(全国100套)中考数学试卷分类汇编 中位线

2018年全国中考数学真题分类 线段垂直平分线、角平分线、中位线（一）一、选择题1. （2018四川泸州，7题，3分） 如图2，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AB 中点，且AE+EO=4，则ABCD 的周长为（ ）A.20B. 16C. 12D.8第7题图 【答案】B 【解析】ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，所以O 为AC 的中点，又因为E 是AB 中点，所以EO是△ABC 的中位线，AE=21AB ，EO=21BC ，因为AE+EO=4，所以AB+BC=2(AE+EO)=8，ABCD 中AD=BC ，AB=CD ，所以周长为2(AB+BC)=16【知识点】平行四边形的性质，三角形中位线2. （2018四川省南充市，第8题，3分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，30A ∠=，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，若2BC =，则EF 的长度为（ ）A ．12B ．1C ．32D【答案】B【思路分析】1.由∠ACB =90°，∠A =30°，BC 的长度，可求得AB 的长度，2.利用直角三角形斜边D的中线等于斜边第一半，求得CD 的长度；3.利用中位线定理，即可求得EF 的长.【解题过程】解：在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，BC =2，，∴AB =4，CD =12AB ，∴CD =12×4=2，∵E ，F 分别为AC ，AD 的中点，∴EF =12CD =12×2=1，故选B.【知识点】30°所对直角边是斜边的一半；直角三角形斜边的中线等于斜边第一半；中位线定理3. （2018四川省达州市，8，3分） △ABC 的周长为19，点D 、E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ．若BC ＝7，则MN 的长为（ ） ． A ．32 B ．2 C ．52D ．3第8题图 【答案】C ，【解析】∵△ABC 的周长为19，BC ＝7， ∴AB ＋AC ＝12．∵∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∴BA ＝BE ，N 是AE 的中点． ∵∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ，∴AC ＝DC ，M 是AD 的中点． ∴DE ＝AB ＋AC －BC ＝5． ∵MN 是△ADE 的中位线， ∴MN ＝12DE ＝52． 故选C.【知识点】三角形的中位线4. （2018浙江杭州， 10，3分）如图，在△ABC 中，点D 在AB 边上，DE//BC ，与边AC 交于点E ，连接BE ，记△ADE ，△BCE 的面积分别为S 1，S 2,（ ）A. 若2AD>AB ，则3S 1>2S 2B. 若2AD>AB ，则3S 1<2S 2C. 若2AD<AB ，则3S 1>2S 2D. 若2AD<AB ，则3S 1<2S 2【答案】D【思路分析】首先考虑极点位置，当2AD=AB 即AD=BD 时S 1，S 2的关系，然后再考虑AD>BD 时S 1，S 2的变化情况。

4. 三角形的中位线一、选择题1. (2018·广东)在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为()A. 12 B.13 C.14 D.162. (2018·宁波)如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连接OE.若∠ABC＝60°，∠BAC ＝80°，则∠1的度数为()A. 50°B. 40°C. 30°D. 20°第2题第3题第4题3. (2018·泸州)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，且AE＋EO＝4，则▱ABCD的周长为()A. 20B. 16C. 12D. 84. (2018·贵阳)如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F.如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为()A. 24B. 18C. 12D. 95. (2018·南充)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点．若BC＝2，则EF的长度为()A. 12 B. 1 C.32 D. 3第5题第6题第7题6. (2018·达州)如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC 上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M.若BC＝7，则MN的长度为()A. 32 B. 2 C.52 D. 37. (2018·湘潭)如图，E，F，G，H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是()A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 平行四边形8. (2018·临沂)如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点．则下列说法：①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH 为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD 互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4第8题第9题9. (2018·陕西)如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD和DA的中点，连接EF，FG，GH和HE.若EH＝2EF，则下列结论正确的是()A. AB＝2EFB. AB＝2EFC. AB＝3EFD. AB＝5EF二、填空题10. (2018·梧州)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC 的中点，BC＝6 cm，则DE的长度是________cm.第10题第11题11. (2018·济宁)如图，在△ABC中，E，F分别是边AB，AC 的中点，点D在BC边上，连接DE，DF，EF.请你添加一个条件________________，使△BED与△FDE全等．12. (2018·曲靖)如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12，D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD.如果DE＝2.5，那么△ACD的周长是________．第12题第13题13. (2018·益阳)如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，则下列结论：①△ADF≌△FEC；②四边形ADEF为菱形；③S△ADF∶S△ABC＝1∶4.其中正确的结论是________．(填序号)14. (2018·泰州)如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD＝∠ABC＝90°，E，F分别为AC，CD的中点，∠D ＝α，则∠BEF的度数为________．(用含α的式子表示)第14题第15题15. (2018·连云港)如图，E，F，G，H分别为矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，连接AC，HE，EC，GA，GF.已知AG⊥GF，AC＝6，则AB的长为________．16. (2018·哈尔滨)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝OB，E，F分别是OA，OD的中点，连接EF，∠CEF＝45°，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，FN＝10，则线段BC的长为________．第16题第17题17. (导学号78816058)(2018·武汉)如图，在△ABC中，∠ACB ＝60°，AC＝1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是________．三、解答题18. (2018·怀化)如图，点A，F，E，C在同一条直线上，AB∥DC，AB＝CD，∠B＝∠D.(1) 求证：△ABE≌△CDF；(2) 若E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG ＝5，求AB的长．第18题19. (2018·大庆)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E 分别是AB，AC的中点，连接DE，CD，过点E作EF∥DC 交BC的延长线于点F.(1) 求证：四边形CDEF是平行四边形；(2) 若四边形CDEF的周长是25 cm，AC的长为5 cm，求线段AB的长度．第19题20.(导学号78816059)(2018·淄博)(1) 操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN.小明发现了：线段GM与GN 的数量关系是________；位置关系是________．(2) 类比思考：如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其他条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．(3) 深入研究：如图③，小明在(2)的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其他条件不变，试判断△GMN的形状，并证明．第20题4.三角形的中位线一、1.C 2.B 3.B 4.A 5.B 6.C 7.B 8.A 9.D二、10.3 11.答案不唯一，如D 是BC 的中点 12.18 13.①②③ 14.270°－3α 15.2 16.42 17.32点拨：延长BC 至点M ，使CM ＝CA ，连接AM ，作CN ⊥AM 于点N.∵D 是边AB 的中点，∴AD ＝BD.∵DE 平分△ABC 的周长，∴易得ME ＝EB.∴DE 为△BAM 的中位线．∴DE ＝12AM.∵∠ACB ＝60°，∴∠M ＝∠CAM ＝30°.∵AC ＝1，∴NC＝12，AN ＝32.∵CM ＝CA ，CN ⊥AM ，∴AM ＝2AN ＝ 3.∴DE ＝32. 三、18. (1) ∵AB ∥DC ，∴∠A ＝∠C.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠C ，AB ＝CD ，∠B ＝∠D ，∴△ABE ≌△CDF(ASA) (2) ∵E ，G 分别为线段FC ，FD 的中点，∴GE 是△FCD 的中位线．∴EG ＝12CD .∵EG ＝5，∴CD＝10.∵△ABE ≌△CDF ，∴AB ＝CD ＝1019. (1) ∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴ED 是△ABC 的中位线．∴ED ∥BC ，即ED ∥CF.又∵EF ∥DC ，∴四边形CDEF 是平行四边形 (2) 设AB ＝xcm.∵四边形CDEF 是平行四边形，∴DC ＝EF ，DE ＝CF .∵四边形CDEF 的周长是25cm ，∴DE ＋DC ＝252cm.∵在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，∴DC ＝12AB ＝12x cm.∴DE ＝(252－12x )cm.∵ED 是△ABC 的中位线，∴BC ＝2DE ＝(25－x )cm.在Rt △ACB 中，由勾股定理，得AB 2＝BC 2＋AC 2，∴x 2＝(25－x )2＋52，解得x ＝13.∴AB 的长度为13cm20. (1) GM ＝GN GM ⊥GN (2) 结论仍旧成立，即GM ＝GN ，GM ⊥GN 理由如下：如图①，连接CD ，BE 交于点H ，设CD ，AB 交于点F.∵△ABD 和△ACE 都是等腰直角三角形，∴AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝90°.∴∠CAD ＝∠EAB .∴△ACD ≌△AEB (SAS)．∴CD ＝EB ，∠ADC ＝∠ABE .又∵△ADF ，△HBF 的内角和均为180°，∠AFD ＝∠HFB ，∴∠DAF ＝∠BHF ＝90°.∴CD ⊥BE .∵M ，G 分别是BD ，BC 的中点，∴MG 是△BCD的中位线．∴MG//12CD .同理可证NG //12BE ，∵CD ⊥BE ，CD ＝BE ，∴GM＝GN ，GM ⊥GN . (3) △GMN 为等腰直角三角形 如图②，连接EB ，DC ，延长EB ，DC 交于点H .∵△ABD 和△ACE 都是等腰直角三角形，∴AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝90°.∴∠CAD ＝∠EAB .∴△ACD ≌△AEB (SAS)．∴CD ＝EB ，∠ADC ＝∠ABE .∵∠ABE ＋∠ABH ＝180°，∴∠ADC ＋∠ABH ＝180°.∵四边形ABHD 的内角和为360°，∠BAD ＝90°，∴∠H ＝90°，即EH ⊥DH .∵M ，G 分别是BD ，BC的中点，∴MG 是△BCD 的中位线．∴MG //12CD .同理可证NG //12BE ，∴MG ＝NG ，MG ⊥NG .∴△GMN 为等腰直角三角形。

全国各地100份中考数学试卷分类汇编第27章 梯形一、选择题A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B 2. （山东滨州，12，3分）如图,在一张△ABC 纸片中, ∠C=90°, ∠B=60°,DE 是中位线,现把纸片沿中位线DE 剪开,计划拼出以下四个图形:①邻边不等的矩形;②等腰梯形;③有一个角为锐角的菱形;④正方形.那么以上图形一定能被拼成的个数为( )A.1B.2C.3D.4【答案】C3. （山东烟台，6,4分）如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、DC 的中点.已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG 的周长是（ ）A.8B.9C.10D.12【答案】B4. （浙江台州，7,4分）如图，在梯形ABCCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90º，对角线BD 、AC 相交于点O 。

下列条件中，不能判断对角线互相垂直的是（ ）A . ∠1=∠4B . ∠1=∠3C . ∠2=∠3D .OB 2+OC 2=BC 2【答案】B5. （台湾台北，15）图(五)为梯形纸片ABCD ，E点在BC 上，且︒=∠=∠=∠90D C AEC ，AD ＝3，BC＝9，CD ＝8。

若以AE 为折线，将C 折至BE 上，使得CD 与AB 交于F 点，则BF 长度为何？ED CB A（第12题图）A B CDEF（第6题图）A ． 4.5B 。

5C 。

5.5D ．6【答案】B6. （2011山东潍坊，11，3分）已知直角梯形ABCD 中， A D ∥BC ，∠BCD=90°, BC = CD=2AD , E 、F 分别是BC 、CD 边的中点，连接BF 、DE 交于点P ，连接CP 并延长交AB 于点Q ，连接AF ，则下列结论不正．．确．的是（） A . CP 平分∠BCDB. 四边形 ABED 为平行四边形C. CQ 将直角梯形 ABCD 分为面积相等的两部分D. △ABF 为等腰三角形【答案】C7. （山东临沂，12，3分）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，AD ＝2，BC ＝6，∠B ＝60°，则梯形ABCD 的周长是（ ）A ．12B ．14C ．16D ．18 【答案】CA.2B. 243cmAC. 2233cm D. 223cm【答案】A9. （湖北武汉市，7，3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=DC=CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD的大小是A．40°．B．45°．C．50°．D．60°．【答案】C10．（湖北宜昌，12，3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，点E,F,G,H分别是AB,BC，CD，DA的中点，则下列结论一定正确的是( ).A. ∠HGF = ∠GHEB. ∠GHE = ∠HEFC. ∠HEF = ∠EFGD. ∠HGF = ∠HEF（第12题图）【答案】D12.二、填空题1.（福建福州，13，4分）如图4,直角梯形ABCD中,AD∥BC,90C∠=,则A B C∠+∠+∠=度.【答案】2702. ( 浙江湖州，14，4)如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，△AOD与△BOC的面积之比为1：9，若AD=1，则BC的长是．【答案】33. （湖南邵阳，16，3分）如图（六）所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AC⊥BC，∠B=60°，BC=2cm，则上底DC的长是_______cm。

中考数学总复习《角形中位线综合》专题训练（附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．在Rt ABC 中90,5,3ACB AB BC ∠=︒==，将ABC 绕点B 顺时针旋转得到A BC ''△，其中点A ，C 的对应点分别为点A '和C '．（1）如图1，当点A '落在AC 的延长线上时，求AA '的长；（2）如图2，当点C '落在AB 的延长线上时，连接CC '，交A B '于点M ，求BM 的长；（3）如图3，连接,AA CC ''，直线CC '交AA '于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ．在旋转过程中，DE 是否存在最小值？若存在，求出DE 的最小值；若不存在，请说明理由．2．如图1，ABC 中，点,,D E F 分别在边,,AB BC AC 上，BE=CE ，点G 在线段CD 上，CG=CA 和,GF DE AFG CDE =∠=∠．（1）填空：与CAG ∠相等的角是_____；（2）用等式表示线段AD 与BD 的数量关系，并证明；（3）若90,2BAC ABC ACD ︒∠=∠=∠（如图2），求AC AB的值． 3．如图，菱形ABCD 的边长为1，=60ABC ∠︒点E 是边AB 上任意一点（端点除外），线段CE 的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N．（1）求证：AF EF=；（2）求MN NG+的最小值；∠的大小是否变化？为什么？（3）当点E在AB上运动时，CEF4．已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD 中点．(1)当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为，说明理由；(2)在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB=3，AD=2，求线段FH 的长；(3)在△ADE旋转的过程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．5．已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”，不需要证明）（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和BF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．6．如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，D为△ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF．（1）求证：△BDA≌△BFE；（2）①CD+DF+FE的最小值为；②当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD∥BF．（3）如图2，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．7．（1）用数学的眼光观察．如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，P 是对角线BD 的中点，M 是AB 的中点，N 是DC 的中点，求证：PMN PNM ∠=∠．（2）用数学的思维思考．如图，延长图中的线段AD 交MN 的延长线于点E ，延长线段BC 交MN 的延长线于点F ，求证：AEM F ∠=∠．（3）用数学的语言表达．如图，在ABC 中AC AB <，点D 在AC 上AD BC =，M 是AB 的中点，N 是DC 的中点，连接MN 并延长，与BC 的延长线交于点G ，连接GD ，若60ANM ∠=︒，试判断CGD △的形状，并进行证明．8．如图①，ABC 和ADE 是等边三角形，连接DC ，点F ，G ，H 分别是,DE DC 和BC 的中点，连接,FG FH ．易证：3FH FG =．若ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，且90BAC DAE ∠=∠=︒，如图②：若ABC 和ADE 都是等腰三角形，且120BAC DAE ∠=∠=︒，如图③：其他条件不变，判断FH 和FG 之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．9．如图1，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，和,AO CO BCA CAD ．(1)求证：四边形ABCD 是平行四边形；(2)如图2，E ，F ，G 分别是,,BO CO AD 的中点，连接,,EF GE GF ，若2,15,16BD AB BC AC ，求EFG 的周长．10．在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，顺次连接EF 、FG 、GH 、HE ．（1）请判断四边形EFGH 的形状，并给予证明；（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形．(写出你添加的条件，不要求证明)11．已知：如图，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，其交点为O．求证：（1）△CDE≌△DBF；（2）OA=OD．12．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边AB，AD的中点．（1）请判断△OEF的形状，并证明你的结论；（2）若AB=13，AC=10，请求出线段EF的长．答案：1．（1）在RtABC 中2222534AC AB BC =-=-=． 根据旋转性质可知AB A B '=，即ABA '△为等腰三角形． ∵90ACB ∠=︒，即BC AA '⊥ ∴4A C AC '==∴8AA '=．（2）如图，作CD AC '⊥交AC '于点D ，作//CE A B '交AC '于点E ．由旋转可得A BC ABC ''∠=∠ 3BC BC '==． ∵//CE A B '∴CEB A BC ''∠=∠∴CEB ABC ∠=∠∴3CE BC BC '=== DE DB =． ∵1122ABC S AB CD AC BC == 即543CD ⨯=⨯ ∴125CD =． 在Rt BCD △中 2295DB BC CD =-=∴185BE =． ∴335C E BE BC ''=+=． ∵//CE A B '∴BM BC CE C E '=' 即33335BM =和AC D ''中∴()APD A C D AAS ''≅AD A D '= 即点D ∵点E 为AC 中点DE 为ACA '的中位线12A C 'DE 最小 根据图可知A C '≥∴此时1=12DE A C '= 即DE 最小值为1．2．解：（1）,CG CA =,CAG CGA ∴∠=∠故答案为：.CGA ∠（2）1,2AD BD = 理由如下： 在CG 上取点H 使,GH AF = 连接EH ,,HGA FAG AG GA ∠=∠=,AGH GAF ∴≌,,AH GF GHA AFG ∴=∠=∠ ,GF DE AFG CDE =∠=∠,,GHA CDE AH DE ∴∠=∠= //,AH DE ∴∴ 四边形AHED 是平行四边形 ,//,AD EH AD EH ∴=,BE CE =EH ∴为CBD △的中位线1,2EH BD ∴= 1.2AD BD ∴=∠=BAC∴= AH DH 设ACD∠∴∠=HAC∴∠AHD AH DE//∴∠HDEBDE∴∠∠=ABCB x ∴∠=2∴∠=BED∴∠=BDE∴=BD BE3．解：（1）连接CF∵FG垂直平分CE∴CF=EF∵四边形ABCD为菱形∴A和C关于对角线BD对称∴CF=AF∴AF=EF；（2）连接AC∵M和N分别是AE和EF的中点点G为CE中点∴MN=12AF NG=12CF 即MN+NG=12（AF+CF）当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时AF+CF最小即此时MN+NG最小∵菱形ABCD边长为1 ∠ABC=60°∴△ABC为等边三角形AC=AB=1即MN+NG的最小值为12；∵△ABC和△ADE均为等边三角形∴AB=AC AD=AE∠BAC=∠DAE ∴∠BAD=∠CAE∴△BAD≌△CAE（SAS）∴BD=CE∠ADB=∠AEC∵EG=GB EF=FDBD GF∥BD∴FG=12∵DF=EF DH=HCEC FH∥EC∴FH=12∴FG=FH∵∠ADB+∠ADM=180°∴∠AEC+∠ADM=180°∴∠DME+∠DAE=180°∴∠DME=120°∴∠BMC=60°∴∠GFH=∠BOH=∠BMC=60°∴△FGH是等边三角形故答案为：等边三角形．∵四边形ABCD 为正方形∴AD =DC ∠BCD =∠ADC =90°．在△ADF 和△DCE 中 90DF CE ADF DCE AD DC =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△DCE (SAS )∴AF =DE ∠DAF =∠CDE ．∵∠ADG +∠EDC =90°∴∠ADG +∠DAF =90°∴∠AGD =90° 即AF ⊥DE ；（2）上述结论① ②仍然成立 理由是：.∵四边形ABCD 为正方形∴AD =DC ∠BCD =∠ADC =90°．在△ADF 和△DCE 中 90DF CE ADF DCE AD DC =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△DCE (SAS )∴AF =DE ∠DAF =∠EDC ．∵∠ADG +∠EDC =90°∴∠ADG +∠DAF =90°∴∠AGD =90° 即AF ⊥DE ；（3）四边形MNPQ 是正方形．理由是：BD BF ABD EBF AB BE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△BDA ≌△BFE （SAS ）；（2）①∵两点之间 线段最短即C D F E 共线时CD +DF +FE 最小 ∴CD +DF +FE 最小值为CE∵∠ACB =90° ∠ABC =30° AC =1∴BE =AB =2 BC =223AB AC -=∵∠CBE =∠ABC +∠ABE =90°∴CE =227BE BC +=故答案为：7；②证明：∵BD =BF ∠DBF =60°∴△BDF 为等边三角形即∠BFD =60°∵C D F E 共线时CD +DF +FE 最小∴∠BFE =120°∵△BDA ≌△BFE∴∠BDA =120°∴∠ADF =∠ADB -∠BDF =120°-60°=60°∴∠ADF =∠BFD∴AD ∥BF ；（3）∠MPN 的大小是为定值 理由如下：）P的中点1AD BC = PM PN ∴=.PMN PNM ∴∠=∠.（2）P 的中点 M 是AB 的中点PN BC ∴∥PNM F ∴∠=∠.同理 PMN AEM ∠=∠.由（1）可知PMN PNM ∠=∠AEM F ∴∠=∠.（3）CGD △是直角三角形 证明如下： 如图 取BD 的中点P 连接PM PNM 是AB 的中点PM AD ∴∥ 12PM AD =. 同理 PN BC ∥ 12PN BC =.AD BC =PM PN ∴=.PM AD∥∴∠PMN∴∠PNMPN BC∥∴∠CGN又CNG∠=∴是等边三角形CGN∴=.CN GN又CN DN=∴=.DN GN∴∠=∠NDG∴∠=∠CGD∴是直角三角形CGD故答案为：．解：图②中图②证明如下：是CDE的中位线，CE FG=同理可得GH BD∥∵ABC和ADE都是等腰直角三角形∴()SAS ABD ACE △≌△∴CE BD ACE ABD ==，∠∠∴FG HG =∵BD GH FG CE ∥，∥∴FGH FGD HGD ∠=∠+∠DCE GHC GCH =++∠∠∠DBC DCB ACD ACE =+++∠∠∠∠DBC ABD ACB =++∠∠∠ACB ABC =∠+∠90=︒∴HGF △是等腰直角三角形∴2FH FG =；图③证明如下：如图③所示 连接BD HG CE ，，∵点F G 分别是DE DC ，的中点∴FG 是CDE 的中位线∴12FG CE FG CE =∥， 同理可得12GH BD GH BD =∥，∵ABC 和ADE 都是等腰三角形 且120BAC DAE ∠=∠=︒∴()SASABD ACE△≌△∴CE BD ACE ABD==，∠∠∴FG HG=∵BD GH FG CE∥，∥∴FGH FGD HGD∠=∠+∠DCE GHC GCH=++∠∠∠DBC DCB ACD ACE=+++∠∠∠∠DBC ABD ACB=++∠∠∠ACB ABC=∠+∠180BAC=︒-∠60=︒∴HGF△是等边三角形∴FH FG=．9．（1）证明：∵∠=∠BCA CAD∴BC∥AD在△AOD和△COB中：BCA CADCO AOCOB AOD∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AOD≌△COB(ASA)∴BC=AD∴四边形ABCD为平行四边形．（2）解：∵点E F分别为BO和CO的中点∴EF是△OBC的中位线∴11522EF BC；∵ABCD为平行四边形∴BD=2BO又已知BD=2BA∴BO=BA=CD=OD∴△DOC与△BOA均为等腰三角形又F为OC的中点连接DF∴DF⊥OC∴∠AFD=90°又G为AD的中点由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知：1115222GF AD BC；过B点作BH⊥AO于H连接HG如上图所示：由等腰三角形的“三线合一”可知：AH=HO=12AO=14AC=4∴HC=HO+OC=4+8=12在Rt△BHC中由勾股定理可知222215129BH BC CH1122HG OD BO BE∴四边形BHGE 为平行四边形GE=BH =9151592422EFG C GE GF EF ． 10．连接A C ∵E F G H 分别是AB BC CD DA 的中点 ∴HG∥AC EF∥AC , ∴HG∥EF 又HG= EF=AC ∴四边形EFGH 是平行四边形．在△CDE 和△DBF 中 ∴△CDE≌△DBF （SAS ）；（2）∵四边形ABCD 是菱形， AC=10 ∴AO=5，∠AOB=90° ∴BO=22AB AO -=22135-=12 ∴BD=24 ∵点E 、F 分别是边AB 、AD 的中点 ∴EF //12BD ∴EF=12．考点：1．菱形的性质；2．勾股定理；3．三角形中位线定理．。