二次函数公式：顶点式、交点式、两根式

二次函数知识点总结

二次函数知识点总结

一、函数定义与表达式

1.一般式：y = ax^2 + bx + c（a、b、c为常数，a≠0）；

2.顶点式：y = a(x - h)^2 + k（a、h、k为常数，a≠0）；

3.交点式：y = a(x - x1)(x - x2)（a≠0，x1、x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）。

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b^2 - 4ac≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。二次函数解析式的这三种形式可以互相转化。

二、函数图像的性质——抛物线

1）开口方向——二次项系数a

二次函数y = ax^2 + bx + c中，a作为二次项系数，显然a≠0.

当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；

当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大。

顶点坐标：（h，k）一般式：（-b/2a，-Δ/4a）

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小。|a|越大开口就越小，|a|越小开口就越大。

y = 2x^2

y = x^2

y = (1/2)x^2

y = -(1/2)x^2

y = -x^2

y = -2x^2

2）抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x = -b/2a。

对称轴顶点式：x = h

两根式：x = x1、x = x2

3）对称轴位置

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。（“左同右异”）

a与b同号（即ab>0）对称轴在y轴左侧

a与b异号（即ab<0）对称轴在y轴右侧

4）增减性，最大或最小值

当a>0时，在对称轴左侧（当x。-b/2a时），y随着x的增大而增大；

当a -b/2a时），y随着x的增大而增大；

当a>0时，函数有最小值，并且当x = -b/2a时，ymin = -Δ/4a；当a<0时，函数有最大值，并且当x = -b/2a时，ymax =

二次函数表达式三种形式的联系与区别

二次函数的表达式有三种形式，即一般式、顶点式、交点式。它们之间各不相同，而又相互联系。

一、一般式：)0(2acbxayx

优点：二次项系数a，一次项系数b，常数项c，三系数一目了然。

缺点：不容易看出顶点坐标和对称轴

二、顶点式：)0(4422)2(aaacaybabx

优点：很容易看出顶点坐标和对称轴

缺点：不容易看出二次项系数a，一次项系数b，常数项c各是多少。

三、交点式：))((21xxxxay

优点：很容易看出图像与x轴的交点坐标（x1，0）和（x2，0）

缺点：（1）不容易看出二次项系数a，一次项系数b，常数项c各是多少。

（2）当图像不与x轴相交时，此式不成立。

四、三种表达式之间的联系

（1）一般式转化为顶点式

利用配方法转化（一提、二配、三整理）

aacaaacaacaxabacxabacxabacbxaybabxbabxababxababxxx44444][][)222222222222)2()2()2()2()2()2(（ 一提，提二次项系数，只对二次项、一次项提系数a

二配，配一次项系数一半的平方，加上后立即减下来

三整理 （2）顶点式转化为一般式

展开整理即可

cbxaaacbxaaacabxaaacxabaaaacayxxbbxbabxbabx222222222224444444)4()0(44)2(

（3）交点式转化为一般式

展开，利用韦达定理整理可得

二次函数)0(2acbxayx与x轴有两交点（x1，0）和（x2，0）

则x1和x2为方程02cbxax的两个根

])([)())((212122121221xxxxxxxxxxxxxaxxaxxay

由韦达定理得：acabxxxx2121

二次函数交点式顶点坐标公式

二次函数的标准形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a≠0。

二次函数的顶点坐标可以通过求导和配方法来求解。

一、求导法求顶点坐标：

二次函数的导函数为：

y' = 2ax + b

令导函数为0，求得x的值，即为顶点的x坐标。

2ax + b = 0

x=-b/(2a)

将x的值带入原函数，求得y的值，即为顶点的y坐标。

y=a(-b/(2a))^2+b(-b/(2a))+c

y=a(b^2/(4a^2))-b^2/(2a)+c

y=b^2/(4a)-b^2/(2a)+c

y=-b^2/(4a)+c

所以，顶点的坐标为(-b/(2a),-b^2/(4a)+c)。

二、配方法求顶点坐标：

将二次函数的标准形式转化为顶点式：

y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。 将二次函数的标准形式展开：

y = ax^2 + bx + c

=a(x^2+(b/a)x)+c

=a(x^2+(b/a)x+(b^2/(4a^2))-(b^2/(4a^2)))+c

=a(x+b/2a)^2+c-b^2/(4a)

与顶点式对比，可得：

h=-b/(2a)

k=c-b^2/(4a)

所以，顶点的坐标为(-b/(2a),c-b^2/(4a))。

综上所述，二次函数的交点式顶点坐标公式为：

顶点坐标为(-b/(2a),c-b^2/(4a))。

希望能够帮到您！

第 1 页 共 2 页

初中数学二次函数顶点坐标公式的知识点

初中数学二次函数顶点坐标公式的知识点

一、基本简介

一般地，我们把形如y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。

主要特点

“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数关系。

二次函数图像与某轴交点的情况

当△=b2-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。

当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。

当△=b2-4ac0时，抛物线向上开口；当a0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a0,与b异号时（即ab0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号

可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab0;k0时，二次函数图像与某轴无交点。

当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在xh范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k

当a<0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在xh范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的'开口向下，函数的值域是y

当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数