一元二次方程的四种解法

一元二次方程的解法(1)一元二次方程的概念一、考点、热点回顾1、一元二次方程必须同时满足的三个条件：(1) ___________________________________________________⑵ ___________________________________________________ ⑶ ___________________________________________________2、一元二次方程的一般形式：二、典型例题③ x 2 2x 3y 0 ④ x 2 3 (x 1)(x 4)三、课堂练习1、 下列方程中，关于x 的一元二次方程是()21 1A3(x 1) 2(x 1) Br2 0x y2 2 2C.ax bx c 0D.x 2x x 12、 用换元法解方程(x 2+x)2+ (x 2 + x) = 6时，如果设x 2 + x = y ,那么原方程可变 形为()2 22 2C 、 y — y + 6— 0D 、y + y + 6— 0例2: 元—一次方程的二次项系数、一次项系数和常数项 .(1)x 2 10x 900 0 ⑵5x 2 10x 2.2 0(3)2 x 2 15 0(4)x 2 3x 0⑸(x 2)2 3⑹(x 3)(x 3) 0例3: 当m时，关于x 的方程(m+2 x |m| +3mx+1=0是一 儿二次方程。

⑤ ax 2 bx c 0⑥mx 20 (m 是不为零常数)例1:判断下列方程是否为儿二次方程:① x 2 x 1 ② x 21A、y + y —6—0B、y —y—6—03、已知两数的积是12,这两数的平方和是25,以这两数为根的一元二次方程是4、已知关于x的一元二次方程x2 (k 1)x 6 0的一个根是2,求k的值.四、课后练习1. 将方程3 x ( x 1 ) 5( x 2)化成一兀二次方程的一般形式，得________________ ；其中二次项系数是_________ ；一次项系数是 _________ ；常数项是.2. 方程(k 4)x2 5x 2k 3 0是一元二次方程，则k就满足的条件是_______ . ____3. ________________________________________________________ 已知m是方程x2-x-2=0的一个根，则代数式m_m= ________________________4. 在一幅长80cm宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm,设金色纸边的宽为xcm，则x满足的方程是( )2(A) x 130x 1400 0(B) x265 x 350 0(C) x2130x 1400 0(D) x265x 350 05•关于x的方程(m 3)x2nx m 0，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一兀一次方程?(2) --直接开方法一、考点、热点回顾1、了解形如x2=a(a > 0)或(x + h) 2= k(k > 0)的一元二次方程的解法 ------- 直接开平方法小结：如果一个一元二次方程具有(x m)2 n( n 0)的形式，那么就可以用直接开平方法求解。

(用直接开平方法解一元二次方程就是将一元二次方程的左边化为一个完全平方式，右边化为常数，且要养成检验的习惯)【复习回顾】1.方程(k 4)x2 5x 2k 3 0是一元二次方程，则k就满足的条件是_______ . ____2. ____________________________________________________ 若(a+1) x2+(x-1) 2=0 二次项的系数为-2,贝U a ____________________________二、典型例题例1:解下列方程：(1) x2= 2 (2) 4x2—1 = 0例2、解下列方程：2 2 2⑴(x 1) 2 (2)(x 1) 4 0 ⑶12(3 x) 3 0推荐例3:用直接开平方法解下列方程/八 1 2 2 2 2 2(1) 3x 1 15 0 (2) x 3 4 2x 1 (3) x2 2ax a2 b 04三、课堂练习1. 若方程(x-4 ) 2=m-6可用直接开平方法解，则m的取值范围是()A. m> 6 B . m> o C . m> 6 D . m=62. 方程(1-x ) 2=2的根是()A.-1、3B.1 、-3C.1- 、2、1+ ..2D. •、2-1、.. 2+13. 方程(3x —1)2=—5的解是________________ 。

4. 用直接开平方法解下列方程：2 2(1)4x =9; (2) (x+2) =16四、课后练习1、 ___________________________ 4的平方根是 ________________________ ,方程x 2 4的解是 ___________________ .2 22、 方程 x 1 ________ 1的根是 方程4 x 1 _________ 1的根是 .3、 当x 取 ______ 时，代数式x 2 5的值是2;若x 2 V81 0,则x 二 _________________4、 关于x 的方程3x 2 k 1 0若能用直接开平方法来解，则 k 的取值范围是( )A k > 1B 、k v 1 C5、解下列方程：2 2 1 (1) 2x 2 丄 03 9(4) 2 6 x 2 128 0&已知一个等腰三角形的两边是方程 4 (x 10)2 0的两根，求等腰三角形的面积2 2(5) 0.5y2 2(6) x 1 4x2(3)(2x-1) 2=3；(4)3(2x+1)2=12、k < 1 D 、k >12(2) 5x 4 6(1) X 1 10 X 1 90 (2) X 2 6ax 9a 2 4b 2 0、考点、热点回顾1、经历探究将一元二次方程的一般式转化为（x + h ））= k （n 》0）形式的过程, 进一步理解配方法的意义；2、 填空:(1) X 2+6X +=(X + ) ___ 3; (2)x 2-2X + =(X -) (3)X 2-5X +=(X - ) ___ 2; (4)X 2+X +=(X + )2 2(5)X +px+ =(X + )3、 将方程X 2+2X -3=0化为(x+h) 2=k 的形式为 _________ 小结1:用配方法解一元二次方程的一般步骤：1、 把常数项移到方程右边；2、 在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方;3、 利用直接开平方法解之。

小结2:当一元二次方程二次项系数不为 1时，用配方法解方程的步骤:①二次项系数化为1;②移项；③直接开平方法求解.例1 :将下列各进行配方:(2) X 2 3X 1推荐例3:用配方法解下列关于X 的方程:23 x 5 x 5 7⑴ X 2 + 10x+ ____ = ( X + 2 ⑵ X 2 — 6X + ___ = ( X — ___ )⑶ X 2 — 5X + 4例2 :解下列方程:_____ =( X —⑷ X 2 +bx + ____ =( X +（3）--配方法典型例题(a 2+b 2)2-2(a 2+b 2)-15=0，求斜边 c 的值例5、一个小球垂直向上抛的过程中，它离上抛点的距离 h( m 与抛出后小球运动的时间t(s)有如下关系：h 24t 5t 2。

经过多少秒后，小球离上抛点的高度 是 16m ？三、课堂练习1. 完成下列配方过程:4. 已知直角三角形的三边a 、b 、c ,且两直角边a 、b 满足等式(1) x 2+8x+ =(x+ _ )(2) 2x -x+ =(X-)(3) 2x + +4=(x+ ) 2 9 (4)x - + — 4 (x- —)22.若 x 2-mx+ 49=(x+ 25 A. 7 5 3.用配方法解下列方程: (1)x 2-6x-16=0 ； (3)x 2+2 . 3 x-4=0 ；B.--)2,贝U m 的值为() 5 7 5(2)x (4)xD.-14 52+3x-2=0;2-2x-2=0.例4:例1解方程：①2x 2 5x 2 0 ② 3x 2 4x 1 0推荐例6:求证：对任意实数X ，代数式x 24x 4.5的值恒大于零（1）求常数p 与m 的值；（2）求此方程的解。

5.用配方法解方程2y 2- 5y=1时，方程的两边都应加上（）J 5 A.B.5 C.兰D.5 244162 26.a +b+2a-4b+5=(a+ )2+(b-)37.用配方法解下列方程:2(1)2x +1= 3x ;(2)3y2-y-2=0 ;⑶3x 2-4x+1=0;(4)2x2=3-7x.8.若 4x 2-(4m-1)x+m 2+1 日 是 -个元全平方式，求m.四、课后练习1、用配方法解下列方程:2（1）x 6x 16 0211 (3)x 7 6x(4)x 2 1 x - 0453 212、把方程x 3x p 0配方，得到x m2(2)x 3x 2 03、 用配方法解方程 x 2 px q 0( p 2 4q 0)4、 用配方法解下列方程： (1) x 215 10x(2) 3x 2 12x -3(4)--公式法一、考点、热点回顾2 2 ________________________________________________1、 把方程 4-x =3x 化为 ax+bx+c=O(a 工0)形式为 ________________________ , b 2-4ac= _____ . _____2、 方程x 2+x-1=0的根是 _________________________________ 。

3、 方程3x 2+2=4x 的判别式b 2-4ac= ______________ ,所以方程的根的情况 是 _____ . ___4、 一元二次方程x 2-4x+4=0的根的情况是()⑶4 x 2- 12、、2 x- 1= 0 ⑷ 2x 2 7x 20,(5) 3x 2+ 2x — 3= 0 ⑹ 2x 2 4x 52、你能用配方法求：当x 为何值时，代数式 3x 2 6x 5有最大值?(3) 4x(x-1)-3=0 ;(4) x 2+5=2 5x.总结：一元二次方程ax2+bx+c=0(a 工0)的根的情况可由 __________ 来判断: 当 b 2-4ac > 0 时， ______________________________ 当 b 2-4ac=0 时， ________________________________ 当 b 2-4ac v 0 时， _______________________________二、典型例题例1:解下列方程:(1)x 2 3x 20;例2:解下列方程：(1)x 2 x 1 0;(2)x 2 2 3x 3 0; (3)2x 2 2x 1 0.例3:不解方程，判别下列方程根的情况.2 2(1) 2x+3x+4=0; (2) 2x -5=6x ;题变：1、试说明关于x 的方程x 2+(2k+1)x+k-1=0必定有两个不相等的实数根推荐例4：当k 为何值时，关于x 的方程kx 2—( 2k + 1) x + k + 3 = 0有两个不 相等的实数根？题变：1、已知一元二次方程(m-2) 2x 2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根，求 的取值范围. A.有两个不等的实数根C.没有实数根D.B. 有两个相等的实数根 不能确定(2)2x 2 7x 4变式：1、解方程：(1)2x(x 1) 3;(2)x 2 1 x( 2.、5 x).三、随堂练习1. 把方程(2x-1)(x+3)=x 2+1 化为ax2 + bx + c = 0 的形式，b2-4ac= ____________ 方程的根是 ________ . ______2. 方程(x-1)(x-3)=2 的根是()A. x 1=1,X2=3B.x=2 2 .3C.x=2 ,3D.x=-2 2.33. 关于x的一元二次方程x2+4x-m=0的一个根是.5 -2，则m _______ ，方程的另一个根是——4.右取简二次根式m7 和8m2是同类二次根式，贝U的值为( )A.9 或-1B.-1C.1D.95.用公式法解下列方程：(1) x2-2x-8=0 ; (2) x2+2x-4=0;(3) 2x2-3x-2=0 ; (4) 3x(3x-2)+1=0.6. 方程（2x+1）（9x+8）=1的根的情况是（） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定7. 关于x 的方程x 4+2.、. k x+1=0有两个不相等的实数根，则k （） A.k >-1 B.k >-1 C.k > 1 D.k > 08.要使关于x 的方程kx 2-4x+3=0有实数根，则k 应满足的条件是 （）A. k V 4/3B.k >4/3C.k < 4/3D.k >4/39. 已知方程x 2-mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组 m n 的值可 以是 m= ,n=. ___10. 不解方程，判断下列方程根的情况：2(4)x 2 6x 16 0四、课后练习1. 用公式法解方程.2 x 2+4. 3 x=2 2 ,其中求的b 2-4ac 的值是（）A.16B.4 C.32D.642. 用公式法解方程x 2=-8x-15 ，其中b 2-4ac= ___________________ ，方程的根 是 _______ . _____ 。