渗透学法,让学生的思维枝繁叶茂——以“向量加法运算及其几何意义”为例

《向量加法运算及其几何意义》教案课程名称：向量加法运算及其几何意义教学目标：1.理解向量的加法运算的定义和性质；2.掌握向量的加法运算的计算方法；3.能够将向量加法运算的几何意义与实际问题相结合。

教学内容：一、向量的加法运算的定义和性质1.向量的定义和表示方法回顾2.向量加法的定义及性质3.向量加法的交换律、结合律和零元素二、向量的加法运算的计算方法1.坐标法求解向量加法2.平行四边形法求解向量加法3.多个向量的加法运算三、向量加法的几何意义及其应用1.向量的平移和位移概念2.向量加法在平移和位移中的应用3.向量加法与力的合成一、导入(10分钟)1.利用实际生活中的例子引出向量的概念，使学生明白向量的意义和作用。

2.回顾上节课所学的向量的定义和表示方法。

二、讲授(30分钟)1.向量加法的定义和性质的讲解。

2.向量加法的计算方法的讲解，包括坐标法和平行四边形法。

3.多个向量的加法运算的讲解和计算。

三、练习(25分钟)1.针对向量加法运算的计算方法，进行一些练习题的讲解，引导学生掌握计算技巧。

2.布置一些练习题让学生自主练习，并进行互相讨论和解答。

四、应用(25分钟)1.引导学生理解向量加法的几何意义，包括平移和位移的概念。

2.通过实际问题的分析，引导学生将向量加法运算与实际问题相结合，如力的合成问题等。

五、总结和拓展(10分钟)1.对本节课的主要内容进行总结，并强调重点。

2.提出一些综合性的拓展问题，引导学生进一步巩固和应用所学知识。

1.利用多媒体展示向量的定义和表示方法，使学生更直观地理解概念。

2.利用示意图和实例演示向量加法运算的计算方法，帮助学生掌握计算技巧。

3.利用实际问题引导学生将向量加法运算与实际问题相结合，提升学生的应用能力。

教学评价：1.在练习环节中，观察学生的练习过程和结果，及时给予指导和反馈。

2.在应用环节中，观察学生对实际问题的分析和解决能力，评价学生的应用能力和创新思维能力。

向量加法运算及其几何意义向量加法是指将两个或多个向量相加的运算。

在数学中，向量加法遵循以下规则：1.向量加法是可交换的。

即，对于任意向量a和b，a+b=b+a。

2.向量加法是可结合的。

即，对于任意向量a、b和c，(a+b)+c=a+(b+c)。

3.零向量是向量加法的单位元素。

即，对于任意向量a，a+0=0+a=a。

几何意义方面，向量加法可以用于描述物体的位移、力的合成以及速度的合成等。

下面以位移和力的合成为例进行解释：1.位移的合成：假设有一辆汽车沿东西方向行驶了100米，然后又沿南北方向行驶了50米。

我们可以将汽车的东西方向的位移表示为向量a=100i，南北方向的位移表示为向量b=50j。

那么，汽车的总位移可以表示为向量c=a+b，即c=100i+50j。

这个向量c表示汽车最终的位置相对于起始位置的位移。

2.力的合成：假设有两个力F1和F2作用在一个物体上，F1的大小为10牛顿，方向为东，F2的大小为5牛顿，方向为北。

我们可以将力F1表示为向量a=10i，力F2表示为向量b=5j。

那么，两个力的合力可以表示为向量c=a+b，即c=10i+5j。

这个向量c表示两个力的合力的大小和方向。

在几何上，向量加法的结果可以通过平行四边形法则进行图示。

以位移为例，我们可以将向量a和向量b的起点放在同一位置，然后将向量a按照其方向和大小绘制出来，再将向量b按照其方向和大小绘制出来。

通过平行四边形法则，我们可以找到一个平行四边形，其两条对角线的交点即为向量a和向量b的和向量c的终点。

总结起来，向量加法是一种将多个向量相加的运算，它遵循可交换和可结合的规则，并且零向量是其单位元素。

在几何上，向量加法可以用于描述位移和力的合成等。

通过平行四边形法则，我们可以找到向量加法的结果的几何意义。

《向量的加法运算及其几何意义》教学设计教学目标：1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义. 学 法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 一、设置情景：1、 复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、情景设置：（1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+（2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+（4）船速为AB ，水速为BC ，则两速度和：AC BC AB =+A B CC A B A BCA BCOABaaa bb b二、探索研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂAC BC AB =+=，规定： a + 0-= 0 + a探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； （3）当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |. （4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加３．例一、已知向量a 、b ，求作向量a +b作法：在平面内取一点，作a OA = b AB =，则b a OB +=. ４．加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否相同？ 验证结果相同从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）a ABCa +ba +baa bbaｂｂ ａa２）向量加法的交换律：a +b =b +a ５．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c )证：如图：使a AB =， b BC =， c CD =则(a +b ) +c =AD CD AC =+，a + (b +c ) =AD BD AB =+∴(a +b ) +c =a + (b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. 三、应用举例：例二（P94—95）略 练习：P95 四、小结1、向量加法的几何意义； ２、交换律和结合律；３、注意：|a +b | ≤ |a | + |b |，当且仅当方向相同时取等号. 五、课后作业：P103第２、３题 六、板书设计（略） 七、备用习题1、一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为h km /4，求水流的速度.2、一艘船距对岸43km ，以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速.3、一艘船从A 点出发以1v 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2v ，船的实际航行的速度的大小为h km /4，方向与水流间的夹角是60︒，求1v 和2v .4、一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航行速度大小最大是km/h，最小是km/h５、已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F1的夹角是60 ，|F|=10N求F1和F2的大小.６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。

《2.2.1向量加法运算及其几何意义》教案一、教学目标知识目标：理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和；掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算．能力目标：经历向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽象为数学概念的思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．情感目标：经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，激发学生的学习热情．培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质．二、重点与难点重点：向量加法的定义与三角形法则的概念建构；以及利用法则作两个向量的和向量．难点：理解向量的加法法则及其几何意义．三、教法学法教法运用了“问题情境教学法”、“启发式教学法”和“多媒体辅助教学法”．学法采用以“小组合作、自主探究”为主要方式的自主学习模式．四、教学过程新课程理念下的教学过程是一个内容活化、创生的过程，是一个学生思考、体验的过程，更是一个师生互动、发展的过程．基于此，我设定了5个教学环节：一、创设情境引入课题师：在前一节课中我们学习了一个新的量——向量，今天就让我们共同来探究向量的加法运算，首先，请看课件．（出示）师：他是谁？生：丁俊晖．师：对，著名的台球神童——看他好像遇到了难题？（出示）决啊？活动设计：学生参与讨论（教师提问，学生回答：翻袋进球）再来看另一个问题：在两岸通航之前，要从我们郑州到达祖国的宝岛台湾，我们需要从新郑机场乘飞机抵达香港，然后转机才能到达，如今通航后呢？我们可以直接到达，节省了大量的时间和金钱．无论是台球还是飞机，从最初的位置到达最终的位置都是经历了两次位移，如果从作用效果角度来看，这两次位移的作用效果就等于从起点到终点的一次位移，在物理上，我们就把这次位移称作是之前两次位移之和．同学们，请思考问题1：【问题1】位移求和时，两次位移的位置关系是什么？如何作出它们的和位移？——两次位移首尾相连，其和位移是由起点指向终点．学生活动：学生讨论，自主探究位移是个物理量，如果抛开它的物理属性，它正是我们研究的——向量．那么，受到位移求和的启发，能否找到求解向量之和的方法呢？于是，我们顺利的进入了本节课的第二个环节：二、实践探究 总结规律我首先提出了问题2：【问题2】如图所示，对于向量a 和b 如何求解它们的和呢？活动设计：小组探究、代表汇报和物理中的位移求和问题有所不同的是，在数学中任意两个向量相加时，他们未必是首尾相连的啊，应该如何处理呢？对于这个问题我没有急于给出问题的答案，而是鼓励学生大胆试验和探究，我深入学生中与他们交流，了解学生思考问题的进展过程，帮助他们突破思维的障碍，投影学生的解题过程，纠正出现的错误，规范书写的格式．最终，由他们自己得出问题的答案： ab生：“在平面内任取一点O ，平移a 使其起点为点O ，平移b 使其起点与a 向量的终点重合，再连接向量a 的起点与向量b 的终点”．此时，教师鼓励学生自己给出定义：加法的定义：已知向量,a b ，在平面内任取一点O ，作,OA a AB b ==，则向量OB 叫做向量,a b 的和．记作：a b +．即a b O A A B O +=+=．向量加法的法则：和的定义给出了求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．加法的定义其实是用数学的作图语言来刻画的，这种方法经常出现在几何中，这一点也更好的体现了向量加法具有的几何意义和向量数形结合的特征．至此，已经了解了加法定义与三角形法则，同时，我们也应该注意到在物理中矢量合成时的平行四边形法则．我创设了情景：“观察小猴过河的动画短片”．对于平行四边形法则学生已经非常熟悉，他们关心的是两个法则之间的联系与区别，于是，我提出了问题4．【问题3】平行四边形法则有何特点？生：是平移两个向量至共起点．【问题4】想想你遇到过一些可以用向量求和来解释生活现象吗？活动设计：学生以小组为单位讨论，小组汇报比比谁的例子最多，最贴切． 完成了这个探究，接着，我进入第三个环节．三、 类比联想 探究性质首先我设计了问题5：【问题5】请类比实数加法的性质完成表格，并通过画图的方法验证你的结论．a b a b +OA B活动设计：师生探究、课件演示通过和实数加法性质进行类比，学生很容易得出向量加法的性质，对于交换律的验证我让学生通过画图自己动手验证，而对于结合律的验证，则由师生借助于多媒体共同完成．至此，本节课的概念教学已经完成，于是我引导学生进入第四环节：四、 数学运用 深化认识在这个环节，我设置了2道例题和2道练习．接下来，为了检验对于概念的理解和掌握，我设置了一道例题来强化概念： 例1：如图，已知a 、b ，作出a b +通过例1学生会看到三角形法则对共线向量的求和仍然是适用的，反映了三角形法则具有广泛的适用性．例2：根据图示填空（1）a b += ； （2）c d += ； （3）a d b ++= ；（4）DE CD AC ++= ； （5）AB BC CD DE +++= ．在训练三角形法则的同时，使同学们注意到三角形法则推广到n 个向量相加的形式．即n n n A A A A A A A A A A 01322110=++++-例3：长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，一艘船从长江南岸A 点出发，以每小时4公里的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东每小时3公里．（1） 试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（保留两位有效数字）)()c a b c +=++ ab b a a b（2）求船实际航行的速度大小与方向．（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）五、回顾反思拓展延伸本环节有课堂小结和作业布置两部分内容：课堂小结：【问题6】同学们想一想：本节课你有些什么收获呢？留给你印象最深的是什么？作为课堂的延伸，你课后还想作些什么探究？新课程理念尊重学生的差异，鼓励学生的个性发展，所以，对于课堂小结我设置一个开放性的问题，期望通过这个问题使学生体验学习数学的快乐，增强学习数学的信心．作业布置：在布置作业环节中，设置了两组练习，一组必做题，一组探究题，这样可以使学生在完成基本学习任务的同时，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣．（1）作业：P66 习题2．2的1．2．3．（2）拓展探究：当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？。