等差数列复习课

4．等差数列的判定方法 (1)定义法：_a_n＋__1－_数 列． (2)中项法：_2_a_n＋__1＝__a_n_＋__a_n_＋_2 (n∈N*)⇔{an}是等差数列． (3)通项公式法：a_n_＝__k_n_＋__b_(k、b 是常数)⇔{an}是等差数列． (4)前 n 项和公式法：__S_n＝__A_n_2_＋__B_n_(A、B 是常数，A≠0)⇔
等差数列中解决和求和问题，通常利用 Sn是n 等差数列的性质或基本量法．
【互动探究】 1 2．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 6S5－5S3＝5，则a4=
__3__.
考点 3 等差数列性质的应用 例 3：(1)已知Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，a6＝100，则 S11＝________； (2)若一个等差数列的前 4 项和为 36，后 4 项和为 124，且
(4)若等差数列{an}的前 n 项和 Sn，则Snn是等差数列，Sk、 S2k－Sk、S3k－S2k、S4k－S3k 是等差数列．
(5)当项数为 2n(n∈N*)，则 S 偶－S 奇＝nd，SS偶奇＝aan＋n1； 当项数为 2n－1(n∈N*)，则 S 奇－S 偶＝an，SS偶奇＝n－n 1.
4．已知数列{an}为等差数列，且 a1＋a7＋a13＝π4，则 tan(a2 3
＋a12)＝__3___.
5．已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，a1＝1，a4＝7，Sn ＝100，则 n＝__1_0_.
1．等差数列的概念 如果一个数列从第二项起，_每__一__项__与__它__前__一__项__的__差___等于同 一个常数 d，这个数列叫做等差数列，常数 d 称为等差数列的_公__ _差__． 2．通项公式与前 n 项和公式
3．(1)通项公式 _a_n_＝__a_1_＋__(n_－__1_)_d__，a1 为首项，d 为公差．
(2)前 n 项和公式_S_n＝__n__a_1_2＋__a_n_ 或__S_n＝__n_a_1_＋__12_n_(_n_－__1_)d____.
3．等差中项 如果_a_,A__,b____成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项． 即：A 是 a 与 b 的等差中项⇔_2_A_＝__a_＋__b_⇔a、A、b 成等差数列．
等差数列复习课 (第一课时)
1．设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，已知a2＝3，a6＝11， 则 S7 等于( C )
A．13
B．35
C．49
D. 63
2．已知{an}为等差数列，a1＋a3＝8，S4＝10，则a6 等于( B )
A．4
B．－8
C．12
D．16
3．已知Sn为等差数列{an}的前 n 项和，a4＝9，a9＝－6， Sn＝63，则 n＝_6__或__7__.
解题思路：利用方程的思想将Sn表示成关于a1、d 的方程， 或利用等差数列的性质．
解析：方法一：设等差数列的公差为 d，
则11000a1a＋1＋445d9＝501d0＝0 10 ⇒ad1＝＝－11510010909
∴S110＝110a1＋12×110×109d＝－110. 方法二：∵{an}为等差数列，∴可设 Sn＝An2＋Bn，
{an}是等差数列．
考点 1 等差数列的基本量运算
例 1：等差数列{an}的前n项和记为Sn，已知 a10＝20，S10 ＝155.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)若 Sn＝410，求 n.
解析：(1)由S10＝
a1＋a10×n＝a1＋20×10＝155，
2
2
得：a1＝11，a10＝a1＋9d⇒20＝11＋9d⇒d＝1，
等差数列的常用性质： (1)数列{an}是等差数列，则数列{an＋p}、{pan}(p 是常数) 都是等差数列． (2)an＝am＋(n－m)d，an＝an＋b(a、b 是常数)，Sn＝an2＋ bn(a、b 是常数，a≠0)． (3)若 m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq.
所有项的和为 780，则这个数列的项数 n＝________.
解题思路：(1)利用等差数列的有关性质求解．(2)利用等差 数列的前4项和及后4项和求出a1＋an，代入Sn 可求项数n.
解析：(1)S11＝11a12＋a11＝11×2 2a6＝11a6＝1 100.
(2)∵a1＋a2＋a3＋a4＝36，an＋an-1＋an-2＋an-3＝124， a1＋an＝a2＋an-1＝a3＋an-2＝a4＋an-3， ∴4(a1＋an)＝160⇒a1＋an＝40， ∴Sn＝ na1＋2 an＝780⇒20n＝780⇒n＝39.
则1100002AA＋＋1100B0＝B＝10100 ⇒AB＝ ＝1－110111010
，
∴S110＝1102A＋110B＝－110. 方法三：∵S100－S10＝90a112＋a100＝－90⇒a11＋a100＝－2， ∴S110＝110a12＋a110＝110a112＋a100＝－110.
方法四：∵{an}为等差数列，∴Snn为等差数列， ∴10，S1100，100，1S01000，110，S111100三点共线， ∴1S10100000－－S111000＝1S11111000－ －11S0010000⇒110－ 9010＝S1111001－0 110 ⇒S110＝－110.
an＝a1＋(n－1)d＝10＋n. (2)Sn＝na1＋nn－2 1d＝11n＋nn2－1＝410
⇒n2＋21n－820＝0，解得：n＝20 或n＝－41(舍去)．
【互动探究】
1．等差数列{an}的首项a1＝－5，它的前 11 项的平均值为 5，若从中抽去一项，余下的 10 项的平均值为 4.6，则抽去的是
( B) A．a6
B．a8
C．a10
D．a11
解析：已知S11＝55，即11a1＋ 11×2 10d＝55，又a1＝－5，
∴d＝2，由已知an＝55－46＝9，即－5＋(n－1)×2＝9，解得 n ＝8.
考点 2 求等差数列的前 n 项和
例 2：已知Sn为等差数列{an}的前 n 项和，S10＝100，S100 ＝10，求 S110.