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2019届苏教版(理科数学) 不等式选讲 单元测试

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第一节绝对值不等式1．绝对值不等式性质1：|a|＋|b|≥|a＋b|.性质2：|a|－|b|≤|a＋b|.性质3：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值不等式|x|<a与|x|>a的解法：(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解．②利用零点分段法求解．③构造函数，利用函数的图象求解．[小题体验]x|1≤x≤3，则实数＝________. 1．若不等式| x－4|≤2的解集为{}解析：由| x－4|≤2⇔2≤ x≤6.x|1≤x≤3，因为不等式的解集为{}所以＝2.答案：22．函数y＝|x－4|＋|x＋4|的最小值为________．解析：因为|x－4|＋|x＋4|≥|(x－4)－(x＋4)|＝8，即函数y的最小值为8.答案：83．不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是________． 解析：f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.当－1<x <2时，由2x －1≥1，解得1≤x <2. 又当x ≥2时，f (x )＝3>1恒成立． 所以不等式的解集为{}x |x ≥1. 答案：{}x |x ≥11．对形如|f (x )|>a 或|f (x )|<a 型的不等式求其解集时，易忽视a 的符号直接等价转化造成失误．2．绝对值不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |中易忽视等号成立的条件．如|a －b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≤0时等号成立，其他类似推导．[小题纠偏]1．(2018·苏州暑假测试)不等式x ＋|2x ＋3|≥2的解集为________． 解析：因为x ＋|2x ＋3|≥2，所以|2x ＋3|≥2－x ， 所以2x ＋3≥2－x 或2x ＋3≤－(2－x )， 解得x ≥－13或x ≤－5，所以不等式的解集是xx ≥－13或x ≤－5.答案：xx ≥－13或x ≤－52．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|， 要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3， 所以－3≤a －1≤3，所以－2≤a ≤4. 答案：[－2,4]考点一 绝对值不等式的解法 (基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．在实数范围内，解不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6. 解：法一：当x >12时，原不等式转化为4x ≤6⇒12<x ≤32；当－12≤x ≤12时，原不等式转化为2≤6，恒成立；当x <－12时，原不等式转化为－4x ≤6⇒－32≤x <－12.综上知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32.法二：原不等式可化为⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12≤3， 其几何意义为数轴上到12，－12两点的距离之和不超过3的点的集合，数形结合知，当x＝32或x ＝－32时，到12，－12两点的距离之和恰好为3，故当－32≤x ≤32时，满足题意，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32.2．(2018·南京高三年级学情调研)解不等式：|x －2|＋|x ＋1|≥5. 解：当x ＜－1时，不等式可化为－x ＋2－x －1≥5，解得x ≤－2； 当－1≤x ≤2时，不等式可化为－x ＋2＋x ＋1≥5，此时不等式无解； 当x ＞2时，不等式可化为x －2＋x ＋1≥5，解得x ≥3， 所以原不等式的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞)． 3．(2018·南京学情调研)解不等式|x －1|＋2|x |≤4x .解：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－x －2x ≤4x或⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤1，1－x ＋2x ≤4x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，x －1＋2x ≤4x . 解⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，1－x －2x ≤4x ，得x ∈∅； 解⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ≤1，1－x ＋2x ≤4x ，得13≤x ≤1；解⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，x －1＋2x ≤4x ，得x ＞1. 所以原不等式的解集为⎣⎡⎭⎫13，＋∞. [谨记通法]解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式； (2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．考点二 绝对值三角不等式的应用 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2018·苏州测试)已知a ≥2，x ∈R ，求证：|x －1＋a |＋|x －a |≥3. 证明：因为|x －1＋a |＋|x －a |≥|x －1＋a －(x －a )|＝|2a －1|， 又a ≥2，故|2a －1|≥3. 所以|x －1＋a |＋|x －a |≥3.2．若对于实数x ，y 有|1－x |≤2，|y ＋1|≤1，求|2x ＋3y ＋1|的最大值． 解：因为|2x ＋3y ＋1|＝|2(x －1)＋3(y ＋1)| ≤2|x －1|＋3|y ＋1|≤7， 所以|2x ＋3y ＋1|的最大值为7.[由题悟法](1)绝对值三角不等式定理|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中等号成立的条件要特别注意，特别是用此定理求最值及进行不等式放缩时．(2)定理可推广：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.[即时应用]已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.证明：因为|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|. 所以由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y |≤1.考点三 绝对值不等式的综合应用 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2018·苏州期末)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求实数a 的取值范围． 解：(1)证明：因为a >0，所以f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪x ＋1a －(x －a )＝1a ＋a ≥2.当且仅当a ＝1时等号成立． (2)因为f (3)<5，所以3＋1a ＋|3－a |<5，即1a＋|a －3|<2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <3，1a ＋3－a <2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，1a＋a －3<2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <3，a 2－a －1>0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，a 2－5a ＋1<0，解得1＋52<a <3或3≤a <5＋212.所以正实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.[由题悟法](1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．(2)f (x )＜a 恒成立⇔f (x )ma x ＜a . f (x )>a 恒成立⇔f (x )min ＞a .[即时应用](2018·宿迁调研)设函数f (x )＝|x ＋2|＋|x －a |(a ∈R)． (1)若不等式f (x )＋a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若不等式f (x )≥32x 恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ≥0时，f (x )＋a ≥0恒成立， 当a ＜0时，要保证f (x )≥－a 恒成立， 即f (x )的最小值|a ＋2|≥－a ， 解得－1≤a ＜0，故a ≥－1.所以实数a 的取值范围为[－1，＋∞)．(2)由题意可知，函数y ＝f (x )的图象恒在直线y ＝32x 的上方，画出两个函数图象可知，当a ≤－2时，符合题意，当a ＞－2时，只需满足点(a ，a ＋2)不在点⎝⎛⎭⎫a ，32a 的下方即可，所以a ＋2≥32a ，即－2＜a ≤4.综上，实数a 的取值范围是(－∞，4]．1．已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]． (1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a |＜m ，求证：|x |＜|a |＋1.解：(1)不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1， 解得1≤x ≤2，所以m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3.(2)证明：若|x －a |＜1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |＜|a |＋1.即|x |＜|a |＋1. 2．(2018·苏北四市一模)设c ＞0，|x －1|＜c 3，|y －1|＜c3，求证：|2x ＋y －3|＜c .证明：因为|x －1|＜c 3，|y －1|<c3，所以|2x ＋y －3|＝|2x －2＋y －1| ≤|2x －2|＋|y －1|＜2c 3＋c3＝c ，故|2x ＋y －3|＜c .3．若关于x 的不等式|x ＋1|－|x －2|<a 2－4a 有实数解，求实数a 的取值范围． 解：因为||x ＋1|－|x －2||≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 所以－3≤|x ＋1|－|x －2|≤3.由不等式a 2－4a >|x ＋1|－|x －2|有实数解， 知a 2－4a >－3，解得a >3或a <1，所以实数a 的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)． 4．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若f (x )≤m 的解集为{}x |－1≤x ≤5，求实数a ，m 的值； (2)当a ＝2且0≤t ＜2时，解关于x 的不等式f (x )＋t ≥f (x ＋2)． 解：(1)因为|x －a |≤m ，所以－m ＋a ≤x ≤m ＋a . 因为－m ＋a ＝－1，m ＋a ＝5， 所以a ＝2，m ＝3.(2)f (x )＋t ≥f (x ＋2)可化为|x －2|＋t ≥|x |. ①当x ∈(－∞，0)时，2－x ＋t ≥－x,2＋t ≥0， 因为0≤t ＜2，所以x ∈(－∞，0)；②当x ∈[0,2)时，2－x ＋t ≥x ，x ≤1＋t 2，0≤x ≤1＋t2，因为1≤1＋t 2＜2，所以0≤x ≤1＋t2；③当x ∈[2，＋∞)时，x －2＋t ≥x ，t ≥2，当0≤t ＜2时，无解． 综上，当0≤t ＜2时，所求不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，t2＋1. 5．设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)求证：f (x )≥1； (2)若f (x )＝a 2＋2a 2＋1成立，求x 的取值范围．解：(1)证明：f (x )＝|x －1|＋|x －2|≥|(x －1)－(x －2)|＝1.(2)因为a 2＋2a 2＋1＝a 2＋1＋1a 2＋1＝a 2＋1＋1a 2＋1≥2， 当且仅当a ＝0时等号成立， 所以要使f (x )＝a 2＋2a 2＋1成立，只需|x －1|＋|x －2|≥2，即⎩⎪⎨⎪⎧ x <1，1－x ＋2－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x <2，x －1＋2－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －1＋x －2≥2，解得x ≤12或x ≥52，故x 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞. 6．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2； 当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－322＋54≤54， 当且仅当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，54. 7．设函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|. (1)解不等式f (x )＞0；(2)若∃x 0∈R ，使得f (x 0)＋2m 2＜4m ，求实数m 的取值范围． 解：(1)不等式f (x )＞0，即|2x －1|＞|x ＋2|， 即4x 2－4x ＋1＞x 2＋4x ＋4，3x 2－8x －3＞0，解得x ＜－13或x ＞3，所以不等式f (x )＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－13或x ＞3.(2)f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3，x ＜－2，－3x －1，－2≤x ≤12，x －3，x ≥12，故f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫12＝－52. 因为∃x 0∈R ，使得f (x 0)＋2m 2＜4m ， 所以4m －2m 2＞－52，解得－12＜m ＜52.故实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，52. 8．已知函数f (x )＝|3x ＋2|. (1)解不等式f (x )<4－|x －1|；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n >0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n (a >0)恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)不等式f (x )<4－|x －1|，即|3x ＋2|＋|x －1|<4. 当x <－23时，即－3x －2－x ＋1<4，解得－54<x <－23；当－23≤x ≤1时，即3x ＋2－x ＋1<4，解得－23≤x <12；当x >1时，即3x ＋2＋x －1<4，无解． 综上所述，x ∈⎝⎛⎭⎫－54，12. (2)由题意，1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋m n ≥4， 当且仅当m ＝n ＝12时等号成立．令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2＋a ，x <－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x >a .所以x ＝－23时，g (x )ma x ＝23＋a ，要使不等式恒成立，只需g (x )ma x ＝23＋a ≤4，即0<a ≤103.所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，103. 第二节不等式的证明1．基本不等式(1)定理：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)定理(基本不等式)：如果a ，b ＞0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．也可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．2．三个正数的算术—几何平均不等式(1)定理：如果a ，b ，c 均为正数，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． (2)基本不等式的推广对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．3．比较法(1)比差法的依据是：a －b ＞0⇔a ＞b .步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．(2)比商法：若B ＞0，欲证A ≥B ，只需证AB ≥1.4．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．5．柯西不等式的二维形式(1)柯西不等式的代数形式：设a 1，a 2，b 1，b 2均为实数，则(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2，当且仅当a 1b 2＝a 2b 1时，等号成立．(2)三角形不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R ，那么(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(x 2－x 3)2＋(y 2－y 3)2≥(x 1－x 3)2＋(y 1－y 3)2.6．柯西不等式的一般形式 设n 为大于1的自然数，a i ，b i (i ＝1,2，…，n )为任意实数，则∑i ＝1na 2i ∑i ＝1nb 2i ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝1n a i b i 2，其中等号当且仅当b 1a 1＝b 2a 2＝…＝b na n 时成立(当a i ＝0时，约定b i ＝0，i ＝1,2，…，n )．[小题体验]1．已知a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝2，则1a ＋1b 的最小值为________． 解析：因为a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝2， 所以(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 所以1a ＋1b ≥4a ＋b ＝2，即1a ＋1b 的最小值为2(当且仅当a ＝b ＝1时，“＝”成立)．答案：22．已知x ，y ∈R ，且xy ＝1，则⎝⎛⎭⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎫1＋1y 的最小值为________． 解析：⎝⎛⎭⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎫1＋1y ≥⎝⎛⎭⎫1＋1xy 2＝4. 答案：43．已知a ＞b ，求证：a 3＋a 2b ≥ab 2＋b 3.证明：因为a ＞b ，所以(a 3＋a 2b )－(ab 2＋b 3)＝(a 3－b 3)＋(a 2b －ab 2)＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＋ab (a －b )＝(a －b )·(a ＋b )2≥0，所以a 3＋a 2b ≥ab 2＋b 3.1．在使用作商比较法时易忽视说明分母的符号．2．在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，易忽视性质成立的前提条件．[小题纠偏]1．已知a >0，b >0，则a a b b与(ab )+2a b的大小关系为________．解析：因为a ab b(ab )+2a b ＝⎝⎛⎭⎫a b 2－a b，所以当a ＝b 时，⎝⎛⎭⎫a b 2－a b＝1，当a >b >0时，ab >1，a －b 2>0，所以⎝⎛⎭⎫a b 2－a b>1，当b >a >0时，0<ab <1，a －b 2<0，则⎝⎛⎭⎫a b 2－a b>1，所以a a b b≥(ab )+2a b . 答案：a a b b≥(ab )+2a b2．已知a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________． 解析：把a ＋b ＋c ＝1代入1a ＋1b ＋1c 得a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．答案：9考点一 比较法证明不等式 (基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．求证：当x ∈R 时，1＋2x 4≥2x 3＋x 2. 证明：法一：(1＋2x 4)－(2x 3＋x 2) ＝2x 3(x －1)－(x ＋1)(x －1) ＝(x －1)(2x 3－x －1) ＝(x －1)(2x 3－2x ＋x －1) ＝(x －1)[2x (x 2－1)＋(x －1)] ＝(x －1)2(2x 2＋2x ＋1) ＝(x －1)2⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋122＋12≥0， 所以1＋2x 4≥2x 3＋x 2.法二：(1＋2x 4)－(2x 3＋x 2) ＝x 4－2x 3＋x 2＋x 4－2x 2＋1 ＝(x －1)2·x 2＋(x 2－1)2≥0， 所以1＋2x 4≥2x 3＋x 2.2．(2018·南京、盐城一模)设a ≠b ，求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab (a 2＋b 2)． 证明：因为a 4＋6a 2b 2＋b 4＝(a 2＋b 2)2＋4a 2b 2，所以a 4＋6a 2b 2＋b 4－4ab (a 2＋b 2)＝(a 2＋b 2－2ab )2＝(a －b )4. 因为a ≠b ，所以(a －b )4＞0， 从而a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab (a 2＋b 2)．[谨记通法]比较法证明不等式的步骤(1)作差(作商)；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论．其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负．考点二 综合法、分析法证明不等式 (重点保分型考点——师生共研) P175[典例引领]1．(2018·苏州学情调研)已知x ，y ， 均为正数．求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .证明：因为x ，y ， 都为正数， 所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝⎛⎭⎫y x ＋x y ≥2z， 同理可得，y zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y，当且仅当x ＝y ＝ 时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .2．(2017·徐州三检)已知a ，b ∈R ，a >b >e(其中e 是自然对数的底数)，求证：b a >a b . 证明：因为b a >0，a b >0，所以要证：b a >a b ， 只要证a ln b >b ln a ， 只要证ln b b >ln aa .(因为a >b >e)取函数f (x )＝ln xx ，因为f ′(x )＝1－ln x x 2，所以当x >e 时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(e ，＋∞)上是单调递减函数． 所以当a >b >e 时，有f (b )>f (a )，即ln b b >ln aa ，即b a >a b .[由题悟法]1．综合法证明不等式的方法综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．2．用分析法证“若A 则B ”这个命题的模式 为了证明命题B 为真，只需证明命题B 1为真，从而有… 只需证明命题B 2为真，从而有… ……只需证明命题A 为真，而已知A 为真，故B 必真． 3．分析法的应用当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．[即时应用]1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 证明：(1)因为a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0， 所以1a ＋1b ＋1ab＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2⎝⎛⎭⎫a ＋b a ＋a ＋b b ＝2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋4 ≥4b a ·ab ＋4＝8⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，所以1a ＋1b ＋1ab ≥8.(2)因为⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1a ＋1b ＋1ab＋1，由(1)知1a ＋1b ＋1ab ≥8.所以⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 2．设x ≥1，y ≥1，求证x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy . 证明：由于x ≥1，y ≥1， 要证x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ， 只需证xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2. 因为[y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)， 因为x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0， 从而所要证明的不等式成立．考点三 柯西不等式的应用 (重点保分型考点——师生共研) P176[典例引领](2018·南京学情调研)设实数x ，y ， 满足x ＋5y ＋ ＝9，求x 2＋y 2＋ 2的最小值． 解：由柯西不等式得(x 2＋y 2＋ 2)(12＋52＋12)≥(1·x ＋5·y ＋1· )2. 因为x ＋5y ＋ ＝9，所以x 2＋y 2＋ 2≥3， 当且仅当x ＝13，y ＝53， ＝13时取等号．所以x 2＋y 2＋ 2的最小值为3.[由题悟法]柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等．应用时，通过拆常数，重新排序、添项，改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式．[即时应用](2018·淮安高三期中)已知正数x ，y ， 满足x ＋y ＋ ＝4，求x 24＋y 29＋ 2的最小值．解：由柯西不等式得，⎝⎛⎭⎫x 24＋y29＋z 2(4＋9＋1)≥⎝⎛⎭⎫x 2×2＋y 3×3＋z ×12＝(x ＋y ＋ )2＝16，当且仅当x 22＝y 33＝z 1，即x ＝87，y ＝187， ＝27时取“＝”．所以x 24＋y 29＋ 2的最小值为87.1．(2018·南京、盐城一模)若实数x ，y ， 满足x ＋2y ＋ ＝1，求x 2＋y 2＋ 2的最小值． 解：由柯西不等式，得(x 2＋y 2＋ 2)(12＋22＋12)≥(x ＋2y ＋ )2＝1， 当且仅当x 1＝y 2＝z 1，即x ＝ ＝16，y ＝13时取等号．所以(x 2＋y 2＋ 2)min ＝16.2．已知a ＞0，b ＞0,2c ＞a ＋b ，求证： c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab .证明：要证：c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab ， 只需证：－c 2－ab ＜a －c ＜c 2－ab ， 只需证：|a －c |＜c 2－ab ， 只需证：(a －c )2＜c 2－ab ，只需证：a 2＋c 2－2ac ＜c 2－ab ，即证：2ac ＞a 2＋ab .因为a ＞0，所以只需证2c ＞a ＋b ，由题设，上式显然成立． 故c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab .3．(2018·苏州高三期中调研)设x ，y 均为正数，且x >y ，求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y＋3.证明：因为x >0，y >0，x －y >0， 所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1(x －y )2＝(x －y )＋(x －y )＋1(x －y )2≥33(x －y )21(x －y )2＝3， 当且仅当x －y ＝1(x －y )2时等号成立， 所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.4．(2018·南通一调)求函数y ＝3sin x ＋22＋2cos 2x 的最大值． 解：y ＝3sin x ＋22＋2cos 2x ＝3sin x ＋4cos 2x . 由柯西不等式得y 2＝(3sin x ＋4cos 2x )2≤(32＋42)(sin 2x ＋cos 2x )＝25， 所以y ma x ＝5，此时sin x ＝35.所以函数y ＝3sin x ＋22＋2cos 2x 的最大值为5. 5．已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：a b ＋c ＋b a ＋c ＋c a ＋b ≥32. 证明：因为a ，b ，c ∈R ＋， 所以a b ＋c ＋b a ＋c ＋c a ＋b＝a ＋b ＋c b ＋c ＋a ＋b ＋c a ＋c ＋a ＋b ＋ca ＋b－3 ＝(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1b ＋c ＋1a ＋c ＋1a ＋b －3＝12[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(a ＋c )]⎝⎛⎭⎫1b ＋c ＋1a ＋c ＋1a ＋b －3≥12×33(a ＋b )(a ＋c )(b ＋c )×331(a ＋b )(a ＋c )(b ＋c )－3＝92－3＝32，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立，所以a b ＋c ＋b a ＋c ＋c a ＋b ≥32. 6．(2018·镇江期末)已知a ＞0，b ＞0，证明：(a 2＋b 2＋ab )(ab 2＋a 2b ＋1)≥9a 2b 2. 证明：因为a ＞0，b ＞0，所以由基本不等式可得a 2＋b 2＋ab ≥33a 3b 3＝3ab ， ab 2＋a 2b ＋1≥33a 3b 3＝3ab ，两式相乘可得(a 2＋b 2＋ab )(ab 2＋a 2b ＋1)≥9a 2b 2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号． 7．已知a ，b ，c 为正实数，1a 3＋1b 3＋1c 3＋27abc 的最小值为m ，解关于x 的不等式|x ＋1|－2x ＜m .解：因为a >0，b >0，c ＞0，所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋27abc ≥331a 3·1b 3·1c 3＋27abc ＝3abc ＋27abc ≥2 3abc·27abc ＝18， 当且仅当a ＝b ＝c ＝ 313时取“＝”，所以m ＝18.所以不等式|x ＋1|－2x ＜m ，即为|x ＋1|＜2x ＋18，所以－2x －18＜x ＋1＜2x ＋18，解得x ＞－193，所以原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－193，＋∞. 8．设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －3，x ∈[1，＋∞)，1－x ，x ∈(－∞，1).当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43；当x ＜1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x ＜1.所以f (x )≤1的解集为M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0≤x ≤43. (2)证明：由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4得16⎝⎛⎭⎫x －142≤4， 解得－14≤x ≤34.因此N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －14≤x ≤34，故M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0≤x ≤34. 当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ， 于是x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )] ＝x ·f (x )＝x (1－x ) ＝14－⎝⎛⎭⎫x －122≤14.。

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第3章 不等式 达标检测高一数学苏教版(2019)必修第一册

第3章 不等式 达标检测高一数学苏教版(2019)必修第一册

新高一2021本章达标检测一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知a,b,c,d∈R,则下列不等式恒成立的是( )A.若a>b,c>d,则ac>bdB.若a>b,则ac2>bc2C.若a>b>0,则(a-b)c>0D.若a>b,则a-c>b-c2.关于x的不等式x2-2x+3≤a2-2a-1的解集是⌀,则实数a的取值范围是( )A.(-1,3)B.(-∞,-1)∪(3,+∞)C.(0,3)D.(-∞,0)∪(3,+∞)3.设0<a<b,则下列不等式正确的是( )A.a<b<√ab<a+b2B.a<√ab<a+b2<bC.a<√ab<b<a+b2D.√ab<a<a+b2<b4.“a>0”是“一元二次不等式ax2+bx+c>0恒成立”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.已知x>0,y>0,且1x+3+1y=12,则x+y 的最小值为( )A.5B.6C.7D.86.不等式组{x 2-1<0,x 2-3x <0的解集为( )A.{x|-1<x<1}B.{x|0<x<3}C.{x|0<x<1}D.{x|-1<x<3}7.若正数a,b 满足ab=2(a+b)+5,设y=(a+b-4)(12-a-b),则y 的最大值是( ) A.12 B.-12 C .16 D.-168.设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z=0,则当xyz 取得最大值时,2x +1y −2z的最大值是( )A.0B.1C.94D.3二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.已知不等式ax 2+bx+c>0的解集为{x|−12<x <2},则下列结论正确的是( ) A.a>0 B .b>0 C.c>0 D .a+b+c>010.若a,b,c 为实数,且a<b<0,则下列不等式错误的有( )A.ac2<bc2B.1a <1bC.ba >abD.ab>b211.给出下列四个条件:①xt2>yt2;②xt>yt;③x2>y2;④0<1x <1y.其中能成为x>y的充分条件的是( )A.①B.②C.③D.④12.若关于x的方程x2-(m-1)x+2-m=0的两根为正数,则m的取值可以是( )A.-1-2√2B.-1+2√2C.1.9D.1.99三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.已知a>b,a-1a >b−1b同时成立,则ab应满足的条件是.14.若不等式ax2+5x+c>0的解集为{x|13<x<12},则a= ,c= .(本小题第一个空2分,第二个空3分)15.已知函数y=(m2+4m-5)x2+4(1-m)x+3对任意实数x,函数值恒大于零,则实数m 的取值范围是.16.已知a>b,不等式ax2+2x+b≥0对一切实数x恒成立.若存在x0∈R,使a x02+2x0+b=0成立,则a 2+b2a-b的最小值为.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知命题p:A={x|x2-4x+3≤0},q:B={x|(x-a)(x-a2-1)≤0}.(1)若a=-1,求集合B;(2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.18.(本小题满分12分)(1)已知x>2,求3x+1x-2的最小值;(2)已知a>0,b>0,且1a +2b=2,求a+b的最小值.19.(本小题满分12分)已知命题p:∀x∈R,x2+2m-3>0.命题q:∃x∈R,x2-2mx+m+2<0.(1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;(2)若命题q为真命题,求实数m的取值范围;(3)若命题p,q至少有一个为真命题,求实数m的取值范围.20.(本小题满分12分)如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B点在AM上,D点在AN上,且对角线MN过C点,已知AB的长为3米,AD 的长为2米.(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则DN的长应在什么范围内?(2)当DN的长为多少时,矩形花坛AMPN的面积最小?并求出最小值.21.(本小题满分12分)设y=ax2+(1-a)x+a-2.(1)若不等式y≥-2对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;(2)解关于x的不等式ax2+(1-a)x+a-2<a-1(a∈R).22.(本小题满分12分)某厂家拟在2020年对某产品举行促销活动,经调查,该产(k 品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x=3-km+1为常数).如果不搞促销活动,那么该产品的年销量只能是1万件.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2020年该产品的利润y(万元)表示为年促销费用m(万元)的函数;(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?答案全解全析本章达标检测一、单项选择题1.D当c<0,b>0时,A不一定成立;当c=0时,B不成立;当c≤0时,C不成立;由不等式的性质知D成立.故选D.2.A原不等式变形得x2-2x-a2+2a+4≤0,∵原不等式的解集为⌀,∴Δ=4-4(-a2+2a+4)<0,即a2-2a-3<0,解得-1<a<3.3.B 因为0<a<b,所以√ab <a+b 2,因为a 2-(√ab )2=a(a-b)<0, 所以a<√ab .由b 2-(√ab )2=b(b-a)>0得√ab <b. 又b-a+b 2=b -a 2>0,所以a+b 2<b.综上可得a<√ab <a+b 2<b.4.B 由一元二次不等式ax 2+bx+c>0恒成立,知a>0且Δ=b 2-4ac<0. 反之,当a>0时,ax 2+bx+c>0不一定恒成立.故选B.5.A ∵x>0,∴x+1>0, 由1x+3+1y=12,得y=2x+6x+1,∴x+y=x+2x+6x+1=x +2(x+1)+4x+1=x +2+4x+1=(x +1)+4x+1+1≥2√(x +1)·4x+1+1=5,当且仅当x+1=4x+1,即x=1时,等号成立,∴x+y 的最小值为5.6.C 由{x 2-1<0,x 2-3x <0得{-1<x <1,0<x <3,所以0<x<1,即原不等式组的解集为{x|0<x<1}.7.A ∵ab=2(a+b)+5,∴a+b=ab -52,∵a>0,b>0,∴a+b=ab-52≥2√ab,当且仅当a=b=5时,等号成立,解得ab≥25, ∵y=(a+b-4)(12-a-b)=(ab-52-4)(12−ab-52)=-14(ab-21)2+16, ∴y max=12.故选A.8.B由题意得xyz =xyx2-3xy+4y2=1xy+4yx-3≤14−3=1,当且仅当x=2y时,等号成立,此时z=2y2.故2x +1y−2z=−1y2+2y=−(1y-1)2+1≤1,当且仅当y=1时,等号成立,故所求的最大值为1.二、多项选择题9.BCD因为不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−12<x<2),所以相应的二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,所以a<0,故A错误;易知2和-12是方程ax2+bx+c=0的两个根,则有ca =2×(-12)=−1<0,−ba=2+(-12)=32>0,又a<0,所以b>0,c>0,故B,C正确;因为ca=-1,所以a+c=0,又b>0,所以a+b+c>0,故D正确.故选BCD.10.ABC当c2=0时,ac2<bc2不成立,故A中不等式错误;因为a<b<0,所以1a >1b,ba<1,ab>1,所以ba <ab,故B,C中不等式错误;因为a<b<0,所以|a|>|b|,所以ab=|a||b|>|b|2=b2,即ab>b2,故D中不等式正确. 故选ABC.11.AD ①由xt 2>yt 2可知,t 2>0,所以x>y, 因此xt 2>yt 2是x>y 的充分条件.②由xt>yt 不能确定t 的符号,因此不能确定x 与y 的大小,故xt>yt 不是x>y 的充分条件.③令x=-2,y=1,满足x 2>y 2,但x<y,因此x 2>y 2不是x>y 的充分条件. ④由0<1x<1y可得,x>0,y>0,1x−1y<0,即y -x xy<0,所以y-x<0,所以x>y.因此0<1x<1y是x>y 的充分条件.故选AD.12.BCD 若方程的两根为正数,则{Δ≥0,m -1>0,2−m >0,∴{m 2+2m -7≥0,m >1,m <2,解得-1+2√2≤m<2.故选BCD. 三、填空题13.答案 ab<-1或ab>0解析 因为a-1a >b −1b ,所以(a -1a )−(b -1b )=(a -b)(ab+1)ab>0.又a>b,即a-b>0,所以ab+1ab>0,从而ab(ab+1)>0,所以ab<-1或ab>0.14.答案 -6;-1解析 由题意知a<0,且不等式对应方程的两个根分别为13,12,根据根与系数的关系得{-5a =13+12,c a=13×12,解得{a =−6,c =−1.15.答案 {m|1≤m<19}解析 ①当m 2+4m-5=0时,m=-5或m=1.若m=-5,则函数化为y=24x+3,其对任意实数x 不可能恒大于0; 若m=1,则y=3>0恒成立.②当m 2+4m-5≠0时,根据题意得,{m 2+4m -5>0,16(1−m)2-12(m 2+4m -5)<0,∴{m <−5或m >1,1<m <19,解得1<m<19. 综上可知,1≤m<19. 16.答案 2√2解析 已知不等式ax 2+2x+b ≥0对一切实数x 恒成立, 当a=0时,2x+b ≥0不一定成立,不符合题意; 当a ≠0时,依题意知{a >0,4−4ab ≤0⇒{a >0,ab ≥1.又存在x 0∈R ,使a x 02+2x 0+b=0成立,∴4-4ab ≥0⇒ab ≤1, 因此ab=1,又a>0,∴b>0. 又∵a-b>0,∴a 2+b 2a -b=(a -b)2+2aba -b=a −b +2a -b≥2√2,当且仅当a-b=√2,即a=√6+√22,b =√6-√22时,等号成立. 四、解答题17.解析 (1)当a=-1时,B={x|(x+1)(x-2)≤0}={x|-1≤x ≤2}.(3分)(2)A={x|(x-1)(x-3)≤0}={x|1≤x ≤3}.(4分) ∵a 2+1-a=(a -12)2+34>0,∴a 2+1>a,∴B={x|a ≤x ≤a 2+1}.(5分) ∵p 是q 的充分不必要条件, ∴A 是B 的真子集,(6分) ∴{a ≤1,a 2+1>3或{a <1,a 2+1≥3,(8分) 解得a ≤-√2.(10分)18.解析 (1)∵x>2,∴x-2>0,∴3x+1x -2=3(x −2)+1x -2+6≥2√3+6,(4分)当且仅当x=√33+2时,等号成立,(5分) 所以3x+1x -2的最小值为2√3+6.(6分)(2)因为1a+2b=2,所以12a +1b =1,(7分)所以a+b=(a+b)(12a+1b )=12+b2a +ab +1≥3+2√22,(10分)当且仅当a=√2+12,b =2+√22时,等号成立,所以a+b的最小值为3+2√22.(12分)19.解析 (1)若命题p 为真命题,则x 2>3-2m 恒成立,因此3-2m<0,解得m>32. 因此,实数m 的取值范围是{m|m >32}.(4分)(2)若命题q 为真命题,则Δ=(-2m)2-4(m+2)>0,即m 2-m-2>0,解得m<-1或m>2.因此,实数m 的取值范围是{m|m<-1或m>2}.(8分)(3)若命题p,q 至少有一个为真命题,则结合(1)(2)得m ∈{m|m >32}∪{m|m<-1或m>2}={m|m <−1或m >32}.(12分)20.解析 (1)设DN 的长为x(x>0)米,则AN 的长为(x+2)米. ∵DN AN=DC AM,∴AM=3(x+2)x,∴S 矩形AMPN=AN ·AM=3(x+2)2x.由S 矩形AMPN >32,得3(+2)2x>32,(3分)又x>0,∴3x 2-20x+12>0, 解得0<x<23或x>6,(5分)即DN 的长的取值范围是0,23∪(6,+∞)米.(6分)(2)设矩形花坛AMPN 的面积为y 平方米,则y=3(x+2)2x=3x 2+12x+12x=3x +12x+12≥2√3x ·12x +12=24,(8分)当且仅当3x=12x,即x=2(负值舍去)时,等号成立,此时y 取得最小值24.(10分) 故DN 的长为2米时,矩形花坛AMPN 的面积最小,最小为24平方米.(12分) 21.解析 (1)ax 2+(1-a)x+a-2≥-2对一切实数x 恒成立等价于ax 2+(1-a)x+a ≥0对一切实数x 恒成立.当a=0时,不等式可化为x ≥0,不满足题意;(3分) 当a ≠0时,由题意得{a >0,(1-a)2-4a 2≤0,解得a ≥13.(5分)所以实数a 的取值范围是{a|a ≥13}.(6分)(2)不等式ax2+(1-a)x+a-2<a-1等价于ax2+(1-a)x-1<0.当a=0时,不等式可化为x<1,所以不等式的解集为{x|x<1};(7分)当a>0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)<0,此时-1a<1,所以不等式的解集为{x|-1a<x<1};(8分)当a<0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)<0,①当a=-1时,-1a=1,不等式的解集为{x|x≠1};(9分)②当-1<a<0时,-1a >1,不等式的解集为{x|x<1或x>−1a};(10分)③当a<-1时,-1a <1,不等式的解集为{x|x<−1a或x>1}.(11分)综上所述,当a<-1时,不等式的解集为{x|x<−1a或x>1};当a=-1时,不等式的解集为{x|x≠1};当-1<a<0时,不等式的解集为{x|x<1或x>−1a};当a=0时,不等式的解集为{x|x<1};当a>0时,不等式的解集为{x|-1a<x<1}.(12分)22.解析(1)由题意知,当m=0时,x=1,∴1=3-k⇒k=2,∴x=3-2m+1,(2分)每件产品的销售价格为1.5×8+16xx(万元),∴y=1.5x·8+16xx-8-16x-m=-[16m+1+(m+1)]+29(m≥0).(6分)(2)∵m≥0,∴16m+1+(m+1)≥2√16=8,当且仅当16m+1=m+1,即m=3时,等号成立,(8分)∴y≤-8+29=21,∴y max=21.(10分)故该厂家2020年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,最大为21万元.(12分)。

2019届苏教版(理科数学) §7.4 不等式的综合应用 单元测试

2019届苏教版(理科数学) §7.4 不等式的综合应用 单元测试

1.(2015浙江,6,5分)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y, ,且x<y< ,三种颜色涂料的粉刷费用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是()A.ax+by+cB.a +by+cxC.ay+b +cxD.ay+bx+c答案B2.(2013课标全国Ⅱ,12,5分)若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是()A.(-∞,+∞)B.(-2,+∞)C.(0,+∞)D.(-1,+∞)答案D3.(2014江苏,10,5分)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1 ,都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是.答案-教师用书专用(4—6)4.(2014浙江,16,4分)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是.答案5.(2013浙江,16,4分)设a,b∈R,若x≥0时恒有0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2,则ab=.答案-16.(2013山东,16,4分)定义“正对数”:ln+x=现有四个命题:①若a>0,b>0,则ln+(a b)=bln+a;②若a>0,b>0,则ln+(ab)=ln+a+ln+b;③若a>0,b>0,则ln+≥ln+a-ln+b;④若a>0,b>0,则ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln 2.其中的真命题有.(写出所有真命题的编号)答案①③④三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点不等式的综合应用1.(2016安徽安庆二模,6)已知a>0,b>0,a+b=+,则+的最小值为()A.4B.2C.8D.16答案B2.(2018四川德阳模拟,15)已知点A在线段BC上(不含端点),O是直线BC外一点,且-2a-b=0,则+的最小值是.答案2-23.(2017湖南长郡中月考)设正项等差数列{a n}的前n项和为S n,若S2 017=4 034,则+的最小值为. 答案 44.(2017安徽江淮十校第一次联考,16)对任意实数x均有e2x-(a-3)e x+4-3a>0,则实数a的取值范围为. 答案a≤5.(2018广西南宁二中月考,18)已知不等式mx2-2x-m+1<0.(1)若对于所有的实数x,不等式恒成立,求m的取值范围;(2)设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立,求x的取值范围.解析(1)当m=0时,1-2x<0,解得x>,则当x>时不等式恒成立,不满足条件.当m≠0时,设f(x)=mx2-2x-m+1,由于f(x)<0恒成立,所以--解得 m∈⌀.综上可知,不存在这样的m使不等式恒成立,即m∈⌀.(2)由题意得-2≤m≤2,设g(m)=(x2-1)m+(1-2x),则由题意可得g(m)<0,故有-即----解之得-<x<,所以x的取值范围为-.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:25分时间:20分钟)一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2017江西吉安一中期中,12)已知关于x的不等式<-在x∈(0,2)上恒成立,则实数的取值范围为()A.[0,e+1)B.[0,2e-1)C.[0,e)D.[0,e-1)答案D2.(2017湖北重点高中期中联考,11)已知函数f(x)=x3+sin x,x∈(-1,1),则满足f(a2-1)+f(a-1)>0的a的取值范围是()A.(0,2)B.(1,)C.(1,2)D.(0,)答案B3.(2016江西九江七校联考,12)定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=2f(x)-2,当x∈(0,2 时,f(x)=-∈∈当x∈(0,4时,t2-t≤f(x)恒成立,则实数t的取值范围是()A.[1,2B.C.D.[2,+∞)答案C二、填空题(每小题5分,共10分)4.(2018河南中原名校11月联考,13)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时, f(x)=x2-2x,则不等式f(x)>x的解集用区间表示为.答案(-3,0)∪(3,+∞)5.(2016湖南衡阳一模,16)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的导函数为f '(x).对任意x∈R,不等式f(x)≥f '(x)恒成立,则的最大值为.答案2-2C组2016—2018年模拟·方法题组方法不等式与函数、方程、数列的综合问题若f(8-m2)<f(2m),则实数m的取值范围是()1.(2017河南新乡第一次调研,11)已知函数f(x)=-A.(-4,1)B.(-4,2)C.(-2,4)D.(-∞,-4)∪(2,+∞)答案B2.(2018天津六校期中,14)定义在R上的运算x y=x(1-y).若不等式(x-y) (x+y)<1对一切实数x恒成立,则实数y的取值范围是.答案-3.(2016福建四地六校第一次联考,16)已知函数f(x)=x2+,g(x)=-m.若∀x1∈[1,2 ,∃x2∈[-1,1 ,使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是.答案-∞4.(2017山西汾阳一中月考)某厂家拟举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=3-( 为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件.已知2017年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2017年该产品的利润y(万元)表示为年促销费用m(万元)的函数;(2)该厂家2017年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?解析(1)由题意可知当m=0时,x=1,所以1=3- ,得 =2,所以x=3-.每件产品的销售价格为1.5×元,所以y=x×1.5×-(8+16x+m)=4+8x-m=4+8--m=28--m(m≥0),所以2017年的利润y(万元)表示为年促销费用m(万元)的函数关系式是y=28--m(m≥0).(2)由(1)知y=29-(m≥0).因为+(m+1)≥2=8,所以y≤29-8=21.当且仅当=m+1,即m=3时,y取得最大值.所以当该厂家2017年的促销费用投入3万元时,厂家获得的利润最大.。

2019届苏教版(理科数学) 选修4-5 第1节 绝对值不等式 单元测试

2019届苏教版(理科数学) 选修4-5 第1节 绝对值不等式 单元测试

1．求不等式|x －1|＋|2x ＋1|<2的解集．解析：由题意x ＝1时，|x －1|＝0，x ＝－12时，2x ＋1＝0(以下分类讨论)．所以①当x <－12时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－x ＋1－2x －1<2.得－23<x <－12. ②当－12≤x ≤1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ －12≤x ≤1，－x ＋1＋2x ＋1<2.得－12≤x <0.③当x >1时，原不等式等价于⎩⎨⎧x >1，x －1＋2x ＋1<2.得x 无解． 由①②③得原不等式的解集为{x |－23<x <0}．2．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|.(1)解不等式f (x )>2；(2)求函数y ＝f (x )的最小值．解析：(1)令y ＝|2x ＋1|－|x －4|，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －5，x ≤－12，3x －3，－12<x <4，x ＋5，x ≥4.作出函数y ＝|2x ＋1|－|x －4|的图象，它与直线y ＝2的交点为(－7,2)和(53，2)． 所以|2x ＋1|－|x －4|>2的解集为(－∞，－7)∪(53，＋∞)．(2)由函数y ＝|2x ＋1|－|x －4|的图象可知，当x ＝－12时，y ＝|2x ＋1|－|x －4|取得最小值－92.3．已知一次函数f (x )＝ax －2.(1)当a ＝3时，解不等式|f (x )|<4；(2)解关于x 的不等式|f (x )|<4；(3)若不等式|f (x )|≤3对任意x ∈[0,1 恒成立，求实数a 的取值范围．解析：(1)当a ＝3时，则f (x )＝3x －2，∴|f (x )|<4⇔|3x －2|<4⇔－4<3x －2<4⇔－2<3x <6⇔－23<x <2.∴不等式的解集为{x |－23<x <2}．(2)|f (x )|<4⇔|ax －2|<4⇔－4<ax －2<4⇔－2<ax <6.当a >0时，不等式的解集为{x |－2a <x <6a }；当a <0时，不等式的解集为{x |6a <x <－2a }．(3)|f (x )|≤3⇔|ax －2|≤3⇔－3≤ax －2≤3⇔－1≤ax ≤5⇔⎩⎨⎧ax ≤5，ax ≥－1.又x ∈[0,1 ， ∴－1≤a ≤5，且a ≠0.4．已知关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|<a .(1)当a ＝2时，解上述不等式；(2)如果关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|<a 的解集为空集，求实数a 的取值范围． 解析：(1)∵a ＝2，∴|x －3|＋|x －4|<2，当x <3时，原不等式化为7－2x <2，解得x >52，∴52<x <3；当3≤x ≤4时，原不等式化为1<2，∴3≤x ≤4；当x >4时，原不等式化为2x －7<2，解得x <92，∴4<x <92.综上可知，原不等式的解集为{x |52<x <92}．(2)作出y ＝|x －3|＋|x －4|与y ＝a 的图象，若使不等式|x －3|＋|x －4|<a 的解集为空集，则必有y ＝|x －3|＋|x －4|的图象在y ＝a 的图象的上方，或y ＝a 与y ＝1重合，∴a ≤1.∴a 的取值范围为(－∞，1 ．5．已知实数a ，b ，c ，d 满足a >b >c >d .求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d. 证明：因为a >b >c >d ，所以a －b >0，b －c >0，c －d >0，a －d >0.所以(1a －b ＋1b －c ＋1c －d)(a －d ) ＝(1a －b ＋1b －c ＋1c －d)[(a －b )＋(b －c )＋(c －d ) ≥3 31a －b ·1b －c ·1c －d×33(a －b )(b －c )(c －d )＝9. (或≥[1a －b ·a －b ·1b －c ·b －c ·1c －d ·c －d 2＝9.) 即1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d. 6．用数 归纳法证明不等式：1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋ (1)2>1(n ∈N 且n >1)．证明：(1)当n ＝2时，12＋13＋14＝1312>1成立；(2)设当n ＝ ( ≥2)时，1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2>1； 则当n ＝k ＋1时，1k ＋1＋…＋1k 2＋1k 2＋1＋…＋1(k ＋1)2＝(1k ＋1k ＋1＋…＋1k 2)＋1k 2＋1＋…＋1k 2＋2k ＋1－1k >1＋2k ＋1(k ＋1)2－1k＝1＋k 2－k －1k (k ＋1)2＝1＋(k －1)2＋k －2k (k ＋1)2>1. 即当n ＝k ＋1时也成立．所以对任意n >1(n ∈N )，原不等式成立．7．已知n ， k 均为大于1的整数，求证：1＋12k ＋13k ＋…＋1n k <2.证明：∵n >1， k >1，n ， 均为整数，∴1n k ≤1n 2，∴1＋12k ＋13k ＋…＋1n k ≤1＋122＋132＋…＋1n 2<1＋11×2＋12×3＋…＋1(n －1)n＝1＋(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n ) ＝2－1n <2.即1＋12k ＋13k ＋…＋1n k <2(n ， ∈N ，n ≥2， ≥2)．8．已知函数f (x )＝ax －b x －2ln x ，f (1)＝0.若函数f (x )的图象在x ＝1处的切线的斜率为0，且a n ＋1＝f ′(1a n ＋1)－na n ＋1，若a 1≥3，求证：a n ≥n ＋2. 证明：∵f (1)＝a －b ＝0，∴a ＝b ，∴f ′(x )＝a ＋a x 2－2x ，∵函数f (x )的图象在x ＝1处的切线的斜率为0，∴f′(1)＝0，即a＋a－2＝0，解得a＝1，∴f′(x)＝(1x－1)2，∴a n＋1＝a2n－na n＋1.(1)当n＝1时，a n≥3＝1＋2，不等式成立；(2)假设n＝k时，不等式成立，即a≥ k＋2，那么，a－k≥2>0，∴a＋1＝a(a－k)＋1≥2(k＋2)＋1＝( k＋3)＋k＋2>＋3，也就是说，当n＝k＋1时，ak＋1≥( k＋1)＋2，根据(1)(2)知对于所有n≥1(n∈N)有a n≥n＋2.。

【理科附加】专题03 不等式选讲-2019年高考数学母题题源系列(江苏专版)(解析版)

【理科附加】专题03 不等式选讲-2019年高考数学母题题源系列(江苏专版)(解析版)

【理科附加】专题03 不等式选讲【母题来源一】【2019年高考江苏卷数学】设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -．【答案】1{|1}3x x x <->或．【解析】当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <13-； 当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1． 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或．【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．【母题来源二】【2018年高考江苏卷数学】若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值． 【答案】222x y z ++的最小值为4．【解析】由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++． 因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥， 当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，， 所以222x y z ++的最小值为4．【母题来源三】【2017年高考江苏卷数学】已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明：8.ac bd +≤ 【答案】见解析【解析】由柯西不等式可得22222()()()ac bd a b c d +≤++， 因为22224,16a b c d +=+=，所以2()64ac bd +≤，因此8ac bd +≤．【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则（22212n a a a +++）（22212n b b b +++）≥（a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ）2，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i （i ＝1，2，…，n ）时，等号成立．本题中，由柯西不等式可得22222()()()ac bd a b c d +≤++，代入即得结论．【命题意图】1．理解绝对值的几何意义，并能求解以下类型的不等式： ; ; ax b c ax b c x a x b c +≤+≥-+-≥. 2．了解下列柯西不等式的几种不同形式，并会应用： （1）22222()(+)()a b c d ac bd +≥+.（2）一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则（22212na a a +++）（22212nb b b +++）≥（a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ）2，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i （i ＝1，2，…，n ）时，等号成立．.3．主要考查逻辑推理能力、运算求解能力，考查分类讨论、数形结合思想方法，考查逻辑推理、数学运算等核心素养. 【命题规律】从近三年高考情况来看，此类知识点以解答题的形式出现，主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明、求最值问题等. 【方法总结】（一）解绝对值不等式的常用方法有：（1）公式法：对于形如|f (x )|>g (x )或|f (x )|<g (x )，利用公式|x|<a ⇔−a<x<a (a>0)和|x|>a ⇔x>a 或x<−a (a>0)直接求解不等式；（2）平方法：对于形如|f (x )|≥|g (x )|，利用不等式两边平方的技巧，去掉绝对值，需保证不等式两边同正或同负，即|f (x )|≥|g (x )|⇔f (x )2≥g 2(x )；（3）零点分段法：对于形如|f (x )|±|g (x )|≥a ，|f (x )|±|g (x )|≤a ，利用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解；（4）几何法：对于形如|x±a|±|x±b|≤c ，|x±a|±|x±b|≥c ，利用绝对值三角不等式的性质求解，即①定理1:如果a ，b 是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成立.②定理2:如果a ，b ，c 是实数，那么|a −c|≤|a −b|+|b −c|，当且仅当(a −b )(b −c )≥0时，等号成立. ③推论1:||a|−|b||≤|a+b|. ④推论2:||a|−|b||≤|a −b|.（5）图象法：对于形如|f (x )|+|g (x )|≥a 可构造y=|f (x )|+|g (x )|−a 或y=|f (x )|+|g (x )|与y=a ，在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解或通过移项构造一个函数. （二）含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法：（1）分享参数法运用“max min ()(),()()f x a f x a f x a f x a ≤⇔≤≥⇔≥”可解决恒成立中的参数范围问题. 求最值的思路：利用基本不等式和不等式的相关性质解决；将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图象，求得最值；利用性质“||||||||||||a b a b a b -≤±≤+”求最值. （2）更换主元法不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法. （3）数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维和抽象思维各自的优势，可直接解决问题. （三）不等式的证明（1）比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差—变形—判断差的符号—下结论.其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号.个别题目也可用柯西不等式来证明.（2）基本不等式:如果a ，b>0，那么2a b+≥，当且仅当a=b 时，等号成立.用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.（3）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即12na a a n+++≥a 1=a 2=…=a n 时，等号成立.（4）柯西不等式①二维形式的柯西不等式:若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac+bd )2，当且仅当ad=bc 时，等号成立.②柯西不等式的向量形式:设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当α是零向量或β是零向量或存在实数k 使α=k β时，等号成立.③二维形式的三角不等式:设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，≥.④一般形式的柯西不等式:设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 是实数，则( +…+)( +…+ )≥(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )2，当且仅当a i =0或b i =0(i=1，2，…，n )或存在一个数k 使得a i =kb i (i=1，2，…，n )时，等号成立.1．【江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测数学试题】设正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证：32a b c b c c a a b ++≥+++. 【答案】见解析.【解析】因为,,0a b c >，1a b c ++=， 所以a b c b c c a a b +++++1111113b c c a a b b c c a a b b c c a a b------=++=++-++++++. 又[]2=2()=()+()+()a b c a b b c c a +++++， 所以由柯西不等式，得[]111()()()b c c a a b b c c a a b ⎛⎫+++++⋅++⎪+++⎝⎭29≥=，所以11192b c a c a b ++≥+++， 即93322a b c b c a c a b ++≥-=+++. 【名师点睛】多变量不等式的证明，可根据不等式的特点选择均值不等式或柯西不等式等来证明，如果不等式是和与积的形式，可考虑前者，如果是平方和与对应乘积和的关系，则考虑后者，必要时需对原有不等式变形化简，使之产生需要的结构形式.求解本题时，把不等式左边化为1113b c c a a b++-+++，再利用柯西不等式得到11192b c c a a b ++≥+++，从而不等式得到证明.2．【江苏省南通市2019届高三模拟练习卷（四模）数学试题】已知实数,,x y z 满足222491212x y z ++=．证明：22222111323x y y z z++≥++． 【答案】见解析.【解析】设a ＝x 2+2y 2，b ＝y 2+3z 2，c ＝z 2，∴4（a ﹣2b +6c ）+9（b ﹣3c ）+12c ＝12，即4a +b +9c ＝12，∴222221+1123x y y z z +++1111111=(49)12a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ 21312=…. 故原不等式成立．【名师点睛】本题考查了不等式的证明，柯西不等式的应用，考查了转化与化归思想，推理论证能力，属于中档题.求解时，设a ＝x 2+2y 2，b ＝y 2+3z 2，c ＝z 2，由题意可得4a +b +9c ＝12，再根据柯西不等式即可证明．3．【江苏省镇江市2019届高三考前模拟（三模）数学试题】已知,0x y >，且1x y +=，求证：【答案】见解析.【解析】(()()22211111x x y ++++++≤，且1x y +=，26∴≤，≤.【名师点睛】本题考查利用柯西不等式证明不等式的问题，属于常规题型.4．【江苏省南通市2019届高三适应性考试数学试题】已知关于x 的不等式20x mx n -+<的解集为{|12}x x <<，其中,m n ∈R .求证：((m n --≤.【答案】见解析.【解析】因为关于x 的不等式20x mx n -+<的解集为{|12}x x <<， 所以123m =+=，122n =⨯=.所以((m n --=，由柯西不等式可得，()2222221⎡⎤++⎣≤⎦5=，当且仅当=，即16[3,4]5x =∈时取等号.所以((m n --.【名师点睛】本题主要考查由一元二次不等式的解集求参数，以及柯西不等式的应用，熟记公式即可，属于常考题型.5．【江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷数学试题】已知函数()2f x x =-，()1g x x x =+-.若存在实数x ，使不等式()()()m g x f x x m -≥+∈R 成立，求实数m 的最小值. 【答案】3.【解析】由不等式()()()m g x f x x m -+∈R …可得|2||1|m x x -++…， ∴min (|2||1|)m x x -++…， ∵|2||1||2(1)|3x x x x -++--+=…，∴3m …. 故实数m 的最小值是3.【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，考查绝对值三角不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.求解本题时，由题得min (|2||1|)m x x -++…，再利用绝对值三角不等式求解.6．【江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第三次调研考试数学试题】已知a ∈R ，若关于x 的方程2410x x a a ++-+=有实根，求a 的取值范围． 【答案】3522a -≤≤. 【解析】因为关于x 的方程2410x x a a ++-+=有实根， 所以()16410a a ∆=--+≥，即14a a -+≤． 当1a ≥时，214a -≤，得512a ≤≤； 当01a <<时，11a a -+=≤4恒成立，即01a <<；当0a ≤时，124a -≤，得302a -≤≤， 综上：所求a 的取值范围为3522a -≤≤．【名师点睛】本题主要考查了一元二次方程有实数根的条件及含绝对值不等式的解法，考查分类思想及计算能力，属于中档题.求解时，由一元二次方程有实数根可得：()16410a a ∆=--+≥，整理得：14a a -+≤，对a 的范围分类解不等式即可.7．【江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二）数学试题】已知正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝2，求证：2221a b c b c c a a b++≥+++．【答案】见解析. 【解析】正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝2，∴()()()2222224b c c a a b a b c a b c b c c a a b b c c a a b +++++⎛⎫++=++⨯⎪++++++⎝⎭ ()()()22214a b c b c c a a b b c c a a b ⎛⎫++⨯+++++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭=()2211144a b c ≥+=++=. 故命题2221a b c b c c a a b++≥+++成立.【名师点睛】本题主要考查了利用柯西不等式证明不等式，考查了构造能力，属于中档题.构造柯西不等式模型是解题的关键.8．【江苏省南通市2019届高三下学期4月阶段测试数学试题】已知,,a b c 均为正数，且243a b c ++=，求111111a b c +++++的最小值，并指出取得最小值时,,a b c 的值．【答案】最小值是1110+，此时23178,777a b c --===． 【解析】因为243a b c ++=， 所以()()()1214110a b c +++++=， 因为,,a b c 为正数，所以由柯西不等式得：()()()()21111214112111a b c a b c ⎛⎫⎡⎤+++++⋅++≥ ⎪⎣⎦+++⎝⎭，当且仅当()()()22212141a b c +=+=+时等式成立.所以1111111110a b c +++≥+++，所以111111a b c +++++的最小值是1110+，此时23178,777a b c --===. 【名师点睛】本题主要考查利用柯西不等式求最值的问题，属于基础题.求解本题时，能够构造出满足柯西不等式的形式：()()()()21111214112111a b c a b c ⎛⎫⎡⎤+++++⋅++≥+ ⎪⎣⎦+++⎝⎭，从而得到所求最值，利用取等条件求得,,a b c .9．【江苏省苏州市2019届高三下学期阶段测试数学试题】已知,,a b c 为正数，且满足22cos sin a b c θθ+<，22θθ+<【答案】见解析.))()1122222222cos sin ⎡⎤+≤++⎢⎥⎣⎦θθθθθθ()1222cos sin a b =+<θθ．【名师点睛】本题主要考查了柯西不等式的证明方法，其中解答中熟记柯西不等式，合理证明是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.10．【江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月）模拟数学试题】已知实数，，a b c 满足2221a b c ++≤，求证：22211191114a b c ++≥+++． 【答案】见解析.【解析】由柯西不等式，得()()()222222111111++111a b c a b c ⎛⎫⎡⎤+++++⎪⎣⎦+++⎝⎭29⎫≥=，所以222222111999++1113134a b c a b c≥≥=+++++++．【名师点睛】本题考查柯西不等式证明不等式，考查转化思想以及计算能力．求解本题时，利用柯西不等式，结合已知条件，转化求解即可．11．【江苏省七市2019届(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)高三第二次调研考试数学试题】已知x，y，z均是正实数，且222416x y z，++=求证：6x y z++≤．【答案】见解析.【解析】由柯西不等式得，()()222222212112x y z x y z⎡⎤⎛⎫⎡⎤++++≥++⎢⎥⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因为222416x y z++=，所以()2916364，x y z++≤⨯=所以6，x y z++≤当且仅当“2x y z==”时取等号．【名师点睛】本题考查利用柯西不等式证明不等式，熟练掌握柯西不等式的形式是解题的关键，是基础题.。