《相似三角形的性质》同步练习3【北师大版 九年级数学上册】

4.7相似三角形的性质同步练习1．已知△ABC∽△DEF，且它们的面积之比为4：9，则它们的相似比为．2．如图，平面直角坐标系中，已知点A（8，0）和点B（0，6），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是．3．△AOC在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA＝4，将△AOC绕O点，逆时针旋转90°得到△A1OC1，A1C1，交y轴于B（0，2），若△C1OB∽△C1A1O，则点C1的坐标．4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）和点B（0，3），点C是AB的中点，点P是线段BO、OA上的动点，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是．5．如图，在平面直角坐标系中，A（2，2），C（6，0），AB∥x轴，射线AB在第一象限，P为射线AB上一点，连接OP，AC交于点E，若△AOP与△OEC相似，则点P的坐标为．6．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为．7．如图，正方形ABCD中，AB＝2，E为BC中点，两个动点M和N分别在边CD和AD 上运动且MN＝1，若△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，则DM ＝．8．如图，已知矩形纸片ABCD中，AB＝1，剪去正方形ABEF，得到的矩形ECDF与矩形ABCD相似，则AD的长为．9．两个相似三角形的最短边分别为5cm和3cm，它们的周长之和为48cm，那么小三角形的周长为（）A．12cm B．18cm C．24cm D．30cm10．若△ABC∽△DEF，且对应中线比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．3：2B．2：3C．4：9D．9：1611．△ABC是由△DEF的每条边都扩大到原来的2倍得到的，则△ABC与△DEF的面积之比为（）A．1：2B．2：1C．1：4D．4：112．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∠A＝α，∠C＝β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是（）A．B．C．D．13．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为（）A．2：3B．4：16C．3：2D．16：414．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．（1）求证：EB＝GD；（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝，求GD的长．15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．点E、F分别在边AB、AC上，且BE＝AF，FG∥AB交线段AD于点G，连接BG、EF．（1）求证：四边形BGFE是平行四边形；（2）若△ABG∽△AGF，AB＝10，AG＝6，求线段BE的长．16．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝20cm，两只小虫P和Q同时分别从A，B出发沿AB，BC向终点B，C方向前进，小虫P每秒走1cm，小虫Q每秒走2cm，请问它们同时出发多少秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似？17．如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A出发沿AB边向点B以2cm/s 的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后△PBQ和△ABC相似？18．如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝5cm，EC＝3cm，BC＝7cm，∠BAC＝45°，∠C＝40°．（1）求∠AED和∠ADE的大小；（2）求DE的长．。

4.7相似三角形的性质同步习题一．选择题（共10小题）1．两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（）A．45cm，85cm B．60cm，100cm C．75cm，115cm D．85cm，125cm 2．若△ABC∽△DEF，AB：DE＝9：4，则△ABC与△DEF的面积之比为（）A．3：2B．9：4C．4：9D．81：163．如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为44，则四边形DBCE的面积是（）A．22B．24C．26D．284．如图，已知△ABC∽△ADB，点D是AC的中点，AC＝4，则AB的长为（）A．2B．4C．D．5．如图，△ABC中，点D是AB的中点，点E是AC边上的动点，若△ADE与△ABC相似，则下列结论一定成立的是（）A．E为AC的中点B．DE∥BC或∠BDE+∠C＝180°C．∠ADE＝∠CD．DE是中位线或AD•AC＝AE•AB6．如图，点D、E分别在△ABC的两边BA、CA的延长线上，下列条件能判定ED∥BC的是（）A．B．C．AD•AB＝DE•BC D．AD•AC＝AB•AE7．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为3cm，4.5cm和6m，另一个三角形的最长边长为12cm，则它的最短边长为（）A．6cm B．9cm C．16cm D．24cm8．已知△ABC∼△DEF，且△ABC的面积为2cm2，△DEF的面积为8cm2，则△ABC与△DEF的相似比是（）A．1：4B．4：1C．1：2D．2：19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D是AC的中点，过点D沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，则不同的剪法共有（）A．1种B．2种C．3种D．4种10．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∠A＝α，∠C＝β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）11．如图，△ADE∽△ABC，AD＝6，AE＝8，BE＝10，CA的长为．12．如图，△ABC中，点D在AC边上．若△ABC∽△ADB，AB＝3，AC＝4，则AD的长为．13．如果两个相似三角形的对应边的比是4：5，那么这两个三角形的面积比是．14．如图，在△ABC中，点D在BC边上，△ABC∽△DBA．若BD＝4，DC＝5，则AB的长为．15．已知△ABC∽△DEF，且S△ABC＝4，S△DEF＝9，则＝．16．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线，如图，在△ABC中，DB＝1，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，则CD的长为．三．解答题（共3小题）17．如图．已知△ABC中，△ADE∽△ABC，AD：BD＝3：4，求S△ADE：S四边形DECB．18．如图，AC＝4，BC＝6，∠B＝36°，∠D＝117°，△ABC∽△DAC．求：（1）CD的长；（2）∠BAD的度数．19．如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边BC、CD的延长线上，AE与CD的交点为G，且∠EAF＝45°．（1）试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系？并证明你的猜想；（2）若点E在BC的延长线上时△EGF与△EF A相似，求BE的长．参考答案1．解：根据题意两个三角形的相似比是15：23，周长比就是15：23，大小周长相差8份，所以每份的周长是40÷8＝5cm，所以两个三角形的周长分别为5×15＝75cm，5×23＝115cm．故选：C．2．解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为9：4，∴其面积之比为81：16．故选：D．3．解：如图，由题意根据题意得△AFH∽△ADE，所有三角形均相似，可得FH：DE＝3：4，∴＝（）2＝，设S△AFH＝9x，则S△ADE＝16x，∴16x﹣9x＝7，解得x＝1，∴S△ADE＝16，∴四边形DBCE的面积＝44﹣16＝28．故选：D．4．解：∵AC＝4，D是AC的中点，∴AD＝DC＝2，∵△ABC∽△ADB，∴，即：，解得：AB＝2，故选：C．5．解：A、∵△ADE与△ABC相似，∴∠ADE＝∠B或∠ADE＝∠C，∴当∠ADE＝∠C时，DE与BC不平行，∴点E不一定为AC中点，故A错误；B、当△ADE∽△ABC时，∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，当△ADE∽△ACB时，∠ADE＝∠C，∴∠BDE+∠C＝180°，故B正确；C、当△ADE∽△ABC时，∠ADE＝∠B，故C错误；D、当∠ADE＝∠C时，DE与BC不平行，∴DE不一定是中位线，当△ADE∽△ACB时，AD•AB＝AE•AC，故D错误；故选：B．6．解：∵∠EAD＝∠CAB，∴当，即AD•AC＝AB•AE，∴ED∥BC，故选：D．7．解：设另一个三角形的最短边长为xcm，根据题意，得：＝，解得：x＝6，即另一个三角形的最短边的长为6cm．故选：A．8．解：∵△ABC的面积为2cm2，△DEF的面积为8cm2，∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，∵△ABC∼△DEF，∴△ABC与△DEF的相似比为1：2，故选：C．9．解：如图所示：当DF∥BC时，△ADF∽△ACB；当DG∥AB时，△CDG∽△ABC；当DE⊥AB时，△ADE∽△ABC；故过点P的△ABC的相似线最多有3条．故选：C．10．解：∵△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∠A＝α，∠C＝β，∴，A错误；∴，C错误；∴，D正确；不能得出，B错误；故选：D．11．解：∵△ADE∽△ABC，∴＝，∵AD＝6，AE＝8，BE＝10，∴，解得：AC＝24．故答案为：24．12．解：∵△ABC∽△ADB，∴，即：AB2＝AD•AC，∵AB＝3，AC＝4，∴32＝4AD，∴AD＝，故答案为：．13．解：两个相似三角形面积的比是（4：5）2＝16：25．故答案为：16：2514．解：∵△ABC∽△DBA，∴＝，∴AB2＝BD•BC＝4×（4+5）＝36，∵AB＞0，∴AB＝6，故答案为6．15．解：∵△ABC∽△DEF，且S△ABC＝4，S△DEF＝9，∴．故答案为16．解：∵△BCD∽△BAC，∴，设AB＝x，∴22＝x，∵x＞0，∴x＝4，∴AC＝AD＝4﹣1＝3，∵△BCD∽△BAC，∴，∴CD＝．故答案为：17．解：∵△ADE∽△ABC，AD：BD＝3：4，∴＝，∴＝，∴S△ADE：S四边形DECB＝9：40．18．解：（1）∵△ABC∽△DAC，∴＝，又AC＝4，BC＝6，∴CD＝；（2）∵△ABC∽△DAC，∴∠DAC＝∠B＝36°，∠BAC＝∠D＝117°，∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝153°．19．解：（1）猜想：BE＝DF+EF，理由如下：将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°，得△ABF′，如图1所示，由四边形ABCD为正方形可知点B、C、F′在一条直线上，∵∠BAF′+∠EAF′+∠GAD＝90°，∠BAF′＝∠DAF，∠EAF＝∠GAD+∠DAF＝45°，∴∠EAF′+∠GAD+∠DAF＝90°，∠EAF′＝∠EAF＝45°．在△EAF和△EAF′中，，∴△EAF≌△EAF′（SAS），∴EF＝EF′，∴BE＝BF′+EF′＝DF+EF．（2）∵△EGF∽△EF A，∴∠EFG＝∠EAF＝45°，∵∠ECF＝90°，∴CE＝CF．设DF＝x，则CE＝1+x，EF＝（1+x），BE＝1+1+x，根据题意得：1+1+x＝x+（1+x），解得：x＝﹣1，∴x+（1+x）＝1+，∴BE的长为1+．。

相似三角形周长和面积的性质——典型题专项训练知识点 1 有关周长的计算1．已知△ABC∽△A1B1C1，且AB＝4，A1B1＝6，则△ABC的周长和△A1B1C1的周长之比是( )A．9∶4 B．4∶9 C．2∶3 D．3∶2图4－7－102．如图4－7－10，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是( )A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶53．如果△ABC∽△DEF，其相似比为3∶1，且△ABC的周长为27，那么△DEF的周长为( )A．9 B．18 C．27 D．814．如图4－7－11，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC 的延长线于点F，BG⊥AE于点G，BG＝4 2，求△FCE的周长．图4－7－11知识点 2 有关面积的计算5．已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为( )A．1∶4 B．4∶1 C．1∶2 D．2∶1图4－7－126．如图4－7－12，在△ABC中，D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为( )A．1 B．2 C．3 D．47．教材例2变式题如图4－7－13，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC面积的14，若AB＝2，则△ABC平移的距离是________．图4－7－13图4－7－148．如图4－7－14，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，∠AED＝∠B，若AE＝2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，则AB的长为________．9．如图4－7－15所示，在▱ABCD中，AE∶EB＝1∶2.(1)求△AEF与△CDF的周长的比；(2)若S△AEF＝6 cm2，求S△CDF.图4－7－1510．若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为( )A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶1611．如图4－7－16，DE是△ABC的中位线，延长DE至点F，使EF＝DE，连接CF，则S ∶S四边形BCED的值为( )△CEFA．1∶3 B．2∶3 C．1∶4 D．2∶54－7－164－7－1712．(教材综合与实践——制作视力表的应用)我们在制作视力表时发现，每个“E”形图的长和宽相等(即每个“E”形图近似于正方形)，如图4－7－17，小明在制作视力表时，测得l1＝14 cm，l2＝7 cm，他选择了一张面积为4 cm2的正方形卡纸，刚好可以剪得第②个小“E”形图．那么下面四张正方形卡纸中，能够刚好剪得第①个大“E”形图的是( ) A．面积为8 cm2的卡纸B．面积为16 cm2的卡纸C．面积为32 cm2的卡纸D．面积为64 cm2的卡纸13．如图4－7－18，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，E是AB的中点，连接EF.(1)求证：EF∥BC；(2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．图4－7－1814．如图4－7－19所示，M是△ABC内一点，过点M分别作三条直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1，△2，△3(图中阴影部分)的面积分别是4，9和49，求△ABC 的面积．图4－7－1915．某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底长分别是10 m、20 m的梯形空地上种植花草．如图4－7－20，他们想在△AMD和△CMB地带种植单价为10元/m2的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△CMB地带种植同样的太阳花，资金是否够用，并说明理由．图4－7－2016．如图4－7－21，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，CA＝4，PQ∥AB，点P在CA上(与点A，C不重合)，点Q在BC上．(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长．(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长．(3)试问：在AB上是否存在一点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若存在，请求出PQ 的长；若不存在，请简要说明理由．图4－7－211．C 2.A3．A [解析] ∵△ABC∽△DEF，其相似比为3∶1，∴△ABC的周长△DEF的周长＝31，∴△DEF的周长＝13×27＝9.故选A.4．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAE＝∠F，∠EAD＝∠AEB.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD，∴∠BAE＝∠AEB，∴BE＝AB＝6，∴CE＝BC－BE＝3.∵∠AEB＝∠FEC，∠BAE＝∠F，∴△ABE∽△FCE，∴△ABE的周长△FCE的周长＝BECE＝2.∵BG⊥AE，∴AE＝2AG＝2 AB2－BG2＝4，∴△ABE的周长＝AB＋BE＋AE＝16，∴△FCE的周长＝12×△ABE的周长＝8.5．A6．C [解析] ∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴S△ACDS△ABC＝(ADAC)2＝14.∵S△ACD＝1，∴S△ABC＝4，∴S△BCD＝S△ABC－S△ACD＝3.7．1 [解析] 如图，∵把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，∴AC∥A′C′，∴△ABC ∽△A′BD.∵S△ABC∶S△A′BD＝4，∴AB∶A′B＝2.∵AB＝2，∴A′B＝1，∴AA′＝2－1＝1.8．3 [解析] ∵∠AED＝∠B，∠A是公共角，∴△ADE∽△ACB，∴S△ADES△ACB＝(AEAB)2.∵△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，∴△ABC的面积为9.∵AE＝2，∴49＝(2AB)2，解得AB＝3.9．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠AEF＝∠CDF，∠FAE＝∠FCD，∴△AEF∽△CDF.∵AE∶EB＝1∶2，∴AE∶AB＝AE∶CD＝1∶3，∴△AEF与△CDF的周长的比为1∶3.(2)由(1)知，△AEF∽△CDF，相似比为1∶3，∴它们的面积比为1∶9.∵S△AEF＝6 cm2，∴S△CDF＝54 cm2.10．A 11.A12．B [解析] ∵每个“E”形图近似于正方形，∴P2D2∥P1D1，∴∠PP2D2＝∠PP1D1，∠P2D2P＝∠P1D1P，∴△PP2D2∽△PP1D1.∵l1＝14 cm，l2＝7 cm，∴P2D2∶P1D1＝1∶2.∵第②个小“E”形图是面积为4 cm2的正方形卡纸，∴第①个大“E”形图的面积＝4×4＝16(cm2)．故选B.13．解：(1)证明：∵DC＝AC，CF是∠ACB的平分线，∴CF是△ACD的中线，∴F是AD的中点．又∵E是AB的中点，∴EF∥BD，即EF∥BC.(2)由(1)知，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD，∴S△AEFS△ABD＝\a\vs4\al\co1(\f(AEAB))2.又∵AE＝12AB，S△AEF＝S△ABD－S四边形BDFE＝S△ABD－6，∴S△ABD－6S△ABD＝\a\vs4\al\co1(\f(12))2，∴S△ABD＝8.14．解：根据题意，容易得到△1∽△2∽△3∽△ABC.因为△1、△2、△3的面积分别是4，9和49，所以它们之间的相似比为2∶3∶7，即BC 边被分成的三段从左到右的比为2∶7∶3，则△1与△ABC的相似比为2∶12＝1∶6，所以它们的面积比为1∶36，求得△ABC的面积是144.15．解：不够用．理由如下：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴△AMD∽△CMB，∴S△AMDS△CMB＝(ADBC)2.∵AD＝10 m，BC＝20 m，∴S△AMDS△CMB＝(1020)2＝14.∵S△AMD＝500÷10＝50(m2)．∴S△CMB＝50×4＝200(m2)．还需要资金200×10＝2000(元)，而剩余资金为2000－500＝1500(元)<2000元，∴资金不够用．16．解：(1)∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC.∵S△PQC＝S四边形PABQ，∴S△PQC∶S△ABC＝1∶2，∴CPCA＝12)＝2)2，∴CP＝2)2·CA＝2 2.(2)∵△PQC∽△ABC，∴CPCA＝CQCB＝PQAB，即CP4＝CQ3，∴CQ＝34CP.同理：PQ＝54CP，∴C△PQC＝CP＋PQ＋CQ＝CP＋54CP＋34CP＝3CP，C四边形PABQ＝PA＋AB＋BQ＋PQ＝4－CP＋AB＋3－CQ＋PQ＝4－CP＋5＋3－34CP＋54CP＝12－12CP.由C△PQC＝C四边形PABQ，得3CP＝12－12CP，∴72CP＝12，∴CP＝247.(3)存在．∵CA＝4，AB＝5，BC＝3，∴△ABC中AB边上的高为125.①如图(a)所示，当∠MPQ＝90°且PM＝PQ时，∵△CPQ∽△CAB，∴PQAB＝△CPQ中PQ上的高△CAB中AB上的高，∴PQ5＝125125，∴PQ＝6037；②当∠PQM＝90°时与①相同；③如图(b)所示，当∠PMQ＝90°且PM＝MQ时，过点M作ME⊥PQ，则ME＝12PQ，∴△CPQ中PQ上的高为125－ME＝125－12PQ.∵PQAB＝△CPQ中PQ上的高△CAB中AB上的高，∴PQ5＝1212125，∴PQ＝12049.综上可知，存在点M，使得△PQM为等腰直角三角形，此时PQ的长为6037或12049.相似三角形中特殊线段的性质——典型题专项训练知识点对应高、对应角平分线、对应中线的比1．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为34，则△ABC与△DEF对应角平分线的比为( )A.34B.43C.916D.1692．如图4－7－1，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且AD＝4，A′D′＝3，BE＝6，则B′E′的长为( )图4－7－1A.32B.52C.72D.923．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应角平分线，已知AD＝8 cm，A′D′＝3 cm，则△ABC与△A′B′C′的对应高的比为________．4．已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，已知ACA′C′＝32，B′D′＝4，则BD的长是________．5．如图4－7－2是一个照相机成像的示意图，如果底片AB宽40 mm，焦距是60 mm，求所拍摄的2 m外景物的宽CD.图4－7－26．已知△ABC∽△A′B′C′且相似比为13，△A′B′C′∽△A″B″C″且相似比为43，则△ABC与△A″B″C″的相似比为( )A.14B.94C.49D.94或497．如图4－7－3所示，某校宣传栏后面2 m处种了一排树，每隔2 m一棵，共种了6棵，小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离3 m处，正好看到这排树两端的树干，其余的4棵树均被挡住，那么宣传栏的长为________m．(不计宣传栏的厚度)4－7－3 4－7－48．如图4－7－4，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝3，AD ＝2，EF＝23EH，则EH的长为________．9．某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面示意图如图4－7－5所示．其中BA＝CD，BC＝20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm，8 cm，为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁EF应为多长？(材质及其厚度等暂忽略不计)图4－7－510．如图4－7－6，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC＝40 cm，AD＝30 cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.(1)求证：AMAD＝HGBC；(2)求矩形EFGH的周长．图4－7－611．如图4－7－7所示，有一侦察员在距敌方200 m的A处发现敌人的一座建筑物DE，但不知其高度，又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员将食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好能将建筑物遮住．若此时眼睛到食指的距离约为40 cm，食指的长约为8 cm，你能根据上述条件计算出敌方建筑物DE的高度吗？请写出你的推理过程．图4－7－712．一块三角板的一条直角边AB的长为1.5 m，面积为1.5 m2，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲、乙两名同学的加工方法如图4－7－8①②所示，请你用学过的知识说明哪名同学的加工方法更好．(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留)图4－7－813．从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．(1)如图4－7－9①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD 是△ABC的完美分割线；(2)如图②，在△ABC中，AC＝2，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．图4－7－9详解1．A2．D [解析] ∵△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，∴ADA′D′＝BEB′E′.∵AD＝4，A′D′＝3，BE＝6，∴43＝6B′E′，解得B′E′＝92.3.834.65．解：由题意，可知△ABE∽△DCE，∴0.04CD＝0.062，解得CD＝43.答：所拍摄的2 m外景物的宽CD为43 m.6．C [解析] 设△ABC，△A′B′C′，△A″B″C″的一组对应边的长分别为x，y，z.∵△ABC∽△A′B′C′且相似比为13，△A′B′C′∽△A″B″C″且相似比为43，∴xy＝13，yz＝43，即x＝y3，z＝3y4，∴xz＝49，即△ABC与△A″B″C″的相似比为49.故选C.7．68．329．解：如图，过点C作CM∥BA，分别交EF，AD于点N，M，过点C作CP⊥AD，分别交EF，AD于点Q，P.由题意，得四边形ABCM是平行四边形，∴EN＝AM＝BC＝20 cm，∴MD＝AD－AM＝50－20＝30(cm)．由题意知CP＝40 cm，PQ＝8 cm，∴CQ＝32 cm.∵EF∥AD，∴△CNF∽△CMD，∴NFMD＝CQCP，即NF30＝3240，解得NF＝24(cm)．∴EF＝EN＋NF＝20＋24＝44(cm)．答：横梁EF应为44 cm.10．解：(1)证明：(证法一)∵四边形EFGH为矩形，∴EF∥GH，∴△AHG∽△ABC. ∵AD⊥BC，EF∥GH，∴AM⊥HG，∴AMAD＝HGBC；(证法二)∵四边形EFGH为矩形，∴EF∥GH，∴△AHG∽△ABC，△AHM∽△ABD，∴HGBC＝AHAB，AMAD＝AHAB，∴AMAD＝HGBC.(2)由(1)得AMAD＝HGBC.设HE＝x cm，则HG＝2x cm，∵AD⊥BC，∴DM＝HE，∴AM＝AD－DM＝AD－HE＝(30－x)cm.可得30－x30＝2x40，解得x＝12，2x＝24.故矩形EFGH的周长为2×(12＋24)＝72(cm)．11．解：如图，过点A作AG⊥BC于点G，并延长交DE于点F.∵BC∥DE，∴AF⊥DE，∠D＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC＝AFAG，∴DE＝AF·BCAG＝200×0.080.4＝40(m)．答：敌方建筑物DE的高度为40 m.12．解：由AB＝1.5 m，S△ABC＝1.5 m2，得BC＝2 m.在题图①中，设甲同学加工的正方形桌面的边长为x m.∵DE∥AB，∴Rt△CDE∽Rt△CBA，∴CDCB＝DEBA，即2－x2＝x1.5，解得x＝67；如图，在题图②中，过点B作BH⊥AC，交AC于点H，交DE于点P. AC＝AB2＋BC2＝1.52＋22＝2.5(m)，BH＝AB·BCAC＝1.5×22.5＝1.2(m)．设乙同学加工的正方形桌面的边长为y m.∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴DEAC＝BPBH，即y2.5＝1.2－y1.2，解得y＝3037.∵67＝3035>3037，即x>y，∴x2>y2，∴甲同学的加工方法更好．13．解：(1)证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝80°，∴△ABC不是等腰三角形．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝12∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD是等腰三角形．∵∠BCD＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线．(2)由题意得△BCD∽△BAC，∴BCBA＝BDBC.∵AC＝AD＝2，BC＝2，设BD＝x，则AB＝x＋2，∴2)x＋2＝x\r(2)，解得x＝－1±3，∵x＞0，∴BD＝x＝3－1.∵△BCD∽△BAC，∴CDAC＝BDBC.∵AC＝2，BC＝2，BD＝3－1，∴CD＝BD·ACBC＝3)－1\r(2)×2＝6－2.。

∴ ∠CBD = ∠CDE. ∵ ∠BCD = ∠E,
DC
5
∴△BCD ∽ △DEC，相似比CE =
S △ BCD
∴S
△ DEC
=
25
9
S1
. ∴6 =
由(1)得 S2 = S1－S3 =
25
9
. ∴S
50
3
- 6 =
.
3
1
32
3
=
50
3
.
.
解：方法二：利用△CFB ∽ △BCD ∽ △DEC，
可求出三个三角形所有的边长.

6. 如图，AB 与 CD 相交于点 O，△OBD∽ △OAC，

OB = 6，S△OAC = 50.
（1）求 AO 的长；
（2）求 S△OBD .
BO
解：（1）∵△OBD ∽ △OAC，∴AO =
∵BO = 6，∴AO = 10.
DO
CO
3
= 5.
=
3
5
，
OD
（2）解：∵△OBD ∽ △OAC，
课程标准
第四章
图形的类似
第10课 类似三角形的性质
目录
新课学习
重难易错
三级检测
新课学习
相似三角形的性质：
（1）对应角 相等
，对应边的比 相等
；
（2）相似比 = 对应边的比 = 对应高 的比 = 对应角平分线
的比 = 对应中线的比；
（3）面积比 = 相似比的 平方
.
1
1. 已知△ABC ∽ △A′B′C′，对应边的比为 ，则相
（1） 证明：∵DC = AC，
∠ACB 的平分线 CF 交 AD 于点 F，