习题12偏导数的几何应用

习 题 12.5 偏导数在几何中的应用1． 求下列曲线在指定点处的切线与法平面方程：（1）⎪⎩⎪⎨⎧+==.1,2x x z x y 在⎪⎭⎫⎝⎛21,1,1点； （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=.2sin 4,cos 1,sin tz t y t t x 在2π=t 的点；（3）⎩⎨⎧=++=++.6,0222z y x z y x 在)1,2,1(-点；（4）⎩⎨⎧=+=+.,222222R z x R y x 在⎪⎭⎫⎝⎛2,2,2R R R 点。

解 （1）曲线的切向量函数为21(1,2,)(1)x x +，在⎪⎭⎫⎝⎛21,1,1点的切向量为1(1,2,)4。

于是曲线在⎪⎭⎫⎝⎛21,1,1点的切线方程为)12(41)1(2-=-=-z y x ，法平面方程为252168=++z y x 。

（2）曲线的切向量函数为(1cos ,sin ,2cos )2tt t -，在2π=t 对应点的切向量为。

于是曲线在2π=t 对应点的切线方程为222112-=-=+-z y x π， 法平面方程为(1)(1)2x y z π-++-+-=402x y π++--=。

（3）曲线的切向量函数为2(,,)y z z x x y ---，在)1,2,1(-点的切向量为(6,0,6)-。

于是曲线在)1,2,1(-点的切线方程为⎩⎨⎧-==+22y z x ， 法平面方程为z x =。

（4）曲线的切向量函数为4(,,)yz xz xy --，在⎪⎭⎫⎝⎛2,2,2R R R 点的切向量为22(1,1,1)R --。

于是曲线在⎪⎭⎫⎝⎛2,2,2R R R点的切线方程为222R z R y R x +-=+-=-，法平面方程为022=+--R z y x 。

2.在曲线32,,t z t y t x ===上求一点，使曲线在这一点的切线与平面102=++z y x 平行。

解 曲线的切向量为2(1,2,3)t t ，平面的法向量为(1,2,1)，由题设，22(1,2,3)(1,2,1)1430t t t t ⋅=++=，由此解出1t =-或13-，于是)1,1,1(-- 和 )271,91,31(--为满足题目要求的点。

一、偏导数的几何应用1.空间曲线的切线和法平面 设空间曲线L 的参数方程为()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩假定(),(),()x t y t z t 均可导,'''000(),(),()x t y t z t 不同时为零,曲线上对应于0t t =及0t t t =+∆的点分别为0000(,,)M x y z 和000(,,)M x x y y z z +∆+∆+∆.割线0M M 的方程为000x x y y z z x y z---==∆∆∆ 当M 沿着曲线L 趋于0M 时,割线的极限位置0M T 是L 在0M 处的切线.上式分母同除以t ∆得000x x y y z z t t t---==∆∆∆ 当0t ∆→(即0M M →)时,对上式取极限,即得曲线在0M 点的切线方程000'''000()()()x x y y z z x t y t z t ---==向量'''000{(),(),()}x t y t z t =T 是切线0M T 的方向向量,称为切线向量.切线向量的方向余弦即为切线的方向余弦. 通过点0M 与切线垂直的平面称为曲线在0M 点的法平面.它是通过点0000(,,)M x y z ,以切线向量T 为法向量的平面.因此,法平面方程为'''000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z -+-+-= 【例1】求螺旋线cos ,sin ,x t y t z t ===在点(1,0,0)的切线及法平面方程.解 点(1,0,0)对应的参数0t =.因为'''()sin ,()cos ,()1x t t y t t z t =-==,所以切线向量'''{(0),(0),(0)}{0,1,1}x y z ==T ,因此,曲线在点(1,0,0)处的切线方程为100011x y z ---== 在点(1,0,0)处的法平面方程为0(1)1(0)1(0)0x y z ⨯-+⨯-+⨯-=即 0y z += 【例2】 求曲线sin ,,2x y x z ==上点0,2π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线和法平面方程.解 把x 看作参数,此时曲线方程为sin 2x x y x x z ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩ '''11,cos 1,2x x x x x y x z ππππ=======-=在点,0,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为 021112z x y ππ---==-法平面方程为1()(0)()022x y z ππ---+-=即 4425x y z π-+=2.曲面的切平面与法线 设曲面S 的方程为0000(,,)0,(,,)F x y z M x y z =是曲面上的一点,假定函数(,,)F x y z 的偏导数在该点连续且不同时为零,设L 是曲面S 上过点0M 的任意一条曲线,L 的方程为(),(),()x x t y y t z z t ===,与点0M 相对应的参数为0t ,则曲线L 在0M 处的切线向量为'''000{(),(),()}x t y t z t =T .因L 在S 上,故有[(),(),()]0F x t y t z t =此恒等式左端为复合函数,在0t t =时的全导数为0''''''000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0t t x y z dF F x y z x t F x y z y t F x y z z t dt==++= 记'''000000000{(,,),(,,),(,,)}x y z F x y z F x y z F x y z =n ,则0⋅=T n ,即n 与T 互相垂直.由于曲线L 是曲面上过0M 的任意一条曲线,所以在曲面S 上所有过0M 点的曲线的切线都与同一向量n 垂直,故这些切线位于同一个平面上.这个平面称为曲面在0M 处的切平面.向量n 是切平面的法向量,称为曲面在0M 处的法向量.切平面方程为'''000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=过点0M 与切平面垂直的直线,称为曲面S 在点0M 处的法线,其方程为000'''000000000(,)(,)(,)x y z x x y y z z F x y z F x y z F x y z ---==若曲面方程由(,)z f x y =给出,则可令(,,)(,,)0F x y z f x y z z =-=于是''''',,1x x y y z F f F f F ===-这时曲面在0000(,,)M x y z 处的切平面方程为''0000000(,)()(,)()()0x y f x y x x f x y y y z z -+---=法线方程为000''0000(,)(,)1x y x x y y z z f x y f x y ---==-【例3】求椭球面222326x y z ++=在点(1,1,1)处的切平面和法线方程.解 设222(,,)326F x y z x y z =++-''''''(,,)2,(,,)6,(,,)4(1,1,1)2,(1,1,1)6,(1,1,1)4x y z xyzF x y z x F x y z y F x y z z F F F ======故在点(1,1,1)处椭球面的切平面方程为 2(1)6(1)4(1)0x y z -+-+-= 即3260x y z ++-=法线方程为111132x y z ---== 【例4】 求旋转抛物面22z x y =+在点(1,1,2)-处的切平面方程和法线方程.解 由22z x y =+得''(1,1)(1,1)(1,1)22,(1,1)22x y f xf y---==-==-切平面方程为 22(1)2(1)z x y -=--+ 即222x y z --= 法线方程为112221x y z -+-==--二、多元函数极值1. 二元函数的极值【例5】 曲面z =在点(0,0)有极小值0z =.【例6】 曲面2244z x y =--在点(0,0)有极大值4z =.与一元函数极值类似,多元函数的极值也是相对某个邻域而言的,是一个局部概念.定义1 设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某个邻域内有定义,若对改邻域内任一点(,)x y 都有00(,)(,)f x y f x y ≤(或00(,)(,)f x y f x y ≥)则称函数(,)z f x y =在点00(,)x y 有极大值(或极小值)00(,)f x y .而称点00(,)x y 为函数(,)z f x y =的极大(或极小)值点.极大值点与极小值点统称极值点.2.极值的检验法 (1) 一阶偏检验定理1 (必要条件)设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处有极大值,且在该点的偏导数存在,则必有''0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==.证明不妨设(,)z f x y =在点00(,)x y 处有极大值,根据极值定义,对00(,)x y 的某一邻域内的任一点(,)x y ,有00(,)(,)f x y f x y ≤在点00(,)x y 的邻域内,也有000(,)(,)f x y f x y ≤,这表明一元函数0(,)f x y 在0x x =处取得极大值.因此,有'00(,)0x f x y =同理可证'00(,)0y f x y =与一元函数类似,使一阶偏导数''0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==的点(,)x y 称为函数(,)z f x y =的驻点.由定理1及例5、例6可以看出：二元函数的极值点必然是驻点或一阶偏导数不存在的点. (2) 二阶偏检验定理2 (充分条件)设函数(,)z f x y =在定义域内的一点00(,)x y 处有二阶连续偏导数,且''0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==.记''''''000000(,),(,),(,)xx xy yy f x y A f x y B f x y C ===,则(1) 当20B AC -<且0A >时,函数(,)f x y 在点00(,)x y 处有极小值00(,)f x y ;当20B AC -<且0A <时,函数(,)f x y 在点00(,)x y 处有极大值00(,)f x y ;(2) 当20B AC ->时,函数(,)f x y 在点00(,)x y 处无极值;(3) 当20B AC -=时,函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可能有极值,也可能无极值. 综上可得,具有连续二阶偏导数的函数(,)z f x y =,其极值求法如下:(1) 先求出偏导数'''''',,,x y xx yyf f f f ; (2) 解方程组''(,)0(,)0x y f x y f x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩,求出定义域内全部驻点;(3) 求出驻点处的二阶偏导数值:'''''',,xx xy yy A f B f C f ===,确定2B AC ∆=-的符号,并判断()f x 是否有极值,如果有,求出其极值.【例7】 求函数33(,)3f x y x y xy =+-的极值.解 先求偏导数'2'2''''''(,)33,(,)336,3,6x y xxxyyyf x y x y f x y y x f x f f y=-=-==-=解方程组22330330x y y x ⎧-=⎨-=⎩,求得驻点为(0,0),(1,1).在驻点(0,0)处,''''''(0,0)0,(0,0)3,(0,0)0xx yy yy A f B f C f ====-==,2B AC -= 90>,于是(0,0)不是函数的极值点.在驻点(1,1)处,''''''2(1,1)6,(1,1)3,(1,1)6,27xx xy yy A f B f C f B AC ====-==-=- 0<,且60A =<,所以点(1,1)是函数的极小值点,(1,1)1f =-为函数的极小值.3.最大值与最小值如果函数(,)z f x y =在有界闭区域D 上连续,则函数在D 上一定取得最大值和最小值.如果函数的最大值或最小值在区域D 的内部取得,则最大值点或最小值点必为驻点.因此,求处驻点的函数值及边界上函数的最大值和最小值,其中最大值便是函数在闭区域D 上的最大值,最小值便是函数在闭区域D 上的最小值.具体问题中,常常通过分析可知函数的最大值或最小值存在,且在定义域内部取得,又知在定义域内只有唯一驻点,于是可以肯定驻点处的函数值便是函数的最大值或最小值. 【例8】求函数(,)f x y =22:1D x y +≤上的最大值.解 在D 内(221x y +<),由''0,0x y f f ====解得驻点为(0,0),(0,0)2f =.在D 的边界上(221x y +=)221(,)2x y f x y +===<故函数在(0,0)处有最大值(0,0)2f =. 【例9】 要做一容积为a 的无盖长方体铁皮容器,问如何设计最省材料? 解 所谓最省材料,即无盖长方体表面积最小.该容器的长、宽、高分别为,,x y z ，表面积为S ，则有xyz a =22S xy xz yz =++消去z ，得表面积函数22a a S xy y x=++ 其定义域为0,0x y >>由'2'22020x y a S y x a S x y ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩，求得驻点为.由于D 为开区域,且该问题必有最小值存在,于是必为S 的最小值点,此时a z xy==即长方体长、宽、高分别为,容器所需铁皮最少,其表面积为S =. 【例10】某公司每周生产x 单位A 产品和y 单位B 产品,其成本为22(,)221000C x y x xy y =+++产品,A B 的单位售价分别为200元和300元.假设两种产品均很畅销,试求使公司获得最大利润的这两种产品的生产水平及相应的最大利润. 解 依题意,公司的收益函数为(,)200300R x y x y =+因此,公司的利润函数为22(,)(,)(,)200300221000P x y R x y C x y x y x xy y =-=+----令''(,)200220(,)300240x yP x y x y P x y x y ⎧=--=⎪⎨=--=⎪⎩,得驻点(50,50).利用二阶偏检法,求二阶偏导数''''''(,)2,(,)2,(,)4xx xy yy P x y P x y P x y =-=-=-，显然二阶偏导数在驻点(50,50)的值为22,2,4,40,20A B C B AC A =-=-=--=-<=-<。

一、偏导数的几何应用1.空间曲线的切线和法平面设空间曲线L 的参数方程为()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩假定(),(),()x t y t z t 均可导,'''000(),(),()x t y t z t 不同时为零,曲线上对应于0t t =及0t t t =+∆的点分别为0000(,,)M x y z 和000(,,)M x x y y z z +∆+∆+∆.割线0M M 的方程为000x x y y z z x y z---==∆∆∆ 当M 沿着曲线L 趋于0M 时,割线的极限位置0M T 是L 在0M 处的切线.上式分母同除以t ∆得000x x y y z z x y z t t t---==∆∆∆∆∆∆当0t ∆→(即0M M →)时,对上式取极限,即得曲线在0M 点的切线方程000'''000()()()x x y y z z x t y t z t ---== 向量'''000{(),(),()}x t y t z t =T 是切线0M T 的方向向量,称为切线向量.切线向量的方向余弦即为切线的方向余弦.通过点0M 与切线垂直的平面称为曲线在0M 点的法平面.它是通过点0000(,,)M x y z ,以切线向量T 为法向量的平面.因此,法平面方程为'''000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z -+-+-=【例1】求螺旋线cos ,sin ,x t y t z t ===在点(1,0,0)的切线及法平面方程. 解 点(1,0,0)对应的参数0t =.因为'''()sin ,()cos ,()1x t t y t t z t =-==,所以切线向量'''{(0),(0),(0)}{0,1,1}x y z ==T ,因此,曲线在点(1,0,0)处的切线方程为100011x y z ---==在点(1,0,0)处的法平面方程为0(1)1(0)1(0)0x y z ⨯-+⨯-+⨯-=即0y z +=【例2】 求曲线sin ,,2x y x z ==上点0,2π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线和法平面方程.解 把x 看作参数,此时曲线方程为sin 2x x y x x z ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩ '''11,cos 1,2x x x x x y xz ππππ=======-=在点,0,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为21112z x y ππ---==-法平面方程为1()(0)()022x y z ππ---+-=即4425x y z π-+=2.曲面的切平面与法线设曲面S 的方程为0000(,,)0,(,,)F x y z M x y z =是曲面上的一点,假定函数(,,)F x y z 的偏导数在该点连续且不同时为零,设L 是曲面S 上过点0M 的任意一条曲线,L 的方程为(),(),()x x t y y t z z t ===,与点0M 相对应的参数为0t ,则曲线L 在0M 处的切线向量为'''000{(),(),()}x t y t z t =T .因L 在S 上,故有[(),(),()]0F x t y t z t =此恒等式左端为复合函数,在0t t =时的全导数为0''''''000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0t t x y z dF F x y z x t F x y z y t F x y z z t dt==++= 记'''000000000{(,,),(,,),(,,)}x y z F x y z F x y z F x y z =n ,则0⋅=T n ,即n 与T 互相垂直.由于曲线L 是曲面上过0M 的任意一条曲线,所以在曲面S 上所有过0M 点的曲线的切线都与同一向量n 垂直,故这些切线位于同一个平面上.这个平面称为曲面在0M 处的切平面.向量n 是切平面的法向量,称为曲面在0M 处的法向量.切平面方程为'''000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=过点0M 与切平面垂直的直线,称为曲面S 在点0M 处的法线,其方程为000'''000000000(,)(,)(,)x y z x x y y z z F x y z F x y z F x y z ---==若曲面方程由(,)z f x y =给出,则可令(,,)(,,)0F x y z f x y z z =-=于是''''',,1x x y y z F f F f F ===-这时曲面在0000(,,)M x y z 处的切平面方程为''0000000(,)()(,)()()0x y f x y x x f x y y y z z -+---=法线方程为000''0000(,)(,)1x y x x y y z z f x y f x y ---==-【例3】求椭球面222326x y z ++=在点(1,1,1)处的切平面和法线方程. 解 设222(,,)326F x y z x y z =++-''''''(,,)2,(,,)6,(,,)4(1,1,1)2,(1,1,1)6,(1,1,1)4x y z xyzF x y z x F x y z y F x y z z F F F ======故在点(1,1,1)处椭球面的切平面方程为2(1)6(1)4(1)0x y z -+-+-=即 3260x y z ++-=法线方程为111132x y z ---==【例4】 求旋转抛物面22z x y =+在点(1,1,2)-处的切平面方程和法线方程.解 由22z x y =+得 ''(1,1)(1,1)(1,1)22,(1,1)22x y f xf y---==-==-切平面方程为22(1)2(1)z x y -=--+即 222x y z --=法线方程为112221x y z -+-==--二、多元函数极值1. 二元函数的极值【例5】曲面z =在点(0,0)有极小值0z =. 【例6】 曲面2244z x y =--在点(0,0)有极大值4z =.与一元函数极值类似,多元函数的极值也是相对某个邻域而言的,是一个局部概念.定义1 设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某个邻域内有定义,若对改邻域内任一点(,)x y 都有00(,)(,)f x y f x y ≤(或00(,)(,)f x y f x y ≥)则称函数(,)z f x y =在点00(,)x y 有极大值(或极小值)00(,)f x y .而称点00(,)x y 为函数(,)z f x y =的极大(或极小)值点.极大值点与极小值点统称极值点.2.极值的检验法 (1) 一阶偏检验定理1 (必要条件)设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处有极大值,且在该点的偏导数存在,则必有''0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==.证明 不妨设(,)z f x y =在点00(,)x y 处有极大值,根据极值定义,对00(,)x y 的某一邻域内的任一点(,)x y ,有00(,)(,)f x y f x y ≤在点00(,)x y 的邻域内,也有000(,)(,)f x y f x y ≤,这表明一元函数0(,)f x y 在0x x =处取得极大值.因此,有'00(,)0x f x y =同理可证'00(,)0y f x y =与一元函数类似,使一阶偏导数''0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==的点(,)x y 称为函数(,)z f x y =的驻点.由定理1及例5、例6可以看出：二元函数的极值点必然是驻点或一阶偏导数不存在的点. (2) 二阶偏检验定理2 (充分条件)设函数(,)z f x y =在定义域内的一点00(,)x y 处有二阶连续偏导数,且''0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==.记''''''000000(,),(,),(,)xx xy yy f x y A f x y B f x y C ===,则(1) 当20B AC -<且0A >时,函数(,)f x y 在点00(,)x y 处有极小值00(,)f x y ;当20B AC -<且0A <时,函数(,)f x y 在点00(,)x y 处有极大值00(,)f x y ; (2) 当20B AC ->时,函数(,)f x y 在点00(,)x y 处无极值; (3) 当20B AC -=时,函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可能有极值,也可能无极值.综上可得,具有连续二阶偏导数的函数(,)z f x y =,其极值求法如下:(1) 先求出偏导数'''''',,,x y xx yy f f f f ; (2) 解方程组''(,)0(,)0x yf x y f x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩,求出定义域内全部驻点;(3) 求出驻点处的二阶偏导数值:'''''',,xx xy yyA fB fC f ===,确定2B AC ∆=-的符号,并判断()f x 是否有极值,如果有,求出其极值.【例7】 求函数33(,)3f x y x y xy =+-的极值.解 先求偏导数'2'2''''''(,)33,(,)336,3,6x y xxxyyyf x y x y f x y y x f x f f y=-=-==-=解方程组22330330x y y x ⎧-=⎨-=⎩,求得驻点为(0,0),(1,1).在驻点(0,0)处,''''''(0,0)0,(0,0)3,(0,0)0xx yy yy A f B f C f ====-==,2B AC -=90>,于是(0,0)不是函数的极值点.在驻点(1,1)处,''''''2(1,1)6,(1,1)3,(1,1)6,27xx xy yy A f B f C f B AC ====-==-=- 0<,且60A =<,所以点(1,1)是函数的极小值点,(1,1)1f =-为函数的极小值.3.最大值与最小值如果函数(,)z f x y =在有界闭区域D 上连续,则函数在D 上一定取得最大值和最小值.如果函数的最大值或最小值在区域D 的内部取得,则最大值点或最小值点必为驻点.因此,求处驻点的函数值及边界上函数的最大值和最小值,其中最大值便是函数在闭区域D 上的最大值,最小值便是函数在闭区域D 上的最小值.具体问题中,常常通过分析可知函数的最大值或最小值存在,且在定义域内部取得,又知在定义域内只有唯一驻点,于是可以肯定驻点处的函数值便是函数的最大值或最小值. 【例8】求函数(,)f x y =22:1D x y +≤上的最大值.解 在D 内(221x y +<),由''0,0x y f f ====解得驻点为(0,0),(0,0)2f =. 在D 的边界上(221x y +=)221(,)2y f x y +===<故函数在(0,0)处有最大值(0,0)2f =.【例9】 要做一容积为a 的无盖长方体铁皮容器,问如何设计最省材料?解 所谓最省材料,即无盖长方体表面积最小.该容器的长、宽、高分别为,,x y z ，表面积为S ，则有xyz a =22S xy xz yz =++消去z ，得表面积函数22a a S xy y x=++ 其定义域为0,0x y >>由'2'22020x y a S y x a S x y ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩，求得驻点为.由于D 为开区域,且该问题必有最小值存在,于是必为S 的最小值点,此时az xy==,即长方体长、宽、高分别为时,容器所需铁皮最少,其表面积为S =.【例10】某公司每周生产x 单位A 产品和y 单位B 产品,其成本为22(,)221000C x y x xy y =+++产品,A B 的单位售价分别为200元和300元.假设两种产品均很畅销,试求使公司获得最大利润的这两种产品的生产水平及相应的最大利润. 解 依题意,公司的收益函数为(,)200300R x y x y =+因此,公司的利润函数为22(,)(,)(,)200300221000P x y R x y C x y x y x xy y =-=+----令''(,)200220(,)300240x y P x y x y P x y x y ⎧=--=⎪⎨=--=⎪⎩,得驻点(50,50). 利用二阶偏检法,求二阶偏导数''''''(,)2,(,)2,(,)4xx xy yy P x y P x y P x y =-=-=-，显然二阶偏导数在驻点(50,50)的值为22,2,4,40,20A B C B AC A =-=-=--=-<=-<。

偏导数在几何上的应用引言：偏导数是微积分中的重要概念，它描述了一个多元函数在某一点上沿着坐标轴方向的变化率。

在几何学中，偏导数的概念也有许多应用。

本文将探讨偏导数在几何上的应用，并分析其中的几个具体例子。

一、曲面的切平面和法线在空间中，一个曲面可以用一个方程来表示。

对于一个多元函数，其图像可以看作是一个曲面。

对于这个函数，我们可以求出它在某一点处的偏导数。

在几何上，这个偏导数可以用来描述曲面在该点处的切平面和法线。

切平面是曲面在某一点处与曲面相切的平面。

我们可以通过求偏导数来确定切平面的方程。

偏导数表示了曲面在该点处沿着坐标轴方向的变化率，从而确定了切平面的法向量。

通过求解方程，我们可以得到切平面的方程表达式。

法线是与切平面垂直的直线。

通过求偏导数，我们可以计算出曲面在该点处的法向量。

法向量与切平面的方程相互垂直，因此可以作为法线的方向。

二、曲线的切线和法线类似于曲面，曲线在某一点处的切线和法线也可以通过偏导数来确定。

对于一个二元函数，我们可以求出它在某一点处的偏导数。

在几何上，这个偏导数可以用来描述曲线在该点处的切线和法线。

切线是曲线在某一点处与曲线相切的直线。

我们可以通过求偏导数来确定切线的斜率。

偏导数表示了曲线在该点处沿着坐标轴方向的变化率，从而确定了切线的斜率。

通过求解方程，我们可以得到切线的方程表达式。

法线是与切线垂直的直线。

通过求偏导数，我们可以计算出曲线在该点处的斜率。

法线的斜率是切线斜率的倒数的相反数，因此可以作为法线的斜率。

三、曲面的凸凹性通过求偏导数，我们可以研究曲面的凸凹性质。

在某一点处，如果曲面的二阶偏导数大于零，则该点是曲面的凸点；如果二阶偏导数小于零，则该点是曲面的凹点。

凸凹性可以用来描述曲面在某一点处的形状。

对于一个凸点，其周围的曲面向外凸出；对于一个凹点，其周围的曲面向内凹陷。

通过求解二阶偏导数，我们可以得到曲面在该点处的凸凹性质。

四、曲线的拐点类似于曲面，曲线在某一点处的拐点也可以通过偏导数来确定。

第二节偏导数的几何应用
一、单项选择题
()(
)()()()()
()
2321.,,2.,,24
A. B.2 A. ,,1 B. 1,1,1 C. ,, C.3 D. ,, D.31.x y x x z y z x y y y z F F F F F F F F F F F F x y z x t y t z t x y z z x ==------=-=++==曲面的一个法向量为在曲线的所有切线中，与平面平行的切线只有一条只有条至少条不存在
曲面()()
2 A. 245 B. 425
C. 245
D. 21,2,5 45x y z x y z x y z x y z y +-=+-=+-=-+=+在点处的切平面方程为二、填空题
2222 .1.27,42,54(5,6,1)2 .3(1,2,2.
)x t t y t z t t x z y =+=-=+--+=-曲线在点处的切线方程为曲面在点的法线方程为三、计算题
230111.,,.122.e 3(2,1,0).
3.:e cos d ,2sin c os ,1e 0.t
u z t t t x y z t t t z xy x x u u y t t z t +⎛⎫=== ⎪+⎝⎭
-+=Γ==+=+=⎰求曲线过点的切线方程及法平面方程求曲面过点的切平面及法线求空间曲线处的切线方程和法平面方程在
22222224.23216321:.212
5.2202
1 (2,1,4).x y z M x y z L x z y x y z z x y ππ++=---==-=++-==+-求椭球面上某点处的切平面的方程，且过已知直线求曲面的切平面方程.6.求旋转抛物面在点处的切平面及法行于平面线方程平。

第十讲 多元函数偏导数的应用一、主要知识点1．几何方面的应用（1）空间曲线在某点处的切线和法平面方程1）设空间曲线的参数方程为：)(),(),(t z z t y t x x ===，则在0t t =对应的曲线上的点),,(0000z y x p 处 切线方程：)()()(000000t z z z t y y y t x x x '-='-='-，切向量 {})(),(),(000t z t y t x T '''=． 法平面方程：000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z '''-+-+-=．2）设空间曲线方程为：)(),(x z x y ψϕ==，则在0x x =对应的曲线上的点),,(000z y x p 处切线方程)()(100000x z z x y y x x ψϕ'-='-=-， 切向量 {})(),(,100x x ψϕ''=．法平面方程 0))(())((00000=-'+-'+-z z x y y x x x ψϕ．3）设空间曲线方程为：(,,)0,(,,)0F x y z G x y z ==，则在点),,(000z y x p 处的切线方程p p dxdz z z dx dy y y x x 0001-=-=-，切向量⎭⎬⎫⎩⎨⎧=p p dx dz dx dy ,,1． 法平面方程 0)()(000=-+-+-z z dxdz y y dxdy x x pp ．（2）空间曲面在某点处的切平面及法线方程1）曲面S 以显式方程),(y x f z =给出，则在点),,(0000z y x M 处 切平面方程0)()()(00000=---∂∂+-∂∂z z y y yz x x xz M M ． 法向量 =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∂∂∂∂1,,0M M yz xz．法线方程100000--=∂∂-=∂∂-z z yz y y x z x x M M ． 2）曲面S 以隐式方程给出，在S 上点),,(0000z y x M 处 切平面方程0)()()(0000=-'+-'+-'z z F y y F x x F M z M y M x ，法向量 {}00,,M z M y M x F F F n '''=→法线方程00000M z M y M x F z z F y y F x x '-='-='-．3）切平面法向量的方向余弦若曲面方程为),(y x f z =时，则法向量的方向余弦为cos z α∂=cos z β∂= ，22)()(11cos yz x z ∂∂+∂∂+±=γ．若曲面方程为0),,(=z y x F 时，则法向量的方向余弦为cos α=,cos F β=cos γ=．2．方向导数与梯度（1）方向导数定义设函数),,(z y x f u =在点),,(z y x p 的某邻域内有定义，函数自点p 沿l 方向的方向导数pul∂∂ρρ),,(),,(l i m 0z y x f z z y y x x f -∆+∆+∆+=→，)(222z y x ∆+∆+∆=ρ．（2）方向导数的计算若函数),,(z y x f u =在点),,(z y x p 处可微，则p pzu y u x u lu )cos cos cos (γβα∂∂+∂∂+∂∂=∂∂． 其中,,αβγ为方向l的方向角．（3）梯度：→∂∂=i x f z y x gradf ),,(+→→∂∂+∂∂k zf j y f ． （4）梯度的计算设),,(z y x f u =具有连续的偏导数，则梯度→→→∂∂+∂∂+∂∂=k zf j y f i x f gradf模：222)()()(||zf y f x f gradf ∂∂+∂∂+∂∂=， 方向：xf y f∂∂∂∂=arctan θ．注意：沿梯度方向的方向导数最大（即变化率最大的方向），且最大方向导数：gradf lf=∂∂)max(． 3．多元函数的极值（1）极值的定义设函数),(y x f z =在),(000y x p 的某去心邻域内有定义，若有00(,)(,)f x y f x y <或00(,)(,)f x y f x y >,)),(),((00y x y x ≠，则称),(00y x f 是函数),(y x f z =的极大值或极小值．（2）函数取得极值的必要条件设函数),(y x f z =在点),(00y x p 的一阶偏导数存在，且)(0,0y x p 是),(y x f 的极值点,则必有0),(,0),(0000='='y x f y x f y x ． （3） 函数取得极值的充分条件设函数),(y x f z =在点),(00y x p 的某邻域内有连续的二阶偏导数，且0),(,0),(0000='='y x f y x f y x ，若[])0(0),(),(),(0000200><''''-''y x f y x f y x f yy xxxy， 则点)(0,0y x p 是函数),(y x f 的极值点（不是极值点）．当0),(00>''y x f xx时，(00,y x )为极小值点，且极小值是),(00y x f ． 当0),(00<''y x f xx时，(00,y x )为极大值点，且极大值是),(00y x f ． （4）无条件极值（函数中的自变量只受定义域约束的极值问题）．求无条件极值的方法1）求驻点：即求方程组⎩⎨⎧='='0),(0),(y x f y x f yx 一切实数解；2）判定：利用极值的充分条件定理判别驻点是否为极值点； 3）求出极值．（5）条件极值（函数中自变量除了受定义域约束以外，还受其它条件限制的极值问题）． 求条件极值的方法1）化为无条件极值问题求解； 2）利用拉格朗日乘数法． （6）函数最值的求法1）若函数),(y x f z =在闭区域D 上连续，求出),(y x f 在区域D 内可疑的极值点处的函数值，再求出函数),(y x f 在D 的边界上的最值（这实际上是一元函数的最值问题），进行比较，最大(小)者为最大(小)值．2）若在开区域D 内函数),(y x f z =有唯一极值，则一定就是函数),(y x f z =最值． 3）实际问题的最值求法，首先根据题中条件列出函数式和条件函数式，求出函数的驻点，再根据实际问题的特点，分析此驻点是否是所求的函数),(y x f z =最值点．二、例题分析1．偏导数在几何方面的应用例1．求曲面22y x z +=的一个切平面，使此切平面与直线⎩⎨⎧=+=+2212z y z x 垂直．解：设曲面上的切点为),,(0000z y x p ， 则曲面在该点的法向量为000{,,}{2,2,1}x y z p n F F F x y →==-，已知直线的方向向量为}1,2,2{21201--==→→→→kj i s ， 据题意知→→n s //，因此有1222200-=-=-y x ， 所以得 1,100==y x ，从而有 2000==y x z ． 于是切点为)2,1,1(0p ，所求切平面方程为 0)2()1(2)1(2=---+-z y x ， 即 0222=--+z y x ．例2．求过点(1,2,3)且与曲面3()z x y z =+-的所有切平面皆垂直的平面方程． 解：曲面上过某点的切平面的法向量为22(1,3(),13())n y z y z =---+-．与上述方向垂直的方向为1(1,1,1)n =，因此所求平面方程为(1)(2)(3)0x y z -+-+-=，即 60x y z ++-=．例3．求曲线22222z x y x y y⎧=+⎨+=⎩在点(1,1,2)P 处的切线的参数方程． 解：先求出切线的方向向量，曲面22z x y =+法向量为1(2,2,1)(2,2,1)P Pn x y =-=- ，曲面222x y y +=法向量为2(2,22,0)(2,0,0)P Pn x y =-=，则所求曲线在点处的切向量为12221(0,2,4)200i j ks n n =⨯=-=--，于是曲线在点(1,1,2)P 处的切线方程为112012x y z ---==， 因此切线的参数方程为1,1,22x y t z t ==+=+． 练习题1． 求椭球面1222=++z y x 上平行于平面02=+-z y x 的切平面方程；（切点为(,333-及(333--，切平面方程20x y z -+= ）2．求曲线⎩⎨⎧=+++=222z y x y x z 在点)1,0,1(M 处的切线方程及法平面方程．（323,213011=+--=--=-z y x z y x ） 2．方向导数与梯度例4．设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy 坐标面，其底部所占的区域为(){}75,22≤-+=xy y x y x D ，小山的高度函数为xy y x y x h +--=2275),(．（1）设),(00y x M 为区域D 上一点，问),(y x h 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为),(00y x g ，试写出),(00y x g 的表达式．（2）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在D 的边界线7522=-+xy y x 上找出（1）中的),(y x g 达到最大值的点．试确定攀登起点的位置．解：（1）由梯度的几何意义知道，),(y x h 在点),(00y x M 处沿梯度方向的方向导数最大，方向导数的最大值为该梯度的模． 因为000000(,)(,)(2)(2)xy h h gradh x y i j y x i x y j x y∂∂=+=-+-∂∂所以最大方向导数为00(,)g x y ==（2）令 222(,)(,)558f x y g x y x y xy ==++，下面求函数(,)f x y 在条件7522=-+xy y x 下的最大值点．令 2222(,)558(75)F x y x y x y x y x y λ=+-++--， ''22108(2)0(1)108(2)0(2)75(3)x y F x y x y F y x y x x y xy λλ⎧=-+-=⎪=-+-=⎨⎪+-=⎩由（1）（2）削去λ得到y x =±代入（3）式，得5,5x y x y =±==±= ，于是得到四个可能的极值点：1234(5,5),(5,5),M M M M ---，由于12()()450f M f M ==，34()()150f M f M ==，故1(5,5)M -或1(5,5)M -可以作为攀登的起点． 练习题1．函数224y x u +=在点)2,1(P 处沿抛物线22x y =的切线方向的方向导数；） 2．求函数)ln(222z y x u ++=在点)2,2,1(-P 处的梯度，并问函数u 在该点处沿什么方向的方向导数取得最大值，并求最大的方向导数．（}2,2,1{92-=gradu 沿着梯度方向的方向导数最大，最大方向导数是梯度的模，即32||=gradu ） 3．求函数极值、最值问题拉格朗日乘数法求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的极值： （1）构成拉格朗日函数),(),(),(y x y x f y x F λϕ+=， （λ为常数） （2）求函数F 对x ，对y 的偏导数，并使之为零，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0),(0),(),(0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ， 得λ,,y x ，其中y x ,就是函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的可能极值点的坐标； （3）如何确定所求点是否为极值点？在实际问题中往往可根据实际问题本身的性质来判定．例5．在第I 卦限内作椭球面1222222=++cz b y a x 的切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积最小，求切点坐标． 解： （1）先求切平面方程设切点为),,(000z y x p ，法向量⎭⎬⎫⎩⎨⎧=→2020202,2,2c z b y ax n ，则切平面方程为 0)(2)(2)(2020020020=-+-+-z z cz y y by x x ax ，化成截距式，得1202020=++z cz y by x ax ，因为该切平面在三个坐标轴的截距分别为 222000,,a b c x y z ，于是切平面与三个坐标面围成立体的体积为 0002226z y x c b a V =．（2）再求V 在条件1222222=++cz b y a x 下的最值．只要求函数ln ln ln ln u xyz x y z ==++（0,0,0x y z >>>）在条件1222222=++cz b y a x 下的最值即可．设拉格朗日函数(,,)G x y z =222222ln ln ln (1)x y z x y z a b cλ+++++-．解方程组2222222221201201201xx a y y bz z c x y z a b c λλλ⎧+=⎪⎪⎪+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎪⎪++=⎪⎩，得x y z ===，于是当切点的坐标为)3,3,3(cb a 时，所围立体的体积最小，且最小体积abc V 23=． 练习题：在椭球面1222222=++cz b y a x 内嵌入一个体积最大的长方体，求出它的棱长和最大体积．(当棱长为32a ，32b ，32c 时，长方体的体积最大，最大值为abc V 938max =) 例6．求条件极值问题的判别4．求闭区域上连续函数的最值（1）先求开区域内的最值；（2）再求区域边界上最值，这是由一元函数或拉格朗日乘数法求出．例7．求函数22(,)49z f x y x y ==++在闭区域{}22(,)4D x y x y =+≤上最大值和最小值．解：（1）先求函数(,)f x y 在区域D 内部的驻点，由(,)0x f x y '=，(,)0y f x y '=得到驻点(0,0)对应的函数值(0,0)9f =，（2）再考虑函数(,)f x y 在区域D 边界224x y +=上的情形，方法1：讨论22(,)49f x y x y =++在约束条件224x y +=下条件极值， 令 2222(,)49(4)F x y x y x y λ=++++- 求导，得2222082040Fx x x Fy y y Fx y λλλ⎧∂=+=⎪∂⎪∂⎪=+=⎨∂⎪⎪∂=+-=⎪∂⎩， 解方程组，得0x =，2y =±，4λ=-或2x =±，0y =，1λ=-， 求出函数值(0,2)25f =，(0,2)25f -=，(2,0)13f =，(2,0)13f -=， 比较得(,)f x y 在闭区域D 上最大值{}max (0,0),(0,2),(2,0)25M f f f =±±=，最小值(0,0)9m f ==．方法2：将条件224x y +=写成参数形式2cos x t =，2sin y t =代入(,)f x y 中，22()(2cos ,2sin )4cos 16sin 9t f t t t t ϕ==++求导，得 ()8c os s i n 32s i n c o s24s t t t t t t tϕ'=-+=令()0t ϕ'=，得到0t =，2t π=，则(0)13ϕ=，()252πϕ=， 因为()t ϕ是周期函数，所以只讨论0t =，2t π=就可以了，结论同上．练习题：求函数(,)2z f x y x y ==+在闭区域22:14y D x +≤上最大值和最小值．（±）。