固体物理重要概念

被称为格点，格子被称为点阵，这就是空间点阵的基本思想，它是对晶体原子排
列的抽象。空间点阵在晶体学理论的发展中起到了重要作用。可以说，它是晶体 学理论的基础。现代的晶体理论基于晶体具有宏观平移对称性，并因此发展了空 间点阵学说。 晶体缺陷的产生与晶体的生长条件，晶体中原子的热运动以及对晶体的加工工艺 等有关。事实上，任何晶体即使在绝对零度都含有缺陷，自然界中理想晶体是不 存在的。既然存在着对称性的缺陷，平移操作不能复制全部格点，那么空间点阵
确定a/c和q值
k 为实数，晶体内部能带与一般 晶体的情况一样 k 为虚数，波函数在晶体内部是 衰减的，能量本征值位于能隙 之中
六、缺陷(Defect)的概念
大多数固体是晶体，晶体正是以其特殊的构型被人们最早认识。因此目前(至少在 20世纪80年代以前)人们理解的“固体物理”主要是指晶体。当然这也是因为客观 上晶体的理论相对成熟。在晶体理论发展中，空间点阵的概念非常重要。 空间点阵中，用几何上规则的点来描述晶体中的原子排列，并连成格子，这些点
(4) 由 m
*
2
2E k k
2 m m m m * * xx * yy * zz
2E k x2
2 2 a 2E 2 2 a cos k x a 2 k x 2a 2
带底k x 0
带顶k x

a
m
*
2 底 2 2a
2 2a 2
2 2k 2 26 26 2 1 10 (k ) 110 k (erg ) 2me 2m
b.
c.
* me 0.5 1028 kg mh me 0.5 1028 7 kh ke 110 i 27 7 20 Ph kh (110 )(110 i ) 110 i ( g cm s 1 )
1 v k E
证明：波包—以������0 为中心，波矢在∆������ 范围中的波函数迭加而成, 而∆������ 比2������/������ 线度小得多，所以可认为
uk ( x) uk0 ( x)
波包的波函数：
k0
( x)
k k0
u ( x )e
2a 1 [sin( k x a )i sin( k y a ) j sin( k y a )k ] 解: (1) v k E
(2) 能带宽度
E s max E s min 12
1 1 1 (3) a. 带底 k 0 E s ( k ) E 0 2 [(1 ( k x a ) 2 ) (1 ( k y a ) 2 ) (1 ( k z a ) 2 )] 2 2 2 2a 2 2 2 E 0 6r (k x k y k z2 ) E 0 6 a 2 k 2 2 2k 2 E 0 6 2m *
z > 0 电子波函数 z < 0 区域，采用近自由电子近似 电子零级波函数
电子的能量本征值
第一布里渊区边界 附近能量发生中断 电子的波函数
应用
得到
分别以
利用
或
从左边乘上方程，对 z 积分
得到方程
a, b 有非零解系数行列式
电子能量
将能量代入
—— 得到
将
代入
—— 得到电子第一布里渊区边界附近的波函数
k k0 k 2
k 2
k 2
k0
i ( kx t )
dk uk0 ( x)
e
k0 k 2
k 2
i ( kx t )
dk
d 0 ( )0 dk
E ( k ' ) E ( k 0 ) ( k E ) k 0
i ( x ( d ) 0 t ) dk
例：已知价带顶附近电子的能量为
个电子从
1 7 k 110 i cm
(k ) 11026 k 2 (尔格）, 将一
处移走，于是能带成为不满带，试给出：
(a). 该空穴的有效质量和符号；(b). 该空穴的波矢量的大小和方向; (c). 空 穴的动量; (d). 该空穴的速度; (e). 该空穴的所运载的电流。 解： a.
dv F dk * 0 F 而是外场引起 ������ 变化, 而 ������ 不随 ������ 变化， dt m dt
例题：对于简立方，s电子的能带表达式为：
E s ( k ) E 0 2r (cos k x a cos k y a cos k z a )
试求：(1). k态电子的速度; (2). 能带宽度; (3). 用级数展开方法求带顶、带 底的有效质量；(4). 根据其定义求有效质量。
2 m 2a 2

b. 带顶
a a 1 cos k x a cos( k )a cos( ka) cos k x a 1 (ka) 2 a 2
k

k

k
Es (k ) E0 6 a 2k 2
2 m 2a 2
第六章 专题-重要概念
1. 准经典运动 2. 有效质量 3. 导电性 4. 空穴 5. 表面态 6. 晶体缺陷
一、晶体中电子的准经典运动
在外场作用下，电子如何运动 ？如何描述？
用量子理论：不方便；经典理论：困难!
准经典近似：描写波的物理量与描写粒子的量（速度、 加速度、质量间）的关系. k态电子的平均速度
1 d 2 E d (hk ) dk 2 dt
1 d 2E 2 F 2 dk
m
*
2
F m a
*
其中
d 2E dk 2
讨论： 1. 周期场不存在时，电子的有效质量为自由电子质量.
k E 2m
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
2 m*
d 2E dk 2
2
2 m
m
有效质量确实具有质量的量纲
( x ) uk0 ( x )
i ( k 0 x 0 t ) e e k 2
dk

d k sin ( x ( )0 t ) i ( k 0 x 0 t ) 2 dk ( x ) uk0 ( x )e k k d ( x ( ) 0 t ) 2 dk
的概念似乎不能用到含有缺陷的晶体中，亦即晶体理论的基石不再牢固。
幸运的是，缺陷的存在只是晶体中局部的破坏。作为一种统计，一种近似，一种 几何模型，仍然继承这种学说。因为缺陷存在的比例毕竟只是一个很小的量(这指 的是通常的情况）。例如20℃时，Cu的空位浓度为3.8×10-17，充分退火后Fe中的 位错密度为1012m-2（空位、位错都是以后要介绍的缺陷形态）。从占有原子百分 数来说，晶体中的缺陷在数量上是微不足道的。 整体上看，可以认为一般晶体是近乎完整的。因而对于实际晶体中存在的缺陷可 以用确切的几何图形来描述，这一点非常重要。这是我们今后讨论缺陷形态的基 本出发点。事实上，把晶体看成近乎完整的并不是一种凭空的假设，大量的实验 事实（X射线及电子衍射实验提供了足够的实验证据）都支持这种近乎理想的对称
2. 有效质量是二级张量
m* xy * (m ) m yx m* zx
m
*
m* xy m* yy m* zy
mxx m* xy * m yz m yx * mzz mzx
mxy m yy mzy
mxz m yz mzz
既然晶体已可以认为是近乎“完整的”，那么建立缺陷概念的
意义何在？ 缺陷是晶体理论中最重要的内容之一。 晶体的生长、性能以及加工等无一不与缺陷紧密相关。 因为正是这千分之一、万分之一的缺陷，对晶体的性能产生了 不容小视的作用。这种影响无论在微观或宏观上都具有相当的 重要性。
V1 2 k ( z ) b[exp(i z ) ( 1) exp( i z )]exp(i z ) a V a

对于为实数，在z=0的界面上
满足匹配 在半无限长晶体内部的能带保持不变 在z<0，如果为虚数 设 —— q为正数
根据波函数和波函数一阶微分连续条件，由
性。
当然不能否认当缺陷比例过高以致于这种“完整性”无论从实验或从理论上都不 复存在时，此时的固体便不能用空间点阵来描述，也不能被称之为晶体。这便是 材料中的另一大类别：非晶态固体。对非晶固体和晶体，无论在原子结构理论上 或是材料学家对它们完美性追求的哲学思想上都存在着很大差异，有兴趣的同学 可以借助于参考书对此作进一步的理解。
波包中心位置：
d x ( )0 t dk
波包运动速度：
1 v k E
分量式：
1 E 1 E 1 E vy vx vz k y k x k z
动量定理
定义电子准动量：
* P k
dE 1 dE dE dk Fvdt F dt dk dk
四、空穴的概念
1. 定义： 满带顶部附近的空状态(如半导体中电子跃迁到导带后留下的空位。 2. 性质：
(1). 荷电 +e;
(2). 有效质量m*; (3). 速度
v(k ) — k
* mh 未占据态电子有效质量的绝对值 0
3. 空穴在状态空间的运动规律
dk e ( v B) dt
v d. n
f.
Pn
j evh 1.6 1019 (2 106 i)
mh
2 108 cm s 1
五、表面电子态
从理想表面模型出发，研究晶体表面对电子能量本征态的影响 假设晶体表面位于z=0处，有 — 电子在晶体内部的能量E<V0 — 在界面z=0电子波函数和一阶微分连续 电子波动方程