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等差数列定义公开课

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等差数列的性质课件(公开课)

等差数列的性质课件(公开课)

所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费。
由题意得，
a1=11.2, d=1.2, n=11,
∴a11=11.2+(11－1) ×1.2 =23.2(元)
答:需要支付车费23.2元.
课堂练习
1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ B )
A . -1
你能得出一般结论吗？
性质二、两项和相等关系 数列{an}是等差数列，m、n、p、 q∈N+，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq. 推广：若m+n=2p，则am+an=2ap.
思考4.性质二反过来是否成立？
练习：判断对错：
(1)a3 + a5 = a1 + a7
(2)a1 + a4 + a6 = a3 + a8
53 2
an a3 (n 3)d
2 3(n 3)
3n 7
∴{an}的通项公式为an=3n-7
思考5. 在等差数列{an}中，若ap=q, aq=p,其中p,q
为正整数，求ap+q
例3. 某市出租车的计价标准是1.2元/km,起步价 为10元，即最初的4km（不含4km)计费10元. 如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目 的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付 多少车费？
等差数列(二)

知识回顾
1.等差数列 的定义： （1）.文字语言：如果一个数列从第2项起， 每一项与它前一项的差等于同一个常数.
（2）.数学语言 ： an1 an d, n N *
2.等差数列 的通项公式： an a1 (n 1)d, n N *

2.2等差数列定义与通项公式省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件

2.2等差数列定义与通项公式省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件

20 0 (n 1) 7 n 47 (舍)
2
7
第11页
例2 在等差数列中,已知a5=10,a12=31,
求首项a1与公差d.
解：由题意可知
an a1 (n 1)d
a1 4d 10 a1 11d 31
这是一个以 a1和 为d 未知数二元一次方程 组，解这个方程组，得
a1 2 d 3
A. 1
B. -1
C.- 1 3
5 D. 11
提醒： (-3a-5 )-(a-6)=(-10a-1) -(-3a-5 )
2. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10= -35 .
提醒： d=an+1- an=-4
3. 在等差数列{an}中a1=83，a4=98，则这个数列有 多少项在300到500之间？ 40
●
an f (n)
4
●
3
2
●
1
●
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
●
第15页
等差数列图象2
10
9 （2）数列：7，4，1，-2，…
8
7
●
6
5
4
●
3
2
●
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
●
第16页
10 等差数列图象3
9 （3）数列：4，4，4，4，4，4，4，… 8
7 6
5
a5 a4 d (a1 3d) d a1 4d
an a1 (n 1)d
n=1时亦适合
第8页
…
等差数列通项公式
a2 a1 d
a3 a2 d
a4 a3 d

等差数列教案市公开课一等奖省优质课获奖课件

等差数列教案市公开课一等奖省优质课获奖课件
(2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8 分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知 a3+a11=10， ∴ a6+a7+a8= 23（a3+a11）=15
第11页
已知{an}为等差数列 且 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求公差d.
三数成等差数列，它们和为12，首尾二数 积为12，求此三数.
已知数列an中，a1
3,
1 an
1 an1
5(n
2),则an
____ .
第12页
第13页
知识回顾
定义 — 假如一个数列从第2项起，每一项与
㈠等差数列公差 —
它前一项差 d =an+1-an
.
等于同. 一. 个. 常. 数. .
几通何项意—义a—n=a等同1+(差一n-数条1)d列直各线项上.对应点都在
【说明】 ①数列{ an }为等差数列
an+1-an=d 或an+1=an+d
；
②公差是 唯一 常数；
m n p q,am an ap aq.
第9页
等差数列性质1
1. {an}为等差数列
an+1- an=d
an+1=an+d
an= a1+(n-1) d an= kn + b（k、b为常数）
2. a、b、c成等差数列 b为a、c 等差中项AA
b a c 2b= a+c
③推导等差数列通项公式方法叫做 递推法.
第2页
由定义归纳通项公式
a2 － a1=d，

等差数列的概念公开课ppt课件

等差数列的概念公开课ppt课件
个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推 公式。
(1)第23到第29届奥运会举行的年份依次为 1984,1988,1992,1996,2000,2004,2008
(2)已知数列{an} ，其中 a1 =15， an = an-1 －2，n≥2， 写出这个数列的前六项。
15 13 11 9 7 5 (3)所有正偶数排成一列组成的数列
本节课主要学习： 一个定义：an an1 d, n 2, n N (d是常数)
一个公式：an a1 (n 1)d
一种思想：方程思想．
d 64
(2) 15，13，11，9，7，5 (3) 2, 4, 6, 8, 10， ……
a8=？ a1d00=2？我
们该如何求解 呢？d 2
(4) 1, 1, 1, 1, 1, ……
d 0
公差为0的数列
叫做常数列
公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的差， 防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以是正数， 负数，也可以为0 .
复习回顾
数列的定义，通项公式，递推公式
按一定次序排成的一列数叫做数列。
一般写成a1,a2,a3,…,an,…，简记为{an}。
如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，
那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如果已知数列{an}的第1项(或前几项），且任一项 an与它的前一项a n-1(或前几项）间的关系可以用一
已知一个等差数列{an}的首项是a1， 公差是d，如何求出它的任意项an呢？
根据等差数列的定义填空
a2 ＝a1＋d，
a3 ＝ a2 ＋d ＝（ a1 + d ） ＋d ＝a1 ＋ 2 d，
a4 ＝ a3 ＋d ＝（ a1 + 2 d ） ＋d ＝a1 ＋ 3 d ， ……

等差数列前n项和(公开课)PPT课件

等差数列前n项和(公开课)PPT课件
数学建模
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法

等差数列概念公开课

等差数列概念公开课

做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常
用字母d表示。
an1 an d 或an an 1 d
an1 an an an1 (n 2)
n 2
定义理解:
判断下列数列是否为等差数列；如果是，求出公差
1、数列4，7，10，13，16，…. 公差d=3
2、数列6，4，2，0，-2，-4； 3、数列 1, 1, 1, 1, 1； 公差d=-2 公差d=0
4、数列 -3，-2，-1，1，2，3 ； 不是 思考：你会求它 们的通项公式吗？
通项公式推导: 如果一个数列 a1 , a 2 , a3 , … an , …，
是等差数列，它的公差是d，那么
a2 a1 d
a3 a2 d (a1 d ) d a1 2d a4 a3 d (a1 2d ) d a1 3d a5 a4 d (a1 3d ) d a1 4d

今天你学到了什么？ 课后小结
1、等差数列的概念：
an an 1 d (n 2, n N ）
或

an 1 an d n N ） （

2、等差数列的通项公式：
an a1 (n 1)d
an , a1 , n ,d 这四个变量 ， 知道其中三
个量就可以求余下的一个 量.
an a1 (n 1)d ，n N
由此得到：
an a1 (n 1)d.
（通项公式）
等差数列的通项公式
结论：若一个等差数列{an}，它的首项为 公差是d，那么这个数列的通项公式是： 1
，
a
an a1 (n 1)d
a1、d、n、an中

小学奥数等差数列省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件

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例题
• 1、求等差数列3，5，7，9…..旳第10 项和第100项。
例题
例、电影院旳座位排列成扇形，第一排有60 个座位，后来每一排都比前一排多两个座位，共 有50排，请你算出第32排和第50排各有多少个 座位？
第一排：60 第二排：60+2X(2-1)=62 第n排： 60+2X(n-1)=2n+58 第32排：60+2X(32-1)=122 最终一排即第50排：60+2X(50-1)=158
+1 +1 +1 +1 +1 +1
(2)1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,(128 ) …等比数列
×2 ×2 ×2 ×2 ×2 ×2
(3)1, 4， 9， 16,（ 25 ），36，平…方数列
1×1 2×2 3×3
4×4
(4) 1,2，3 ,5，8, 13，21 ，（ 34 ）…斐波拉
契数列
第50项与倒数第50项旳和：50＋51＝101，
于是所求旳和是：
101 100 5050. 2
一、定义：
一般地，假如一种数列从第2项起，后一项与它旳前一项旳
差等于同一种常数，那麽这个数列就叫做等差数列。
这个常数叫做等差数列旳公差，公差一般用字母d表达。
公差 = 第二项－首项
例 1： 观察下列数列是否是等差数列：
2
例题
例、求首项为5，末项为155，项数是51旳等差数列旳和。 等差数列旳和 = （首项＋末项）×项数÷2
解：（5＋155）×51÷2 =160×51÷2 =80×51 =4080
例题
例、1＋3＋5＋7＋……＋95＋97＋99 等差数列旳和 = （首项＋末项）×项数÷2 解：1＋3＋5＋7＋……＋95＋97＋99

等差数列前n项和(公开课)PPT课件

等差数列前n项和(公开课)PPT课件
公式2
$S_n = na_1 + frac{n(n-1)}{2}d$。
公式3
$S_n = frac{d}{2}n^2 + (a_1 - frac{d}{2})n$。
公式证明
证明1
利用等差数列的定义和性质，通过数学归纳法证 明。
证明2
利用等差数列的通项公式，通过代数运算证明。
证明3
利用二次函数的性质，通过配方法证明。
险费等经济指标。
Байду номын сангаас
会计
在会计中，等差数列前n项和用 于计算成本、收入、利润等财务
数据。
统计学
在经济统计学中，等差数列前n 项和用于分析经济数据，如计算
GDP、CPI等经济指标。
04 等差数列前n项和的变式与拓展
CHAPTER
变式公式
公式1
$S_n = frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$，其中$a_1$是首项，$d$是 公差。
公式推导
01
02
03
定义首项和公差
设等差数列的首项为a1， 公差为d。
计算前n项和
前n项和公式为Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，其中n 为项数。
推导过程
通过等差数列的性质，将 前n项和表示为首项、公 差和项数的函数，再化简 得到最终公式。
公式应用
解决实际问题
验证结果
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、评估投资回报等。
03 等差数列前n项和的应用
CHAPTER
在数学中的应用
数学证明
等差数列前n项和公式是数学中常 用的工具，用于证明各种数学定 理和性质，如等差数列的性质、 求和公式等。

《等差数列》课件(公开课)

《等差数列》课件(公开课)

等差数列的性质
前n项和
等差数列的前n项和可以通过求 和公式来计算。
通项公式
等差数列的通项公式可以帮助 我们快速计算任意项的值。
逆向思维
通过逆向思维，我们可以利用 等差数列的性质解决一些复杂 的问题。
等差数列的应用
1
数学中的应用
等差数列可以用于数学模型和方程的推导和解决。
2
物理中的应用
在物理学中，等差数列可以用于描述物体在等时间间隔内的运动。
同余数列
1 定义
同余数列是指等差数列的 项数与公差均为整数倍的 数列。
2 性质
同余数列具有一些特殊的 性质，在数论和密码学领 域有广泛的应用。
3 应用
同余数列的应用范围广泛， 涵盖了数据加密、随机数 生成等方面。
总结
等差数列的重要性
等差数列在数学和实际生活中起 着重要的作用，帮助我们解决问 题和规划未来。
《等差数列》PPT课件(公 开课)
欢迎来到《等差数列》的公开课！今天我们将深入探讨等差数列的定义、性 质、应用以及解题技巧，让我们一起开启这个数学世界的探索之旅吧！
什么是等差数列
定义
等差数列是指每一项与其前 一项之间的差都是相等的数 列。
表示方式
等差数列可以通过首项和公 差项称为项 数，公差表示相邻两项之间 的差。
3
生活中的应用
等差数列可以帮助我们规划时间、财务预算，甚至管理团队。
如何求解等差数列
求和公式的推导
我们将讲解等差数列求和公式 的推导过程，帮助你理解其原 理。
求出第n项
通过已知的首项和公差计算任 意项的值，我们将演示具体的 计算方法。
求出一般项
通过已知的首项和公差计算通 项公式，帮助你快速计算数列 的任意项。

等差数列课件公开课

等差数列课件公开课

an=a1+(n-1)d=4n-1 ∴a4=4×4-1=15,
a10=4×10-1=39.
=7n-5(n≥1)令102=7n-5,得
n=107/7 N
∴102不是这个数列的项。
∴a10=33
数学建模思想
课时小结
• 通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定
义及数学表达式： an+1-an=d(n∈N*);
• 其次要会推导等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d( n ∈N*)
• 本课时的重点是通项公式的灵活应用,知道an,a1,d,n中 任意三个，应用方程的思想，可以求出另外一个。
解得：a1=-4，a2=-1， a3=2，a4=5， a5=8
(2)an an1 1, n N, n 2 ,
a1 3 求前五项
(2)an an1 1, n N, n 2 ,
a1 3
解得： a1=3，
a5=a4+1=7
a2=a1+1=3+1=4，
连州市第二中学 高一(5)班 刘望
复习回顾
数列的定义及简单表示法： 按一定次序排成的一列数叫做数列。
一般写成a1,a2,a3,…,an,…，简记为{an}。
数列有哪几种表示方法？ 通项公式法、列表法、图象法、递推公式.
如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，
那么这个公式就叫做这个数列·的通项公式。
6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000···
n
a -a =d（n=2，3, 22 1 , 23, 23 1 , 24, 24 1 , 25, 25 1 , 26...

高中数学新教材《4.2.1等差数列的概念 (1)》公开课优秀课件(好用)

高中数学新教材《4.2.1等差数列的概念 (1)》公开课优秀课件(好用)
12n
元,每月支付给银行的利息(单位: 元)依次为
ar,ar br,ar 2br,ar 3br,. (4)
5.姚明刚进NBA一周训练罚球的个数：
第一天：6000， 第二天：6500， 第三天：7000， 第四天：7500， 第五天：8000， 第六天：8500， 第七天：9000.
得到数列： 6000，6500，7000，7500，
反之,如果一个数列从第2项起,每一项（有穷 数列的末项除外）都是它的前一项与后一 项的等差中项，那么这个数列是等差数列.
5.等差数列的通项公式：
a 问题：若一个等差数列 {an} ,它的首项为 1,
公差是d，那么这个数列的通项公式是什么?
通项公式：
an a1 (n 1)d
等差数列{ an }的首项是 a1 , 公差是d
(2)由题意知, a1 8, d 5 8 3,
于是, an 8 3(n 1) 11 3n, a20 11 3 20 49.
所以,这个数列的第20项是 49.
2.变式练习
1 401是不是等差数列 5, 9, 13, 的项？若是,是第几项？
解: (1)由题意知, a1 5, d 9 (5) 4,
a1、d、n、an中
知三求一 推导公式:任意两项an和am之间的关系:
an am (n m)d
6.巩固新知3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
已知 {an} 是等差数列,请完成下表：
a1
a3 a5 a7
d
7
1
8
31
15
2
2
4
15
2 11 24 6.5
三、巩固新知
1.例1. (1)已知等差数列an的通项公式为an 5 2n，
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独立自学
• 等差数列的定义是什么？ • 等差数列公式有哪些？ • 如何应用公式解题呢？
00:18:32
知识梳理
1、一般地，如果一个数列_从_第__２_项_起_,每一项与
前一项差__同__一_个_常__数______,那么这个数列
就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列
的_公_差__,用_ｄ_表示，定义的表达式为an+1-an =d
2、在等差数列﹛an
﹜中，a 6
= 10, 求S . 11
变式1、在等差数列﹛a ﹜n 中，S = 9,求a
13
7
变式2已知 S 和T 分别是等差数列
n
n
﹛a﹜n和等差数列﹛bn,﹜的前n项和， 且
s 3n + 1
n=
,求
T 4+n n
a10 的值. b10
变式3 在等差数列{a n }中，a1
+a 2
00:18:32
• 变式、已知数列﹛an﹜的前和Sn = n2+n+1
求 an
解：an = sn - sn-1 n ≥ 2 = n2 + n +1- n -12 - n -1 -1 = 2n
当n = 1时，a1 = s1 = 3, 不满足上式
所以a n
=
3, n = 1 2n, n ≥ 2
解：an = sn - sn-1 n ≥ 2 = n2 + n +1- n -12 - n -1-1 = 2n
当n = 1时，a1 = s1 = 3, 不满足上式
所以a n
=
3, n = 1 2n, n ≥ 2
00:18:32
变式训练
• 2、在等差数列﹛an﹜中，a6 =10,求S11.
+a 3
= 10,
1100
a + a + a = 100, S =
, 求n.
n-2
n -1
n
n
3
00:18:32
一题多解
• 3、设等差数列﹛an﹜满足 a3=5,a10 = -9,
• 求（1）﹛an﹜的通项公式；
• （2）求 Sn 的值及取得最大时的序号n
的值.
00:18:32
直击高考
• 4、已知数列 ﹛an﹜ 满足 an+1 + an = 4n - 3n∈N+
列.
00:18:32
•当堂诊学
00:18:32
当堂诊学
• 1之、比等为差n＿数+＿1列；﹛an﹜共有2n+1项，则奇数项之和和偶数项之和 n
c •
２、等差数列﹛an﹜前n项和为
则m=
Sn，已知
a m-1
+
a m+1
-
am2
=
0, S2m-1
=
38,
• A、38 B、20 C、10 D、9
→
• 3、等差数列﹛an﹜前n项和为Sn = n2 + 1, 则向量 m = a1, a 4 的模为c
解：s11
=
11a1 +
2
a11

=
11a
6
=
110
00:18:32
• 变式1、在等差数列﹛an ﹜中，S13 9, 求a7
13
解：s13 =
a1 + a13 2
= 13a7 = 9
所以a 7
=
9 13
00:18:32
变式2已知 Sn和Tn 分别是等差数列
• ﹛a n﹜和等差数列﹛bn,﹜的前n项和，且
00:18:32
• 1、已知数列﹛an﹜的前n项和 Sn = n2 +，n 求an
解：an = sn - sn-1 n 2 = n2 + n - n -12 - n -1 = 2n
当n = 1时，a1 = s1 = 2, 满足上式 所以an = 2n
变式、已知数列﹛an﹜的前n项和Sn= n2+n+1，求 an
• Ａ、14 Ｂ、21 Ｃ、28 Ｄ、35
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变式训练
• 1、已知数列﹛an﹜的前n项和 Sn = n2 + n，求an
解：an = sn -sn-1 n 2 = n2 + n -n -12 - n -1 = 2n
当n = 1时，a1 = s1 = 2, 满足上式 所以an = 2n
• sn = 3n+1, • Tn 4+n
求 a10 的值.
b10
a1 + a19 19(a1 + a19 )
解：a10 b10
=
2 b1 + b19
=
2 19(b1 +
b19）=
s19 T19
2
2
319 1 58 4 19 3
在等差数列{an }中，a1 + a2 + a3 = 10,
• (1)若﹛an ﹜是等差数列,求其通项公式;
• (2)若﹛an ﹜满足 a1 = 2, Sn为﹛an﹜的前n项和，
求
S 2n +1
•
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目标再现
• 1、数列中的前n项和在什么条件下才是等 差数列；
• 2、利用等差数列的中项公式和前n项和公 式结构特点相互转化；
• 3、探索一题多解； • 4、有些数列的奇数项和偶数项各成等差数
an-2
+ an-1
+ an
=
100,Sn
=
1100 ,求n. 3
解：依条件可得
a1 + a 2 + a 3 + a n-2 + a n-1 + a n = 3 a1 + a n = 110
所以a1
+
an
=
110 3
而sn
=
n a1 + an
2
=
1100 3
⇒n
=
20
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•
前n项和公式分别可以看作以＿＿为自变量 00:18一:32 次和二次函数．
引导探究
• １、等差数列前100项中，偶数项的和为200，
奇数项的和为100，则公差d=__2_
• 2、设﹛an﹜为等差数列，公差d=-2，sn 为前n
项和，若 s11 = s10 ，则 a1 ＝ ＿2＿0
3、如果等差数列﹛ an ﹜中，a3+a4 +a5 =12 • a1+a2 + L +a7 = （ c ）
______
an = a1 + n -1d an = am +n- md
an 2= 、an+1等2+ an差-1 a数p + a列q = a主m +要an s公n =式n有a＿12+＿an＿s＿n =＿na1＿+ ＿n n＿2-1＿ d
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
ｄ≠０
3、等差数列中，在_____条件下ｎ,通项公式和
八子分绵 • 九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠 • 次弟每人多十七，要将弟八数来言 • 务要分明依次弟，孝和休惹外人传
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目标引领
• 理解等差数列的概念 • 熟记等差数列的公式 • 通项公式和前n项和公式与函数之间的关系 • 应用等差数列公式解决具体问题
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