时程分析阻尼模型及数值计算方法

修 正 ，结合频响函数验证了修正阻尼比的数据可靠性，得出了不同结构、材料间阻尼比差异的部分规律。结 果 表 明 ，模型
试 验 对 复 合 材 料 板 的 阻 尼 比 识 别 准 确 性 要 低 于 钢 板 ，其 阻 尼 性 能 往 往 被 低 估 且 修 正 幅 度 较 大 ，该 方 法 为 模 态 参 数 识 别 的
(1. Department of Naval Architecture Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China；
2. State Grid Bengbu Power Supply Company, Bengbu 233000, China)
数 值 计 算 进 行 模 态 截 断 以 实 现 “纯 模 态 ”提 取 的 方 案 , 推 导 了 共 振 激 励 下 试 验 与 数 值 仿 真 结 果 中 频 响 峰 值 谱 线 表 达 式 ，找 出二者间的关系，用纯模态计算结果修正测试阻尼比。通 过 对 4 块不同板单元进行前8 阶试验模态分析与数值计算参数
Abstract： Any distribution of incentives lead to multiple modes of response, it is thus very difficult to stimulate
single mode of vibration in experiments. The limitation of current signal processing techniques implies that traditional methods used to estimate the damping ratio cannot effectively separate the superposition m o d e s , which leads to larger error in obtained damping ratio. Starting with modal superposition method theory in dealing with multiple-degrees-of-freedom system dynamic response, it was pointed out that mode confusion problem is one important limitation in precise damping ratio test. Modes are more crowded and the superimposed effect is more significant when system damping is larger and stiffness is lower. One program was proposed to achieve U pure m o d e ^ extraction by applying modal truncation in numeral calculation. The formula expressions of frequency-response spectrum peak line in both of resonance excitation experiment and numeral calculation were derived. The relationship between them was investigated. “Pure m o d e ”calculation results were used to correct experimental damping ratio. Through four different board units, eight pre-order experimental modal analysis and numerical calculation parameter correction, combining frequency response function to verify data reliability of the correction damping ratio, some laws of damping ratio between different structures or materials were obtained. The results show that ：the identification accuracy of composite plate’s modal damping ratio is lower than steel’s by model experiment calculation, and its damping performance is often underestimated and large amplitude correction are also often needed. The method provides a guideline for further study of modal parameter identification.

1.运动方程
(t ) [ K (t )]x(t ) [ M ]1 [M ] x(t ) [C(t )]x xg
f I (t ) f D (t ) fs (t ) P(t )
[C ], [ K ] 为常数矩阵 线性问题：
（1 ）
xi 2
t
（8 ）
位移增量为：
ti xi x ti t x ti x
x t t
i
2
t
2

பைடு நூலகம்
xi 6
t
2
（7 ）
速度增量为：
i x ti t x ti x ti t x
时程分析法概念
时程分析法是对结构物的运动微分方程直接进行逐步积 分求解的一种动力分析方法。由时程分析可得到各质点随 时间变化的位移、速度和加速度动力反应，并进而可计算 出构件内力的时程变化关系。由于此法是对运动方程直接 求解，又称直接动力分析法。 直接动力分析包括确定性动力分析与非确定性动力分 析两大类，即确定性动力分析中的时程分析法与非确定性 分析的随机振动分析法，这里主要介绍时程分析法。 《抗震规范》规定，重要的工程结构，例如：大跨桥梁， 特别不规则建筑、甲类建筑，高度超出规定范围的高层建 筑应采用时程分析法进行补充计算。
df c t D dx
f D (t t )
fD
斜率c(t )
f D (t )
x
(t ) x
f D
df D x dx
(t ) x (t t ) x
f I (t ) f D (t ) f s (t ) P(t )
df k t s dx t

【巩固练习及参考答案解析】1.(2016 吴忠模拟)函数f(x)＝Asin(ωx+φ)(其中A ＞0,ω＞0,|φ|＜)的图象如图所示,为了得到y ＝cos2x 的图象,则只要将f(x)的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度2.要得到函数y ＝sin x 的图象,只需将函数y ＝cos()3x π-的图象( )A.向右平移6π个单位 B.向右平移3π个单位 C.向左平移3π个单位 D.向左平移6π个单位 3.要得到y ＝1sin()2x -的图象,只需将y ＝1sin()26x π--的图象( ) A.向左平移3π个单位 B.向右平移3π个单位 C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位 4.函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象经 平移后所得的图象关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称. A.向左平移12π个单位 B.向左平移6π个单位C.向右平移6π个单位D.向右平移12π个单位5.函数sin()y A x ωϕ=+(0,0,||)2A πωϕ>><的最小值为―2,其图象上相邻的最高点与最低点的横坐标之差是3π,又图象过点(0,1),则这个函数的解析式是( )A.22sin 36y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B.12sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.22sin 36y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D.12sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭6.函数f (x )＝2sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭,当f (x )取得最小值时,x 的取值集合为( ) A.{x |x ＝4k π－23π,k ∈Z } B.{x |x ＝4k π＋23π,k ∈Z } C.{x |x ＝4k π－3π,k ∈Z } D.{x |x ＝4k π＋3π,k ∈Z } 7.已知a 是实数,则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能是( )8.若函数()cos()25f x x ππ=+对于任意的x R ∈都有12()()()f x f x f x ≤≤成立,则12||x x -的最小值为( )A. 1B. 2C. πD.49.函数y ＝3sin(2x+ϕ)(0＜ϕ＜π)为偶函数,则ϕ＝________. 10.(2016 眉山模拟)已知函数f(x)＝sin(2x+),将y ＝f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到函数g(x)的图象,若动直线x ＝t 与函数y ＝f(x)和y ＝g(x)的图象分别交于M 、N 两点,则|MN|的最大值为 .11.函数sin()y A x ωϕ=+(A,ω,ϕ为常数,A ＞0,ω＞0)在区间[－π,0]上的图象如下图所示,则ω＝________.12.函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的部分图象如图所示,则(1)(2)(3)(11)f f f f +++⋅⋅⋅+= .13.已知函数sin()y A x ωϕ=+(A ＞0,ω＞0)的图象过点,012P π⎛⎫⎪⎝⎭,图象与P 点最近的一个最高点坐标为,53π⎛⎫⎪⎝⎭, (1)求函数解析式; (2)指出函数的增区间;(3)求使y ≤0时,x 的取值范围.14.(2016 德阳模拟)已知A 、B 、C 、D 是函数y ＝sin(ωx+φ)(ω＞0,0＜φ＜)一个周期内的图象上的四个点,如图所示,A(﹣,0),B 为y 轴的点,C 为图象上的最低点,E 为该函数图象的一个对称中心,B 与D 关于点E 对称,在x 轴方向上的投影为.求函数f(x)的解析式及单调递减区间;15.已知函数()()sin()0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤≤,|(0)|1,f =()f x 的图象关于点3(,0)4M π对称,且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数,求,ωϕ的值.【答案与解析】 1.【参考答案】C【解析】由图象可知A ＝1,T ＝π,∴ω＝＝2 ∴f(x)＝sin(2x+φ),又因为f()＝sin(+φ)＝﹣1∴+φ＝+2k π,φ＝(k ∈Z)∵|φ|,∴φ＝∴f(x)＝sin(2x+)＝sin(﹣2x ﹣)＝cos(﹣2x)＝cos(2x ﹣)∴将函数f(x)向左平移可得到cos[2(x+)﹣]＝cos2x ＝y 故选C.2.【参考答案】 A 【解析】y ＝sin x ＝cos 2x π⎛⎫-⎪⎝⎭＝cos 2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝cos 63x ππ⎡⎤⎛⎫--⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, ∴须将y ＝cos 3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位. 3.【参考答案】B 【解析】y ＝sin 126x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝sin 1()23x π⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦4.【参考答案】D【解析】设平移后得sin 2()3y x πϕ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦.当12x π=-时,y ＝0,∴263k ππϕπ-++=,∴212k ππϕ=-,k ＝0,12πϕ=-,故向右平移12π个单位. 5.【参考答案】B【解析】由已知得A ＝2,T ＝2×π＝6π,又2T πω=,所以22163T ππωπ===,故12sin 3y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,又图象过点(0,1),所以12sin ϕ=,1sin 2ϕ=,因为||2πϕ<,所以6πϕ=,所以12sin 36y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,选B.6.【参考答案】A7. 【参考答案】D【解析】当a ＝0,图象如C;当0＜a ＜1,图象如A;当1＜a ＜2,图象如B;在D 中,就振幅看a ＞1,就周期看0＜a ＜1.8.【参考答案】B【解析】“对于任意的x R ∈都有12()()()f x f x f x ≤≤成立”的含义是1()f x 是函数的最小值,2()f x 是函数的最大值,1x 是使得函数取得最小值的一个自变量,2x 是使得函数取得最大值的一个自变量,那么,12||x x -的最小值应为半个周期.因为函数()f x 的最小正周期为4,所以12||x x -的最小值为2. 9.【参考答案】2π【解析】∵sin cos 2x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,∴当2πϕ=时,3sin 23cos 22y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭为偶函数. 10.【参考答案】【解析】f(x)＝sin(2x+),g(x)＝sin[2(x ﹣)+]＝sin(2x ﹣),所以|MN|＝|f(x)﹣g(x)| ＝|sin(2x+)﹣sin(2x ﹣)|,＝|cos2x|,则cos2x ＝±1时, |MN|的最大值为:. 11.【参考答案】3 【解析】 23T π=,∴2323πωπ==.12.【参考答案】2+【解析】根据函数图象可得2,0,8A T ϕ===,所以()2sin()4f x x π=,计算得(1)(2)2,(3)(4)0,f f f f ====(5)(6)2,(7)(8)0,f f f f ==-==(9)(1)f f ==⋅⋅⋅所以(1)(2)(8)0f f f ++⋅⋅⋅+=,且函数周期为8.所以(1)(2)(11)(9)(10)(11)(1)(2)(3)2f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=++=++=+ 13.【解析】(1)43124T πππ=-=,∴T ＝π,A ＝5,∴22T πω==,由012πωϕ⋅+=,∴6πϕ=-. ∴5sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. (2)∵222262k x k πππππ-≤-≤+,∴222233k x k ππππ-≤≤+,()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈. ∴增区间为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. (3)∵5sin 206x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭,∴222()6k x k k Z ππππ-≤-≤∈.∴5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈. 14.【解析】(1)∵如图所示,A(﹣,0),B 为y 轴上的点,C 为图象上的最低点,E 为该函数图象的一个对称中心,B 与D 关于点E 对称,在x 轴上的投影为,∴根据对称性得出:最大值点的横坐标为,∴＝+,T ＝π,∵T ＝, ∴ω＝2, ∵A(﹣,0)在函数图象上, ∴sin(﹣+φ)＝0,解得:﹣+φ＝kπ,k ∈z,可得:φ＝kπ+,k ∈z,∴φ＝,故可得函数f(x)的解析式为:y ＝sin(2x+).∴由2kπ+≤2x+≤2kπ+,k ∈Z 即可解得单调递减区间为:[kπ,k ],k ∈Z.15.【解析】由|(0)|1f =,得|sin |1ϕ=,因为0ϕπ≤≤,所以2πϕ=又()f x 的图象关于点3(,0)4M π对称,所以3()04f π=,即3sin()042ωππ+=, 结合0ω>,可得,3,0,1,242k k ωπππ=+=⋅⋅⋅ 当0k =时,22,()sin()332f x x πω==+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数; 当1k =时,2,()sin(2)2f x x πω==+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数; 当2k ≥时,10,()sin()32f x x πωω≥=+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是单调函数; 所以,综上得22,32πωωϕ===或.。

阻尼基本理论及阻尼模型评价方法综述摘要:阻尼是结构动力分析的基本参数,对结构动力分析结果的准确性有很大的影响。

因此,从基本概念着手,分析阻尼产生原因以及从不同角度分类,得出建筑结构中动力分析常用的阻尼为瑞利阻尼;经过很多专家学者多年的研究，提出了多种阻尼模型，它们各有优缺点，文中介绍了一种统一的阻尼模型的定量评价方法,对于具体问题应采用合理的模型。

关键词:阻尼;阻尼模型；瑞利阻尼；阻尼模型的评价方法Abstract: the damping is structure dynamic analysis of the basic parameters, the structure of the dynamic analysis of the results of the accuracy has very big effect. Therefore, from the basic concept, the thesis analyzes damping causes and classification from different angles, and concludes that the building structure dynamic analysis of the commonly used for damping Rayleigh damping; After many years of research experts and scholars, and puts forward a variety of damping model, and they all have the advantages and disadvantages, this paper introduces a unified damping model of quantitative evaluation method, for a specific problem should be the use of reasonable model.Keywords: damping; Damping model; Rayleigh damping; Damping model evaluation method1 阻尼的基本概念我们知道,若无外部能源,则任何原来振动的物理系统都会随着时间的增长趋于静止。

阻尼比计算方法的改进方向
引入人工智能和大数据技术，提高 阻尼比计算的准确性和效率。
开发智能传感器和监测系统，实时 监测阻尼比的变化，提高结构安全 性和稳定性。
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深入研究阻尼机制，建立更加精确 的阻尼比计算模型。
加强国际合作与交流，推动阻尼比 计算方法的创新和发展。
阻尼现象及阻尼比计算的应用前景
阻尼现象是指物体在运动过程中受到阻力而使其运动能量逐渐减小的现 象。 阻尼现象是物理学中的一个基本概念，它涉及到各种物理系统的能量耗 散。
阻尼现象可以通过多种方式表现出来，例如摩擦力、空气阻力等。
阻尼现象在许多领域都有应用，例如机械工程、航空航天等。
阻尼现象的分类
按产生原因分 类：可分为内 部阻尼和外部
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能源领域：阻尼技术可应用于减震、降噪和能量回收，提高能源利用效率。
航空航天：阻尼比计算对于航空航天器的稳定性和安全性至关重要，未来将进一步优化阻尼材 料和设计。
汽车工业：阻尼技术有助于改善汽车的乘坐舒适性和操控稳定性，未来将更加注重阻尼材料和 工艺的创新。
建筑领域：阻尼技术用于减震、降噪和提高建筑结构的稳定性，未来将进一步推广和应用。
03 阻尼现象的影响因素
结构因素
结构类型：不 同的结构类型 对阻尼现象有
不同的影响
连接方式：连 接方式的刚度 和强度对阻尼
性能有影响
材料特性：材 料的物理和化 学性质对阻尼
性能有影响
结构尺寸：结 构尺寸的大小 和比例对阻尼
性能有影响
环境因素
材料因素
材料的弹性模量：弹性模量越小， 阻尼比越大
材料的温度特性：温度变化会影响 阻尼比

体系在时
&&g (t ) ，其中 u &&g (t ) 是地面运动加速度。与一般单质点结 外力，对于地震而言， f (t ) = − mu
构运动方程相比，式中多了一项由粘滞阻尼器增加的阻尼力。当然，对于设置一般阻尼器的 减震结构，m、k 均应包含阻尼器的影响。
2.1.2 Newmark
在一般情况下，式（2.4）为非线性振动方程，当 α < 1 时，阻尼力项呈非线性。当结构 设置阻尼器处于弹性振动状态，恢复力项 fk(t)为弹性。而当结构振动进入弹塑性阶段，则恢 复力项 fk(t)也呈非线性，从而成为阻尼力项及恢复力项均为非线性的振动。所以，式（2.4） 的求解是必须借助于数值分析进行时程分析。 当 α < 1 ，或结构振动进入弹塑性状态时，方程（2.4）为非线性振动方程，一般情况 下只能用时程分析法才能得出较为满意的解答。 求解方程（2.4）的数值方法有多种，包括线性加速度法、龙格-库塔法等。这里只介绍
b b b & t + 1 − ∆t ⋅ u && t (u t + ∆t − u t ) + 1 − u a∆t a 2a
（2.25d）
&& t + Cu & t + Ku t + FD ,t = Ft Mu
化简为
Ku t = Ft
（2.26）
&&t − Cu & t − Ku t − FD ,t 。 式中， Ft = Ft − Mu
式中 m、c 分别是结构质量、阻尼系数，一般均为常数。恢复力 f k [u (t )] 可取双线型、退化 双线型或退化三线性等多种模型，结构处于弹性状态时， f k [u (t )] = ku (t ) ，k 是结构的刚 度系数。 u (t ) 为质点相对于地面的水平位移。 cα 为非线性粘滞阻尼系数。f(t)是质点受到的

混合结构时程分析中的阻尼比计算研究周国伟;张志强;李爱群;徐金军【摘要】There are two main problems in the study of damping effect of composite structures: the first is how to calculate the damping ratio of the whole structure when adopting different materials; the second is how to modify the low damping material after obtaining the integral damping ratio of the whole structure. Taking the high-rise building with steel tower on top as an example, a construction method of non-classical damping matrix was proposed. The result shows the damping ratio based on this matrix can reflect the energy dissipation of 4 orders of modes which play the most important influence on the main structure and the steel tower on top. By the response spectrum method, the inaccuracy of the steel tower's result due to using the calculated integral damping ratio was deduced and a modification equation was provided. The comparison with the accurate result shows the modification factor obtained by the equation has certain reference value to the earthquick response calculation.%混合结构由于其建筑及功能上的种种优点,在现代建筑中得到广泛应用.对这类结构进行分析时,主要有两个问题:一是在考虑不同材料的情况下,结构的整体阻尼比如何计算；二是在整体阻尼比的计算结果下,如何针对小阻尼材料进行修正.以高楼顶加钢塔的这一混合结构形式为例,建立一种非比例阻尼矩阵的构造方法,计算结果表明该构造方法得到的振型阻尼比可以较好的反映对主体结构和顶部钢塔影响最大的4阶振型的耗能特点.此外,基于反应谱法推导了顶部钢塔在整体阻尼比(第一阶主振型的阻尼比)计算下的误差,在此基础上,给出了相应的修正公式,最后采用上述方法分析了洛阳某高层顶部钢塔的地震响应.【期刊名称】《振动与冲击》【年(卷),期】2012(031)016【总页数】6页(P117-121,127)【关键词】混合结构;非比例阻尼;阻尼比;高阶振型【作者】周国伟;张志强;李爱群;徐金军【作者单位】东南大学土木工程学院,南京210096;广州市设计院,广州510620;东南大学土木工程学院,南京210096;东南大学混凝土及预应力混凝土结构教育部重点实验室,南京210096;东南大学混凝土及预应力混凝土结构教育部重点实验室,南京210096;国内贸易工程设计研究院,北京100001【正文语种】中文【中图分类】O411;O341;TU501阻尼比是结构动力分析的基本参数，对结构动力分析结果的可靠性和精度有很大影响。

时程分析法1、结构动力方程的建立结构弹性动力方程可以表示为：[]{}[]{}[]{}[]{}()g M x C x K x M E x t ++=-(错误！文档中没有指定样式的文字。

-1)式中[]M 、[]C 和[]K 分别为体系的质量、阻尼和刚度矩阵，{}x 、{}x 和{}x 分别表示结构体系的加速度、速度和位移向量，()g x t 为地面运动水平加速度。

式(错误！文档中没有指定样式的文字。

-1)中，{}[]K x 实际上是结构变形为{}x 时的弹性恢复力向量，但是当结构进入弹塑性变形状态后，结构的恢复力不再与{}[]K x 对应，而与结构运动的时间历程有关。

因此，结构运动的弹塑性运动微分方程可以表示为：[]{}[]{}[]{}()()()((()))g M x t C x t f x t M E x t ++=-(错误！文档中没有指定样式的文字。

-2)式(错误！文档中没有指定样式的文字。

-2)中{}()x t 、{}()x t 和{}()x t 分别表示结构体系在t 时刻的加速度、速度、位移，在t t +∆时刻，式(错误！文档中没有指定样式的文字。

-2)变为：[]{}[]{}[]{}()()()((()))g M x t t C x t t f x t t M E x t t +∆++∆++∆=-+∆(错误！文档中没有指定样式的文字。

-3)式(错误！文档中没有指定样式的文字。

-3)减去(错误！文档中没有指定样式的文字。

-2)得[]{}[]{}[]{}()g M x C x f M E x ∆+∆+∆=-∆(错误！文档中没有指定样式的文字。

-4)当t ∆较小时，结构的位移变化()()x x t t x t ∆=+∆-也不是很大，则{}f ∆可根据t 时刻的切线刚度[]()K t 近似计算{}[]{}()()f K t x t ∆=∆(错误！文档中没有指定样式的文字。

-5)将式(错误！文档中没有指定样式的文字。

时程分析阻尼模型及数值计算方法1、阻尼模型阻尼是用以描述结构在振动过程中能量的耗散方式，是结构的动力特性，是影响结构动力反应的重要因素之一。

结构振动时，由于结构材料的内摩擦、材料的滞回效应等机制导致能量消耗，使结构振动幅值逐渐减少，最后直至完全静止。

结构的耗能机制非常复杂，它与介质的特征、结构粘性等诸多因素有关。

常用的是粘滞阻尼理论，它认为，阻尼力与速度成正比。

试验也证明，对于许多材料，这种阻尼理论是可行的，并且物理关系简单，便于应用和计算。

根据实测去确定阻尼大小是相当困难的，但由于阻尼的影响通常比惯性力和刚度的影响小，所以一般都采用简化的方法考虑阻尼。

本文采用最为广泛应用的瑞雷阻尼。

瑞雷阻尼假设阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，即[][][]C M K αβ=+ (4.15)式中，α、β为常数，可以直接给定，或由给定的任意二阶振型的阻尼比i ξ、j ξ反算求得。

根据振型正交条件，待定常数α和β与振型阻尼比之间的关系应满足：22k k k βωαξω=+(k =1,2,3,…,n ) (4.16a) 任意给定两个振型阻尼比i ξ和j ξ后，可按下式确定比例常数222j i i ji ji jξωξωαωωωω-=- 222j i i ji jξωξωβωω-=- (4.16b)i ω、j ω分别为第i 、j 振型的原频率。

本文取前两阶振型频率求得α、β值。

2、数值积分方法多自由度结构体系动力微分方程为：[]{}[]{}[]{}[]{}()gM x C x K x M x t I ++=-(4.17) 其中，[]M －质量矩阵；[]C －阻尼矩阵；[]K －刚度矩阵；{}I －单位对角阵；()g x t －地面运动加速度；{}x 、{}x 、{}x－结构楼层相对于地面的位移、速度和加速度反应。

在结构动力计算中，常用的直接积分法有中心差分法、线性加速度法、Wilson-θ法和Newmark-β法等。

时程分析阻尼模型及数值计算方法1、阻尼模型阻尼是用以描述结构在振动过程中能量的耗散方式，是结构的动力特性，是影响结构动力反应的重要因素之一。

结构振动时，由于结构材料的内摩擦、材料的滞回效应等机制导致能量消耗，使结构振动幅值逐渐减少，最后直至完全静止。

结构的耗能机制非常复杂，它与介质的特征、结构粘性等诸多因素有关。

常用的是粘滞阻尼理论，它认为，阻尼力与速度成正比。

试验也证明，对于许多材料，这种阻尼理论是可行的，并且物理关系简单，便于应用和计算。

根据实测去确定阻尼大小是相当困难的，但由于阻尼的影响通常比惯性力和刚度的影响小，所以一般都采用简化的方法考虑阻尼。

本文采用最为广泛应用的瑞雷阻尼。

瑞雷阻尼假设阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，即[][][]C M K αβ=+ (4.15)式中，α、β为常数，可以直接给定，或由给定的任意二阶振型的阻尼比i ξ、j ξ反算求得。

根据振型正交条件，待定常数α和β与振型阻尼比之间的关系应满足：22k k k βωαξω=+(k =1,2,3,…,n ) (4.16a) 任意给定两个振型阻尼比i ξ和j ξ后，可按下式确定比例常数222j i i ji ji jξωξωαωωωω-=- 222j i i ji jξωξωβωω-=- (4.16b)i ω、j ω分别为第i 、j 振型的原频率。

本文取前两阶振型频率求得α、β值。

2、数值积分方法多自由度结构体系动力微分方程为：[]{}[]{}[]{}[]{}()gM x C x K x M x t I ++=-(4.17) 其中，[]M －质量矩阵；[]C －阻尼矩阵；[]K －刚度矩阵；{}I －单位对角阵；()g x t －地面运动加速度；{}x 、{}x 、{}x－结构楼层相对于地面的位移、速度和加速度反应。

在结构动力计算中，常用的直接积分法有中心差分法、线性加速度法、Wilson-θ法和Newmark-β法等。

实例十八、时程分析 实例十八、时程分析
一、计算模型
FSEC1 FSEC1 FSEC1 FSEC1 FSEC1 30cm 3m
FSEC1FSEC1FS源自C13mFSEC1截截
6m
6m
50cm
FSEC1
FSEC1
二、材料及工况
三、本例重点
设置模态分析参数：模态分析是模态叠加法时程分析的基础， 设置模态分析参数：模态分析是模态叠加法时程分析的基础， 可采用特征矢量模态或里兹矢量模态。 可采用特征矢量模态或里兹矢量模态。里兹矢量模态比同样数 量的特征矢量模态具有更好的时程分析精度。 量的特征矢量模态具有更好的时程分析精度。 输入时程函数：可以输入时间--量值曲线来定义时程函数，也可 量值曲线来定义时程函数， 输入时程函数：可以输入时间--量值曲线来定义时程函数 从外部文件读入。从外部文件读入时， 从外部文件读入。从外部文件读入时，应注意描述外部文件是 等时采样还是分时采样格式。 等时采样还是分时采样格式。 时程分析工况：应指定分析类型、模态阻尼、输出时间步数、 时程分析工况：应指定分析类型、模态阻尼、输出时间步数、 输出时间步长、输入时程函数、放大系数、到达时间等。 输出时间步长、输入时程函数、放大系数、到达时间等。 时程函数显示：可根据需要指定时程函数的时间范围、 时程函数显示：可根据需要指定时程函数的时间范围、坐标轴 范围、函数线型、坐标轴文字、放大系数等。 范围、函数线型、坐标轴文字、放大系数等。可显示的时程包 输入函数时程、能量函数时程、基础函数时程、 括：输入函数时程、能量函数时程、基础函数时程、节点时程 位移、速度、加速度、弹簧力、支反力等）、单元内力时程、 ）、单元内力时程 （位移、速度、加速度、弹簧力、支反力等）、单元内力时程、 编组合力时程等。 编组合力时程等。 响应谱生成：可根据时程分析计算结果， 响应谱生成：可根据时程分析计算结果，生成用户感兴趣的响 应谱。横坐标可以是频率或周期，纵坐标可以是位移谱SD、 应谱。横坐标可以是频率或周期，纵坐标可以是位移谱SD、速 度谱SV、伪速度谱PSV、加速度谱SA、伪加速度谱PSA等 度谱SV、伪速度谱PSV、加速度谱SA、伪加速度谱PSA等。也 可根据需要选择使用一般坐标系或对数坐标系。 可根据需要选择使用一般坐标系或对数坐标系。

19. 时程分析(Time History Analysis) 时程分析(Time History Analysis)中所使用的动力平衡方程如下。

: 质量矩阵(Mass Matrix) : 阻尼矩阵(Damping Matrix) : 刚度矩阵(Stiffness Matrix) : 动力荷载 、 、 : 位移、速度、加速度时程分析是可以求出建筑物在动力荷载作用下的动力平衡方程解的方法，这 种方法利用建筑物的动力特性和承受的荷载，计算出处于任意时间内建筑物 的变形、内力等。

时程分析方法中有直接积分法(Direct Integration)和振 型叠加法(Modal Superposition)，由于振型叠加法的效果好，所以被较多 地使用。

振型叠加法 振型叠加法利用建筑物位移之间具有的正交性，通过线性组合的形式进行表 示，公式如下。

这种方法是在假定阻尼矩阵可以用质量矩阵和刚度矩阵的线 性组合进行表示的前提之下。

(1)(2) (3)(4)(5): Rayleigh 系数 : 第 i 振型的阻尼比 : 第 i 振型的基本周期 : 第 i 振型的模态 : 第 i 振型的单自由度方程的解 时程分析中，建筑物的位移可以按照像公式(4)一样使用振型模态和单自由 度方程解的乘积表示，位移的准确性受到所使用的振型数量的影响。

这种方 法是结构分析程序中使用最多的方法，可以说是大型建筑物线性动力分析中 非常有效的方法。

但是在非线性动力分析或者装有阻尼装置，阻尼无法用刚 度和质量的线性组合进行表现时是不能使用该方法的，这是该方法的缺点。

利用振型叠加法时，需要输入的数据和输入注意事项如下： 分析时间(或者分析步骤次数) : 打算进行分析的时间或者分析步骤数 分析时间间隔: 是分析过程中使用的时间间隔, 对分析的正确性有着相当 程度的影响，时间间隔的长短与建筑物的高阶振型周期或者荷载周期有着密 切的关系。

分析时间间隔对<公式 5>的积分项有着直接的影响，如果输入的 数据不合适，结果将不正确。

ABAQUS时程分析法计算地震反应的简单实例ABAQUS时程分析法计算地震反应的简单实例（在原反应谱模型上修改）问题描述：悬臂柱高12m，工字型截面（图1），密度7800kg/m3，EX=2.1e11Pa，泊松比0.3，所有振型的阻尼比为2%，在3m高处有一集中质量160kg，在6m、9m、12m处分别有120kg的集中质量。

反应谱按7度多遇地震，取地震影响系数为0.08，第一组，III类场地，卓越周期Tg=0.45s。

图1 计算对象第一部分：反应谱法几点说明：本例建模过程使用CAE；添加反应谱必须在inp中加关键词实现，CAE不支持反应谱；*Spectrum不可以在keyword editor中添加，keyword editor不支持此关键词读入。

ABAQUS的反应谱法计算过程以及后处理要比ANSYS方便的多。

操作过程为：（1）打开ABAQUS/CAE，点击create model database。

（2）进入Part模块，点击create part，命名为column，3D、deformation、wire。

continue（3） Create lines，在分别输入0，0回车；0，3回车；0，6回车；0，9回车；0，12回车。

（4）进入property模块，create material，name：steel，general-->>density，mass density：7800mechanical-->>elasticity-->>elastic，young‘s modulus：2.1e11，poisson’s ratio：0.3.（5） Create section，name：Section-1，category：beam，type：beam,Continuecreate profile, name: Profile-1, shape:I,按图1尺寸输入界面尺寸，ok。

时程荷载工况中几个选项的说明动力方程式如下：在做时程分析时，所有选项的设置都与动力方程中各项的构成和方程的求解方法有关，所以在学习时程分析时，应时刻联想动力方程的构成，这样有助于理解各选项的设置。

另外，正如哲学家所言：运动是绝对的，静止是相对的。

静力分析方程同样可由动力方程中简化(去掉加速度、速度项，位移项和荷载项去掉时间参数)。

0.几个概念自由振动: 指动力方程中P(t)=0的情况。

P(t)不为零时的振动为强迫振动。

无阻尼振动: 指[C]=0的情况。

无阻尼自由振动: 指[C]=0且P(t)=0的情况。

无阻尼自由振动方程就是特征值分析方程。

简谐荷载: P(t)可用简谐函数表示，简谐荷载作用下的振动为简谐振动。

非简谐周期荷载: P(t)为周期性荷载，但是无法用简谐函数表示，如动水压力。

任意荷载: P(t)为随机荷载(无规律)，如地震作用。

随机荷载作用下的振动为随机振动。

冲击荷载: P(t)的大小在短时间内急剧加大或减小，冲击后结构将处于自由振动状态。

1.关于分析类型选项目前有线性和非线性两个选项。

该选项将直接影响分析过程中结构刚度矩阵的构成。

非线性选项一般用于定义了非弹性铰的动力弹塑性分析和在一般连接中定义了非线性连接(非线性边界)的结构动力分析中。

当定义了非弹性铰或在一般连接中定义了非线性连接(非线性边界)，但是在时程分析工况对话框中的分析类型中选择了“线性”时，动力分析中将不考虑非弹性铰或非线性连接的非线性特点，仅取其特性中的线性特征部分进行分析。

只受压(或只受拉)单元、只受压(或只受拉)边界在动力分析中将转换为既能受压也能受拉的单元或边界进行分析。

如果要考虑只受压(或只受拉)单元、只受压(或只受拉)边界的非线性特征进行动力分析应该使用边界条件>一般连接中的间隙和钩来模拟。

2.关于分析方法选项目前有振型叠加法、直接积分法、静力法三个选项。

这三个选项是指解动力方程的方法。

关于振型叠加法、直接积分法可以参考一些动力方程方面的书籍。

ｔ ｗｅ ｎ ｔ ｐ ａ ｎ ｅ ａ ｌ ｏ ｒｏ ｏ ｓ ａ ｘ ｍｐ ｅ，ａ ｃ ｎ ｔ ｃｉ ｎ ｍｅ ｈ ｄ ｏ ｏ — ｌ ｓ ｉａ ｍｐｎｇ ｍａｒｘ ｗａ ｒ ｐ ｓ ｄ．Ｔｈ ｅ ｕ ｔｓ ｏ ｈｅ ｏ ｓｒ ｔ ｔ ｏ ｆｎ ｎ ｃａ ｓｃ ｄａ ｉ ｔ ｓ ｐ ｏ ｏ ｅ ｕ ｏ ｌ ｉ ｅ ｒ ｓ ｌ ｈ ｗｓ ｔ
构造方法得到的振型阻尼 比可以较好 的反 映对 主体结构 和顶部钢塔影 响最大 的 ４阶振型 的耗能特点 。此外 ， 于反应谱 基
法推导了顶部钢塔在整体阻尼 比（ 第一阶主振型的阻尼 比） 计算 下的误差 ， 在此 基础上 ， 出了相应 的修正公式 ， 给 最后 采 用上述方法分析了洛 阳某高层顶部钢塔的地震 响应 。 关键词 ：混合结构 ； 比例阻尼 ； 非 阻尼 比； 高阶振型
中图 分 类 号 ：０ １ ； ３ １Ｔ ５ １ ４ １ Ｏ ４ ；Ｕ ０ 文 献标 识 码 ：Ａ
Ｄａ ｐ ｎ ａ ｉ ｆ ｃ ｍ ｐ ｓｔ ｔ ｕ ｔ ｅ ｓ ｄ ｎ ｉ ｅ ｈｉｔ ｒ ｎ ｌ ｓｓ ｍ ｉ ｇ ｒ ｔｏ ｏ ｏ ｏ ｉｅ ｓ ｒ ｃ ｕｒ ｓ ｕ ｅ ｉ ｔｍ － ｓ ｏ ｙ ａ ａ ｙ ｉ
振 第３ １卷第 １ ６期
动
与
冲
击
Ｖ０． Ｎｏ １ ０１ １３１ ．６ ２ ２
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦＶＩ ＢＲＡＴ ＯＮ Ｉ ＡＮＤ ＨＯＣ Ｓ Ｋ
混 合 结构 时程分 析 中的 阻尼 比计算 研 究
周 国伟 ，张志强 ，李爱群 ，徐金军
（． １东南大学 土木工程学院 ， 南京 ２０ ９ ；． １０ ６ ２ 广州 市设计 院 ， 广州 １０ ０ ） ００ １ ５０２ ； １６ ０ ２０９ ； １０ ６ ３ 东南大学 混凝土及预应力 混凝 土结 构教 育部 重点实验 室 ， ． 南京 ４ 国内贸易工程设计研究 院 ， ． 北京

利用阻尼公式解答阻尼问题为了更好地理解和解答阻尼问题，我们可以运用阻尼公式。

阻尼公式是一个基础的物理公式，用来描述阻尼系统的动力学行为。

在实际生活中，我们常常遇到一些与阻尼有关的问题，例如汽车遇到减速带时的减震效果、建筑物在地震中的振动情况等。

阻尼公式的一般形式为：F = -bv，其中F表示阻尼力，b表示阻尼系数，v表示速度。

这个公式告诉我们阻尼力与速度成正比，当速度增大时，阻尼力也随之增大。

可以想象，当我们搭乘过山车时，随着速度增大，我们所感受到的阻力也会越强。

现在，让我们通过一个具体的例子来理解并应用阻尼公式。

假设有一个物体在水中受到阻尼力的作用，我们想知道物体的运动情况。

假设物体的质量为m，初速度为v0，阻尼系数为b。

根据牛顿第二定律，我们可以得到物体的运动方程：m*a = -b*v - k*x，其中a 表示加速度，k表示弹簧系数，x表示位移量。

在阻尼情况下，我们假设物体的加速度a为常数，并代入阻尼公式F = -bv。

代入物体的运动方程中，我们可以得到：m*a = -bv - k*x整理上式，我们可以得到: m*a + b*v + k*x = 0。

这个方程描述了物体运动过程中的力学行为。

根据这个方程，我们可以通过已知条件来计算物体在不同时间的位置和速度。

例如，我们可以给定物体的初速度v0和阻尼系数b，通过计算得到物体在某一特定时刻的位置和速度。

阻尼问题的解答一般分为三种情况：过阻尼、临界阻尼和欠阻尼。

过阻尼表示阻尼力大于弹簧的力，物体会在一段时间内逐渐停下来。

临界阻尼表示阻尼力和弹簧力相当，物体会恢复平衡时不再振动。

欠阻尼表示阻尼力小于弹簧力，物体会在一段时间内来回振动。

通过应用阻尼公式和解答阻尼问题，我们可以更好地理解和分析与阻尼相关的物理现象。

无论是汽车的减震系统，还是建筑物的防震结构设计，都需要我们对阻尼问题进行深入研究和分析，以确保系统的稳定和安全。

总之，阻尼公式是解答阻尼问题的重要工具。

第三章 线性系统的时域分析法
td

1 0.6 0.2 n
2
0 1
td
1 0.7 n
12
卢p40;胡p90
3. 欠阻尼动态过程分析
0 1（欠阻尼）
c(t) 1
ent
1 2
s in( d t
)
(t 0)
j
s1
n 1 2
n
单调上升
T1

n (
1
2
1)
,T2

n (
1
2
1)
s1,2 n n 2 1
s1<<s2 j
可忽略s1

s1 s2
0
=2 , n=1
增大，闭环极点远离虚轴，对应的项衰减很 快，系统近似一阶系统。
C(s) n n 2 1 1 s n n 2 1 s
第三章 线性系统的时域分析法
稳态误差ess=t - css=2/n
17
卢p42;胡p94
5. 单位斜坡响应- r(t)=t R(s)=1/s2
过阻尼( > 1 )
c(t)

L1

s
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
(s2

n2 2n
s

n2
)

G(s)

s2

n2 2 n s
n2
0
s2
n 1 2
归纳
Mp 的大小反映了系统的阻尼性质；
Mp 或 一定时，tr、 tp、 ts与 n 成反比；
n 反映了系统对输入响应的快慢； 为使 Mp 不致于过大，通常取 ＝0.4～0.8；