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3.求已知类型的曲线方程，一般用待定系数法或直接 法求解；求未知类型的曲线方程，有代入法、参数法、 定义法等，其解法比较灵活，并且因题而异.
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平面基本轨迹
（1）平面内到两定点的距离相等的点的轨迹是连结这两点的 线段的垂直平分线。
（2）平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为 圆心，定长为半径的圆。
2.1.2 曲线与方程
高二数学 选修系列
第二章 圆锥曲线与方程
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直接法
√ √ 求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:
1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点 M 的坐标 (x, y) ;
√ 2.写出适合条件 P 的几何点集: P M P(M ) ;
3.用坐标表示条件 P(M ) ,列出方程 f (x, y) 0 ;
8
x
=
x1 + 6 2
y
=
y1
找两动点 关系
∴
x1 y1
= =
2x 2y
-
6
反解
6
2
4
y=x2+3
A
点A（X1，Y1）在曲线y=x2+3上，则
M
y1=x12+3
代入
2
代入，得 2y=（2x-6）2+3
整理, 得AB的中点的轨迹方程为
OB
x
y
=
2
x
-
3
2
+
3 2
化简
-2
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且 OC 13
2
BC O
0
x
∵M 为 AB 的中点, ∴由圆的性质可知 MC⊥OM
妙! ∴MC=OC/2= 13 2
轨迹方程为 (x
3)2
(y
1) 2
13
2
4
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小结
1.求曲线方程的常用方法:
(1)直接法 (2)相关点法 (3)定义法 (4)参数法 2.轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，轨迹是指曲线， 轨迹方程是指曲线的方程.求轨迹方程的本质，就是在 给定的坐标系中，求轨迹上任意一点的横坐标与纵坐标 之间的关系.
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变 变式 .△ABC 的顶点 B、C 的坐标分别为(0,0)、(4,0), 式 A B 边上的中线的长为 3,求顶点 A 的轨迹方程.
解:设 A 的坐标分别为 (x, y) ,AB 的中点 D 的坐标为 (x1, y1)
y ( x, y) 由中点坐标公式可知
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练习
1、已知A(-a,0),B(a,0) (a R ) 若动点M与两定点A，B构
成直角三角形，求直角顶点M的轨迹方程。
2、在ABC 中，已知顶点A(1,1),B(3,6),且 ABC 的面积
等于3，求顶点C的轨迹方程。 3、（江苏，06）已知两点M(-2,0),N(2,0), 点P为坐标平面 内的动点，满足 MN MP MN NP 0 。则动点P(x,y)的
思维漂亮!
M
0Ax
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一、定义法
例1 长为2的线段AB的两端点分别在两条互相垂 直的直线上滑动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
y
BM
x2＋y2＝1
O
A
x
定义法:在建系的基础上，寻求几何关系时 候利用几何关系与基本曲线的定义做题：
即：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的 定义，可用定义直接求解 Excellent courseware
P
过原点作圆的弦OA，求OA
中点B的轨迹方程.
AO
Bx
2. 已知点A(-1,0),B(2,0),有一动点P使
PBA 2PAB 恒成立,求的点P轨迹方程.
3、已知 ABC 中，A(-2,0),B(0,-2),第三顶点C在曲线
y 3x2 1上移动，求 ABC的重心轨迹方程。
4、已知G是 ABC 的重心，A(0,-1),B(0,1),在x轴上
x1
y1
x 2 y 2
A
∵AB 边上的中线 CD=3
D
∴ (x1 4)2 y12 9
B
化简整理得 (x 8)2 y2 36
∴点 A 的轨迹方程为 (x 8)2
y2
0
36
.
y
0C
Mx
法二: 添辅助线 MA,巧用图形性质, 妙极了! 注:这种求轨迹方程的方E法xcell叫ent c做ours相ewa关re 点坐标分析法(代入法)
二、待定系数法
例2、已知方程 ax2 by2 2的曲线经过 A（0，5)和点B（1,1） 3
求a, b及方程
解：由题意可知
注：已知曲线的方
a02 a12
b(5)2 3
b12 2
2
b a
18 25 32 25
程模式或类型， 设出方程，代入所 过的点，求出系数。
32x2 18y2 2即16x2 9 y2 1
x
点差法 6(x1 x2) ∵ kOM
k
4( y1 即
AB
y x
y2
∴ 2x y 2y 6 4
)0
y1 y2 yx10x2
(易知 x1
∴化简得
x2
x2
)
y2
3x
2y
0
∴所求轨x迹方程为 x2x y2 3x 2y 0
(在已知圆内部一段弧对E应xcell的ent c方ours程ewa)re
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轨迹方程为
。
4.动点在圆 x 2 y 2 1 上移动时，它与定点 B(3,0) 连线
的中点的轨迹方程是( )
5.点 M (x, y)与定点 F (1, 0) 距离和它到直线 x 8的距离的
1
比为 ,则动点 M 的轨迹方程为( )
2
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思考题
y
1.设圆(x-1)2+y2=1的圆心为C，
6 4k x1 x2 1 k 2 消去参数 k 得 x2
,
9 x1 x2 1 k 2
y2 3x 2y 0
∴
x
y
3 2k
1 k2
k
3 1
2k k2
参数法：求轨迹方程的基本步骤：建系—设求的点—引参数—
用参数表示x,y——消参——Exc检ellen验t courseware
变式：求抛物线 y x2 (2m 1)x m2 1(m R)的顶点 的轨迹方程。
（2）以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点 都在曲线C上. (完备性)
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2、平面解析几何研究的主要问题是：
1.求曲线的方程;
2.通过方程研究曲线的性质.
在平面上建立直角坐标系: y f(x,y)=0
点 一一对应 坐标(x,y) 曲线 坐标化 曲线的方程
0
x
迪卡尔
25 25
25 25
变：已知过原点的圆， 过点（1,0），（0，5), 求其圆的方程
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三、相关点法
例2.已知线段AB, B点的坐标（6,0），A点在曲线
y=x2+3上运动，求AB的中点M的轨迹方程. y 10
解；设AB的中点M的坐标为（x，y），
又设A（X1，Y1），则 设点
解:设 M (x, y) ,A (x1, y1) ,B (x2 , y2 )
A
则
x y
x1 x2 2
y1 y2
2
且
x12 x22
y12 6x1 4y1 9 0 ① y22 6x2 4y2 9 0 ②
M
BC
由①─②得 (x1 x2 )(x1 x2 ) ( y1 y2 )( y1 y2 ) 0
解：设抛物线的顶点为 (x, y)
x
2m 2
1
x
m
1 2Βιβλιοθήκη ym5 4
消去m
y x 3 4
所以抛物线顶点的轨迹 方程：y x 3/ 4
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一题多解
例 3.经过原点的直线 l 与圆 x2 y2 6x 4 y 9 0 相交于
l 两个不同点 A、B，求线段 AB 的中点 M 的y轨迹方程.
变式练习
若三角形ABC的两顶点C，B的坐标分别是C（0，0），
B（6，0），顶点A在曲线y=x2+3上运动，求三角形ABC
重心G的轨迹方程.
y 10
8
y=x2+3
6
A
4
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2
M
OB
x
-2
-4
四 例 3.经过原点的直线 l 与圆 x2 y2 6x 4 y 9 0 相交于
坐标法
形成
研究
解析几何
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练习
如图,已知点 C 的坐标是(2 , 2) , 过点 C 直线 CA 与 x 轴交于点 A,过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 y
轴交于点 B,设点 M 是线段 AB 的中点,求点 M 的轨
迹方程.
yB
活用几何性质来找关系 (x, y) C
（3）平面内到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线。
（4）平面内到一定直线的距离等于定长的点的轨迹是平行于这 条直线的两条平行线。 （5）平面内到两条平行的定直线的距离相等点的轨迹是平行 于它们的一条直线。即两条平行线的公垂线段的中垂线。 （6）平面内对定线段的视角为直角的点的轨迹是以这条线段 为直径的圆。
