2017-2018学年北京市人大附中高一(上)期末数学试卷含参考答案

北京市朝阳区2017~2018学年度第一学期期末质量检测高一年级数学学科试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合，，则A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意可得：,结合交集的定义可得：，，结合选项可知，只有选项A是正确的.本题选择A选项.2. 已知平面向量，，且∥，则=A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意结合平面向量平行的充要条件可得：.本题选择B选项.3. 已知，，且，则A. B. C. D.【答案】C【解析】结合题意和反比例函数的单调性可知：，选项A说法错误；若，则，选项B错误；若，则，选项D错误；结合题意和指数函数的单调性可知：，选项C说法正确；本题选择C选项.4. 函数的零点所在的区间为A. B. C. D.【答案】B【解析】结合函数的解析式有：，，且函数的函数图象在区间上具有连续性，据此结合函数零点存在定理可得函数的零点所在的区间为.本题选择B选项.点睛：一是严格把握零点存在性定理的条件；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；三是函数f(x)在[a，b]上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上只有一个零点.5. 设奇函数的定义域为，且，当时，的图象如图所示，则不等式的解集是A. B. C. D.【答案】C【解析】求解不等式可得，结合奇函数的性质补全函数图象如图所示，观察可得，不等式的解集为：.本题选择C选项.6. 在△中，若，则△的形状为A. 锐角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形【答案】D【解析】由题意可得：,即：,整理可得：，则向量与的夹角为钝角，即，据此可知：则△的形状为钝角三角形.本题选择D选项.点睛：处理两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．7. 将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则A. ，的最小值为B. ，的最小值为C. ，的最小值为D. ，的最小值为【答案】B【解析】由题意可知，为函数最高点横坐标，则：，据此可得：，函数，则将函数的图象向右平移个单位即可的函数的图象，即的最小值为.本题选择B选项.8. 定义域为的函数，满足，若函数与图象的交点为（），将每一个交点的横、纵坐标之和记为（），则A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，则函数关于坐标原点对称，函数关于点对称；而函数的图象也关于点对称，结合函数的定义域可得两函数图象交点的个数为偶数个，不妨假设这些点的坐标为：，其中其中关于点对称，则：，据此可得：.本题选择A选项.点睛：如果函数，，满足，恒有，那么函数的图像有对称轴；如果函数，满足，恒有，那么函数的图像有对称中心.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知，，则____,____.【答案】(1). (2).【解析】由题意结合同角三角函数基本关系可得：，.10. 已知函数则___；若，则___.【答案】(1). 2(2).【解析】(1)由分段函数的解析式可得：；(2)当时，，不合题意，舍去；当时，，综上可得，若，则.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．11. 已知平面向量a，b的夹角为60°，，，则__；=___.【答案】(1). 1(2). 2【解析】由题意可得：，则：，.12. 在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称. 若角α的终边经过点，则____.【答案】【解析】由题意可知的终边过点，的终边过点，由三角函数的定义有：，13. 已知函数（），（1）若，则函数的零点是____；（2）若存在实数，使函数有两个不同的零点，则的取值范围是____.【答案】(1). 0(2).【解析】(1)当时，，分类讨论：当时，，不合题意，舍去；当时，，符合题意，综上可得，函数的零点是.(2)原问题等价于函数在上单调，在同一个平面直角坐标系中绘制函数和的图象，观察可得：当时，二次函数部分不单调，满足题意，当时，函数在定义域内单调递增，不合题意，当时，，这使得函数不单调，满足题意，综上可得：的取值范围是.14. 对任意两个非零的平面向量，定义一种运算“”为：．若平面向量的夹角，且和的值均为集合中的元素，则__.【答案】2【解析】由题中的新定义有：，，两式相乘可得：，不妨假设，则，且，由平面向量的夹角可得：，即，据此可得：，则：.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。

2017-2018学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．命题“∃x0∈R，≤0”的否定是（）A．∃x0∈R，＞0 B．∃x0∉R，≤0C．∀x∈R，2x＞0 D．∀x∈R，2x≤02．下列求导运算正确的是（）A．（x3）'=x2 B．C．（e x）'=xe x﹣1D．（cosx）'=sinx3．如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，+∞）4．“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A（﹣1，0），右焦点为F2（，0），则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x6．如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f′（4）=（）A．B．3 C．4 D．57．函数f（x）=2x3﹣3x2+a的极大值为6，那么a的值是（）A．5 B．0 C．6 D．18．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x 轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．若椭圆的中心在坐标原点，焦点为（1，0），且过（2，0）点，则椭圆的标准方程为______．10．已知函数f（x）=sinx，则f′（）=______．11．已知椭圆+=1的焦点F1、F2在x轴上，离心率为，若弦AB经过焦点F1，则△ABF2的周长为______．12．函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是______．13．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，则|AB|=______．14．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，给出下列命题：①﹣2是函数y=f（x）的极值点；②1是函数y=f（x）的最小值点；③y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零；④y=f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增．则正确命题的序号是______．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知点M（3，﹣6）在以原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线C上，直线l：y=2x+1与抛物线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．（1）求抛物线C的方程；（2）求线段AB的长．16．已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2（Ⅰ）求f（x）的单调减区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣2，2]上的最值．17．已知椭圆D： +=1的半焦距c=1，且a=b．（1）求椭圆D的标准方程；（2）过点M（0，m）且斜率为的直线l与椭圆D有两个不同的交点P和Q，若以PQ为直径的圆经过原点O，求实数m的值．一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，点A 在曲线C上，∠F1AF2的平分线交x轴于点M（I）若点M的坐标为（2，0），则|AF2|=______；（II）若|AF1|+|AF2|=24，则△F1AF2的面积为______．19．（I）设函数f（x）=x（x+1）（x+2），则f′（0）=______；（II）设函数f（x）=x（x+1）（x+2）…（x+100），则f′（0）=______．（只需列出式子即可）二、解答题（本大题共2小题，满分20分.请把解答过程写在答题纸上.）20．已知椭圆G： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，右顶点为（，0）．（1）求G的方程；（2）直线y=kx+1与曲线G交于不同的两点A，B，若在x轴上存在一点M，使得|AM|=|BM|，求点M的横坐标的取值范围．21．设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．2017-2018学年北京市人大附中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．命题“∃x0∈R，≤0”的否定是（）A．∃x0∈R，＞0 B．∃x0∉R，≤0C．∀x∈R，2x＞0 D．∀x∈R，2x≤0【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得到结论．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是∀x∈R，2x＞0，故选：C2．下列求导运算正确的是（）A．（x3）'=x2 B．C．（e x）'=xe x﹣1D．（cosx）'=sinx【考点】导数的运算．【分析】直接利用求导公式判断选项的正误．【解答】解：A．（x3）'=3x2故A错误；B．（lgx）'=故B正确；C．（e x）'=e x故C错误；D．（cosx）'=﹣sinx 故D错误；故选B3．如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，+∞）【考点】椭圆的标准方程．【分析】利用椭圆的定义求解．【解答】解：∵x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，把x2+ky2=2转化为椭圆的标准方程，得，∴，解得0＜k＜1．∴实数k的取值范围是（0，1）．故选：A．4．“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据同向不等式两边可相加，由a＞b，c＞d能得到a+c＞b+d，而a+c＞b+d得不到a＞b，c＞d，比如a=b，c＞d的情况，所以a＞b，c＞d是a+c＞b+d的充分不必要条件．【解答】解：由a＞b，c＞d便得到a+c＞b+d，即a＞b，c＞d是a+c＞b+d的充分条件；而由a+c＞b+d得不到a＞b，c＞d，比如a=b，c＞d，满足a+c＞b+d，但不满足a＞b，即a ＞b，c＞d不是a+c＞b+d的充分条件；∴a＞b，c＞d是a+c＞b+d的充分不必要条件．故选B．5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A（﹣1，0），右焦点为F2（，0），则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的几何量，即可求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A（﹣1，0），右焦点为F2（，0），可得a=1，c=，所以b=．双曲线的渐近线方程为：y=．故选：A．6．如图，直线l是曲线y=f（x）在x=4处的切线，则f′（4）=（）A．B．3 C．4 D．5【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由图得到f（4）=5，进一步得到直线l所经过的两点，由两点求斜率得到l的斜率，即曲线y=f（x）在x=4处的导数值．【解答】解：由图可知，f（4）=5，又直线过（0，3），（4，5），∴，即f′（4）=．故选：A．7．函数f（x）=2x3﹣3x2+a的极大值为6，那么a的值是（）A．5 B．0 C．6 D．1【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】令f′（x）=0，可得x=0 或x=6，根据导数在x=0和x=6两侧的符号，判断故f （0）为极大值，从而得到f（0）=a=6．【解答】解：∵函数f（x）=2x3﹣3x2+a，导数f′（x）=6x2﹣6x，令f′（x）=0，可得x=0 或x=1，导数在x=0 的左侧大于0，右侧小于0，故f（0）为极大值．f（0）=a=6．导数在x=1 的左侧小于0，右侧大于0，故f（1）为极小值．故选：C．8．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x 轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先求出点B的坐标，设出点P的坐标，利用=2，得到a与c的关系，从而求出离心率．【解答】解：如图，由于BF⊥x轴，故x B=﹣c，y B =，设P（0，t），∵=2，∴（﹣a，t）=2（﹣c，﹣t）．∴a=2c，∴e==，故选D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．若椭圆的中心在坐标原点，焦点为（1，0），且过（2，0）点，则椭圆的标准方程为．【考点】椭圆的标准方程．【分析】根据题意椭圆的焦点在x轴上，a=2且c=1，进而求得b=，由此能求出椭圆的标准方程．【解答】解：由题意知椭圆的焦点在x轴上，∵椭圆经过点（2，0），焦点为（1，0），∴a=2，c=1，可得b=．因此，椭圆的标准方程为．故答案为：．10．已知函数f（x）=sinx，则f′（）=．【考点】导数的运算．【分析】根据导数的运算法则计算即可．【解答】解：f（x）=sinx，则f′（x）=cosx，则f′（）=cos=，故答案为：11．已知椭圆+=1的焦点F1、F2在x轴上，离心率为，若弦AB经过焦点F1，则△ABF2的周长为12．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆的方程为+=1的焦点F1、F2在x轴上，离心率为，知长半轴a=3，利用椭圆的定义知，△ABF2的周长为4a，从而可得答案．【解答】解：∵椭圆的方程为+=1的焦点F1、F2在x轴上，离心率为，∴=∴a=3，又过焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，A，B与椭圆的另一个焦点F2构成△ABF2，则△ABF2的周长l=|AB|+|AF2|+|BF2|=（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a=4a=12．故答案为：1212．函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是（2，+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】首先对f（x）=（x﹣3）e x求导，可得f′（x）=（x﹣2）e x，令f′（x）＞0，解可得答案．【解答】解：f′（x）=（x﹣3）′e x+（x﹣3）（e x）′=（x﹣2）e x，令f′（x）＞0，解得x＞2．故答案为：（2，+∞）．13．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=6，则|AB|=8．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，故|AB|=x1+x2+2，由此易得弦长值．【解答】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=﹣1，∵抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点∴|AB|=x1+x2+2，又x1+x2=6∴∴|AB|=x1+x2+2=8故答案为8．14．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，给出下列命题：①﹣2是函数y=f（x）的极值点；②1是函数y=f（x）的最小值点；③y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零；④y=f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增．则正确命题的序号是①④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．【解答】解：根据导函数图象可知当x∈（﹣∞，﹣2）时，f'（x）＜0，在x∈（﹣2，+∞）时，f'（x）≥0则函数y=f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增，故y=f（x）在区间（﹣2，2）上单调递增正确，即④正确而在x=﹣2处左侧单调递减，右侧单调递增，则﹣2是函数y=f（x）的极小值点，故①正确∵函数y=f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增∴当x=﹣2处函数取最小值，1不是函数y=f（x）的最小值点，故②不正确；∵函数y=f（x）在x=0处的导数大于0∴y=f（x）在x=0处切线的斜率大于零，故③不正确故答案为：①④三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知点M（3，﹣6）在以原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线C上，直线l：y=2x+1与抛物线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．（1）求抛物线C的方程；（2）求线段AB的长．【考点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线C的方程；（2）将直线l：y=2x+1与抛物线C的方程y2=12x联立化简整理可得：4x2﹣8x+1=0，即可求线段AB的长．【解答】解：（1）依题意可设：抛物线C的方程为y2=2px（p＞0）由点M（3，﹣6）在抛物线C上可得：（﹣6）2=2p×3=6p，∴p=6．故所求抛物线C的方程为y2=12x；（2）将直线l：y=2x+1与抛物线C的方程y2=12x联立化简整理可得：4x2﹣8x+1=0∴x=1±由弦长公式可得：|AB|=•=．16．已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2（Ⅰ）求f（x）的单调减区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣2，2]上的最值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2，通过求导得出f′（x）＜0，解出即可；（Ⅱ）f（x）在[﹣1，2]上单调递增，在[﹣2，﹣1]上单调递减，因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，求出即可．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣2∴f′（x）=﹣3x2+6x+9．令f′（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞3，∴函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞）．（Ⅱ）∵f（﹣2）=8+12﹣18﹣2=0，f（2）=﹣8+12+18﹣2=20，∴f（2）＞f（﹣2）．∵x∈（﹣1，3）时，f′（x）＞0，∴f（x）在[﹣1，2]上单调递增，又由于f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递减，因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值．于是有f（x）max=20，f（x）min=﹣7．17．已知椭圆D： +=1的半焦距c=1，且a=b．（1）求椭圆D的标准方程；（2）过点M（0，m）且斜率为的直线l与椭圆D有两个不同的交点P和Q，若以PQ为直径的圆经过原点O，求实数m的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意可知：c=1，且a=b＞0，又a2=b2+c2，联立解出即可得出椭圆D的标准方程．（2）由题意易知：直线l的方程为y=x+m．与椭圆方程联立可得：5x2+4mx+2（m2﹣1）=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由以PQ为直径的圆经过原点O可得：•=0，即x1x2+y1y2=0．利用根与系数的关系代入即可解出．【解答】解：（1）由题意可知：c=1，且a=b＞0，又a2=b2+c2，联立解得c=1，b=1，a=所求椭圆D的标准方程为： +y2=1．（2）由题意易知：直线l的方程为y=x+m．联立，化简整理可得：5x2+4mx+2（m2﹣1）=0，由△=﹣4×5×2（m2﹣1）=40﹣8m2＞0，可得：＜m＜．设P（x1，y1），Q（x2，y2）．∴x1+x2=，x1x2=．由以PQ为直径的圆经过原点O可得：OP⊥OQ．从而•=0，∴x1x2+y1y2=0．∴x1x2+y1y2=x1x2+=3x1x2+（x1+x2）+m2=3×+m×（﹣）+m2=﹣=0，解得：m=，满足△＞0．故所求实数m的值为．一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，点A 在曲线C上，∠F1AF2的平分线交x轴于点M（I）若点M的坐标为（2，0），则|AF2|=6；（II）若|AF1|+|AF2|=24，则△F1AF2的面积为54．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（I）求得双曲线的a，b，c，可得焦点坐标，运用角平分线性质定理可得==，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=6，进而可得所求；（II）由双曲线的对称性，可设A在右支上，运用双曲线的定义和直角三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（I）双曲线C：﹣=1的a=3，b=3，c==6，则F1（﹣6，0），F2（6，0），∠F1AF2的平分线交x轴于点M，可得===，可得A在右支上，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a=6，解得|AF2|=6；（II）由双曲线的对称性，可设A在右支上，可得|AF1|﹣|AF2|=6，且|AF1|+|AF2|=24，解得|AF1|=15，|AF2|=9，又|F1F2|=12，由92+122=152，可得AF2⊥F1F2，则△F1AF2的面积为×9×12=54．故答案为：6，54．19．（I）设函数f（x）=x（x+1）（x+2），则f′（0）=2；（II）设函数f（x）=x（x+1）（x+2）...（x+100），则f′（0）=1×2×3× (100)（只需列出式子即可）【考点】导数的运算．【分析】（Ⅰ）构造函数g（x）=（x+1）（x+2），则f（x）=xg（x），再根据导数的运算法则计算即可；（Ⅱ）构造函数g（x）=（x+1）（x+2）…（x+100），则f（x）=xg（x），再根据导数的运算法则计算即可．【解答】解：（Ⅰ）设g（x）=（x+1）（x+2），则f（x）=xg（x），则f′（x）=g（x）+xg′（x），∴f′（0）=g（0）+0×g′（0）=（0+1）（0+2）=2，（Ⅱ）g（x）=（x+1）（x+2）…（x+100），则f（x）=xg（x），则f′（x）=g（x）+xg′（x），∴f′（0）=g（0）+0×g′（0）=（0+1）×（0+2）×...×（0+100）=1×2×3× (100)二、解答题（本大题共2小题，满分20分.请把解答过程写在答题纸上.）20．已知椭圆G： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，右顶点为（，0）．（1）求G的方程；（2）直线y=kx+1与曲线G交于不同的两点A，B，若在x轴上存在一点M，使得|AM|=|BM|，求点M的横坐标的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意可知：e==，a=，b2=a2+c2，联立解出即可得出椭圆G的方程．（2）将直线l的方程y=kx+1与椭圆G的方程联立化简整理可得：（3k2+2）x2+6kx﹣3=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得线段AB中点N的坐标，再利用线段垂直平分线的性质、斜率计算公式即可得出．【解答】解：（1）由题意可知：e==，a=，b2=a2+c2，联立解得a=，c=1，b2=2．所求椭圆G的方程为：=1．（2）将直线l的方程y=kx+1与椭圆G的方程联立：，化简整理可得：（3k2+2）x2+6kx﹣3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．则x1+x2=，x1•x2=．设线段AB中点N的坐标为（x0，y0）．则x0==，y0=kx0+1=．设x轴上M点坐标为（m，0），使得|AM|=|BM|，依题意可得：AB⊥MN．①当k=0时，直线l平行于x轴，易知：此时M点与坐标原点重合，其坐标为（0，0）；②当k≠0时，有k MN=﹣，∴===﹣，从而m=﹣=﹣，而≥2（k＞0），或≤﹣2（0＞k），故≤m＜0或0＜m≤．综上所述：实数m的取值范围是．即点M的横坐标的横坐标的取值范围是．21．设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）a=1时，f（x）=x2+ax﹣lnx（x＞0），，根据函数的定义域，确定f′（x）＞0和f′（x）＞0的范围，进而得到函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，则f'（x）≤0对任意x∈（0，1]恒成立，进而对任意x∈（0，1]恒成立，进而将问题转化为函数的最值问题后，可得实数a的取值范围；（Ⅲ）设出切点坐标，利用导数法求出切线斜率（切点处的导函数值），进而利用点斜式方程结合切线过原点求出切线方程，通过证明t=1是方程t2+lnt﹣1=0的唯一的解，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=x2+ax﹣lnx（x＞0），∴，又∵，f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．（Ⅱ）∵又∵f（x）在区间（0，1]上是减函数，∴f′（x）≤0对任意x∈（0，1]恒成立，即对任意x∈（0，1]恒成立，∴对任意x∈（0，1]恒成立，令，∴a≤g（x）min，易知g（x）在（0，1]单调递减，∴g（x）min=g（1）=﹣1．∴a≤﹣1．（Ⅲ）设切点为M（t，f（t）），，∴过M点的切线方程为：y﹣f（t）=f′（t）（x﹣t），即又切线过原点，所以，，即t2+lnt﹣1=0，显然t=1是方程t2+lnt﹣1=0的解，设φ（t）=t2+lnt﹣1，则φ′（t）=2t+＞0恒成立，φ（t）在（0，+∞）单调递增，且φ（1）=0，∴方程t2+lnt﹣1=0有唯一解1．∴过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，切线有且仅有一条，且切点的横坐标恒为1．2018年9月28日。

北京人大附中2017届高三（上）期末试卷卷一一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上.）1．（4分）已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A⊆B“的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．（4分）已知命题p：∀x∈R，2x＞0，则（）A．￢p：∃x∉R，2x≤0 B．￢p：∃x∈R，2x≤0C．￢p：∃x∈R，2x＜0 D．￢p：∃x∉R，2x＞03．（4分）如图，在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=，=，=，则等于（）A．﹣B．C．﹣+D．﹣﹣﹣4．（4分）给定原命题：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，那么下列命题形式正确的是（）A．逆命题：若a、b全为0，则a2+b2=0B．否命题：若a2+b2≠0，则a、b全不为0C．逆否命题：若a、b全不为0，则a2+b2≠0D．否定：若a2+b2=0，则a、b全不为05．（4分）双曲线﹣=1的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．x±y=0 D．x±y=06．（4分）已知点P是双曲线﹣=1上一点，若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为（）A．B．C．5 D．107．（4分）已知AB是经过抛物线y2=2px的焦点的弦，若点A、B的横坐标分别为1和，则该抛物线的准线方程为（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=D．x=﹣8．（4分）在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线W，则下列命题中：①曲线W关于原点对称；②曲线W关于x轴对称；③曲线W关于y轴对称；④曲线W关于直线y=x对称所有真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把结果填在答题纸中.）9．（5分）以y=±x为渐近线且经过点（2，0）的双曲线方程为．10．（5分）已知=（2，﹣1，2），=（﹣4，2，x），且∥，则x=．11．（5分）设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，若|PF1|﹣|PF2|=1，则|PF1|=，|PF2|=．12．（5分）已知△ABC的顶点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，1），CD是AB边上的高，则点D的坐标为．13．（5分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若p∨q为真，（p∧q）为假，则m的取值范围为．14．（5分）已知点A（0，2），点B（0，﹣2），直线MA、MB的斜率之积为﹣4，记点M 的轨迹为C（I）曲线C的方程为；（II）设QP，为曲线C上的两点，满足OP⊥OQ（O为原点），则△OPQ面积的最小值是．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（12分）已知向量=（2，﹣1，﹣2），=（1，1，﹣4）．（1）计算2﹣3和|2﹣3|；（2）求＜，＞.16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=3，BC=CC1=4 （1）求证：AB1⊥C1B（2）求直线C1B与平面ABB1A1所成的角的正弦值．17．（12分）已知抛物线C的顶点在坐标原点O，焦点为F（1，0），经过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若△AOB的面积为4，求|AB|卷二一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分.请把结果填在答题纸上.）18．（10分）已知点P为抛物线y2=2x上的一个动点，过点P作⊙A：（x﹣3）2+y2=1的两条切线PM、PN，切点为M、N（I）当|P A|最小时，点P的坐标为；（II）四边形PMAN的面积的最小值为．19．（10分）在四面体ABCD中，若E、F、H、I、J、K分别是棱AB、CD、AD、BC、AC、BD的中点，则EF、HI、JK相交于一点G，则点G为四面体ABCD的重心．设A（0，0，2），B（2，0，0），C（0，3，0），D（2，3，2）．（I）重心G的坐标为；（II）若△BCD的重心为M，则=．二、解答题（本大题共2小题，满分30分.请把解答过程写在答题纸上.）20．（14分）已知椭圆C的中心在坐标原点O，两焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0），过点P（0，2）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且△AF1F2的周长为4+2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若原点O关于直线l的对称点在椭圆C上，求直线l的方程．21．（16分）如图（1），在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是AB边上一点，沿CD 将图形折叠成图（2），使得二面角B﹣CD﹣A是直二面角．（1）若D是AB边的中点，求二面角C﹣AB﹣D的大小；（2）若AD=2BD，求点B到平面ACD的距离；（3）是否存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．参考答案卷一一、选择题1．A【解析】当a=3时，A={1，3}所以A⊆B，即a=3能推出A⊆B；反之当A⊆B时，所以a=3或a=2，所以A⊆B成立，推不出a=3故“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件故选A．2．B【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，2x＞0，则￢p：∃x∈R，2x≤0．故选：B．3．C【解析】由题意在三棱锥O﹣ABC中，点D是棱AC的中点，若=，=，=，可知：=+，=，==，=﹣+．故选：C．4．A【解析】原命题：“若a2+b2=0，则a、b全为0”，所以逆命题是：“若a、b全为0，则a2+b2=0”，选项A正确；否命题是：“若a2+b2≠0，则a、b不全为0”，选项B错误；逆否命题是：“若a、b不全为0，则a2+b2≠0”，选项C错误；否定命题是：“若a2+b2=0，则a、b不全为0”，选项D错误．故选：A．5．C【解析】由已知，双曲线﹣=1的离心率为2，∴，∴．该双曲线的渐近线方程为：y=，即：x±y=0．故选：C6．C【解析】由题意得a=2，b=，c=3，∴F1（﹣3，0）、F2（3，0），Rt△PF1F2中，由勾股定理得4c2=|PF1|2+|PF2|2=（|PF1|﹣|PF2|）2+2•|PF|•|PF2|=4a2+2•|PF1|•|PF2|，1∴36=4×4+2•|PF1|•|PF2|，∴|PF1|•|PF2|=10，∴△PF1F2面积为•|PF1|•|PF2|=5，故选：C．7．D【解析】由题意，A（1，），B（，﹣），∴|AB|==，∴=1++p，∴p=1，∴抛物线的准线方程为x=﹣．故选：D．8．A【解析】曲线W的轨迹方程为|x|+|y|=，两边平方得：2|xy|=﹣2x﹣2y+2，即|xy|+x+y=1，①若xy＞0，则xy+x+y+1=2，即（x+1）（y+1）=2，∴y=，函数为以（﹣1，﹣1）为中心的双曲线的一支，②若xy＜0，则xy﹣x﹣y+1=0，即（x﹣1）（y﹣1）=0，∴x=1（y＜0）或y=1（x＜0）．作出图象如图所示：∴曲线W关于直线y=x对称；故选A．二、填空题9．【解析】∵双曲线以y=±x为渐近线，∴该双曲线为等轴双曲线，设方程为x2﹣y2=λ（λ≠0）∵点（2，0）是双曲线上的点，∴22﹣02=λ，可得λ=4由此可得双曲线方程为x2﹣y2=4，化成标准形式得故答案为：10．-4【解析】∵∥，∴2×2=﹣2×x∴x=﹣4．故答案为：﹣411．2.5 1.5【解析】椭圆+=1中，a=2，∵P是椭圆+=1上的点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∴由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=4，∵|PF1|﹣|PF2|=1，∴|PF1|=2.5，|PF2|=1.5．故答案为：2.5，1.5．12．【解析】=（﹣1，2，0）．设=λ，可得：=+λ=（1﹣λ，2λ，0）．∴=（1﹣λ，2λ，﹣1）．∵⊥，∴•=﹣（1﹣λ）+4λ=0，解得：λ=，∴=．故答案为：．13．（1，2]∪[3，+∞）【解析】命题p为真时，实数m满足△=m2﹣4＞0且﹣m＜0，解得m＞2，命题q为真时，实数m满足△=16（m﹣2）2﹣16＜0，解得1＜m＜3，p∨q为真命题、p∧q为假命题，∴p，q一真一假；①若q真且p假，则实数m满足1＜m＜3且m≤2，解得1＜m≤2；②若q假且p真，则实数m满足m≤1或m≥3且m＞2，解得m≥3；综上可知实数m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．14．【解析】（I）设M（x，y），又A（0，2），点B（0，﹣2），∴，即，∴曲线C的方程为；（Ⅱ）设PQ方程：y=kx+m，代入椭圆4x2+y2=4，整理得：（k2+4）x2+2kmx+m2﹣4=0．△=4k2m2﹣4（k2+4）（m2﹣4）=16（k2﹣m2+4）．．y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=．∴==0．化简得：5m2=4（1+k2），即．点O到直线PQ的距离d==．则===，由≥，得：|OP|•|OQ|≥．∴|OP|2+|OQ|2≥2|OP|•|OQ|≥2=．∴S△OPQ=|OP|•|OQ|≥．故答案为：，．三、解答题15．解：（1）2﹣3=2（2，﹣1，﹣2）﹣3（1，1，﹣4）=（4，﹣2，﹣4）﹣（3，3，﹣12）=（1，﹣5，8）．|2﹣3|==3．（2）∵cos＜，＞===，＜，＞∈[0，π]，∴＜，＞=．16．（1）证明：连接B1C交BC1于点O．∵CC1⊥底面ABC，AC⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴CC1⊥AC，CC1⊥BC，又AC⊥BC，∴AC，CB，CC1两两垂直，以CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．∵AC=3，BC=CC1=4，∴A（3，0，0），B（0，4，0），B1（0，4，4），C1（0，0，4）．∴=（﹣3，4，4），=（0，﹣4，4），∴=﹣3•0+4•（﹣4）+4•4=0，∴AB1⊥BC1．（2）解：∵A1（3，0，4），A（3，0，0），B（0，4，0），B1（0，4，4），C1（0，0，4）．∴=（﹣3，4，0），=（0，0，4），=（0，4，﹣4）．设平面ABB1A1的法向量=（x，y，z），则，∴．令x=4得=（4，3，0）．∴cos＜＞===．∴直线C1B与平面ABB1A1所成角的正弦值为．17．解：（1）依题意可设：抛物线C的标准方程为y2=2px（p＞0），由其焦点为F（1，0）易得：2p=4，得：p=2，故所求抛物线C的标准方程为y2=4x；（2）①当直线l斜率不存在即与x轴垂直时，易知：|AB|=4，此时△AOB的面积为S△AOB=|OF|•|AB|=×1×4=2，不符合题意，故舍去．②当直线l斜率存在时，可设其为k（k≠0），则此时直线l的方程为y=k（x﹣1），将其与抛物线C的方程：y2=4x联立化简整理可得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，（k≠0），设A、B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）由韦达定理可得：，由弦长公式可得：|AB|=x1+x2+p=2++2=+4，由点到直线的距离公式可得：坐标原点O到直线l的距离为d=，故△AOB的面积为S△AOB=|AB|d=2（+|k|）==4，==16，解得：k=±，k2=，又|AB|=+4=12+4=16，因此，当△AOB的面积为4时，所求弦AB的长为16．卷二一、填空题18．（2，2）或（2，﹣2）【解析】（I）设P（x，y），则|P A|2=（x﹣3）2+y2=（x﹣3）2+2x=（x﹣2）2+5，∴x=2时，|P A|最小，此时y=±2，∴点P的坐标为（2，±2）；（II）圆C：（x﹣3）2+y2=1圆心C（3，0）、半径r为：1根据题意，若四边形面积最小，则圆心与点P的距离最小．由（I），|P A|最小为，∴四边形PMAN的面积的最小值为2×=故答案为：（2，2）或（2，﹣2）；．19． 3【解析】（I）x G==1，y G==，z G==1，∴重心G的坐标为．（II）M，即M．=，=，∴==3．故答案分别为：；3．二、解答题20．解：（1）设椭圆C的标准方程为=1（a＞b＞0），由题意可得：c=，2a+2c=4+2，a2=b2+c2，联立解得：c=，a=2，b=1．所求椭圆C的方程为=1．（2）由题意易知：直线l的斜率存在，可设直线l的方程为：y=kx+2，（k≠0）．设原点O关于直线l的对称点O′的坐标为（x0，y0）．则线段OO′的中点D的坐标为，由题意可知：点D在直线l上，故有=k+2，①点O在椭圆C上，故有+=1，②线段OO′与直线l垂直，故有×k=﹣1，③由①③可得：x0=﹣，，将其代入②可得：k=．故所求直线l的方程为：y=x+2．21．解：（1）在图（1）中，∵AC=BC=1，∠ACB=90°，∴AB=．当D为AB边的中点时，AD=BD=CD==，且CD⊥AB．在图（2）中取AB的中点M，连结DM，CM．∵CA=CB=1，AD=BD=，AB=1，∴DM=，CM=，且CM⊥AB，DM⊥AB．∴∠CMD为二面角C﹣AB﹣D的平面角．在△CDM中，由余弦定理得cos∠CMD===．∴二面角C﹣AB﹣D的大小为arccos．（2）在图（1）中，当AD=2BD时，BD=AB=，在△BCD中，由余弦定理得：CD==．由正弦定理得：，∴sin∠BCD==．在图（2）中，∵二面角B﹣CD﹣A是直二面角，∴∠BCD为BC与平面ACD所成的角，∴点B到平面ACD的距离为BC•sin∠BCD=．（3）设=λ（λ＞0），则AD=，BD=．在平面ACD中过A作AC的垂线Ay，过A作平面ACD的垂线Az，以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示：设B到平面ACD的距离为h，则A（0，0，0），C（1，0，0），D（，，0），B（，，h）．设AB的中点为M，则M（，，），∴=（，，），=（，，0）．∵CA=CB，M为AB的中点，∴CM⊥AB，假设二面角C﹣AB﹣D是直二面角，则CM⊥平面ABD，∴CM⊥AD．∵=•++0=≠0．与CM⊥AD矛盾．∴不存在一点D，使得二面角C﹣AB﹣D是直二面角．。