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【巩固练习及参考答案解析】1.(2016 吴忠模拟)函数f(x)＝Asin(ωx+φ)(其中A ＞0,ω＞0,|φ|＜)的图象如图所示,为了得到y ＝cos2x 的图象,则只要将f(x)的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度2.要得到函数y ＝sin x 的图象,只需将函数y ＝cos()3x π-的图象( )A.向右平移6π个单位 B.向右平移3π个单位 C.向左平移3π个单位 D.向左平移6π个单位 3.要得到y ＝1sin()2x -的图象,只需将y ＝1sin()26x π--的图象( ) A.向左平移3π个单位 B.向右平移3π个单位 C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位 4.函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象经 平移后所得的图象关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称. A.向左平移12π个单位 B.向左平移6π个单位C.向右平移6π个单位D.向右平移12π个单位5.函数sin()y A x ωϕ=+(0,0,||)2A πωϕ>><的最小值为―2,其图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差是3π,又图象过点(0,1),则这个函数的解析式是( )A.22sin 36y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B.12sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.22sin 36y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D.12sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭6.函数f (x )＝2sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭,当f (x )取得最小值时,x 的取值集合为( ) A.{x |x ＝4k π－23π,k ∈Z } B.{x |x ＝4k π＋23π,k ∈Z } C.{x |x ＝4k π－3π,k ∈Z } D.{x |x ＝4k π＋3π,k ∈Z } 7.已知a 是实数,则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能是( )8.若函数()cos()25f x x ππ=+对于任意的x R ∈都有12()()()f x f x f x ≤≤成立,则12||x x -的最小值为( )A. 1B. 2C. πD.49.函数y ＝3sin(2x+ϕ)(0＜ϕ＜π)为偶函数,则ϕ＝________. 10.(2016 眉山模拟)已知函数f(x)＝sin(2x+),将y ＝f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到函数g(x)的图象,若动直线x ＝t 与函数y ＝f(x)和y ＝g(x)的图象分别交于M 、N 两点,则|MN|的最大值为 .11.函数sin()y A x ωϕ=+(A,ω,ϕ为常数,A ＞0,ω＞0)在区间[－π,0]上的图象如下图所示,则ω＝________.12.函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的部分图象如图所示,则(1)(2)(3)(11)f f f f +++⋅⋅⋅+= .13.已知函数sin()y A x ωϕ=+(A ＞0,ω＞0)的图象过点,012P π⎛⎫⎪⎝⎭,图象与P 点最近的一个最高点坐标为,53π⎛⎫⎪⎝⎭, (1)求函数解析式; (2)指出函数的增区间;(3)求使y ≤0时,x 的取值范围.14.(2016 德阳模拟)已知A 、B 、C 、D 是函数y ＝sin(ωx+φ)(ω＞0,0＜φ＜)一个周期内的图象上的四个点,如图所示,A(﹣,0),B 为y 轴的点,C 为图象上的最低点,E 为该函数图象的一个对称中心,B 与D 关于点E 对称,在x 轴方向上的投影为.求函数f(x)的解析式及单调递减区间;15.已知函数()()sin()0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤,|(0)|1,f =()f x 的图象关于点3(,0)4M π对称,且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数,求,ωϕ的值.【答案与解析】 1.【参考答案】C【解析】由图象可知A ＝1,T ＝π,∴ω＝＝2 ∴f(x)＝sin(2x+φ),又因为f()＝sin(+φ)＝﹣1∴+φ＝+2k π,φ＝(k ∈Z)∵|φ|,∴φ＝∴f(x)＝sin(2x+)＝sin(﹣2x ﹣)＝cos(﹣2x)＝cos(2x ﹣)∴将函数f(x)向左平移可得到cos[2(x+)﹣]＝cos2x ＝y 故选C.2.【参考答案】 A 【解析】y ＝sin x ＝cos 2x π⎛⎫-⎪⎝⎭＝cos 2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝cos 63x ππ⎡⎤⎛⎫--⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, ∴须将y ＝cos 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位. 3.【参考答案】B 【解析】y ＝sin 126x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝sin 1()23x π⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦4.【参考答案】D【解析】设平移后得sin 2()3y x πϕ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦.当12x π=-时,y ＝0,∴263k ππϕπ-++=,∴212k ππϕ=-,k ＝0,12πϕ=-,故向右平移12π个单位. 5.【参考答案】B【解析】由已知得A ＝2,T ＝2×π＝6π,又2T πω=,所以22163T ππωπ===,故12sin 3y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,又图象过点(0,1),所以12sin ϕ=,1sin 2ϕ=,因为||2πϕ<,所以6πϕ=,所以12sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,选B.6.【参考答案】A7. 【参考答案】D【解析】当a ＝0,图象如C;当0＜a ＜1,图象如A;当1＜a ＜2,图象如B;在D 中,就振幅看a ＞1,就周期看0＜a ＜1.8.【参考答案】B【解析】“对于任意的x R ∈都有12()()()f x f x f x ≤≤成立”的含义是1()f x 是函数的最小值,2()f x 是函数的最大值,1x 是使得函数取得最小值的一个自变量,2x 是使得函数取得最大值的一个自变量,那么,12||x x -的最小值应为半个周期.因为函数()f x 的最小正周期为4,所以12||x x -的最小值为2. 9.【参考答案】2π【解析】∵sin cos 2x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,∴当2πϕ=时,3sin 23cos 22y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭为偶函数. 10.【参考答案】【解析】f(x)＝sin(2x+),g(x)＝sin[2(x ﹣)+]＝sin(2x ﹣),所以|MN|＝|f(x)﹣g(x)| ＝|sin(2x+)﹣sin(2x ﹣)|,＝|cos2x|,则cos2x ＝±1时, |MN|的最大值为:. 11.【参考答案】3 【解析】 23T π=,∴2323πωπ==.12.【参考答案】2+【解析】根据函数图象可得2,0,8A T ϕ===,所以()2sin()4f x x π=,计算得(1)(2)2,(3)(4)0,f f f f ====(5)(6)2,(7)(8)0,f f f f ==-==(9)(1)f f ==⋅⋅⋅所以(1)(2)(8)0f f f ++⋅⋅⋅+=,且函数周期为8.所以(1)(2)(11)(9)(10)(11)(1)(2)(3)2f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=++=++=+ 13.【解析】(1)43124T πππ=-=,∴T ＝π,A ＝5,∴22T πω==,由012πωϕ⋅+=,∴6πϕ=-. ∴5sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. (2)∵222262k x k πππππ-≤-≤+,∴222233k x k ππππ-≤≤+,()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈. ∴增区间为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. (3)∵5sin 206x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭,∴222()6k x k k Z ππππ-≤-≤∈.∴5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈. 14.【解析】(1)∵如图所示,A(﹣,0),B 为y 轴上的点,C 为图象上的最低点,E 为该函数图象的一个对称中心,B 与D 关于点E 对称,在x 轴上的投影为,∴根据对称性得出:最大值点的横坐标为,∴＝+,T ＝π,∵T ＝, ∴ω＝2, ∵A(﹣,0)在函数图象上, ∴sin(﹣+φ)＝0,解得:﹣+φ＝kπ,k ∈z,可得:φ＝kπ+,k ∈z,∴φ＝,故可得函数f(x)的解析式为:y ＝sin(2x+).∴由2kπ+≤2x+≤2kπ+,k ∈Z 即可解得单调递减区间为:[kπ,k ],k ∈Z.15.【解析】由|(0)|1f =,得|sin |1ϕ=,因为0ϕπ≤≤,所以2πϕ=又()f x 的图象关于点3(,0)4M π对称,所以3()04f π=,即3sin()042ωππ+=, 结合0ω>,可得,3,0,1,242k k ωπππ=+=⋅⋅⋅ 当0k =时,22,()sin()332f x x πω==+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数; 当1k =时,2,()sin(2)2f x x πω==+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数; 当2k ≥时,10,()sin()32f x x πωω≥=+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是单调函数; 所以,综上得22,32πωωϕ===或.。
阻尼基本理论及阻尼模型评价方法综述摘要:阻尼是结构动力分析的基本参数,对结构动力分析结果的准确性有很大的影响。
因此,从基本概念着手,分析阻尼产生原因以及从不同角度分类,得出建筑结构中动力分析常用的阻尼为瑞利阻尼;经过很多专家学者多年的研究，提出了多种阻尼模型，它们各有优缺点，文中介绍了一种统一的阻尼模型的定量评价方法,对于具体问题应采用合理的模型。
关键词:阻尼;阻尼模型；瑞利阻尼；阻尼模型的评价方法Abstract: the damping is structure dynamic analysis of the basic parameters, the structure of the dynamic analysis of the results of the accuracy has very big effect. Therefore, from the basic concept, the thesis analyzes damping causes and classification from different angles, and concludes that the building structure dynamic analysis of the commonly used for damping Rayleigh damping; After many years of research experts and scholars, and puts forward a variety of damping model, and they all have the advantages and disadvantages, this paper introduces a unified damping model of quantitative evaluation method, for a specific problem should be the use of reasonable model.Keywords: damping; Damping model; Rayleigh damping; Damping model evaluation method1 阻尼的基本概念我们知道,若无外部能源,则任何原来振动的物理系统都会随着时间的增长趋于静止。
混合结构时程分析中的阻尼比计算研究周国伟;张志强;李爱群;徐金军【摘要】There are two main problems in the study of damping effect of composite structures: the first is how to calculate the damping ratio of the whole structure when adopting different materials; the second is how to modify the low damping material after obtaining the integral damping ratio of the whole structure. Taking the high-rise building with steel tower on top as an example, a construction method of non-classical damping matrix was proposed. The result shows the damping ratio based on this matrix can reflect the energy dissipation of 4 orders of modes which play the most important influence on the main structure and the steel tower on top. By the response spectrum method, the inaccuracy of the steel tower's result due to using the calculated integral damping ratio was deduced and a modification equation was provided. The comparison with the accurate result shows the modification factor obtained by the equation has certain reference value to the earthquick response calculation.%混合结构由于其建筑及功能上的种种优点,在现代建筑中得到广泛应用.对这类结构进行分析时,主要有两个问题:一是在考虑不同材料的情况下,结构的整体阻尼比如何计算；二是在整体阻尼比的计算结果下,如何针对小阻尼材料进行修正.以高楼顶加钢塔的这一混合结构形式为例,建立一种非比例阻尼矩阵的构造方法,计算结果表明该构造方法得到的振型阻尼比可以较好的反映对主体结构和顶部钢塔影响最大的4阶振型的耗能特点.此外,基于反应谱法推导了顶部钢塔在整体阻尼比(第一阶主振型的阻尼比)计算下的误差,在此基础上,给出了相应的修正公式,最后采用上述方法分析了洛阳某高层顶部钢塔的地震响应.【期刊名称】《振动与冲击》【年(卷),期】2012(031)016【总页数】6页(P117-121,127)【关键词】混合结构;非比例阻尼;阻尼比;高阶振型【作者】周国伟;张志强;李爱群;徐金军【作者单位】东南大学土木工程学院,南京210096;广州市设计院,广州510620;东南大学土木工程学院,南京210096;东南大学混凝土及预应力混凝土结构教育部重点实验室,南京210096;东南大学混凝土及预应力混凝土结构教育部重点实验室,南京210096;国内贸易工程设计研究院,北京100001【正文语种】中文【中图分类】O411;O341;TU501阻尼比是结构动力分析的基本参数，对结构动力分析结果的可靠性和精度有很大影响。
时程分析法1、结构动力方程的建立结构弹性动力方程可以表示为：[]{}[]{}[]{}[]{}()g M x C x K x M E x t ++=-(错误！文档中没有指定样式的文字。
-1)式中[]M 、[]C 和[]K 分别为体系的质量、阻尼和刚度矩阵，{}x 、{}x 和{}x 分别表示结构体系的加速度、速度和位移向量，()g x t 为地面运动水平加速度。
式(错误！文档中没有指定样式的文字。
-1)中，{}[]K x 实际上是结构变形为{}x 时的弹性恢复力向量，但是当结构进入弹塑性变形状态后，结构的恢复力不再与{}[]K x 对应，而与结构运动的时间历程有关。
因此，结构运动的弹塑性运动微分方程可以表示为：[]{}[]{}[]{}()()()((()))g M x t C x t f x t M E x t ++=-(错误！文档中没有指定样式的文字。
-2)式(错误！文档中没有指定样式的文字。
-2)中{}()x t 、{}()x t 和{}()x t 分别表示结构体系在t 时刻的加速度、速度、位移，在t t +∆时刻，式(错误！文档中没有指定样式的文字。
-2)变为：[]{}[]{}[]{}()()()((()))g M x t t C x t t f x t t M E x t t +∆++∆++∆=-+∆(错误！文档中没有指定样式的文字。
-3)式(错误！文档中没有指定样式的文字。
-3)减去(错误！文档中没有指定样式的文字。
-2)得[]{}[]{}[]{}()g M x C x f M E x ∆+∆+∆=-∆(错误！文档中没有指定样式的文字。
-4)当t ∆较小时，结构的位移变化()()x x t t x t ∆=+∆-也不是很大，则{}f ∆可根据t 时刻的切线刚度[]()K t 近似计算{}[]{}()()f K t x t ∆=∆(错误！文档中没有指定样式的文字。
-5)将式(错误！文档中没有指定样式的文字。
时程分析阻尼模型及数值计算方法1、阻尼模型阻尼是用以描述结构在振动过程中能量的耗散方式，是结构的动力特性，是影响结构动力反应的重要因素之一。
结构振动时，由于结构材料的内摩擦、材料的滞回效应等机制导致能量消耗，使结构振动幅值逐渐减少，最后直至完全静止。
结构的耗能机制非常复杂，它与介质的特征、结构粘性等诸多因素有关。
常用的是粘滞阻尼理论，它认为，阻尼力与速度成正比。
试验也证明，对于许多材料，这种阻尼理论是可行的，并且物理关系简单，便于应用和计算。
根据实测去确定阻尼大小是相当困难的，但由于阻尼的影响通常比惯性力和刚度的影响小，所以一般都采用简化的方法考虑阻尼。
本文采用最为广泛应用的瑞雷阻尼。
瑞雷阻尼假设阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，即[][][]C M K αβ=+ (4.15)式中，α、β为常数，可以直接给定，或由给定的任意二阶振型的阻尼比i ξ、j ξ反算求得。
根据振型正交条件，待定常数α和β与振型阻尼比之间的关系应满足：22k k k βωαξω=+(k =1,2,3,…,n ) (4.16a) 任意给定两个振型阻尼比i ξ和j ξ后，可按下式确定比例常数222j i i ji ji jξωξωαωωωω-=- 222j i i ji jξωξωβωω-=- (4.16b)i ω、j ω分别为第i 、j 振型的原频率。
本文取前两阶振型频率求得α、β值。
2、数值积分方法多自由度结构体系动力微分方程为：[]{}[]{}[]{}[]{}()gM x C x K x M x t I ++=-(4.17) 其中，[]M －质量矩阵；[]C －阻尼矩阵；[]K －刚度矩阵；{}I －单位对角阵；()g x t －地面运动加速度；{}x 、{}x 、{}x－结构楼层相对于地面的位移、速度和加速度反应。
在结构动力计算中，常用的直接积分法有中心差分法、线性加速度法、Wilson-θ法和Newmark-β法等。
时程分析阻尼模型及数值计算方法1、阻尼模型阻尼是用以描述结构在振动过程中能量的耗散方式，是结构的动力特性，是影响结构动力反应的重要因素之一。
结构振动时，由于结构材料的内摩擦、材料的滞回效应等机制导致能量消耗，使结构振动幅值逐渐减少，最后直至完全静止。
结构的耗能机制非常复杂，它与介质的特征、结构粘性等诸多因素有关。
常用的是粘滞阻尼理论，它认为，阻尼力与速度成正比。
试验也证明，对于许多材料，这种阻尼理论是可行的，并且物理关系简单，便于应用和计算。
根据实测去确定阻尼大小是相当困难的，但由于阻尼的影响通常比惯性力和刚度的影响小，所以一般都采用简化的方法考虑阻尼。
本文采用最为广泛应用的瑞雷阻尼。
瑞雷阻尼假设阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，即[][][]C M K αβ=+ (4.15)式中，α、β为常数，可以直接给定，或由给定的任意二阶振型的阻尼比i ξ、j ξ反算求得。
根据振型正交条件，待定常数α和β与振型阻尼比之间的关系应满足：22k k k βωαξω=+(k =1,2,3,…,n ) (4.16a) 任意给定两个振型阻尼比i ξ和j ξ后，可按下式确定比例常数222j i i ji ji jξωξωαωωωω-=- 222j i i ji jξωξωβωω-=- (4.16b)i ω、j ω分别为第i 、j 振型的原频率。
本文取前两阶振型频率求得α、β值。
2、数值积分方法多自由度结构体系动力微分方程为：[]{}[]{}[]{}[]{}()gM x C x K x M x t I ++=-(4.17) 其中，[]M －质量矩阵；[]C －阻尼矩阵；[]K －刚度矩阵；{}I －单位对角阵；()g x t －地面运动加速度；{}x 、{}x 、{}x－结构楼层相对于地面的位移、速度和加速度反应。
在结构动力计算中，常用的直接积分法有中心差分法、线性加速度法、Wilson-θ法和Newmark-β法等。
时程分析阻尼模型及数值计算方法
1、阻尼模型
阻尼是用以描述结构在振动过程中能量的耗散方式，是结构的动力特性，是影响结构动力反应的重要因素之一。
结构振动时，由于结构材料的内摩擦、材料的滞回效应等机制导致能量消耗，使结构振动幅值逐渐减少，最后直至完全静止。
结构的耗能机制非常复杂，它与介质的特征、结构粘性等诸多因素有关。
常用的是粘滞阻尼理论，它认为，阻尼力与速度成正比。
试验也证明，对于许多材料，这种阻尼理论是可行的，并且物理关系简单，便于应用和计算。
根据实测去确定阻尼大小是相当困难的，但由于阻尼的影响通常比惯性力和刚度的影响小，所以一般都采用简化的方法考虑阻尼。
本文采用最为广泛应用的瑞雷阻尼。
瑞雷阻尼假设阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，即
[][][]C M K αβ=+ (4.15)
式中，α、β为常数，可以直接给定，或由给定的任意二阶振型的阻尼比i ξ、j ξ反算求得。
根据振型正交条件，待定常数α和β与振型阻尼比之间的关系应满足：
22
k k k βωα
ξω=
+
(k =1,2,3,…,n ) (4.16a) 任意给定两个振型阻尼比i ξ和j ξ后，可按下式确定比例常数
22
2j i i j
i j
i j
ξωξωαωωωω-=- 222j i i j
i j
ξωξωβωω-=- (4.16b)
i ω、j ω分别为第i 、j 振型的原频率。
本文取前两阶振型频率求得α、β值。
2、数值积分方法
多自由度结构体系动力微分方程为：
[]{}[]{}[]{}[]{}()g
M x C x K x M x t I ++=-
(4.17) 其中，[]M －质量矩阵；[]C －阻尼矩阵；[]K －刚度矩阵；{}I －单位对角阵；()
g x t －地面运动加速度；{}x 、{}x 、{}x
－结构楼层相对于地面的位移、速度和加速度反应。
在结构动力计算中，常用的直接积分法有中心差分法、线性加速度法、Wilson-θ法和Newmark-β法等。
数值计算方法的一个基本要求是算法的收敛性好，中心差分法和线性加速度法是条件稳定的，计算时要求积分步长很小才能保证不发散。
如前者要求积分步长0.318n
n T t T π
∆≤=，
后者要求/10n t T ∆≤，n T 为最高阶振型的周期。
Wilson-θ法是线性加速度法的改进。
当 1.37θ≥时为无条件收敛，但该方法在t t θ+∆处满足动力平衡，退回到t t +∆时有一定的平衡误差。
（1）Newmark-β法
ANSYS 软件采用的是Newmark-β法。
Newmark-β法的特点是假定加速度介于{}t x 和{}t t x +∆
之间的某一常量，记为{}x ，即所谓的常平均加速度假设，根据这一假定，{}x 可表示为
{}{}{}{}()t t t t x x x x γ+∆=+-
(4.18) 其中γ为Newmark 积分参数，满足01γ≤≤。
为了获得稳定高精度的算法，引入另一
积分参数β，满足00.5β≤≤，{}x
可表示为 {}{}{}{}()2t t t t x x x x β+∆=+-
(4.19) 以t 为积分原点，通过积分可获得t +△t 时刻的速度和位移分别为
{}{}{}t t t x
x t x +∆=+∆ (4.20a) {}{}{}{}2
12
t t t t x x t x
t x +∆=+∆+∆ (4.20b) 将式（4.18）、（4.19）分别代入式（4.20a ）、（4.20b ）可得
{}(){}{}1t t t x
x t x t γγ+∆∆=-∆+∆ (4.21a) {}{}{}{}2212t t t t x x
t x t x
t ββ+∆⎛⎫
∆=∆+-∆+∆ ⎪⎝⎭
(4.21b) 则由以上两式可得
{}{}{}{}023t t x a x a x a x ∆=∆--
(4.22a) {}{}{}{}145t t x
a x a x a x ∆=∆-- (4.22b) 其中，
201/a t β=∆ 1/a t γβ=∆ 21/a t β=∆ 31/2a β=
4/a γβ= ()5/21a t γβ=-∆
将动力方程改写为增量的形式：
[]{}[]{}[]{}[]{}g
M x C x K x M x I ∆+∆+∆=-∆
(4.23) 其中[]K 为切线刚度。
把式(4.22a)、(4.22b)代入式(4.23)中，可得
{}{}K x P ∆=∆⎡⎤⎣⎦
(4.24)
其中，
[][][]01K K a M a C =++⎡⎤⎣⎦ (4.25a)
{}[]{}[]{}{}()[]{}{}()2345g t t t t P M x M a x a x C a x a x I ∆=-∆++++
（4.25b) 通过对Newmark-β法的积分逼近算子的特征值分析可知，当1
2γ≥，2
11
42βγ≥+⎛⎫ ⎪⎝⎭
时，
其谱半径≤1，故其算法为无条件稳定。
参数γ和β决定了在时间间隔t ∆内加速度变化的规律。
12
γ=
、16
β=
时，相当于在时间间隔t ∆内加速度线性变化，这就演变为线性加速度法。
通常采用12
γ=
、14
β=
，相当于加速度为阶跃式变化，本文采用这一取值。
Newmark-
β法求解迭代过程如下：
（1）初始计算；
（2）形成刚度矩阵[]K 、质量矩阵[]M 和阻尼矩阵[]C ；
（3）确定初值{}0x 、{}0x 和{}0x
； （4）选择时间步长t ∆、参数γ和β，并计算积分常数0a ～5a ；
（5）根据式(4.25a)、(4.25b)形成等效刚度矩阵[]K 和等效荷载矩阵{}P ∆
；
（6）由式(4.24)求得{}x ∆，再由式(4.22a)、(4.22b)求得{}x ∆ 、{}x
∆ ，依次便可得到{}t t x +∆、{}t t x
+∆ 和{}t t x +∆ 。
