数
的为( C
)
A y=ax2+bx+c
B y2=x2-4x+1
C y=x2
D y=2+ √x2+1
2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( C )
A m,n是常数,且m≠0 B m,n是常数,且n≠0
1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系 数、常数项 （1） y=-x2+58x-112
（2）y=πx2 2、指出下列函数y=ax²+bx+c中的a、b、c
（1） y=-3x2-x-1 （2） y=5x2-6 （3） y=x(1+x)
练一练:
3、请各举一个符合以下条件的y关于x的二 次函数的例子
x 5.如果函数y=(k-3) k2 - 3k+ 2
数,
0
则k的值一定是______
+kx+1是二次函
x 如果函数y=(k-3) k2 - 3k+ 2 +kx+1 (x≠0)是一次 函数,则k的值一定是__3_或__1_或2 或 3 5
2
6. 用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如 图）， 设连墙的一边为x,矩形的面积为y, 求：(1) 写出y关于x的函数关系式.
是
1 (2) y x2 (3) y x(1 x)
不是 是
(4) y (x 1)2 x2
不是
先化简后判断
２、下列函数中，哪些是二次函数？
(1) y 3x2 2
(是 )
(2) y x2 1 x
( 否)
(3) y (x 2)(x 3)
( 是)
(4)y x2 2x 3
C m,n是常数,且m≠n D m,n为任何实数
3.一个圆柱的高等于底面半径,写出它 的表面积 s 与半径 r 之间的关系式.
S=4πr2
4. n支球队参加比赛,每两队之间进行
一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队
数 n 之间的关系式.
m 1 nn 1
2
即
m 1 n2 1 n 22
(6) v=8π r²
思考: 一个函数是不是二次函数,关键看什么?
二次函数两个缺一不可的条件:
1.含自变量的代数式是整式
2.含自变量项的最高次数是2
注意：
当二次项系数用含字母的式子表示时,应特别注意 二次项系数a≠0这个隐含条件.
抓住机遇 展示自我
1.下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y x2
（1）二次项系数是一次项系数的4倍， 常数项为任意值。
（2）二次项系数为-5，一次项系数与 常数项的和为0。
思考: 二次函数概念中的a,b,c有什么要求?
函数y ax2 bx c(其中a,b, c是常数)， 当a,b, c满足什么条件时
(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？
知识运用
x 1、m取何值时，函数是y= (m+1) ︱m+3︱
是二次函数?
2、 m取何值时，函数是y= (m-1) x√m+5
是二次函数?
驶向胜利 的彼岸
y=（m+3）x m2-7
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是反比例函数？
（3） m取什么值时，此函数是二次函数？
一次函数 反比例函数
y=kx+b (k≠0)
正比例函数
y=kx (k≠0)
y=k/x (k≠0)
二次函数
节日的喷泉给人带来喜庆，你是否注意过水流所经 过的路线？它会与某种函数有联系吗？
篮球运行的路线是什么曲线？ 怎样出手才能把球投进篮圈？ 起跳多高才能成功盖帽？等
合作学习，探索新知 :
分别写出下列问题情境中的两个变量 y 与 x 之间的关系式：
内通道的尺寸如图,设一条边长为
种植面积为 y (m2)。
1
x
(m),
1
1
y = (60-x-4)(x-2)
x
3
4.多边形的对角线数y与边数x有什么关系?
y 1 x( x 3) 2
1 x2 3 x
2
2
合作学习，探索新知 :
1.y =πx2 2.y = 2(1+x)2 3.y= (60-x-4)(x-2) =2x2+4x+2 =-x2+58x-112
解：（1）a 0 (2)a 0,b 0
(3)a 0,b 0,c 0
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。
(1) y=3(x－1)²+1
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3－2t²
(4) y=(x+3)²－x²
(5)y= _x1_²－x
(2) 当x=3时,矩形的面积为多少?
解：(1) y x(20 2x)
2x2 20x (o<x<10)
(2)当x=3时
y 232 203 42m2 x
答：当x＝3时，矩形的面积为42m2。
小结 拓展
回味无穷
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别 是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
(否)
(5) y (x 2)( x 2) (x 1)2 ( 否 )
例2: 关于x的函数 y (m 1)xm2m 是二次函 数, 求m的值.
解: 由题意可得
m2 m 2 m1 0
解得，m 2 当m 2时，函数为二次函数。
注意:二次函数的二次项系数不能为零
(1)圆的面积 y ( cm2)与圆的半径 x ( cm )
y =πx2 (2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月 份利润逐月增长，这两个月利润的月平 均增长率为x，3月份的利润为y
y = 2(1+x)2
合作学习，探索新知 :
(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果
温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax²+bx(a≠0,b≠0,c=0).
2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次数 是二次,自变量x的取值范围是全体实数.
（1）你能说出此函数的最小值吗？ 当x=1时,函数y有最小值为4
（2）你能说出这里自变量能取哪些值呢？ x取任意实数
开动脑筋
问题：是否任何情况下二次函数中的自变量 的取值范围都是任意实数呢？
例如：圆的面积 y ( cm)与2 圆的半径 x（cm)
的函数关系是
y =πx2
其中自变量x能取哪些值呢？ x 0
上述几个问题中的函数解析式具有哪些共同的 特征?
经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式. (a,b,c是常数, a≠0 )
我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c
是常数，a≠0)的函数叫做二次函数
称：a为二次项系数，ax2叫做二次项 b为一次项系数，bx叫做一次项 c为常数项,
举例：y=x²+ 2x – 3
解：（１）当m2－7=1且m+3≠0即m=± 2 2 时是正
比例函数。
（２）当m2－7=-1且m+3≠0即m=± 6 时是反比例函
数。 （３）当m2－7=2且m+3≠0即m=3时是二次函数。
例3:已知y是关于x的二次函数,当x=－1时,函数值
为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求 这个二次函数的解析试.
