补充：二次函数的交点式

二次函数知识点总结

二次函数知识点总结

一、函数定义与表达式

1.一般式：y = ax^2 + bx + c（a、b、c为常数，a≠0）；

2.顶点式：y = a(x - h)^2 + k（a、h、k为常数，a≠0）；

3.交点式：y = a(x - x1)(x - x2)（a≠0，x1、x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）。

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b^2 - 4ac≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。二次函数解析式的这三种形式可以互相转化。

二、函数图像的性质——抛物线

1）开口方向——二次项系数a

二次函数y = ax^2 + bx + c中，a作为二次项系数，显然a≠0.

当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；

当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大。

顶点坐标：（h，k）一般式：（-b/2a，-Δ/4a）

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小。|a|越大开口就越小，|a|越小开口就越大。

y = 2x^2

y = x^2

y = (1/2)x^2

y = -(1/2)x^2

y = -x^2

y = -2x^2

2）抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x = -b/2a。

对称轴顶点式：x = h

两根式：x = x1、x = x2

3）对称轴位置

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。（“左同右异”）

a与b同号（即ab>0）对称轴在y轴左侧

a与b异号（即ab<0）对称轴在y轴右侧

4）增减性，最大或最小值

当a>0时，在对称轴左侧（当x。-b/2a时），y随着x的增大而增大；

当a -b/2a时），y随着x的增大而增大；

当a>0时，函数有最小值，并且当x = -b/2a时，ymin = -Δ/4a；当a<0时，函数有最大值，并且当x = -b/2a时，ymax =

二次函数公式顶点式交点式两根式

二次函数是中学数学中的一个重要概念，也是数学基本的一种函数类型。在解题中，对于二次函数的不同公式形式的掌握以及它们的应用是非常重要的。本文将详细介绍二次函数的三种常用公式形式：顶点式、交点式和两根式。

一、顶点式：

顶点式也叫标准式，它是二次函数最常用的一种表示形式。顶点式的一般形式为：y=a(x-h)²+k，其中a表示抛物线开口的方向和大小，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下；(h,k)表示抛物线的顶点坐标。

顶点式提供了抛物线的顶点坐标，因此很容易确定抛物线的最值。当a>0时，抛物线的最小值为k，当a<0时，抛物线的最大值为k。此外，顶点式也可以很方便地求出对称轴的方程，对称轴的方程为x=h。

顶点式的一个重要应用是求解二次函数的最值问题。通过求解顶点的坐标，可以得到二次函数的最值点，进而解决各种最值问题，如求抛物线经过的点中的最大或最小值等。

二、交点式：

交点式是通过已知抛物线上两个点求解二次函数的一种表示形式。交点式的一般形式为：y=a(x-x₁)(x-x₂)，其中(x₁,y₁)和(x₂,y₂)表示抛物线上两个已知点的坐标。

交点式提供了抛物线上的两个点，通过已知两点可以直接写出二次函数的全式形式。交点式也可以通过展开得到全式形式，展开后，得到二次函数的一般形式y=ax²+bx+c，其中a、b、c的数值可以通过已知的两个点求解。

交点式的一个重要应用是求解二次函数的方程，通过已知的两个点，可以将二次函数的方程写成交点式的形式，从而可以直接解出二次方程，求出解的个数以及具体的解。

三、两根式：

两根式也是二次函数的一种常见表示形式，它主要用于求解二次方程的两个根（零点）。两根式的一般形式为：y=a(x-x₁)(x-x₂)，其中(x₁,y₁)和(x₂,y₂)表示抛物线与x轴相交的两个点的坐标。

两根式主要通过已知抛物线与x轴相交的两个点来求解二次方程的两个根。通过观察可以发现，当抛物线与x轴有两个交点时，二次方程必定有两个不相等的实根。两根式也可以通过展开得到一般形式，即y=ax²-(x₁+x₂)ax+x₁x₂a。

二次函数基本式 y=ax²+bx+c（a≠0）

二次函数交点式

二次函数顶点式 y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k)

二次函数顶点坐标

（一）二次函数图象与a、b、c之间的关系

字母 符号 图象特征 图象

a a>0 开口向上

a<0 开口向下

b b=0 对称轴为y轴

ab>0(ab同号) 对称轴在y轴左侧

ab<0(ab异号) 对称轴在y轴右侧

c c=0 经过原点

c>0 与y轴正半轴相交

c<0 与y轴负半轴相交

b2－4ac b2－4ac=0 与x轴有唯一交点（顶点）

b2－4ac>0 与x轴有两个不同交点

b2－4ac<0 与x轴没有交点

特殊关系 当x＝1时，y＝a＋b＋c

当x＝－1时，y＝a－b＋c

若a＋b＋c>0，即x＝1时，y>0

若a－b＋c>0，即x＝－1时，y>0

（二）二次函数的平移规则

当函数为基本式 y=ax²+bx+c（a≠0）

将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=ax2+bx+c+n

将抛物线向下平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=ax2+bx+c-n

将抛物线向左平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y= a(x+m)2+b(x+m)+c

将抛物线向右平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y= a(x-m)2+b(x-m)+c

将抛物线向左平移m个单位长度后, 再将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=

a(x+m)2+b(x+m)+c+n 当函数为顶点式 y=a(x-h)²+k

左右平移：在括号里做变化，左加右减

如：将y=a(x-h)²+k向左平移m个单位，y=a(x-h+m)²+k

将y=a(x-h)²+k向右平移m个单位，y=a(x-h -m)²+k

上下平移：K处做变化，下加下减

如：将y=a(x-h)²+k向上平移n个单位，y=a(x-h)²+k+n

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-- 二次函数之交点式

【课前自习】

1.根据二次函数的图象和性质填表：

二 次 函 数 对 称 轴 顶 点 与坐标轴交点

一般式 cbxaxy2 与y轴交与点（ ）

顶点式

2.用十字相乘法分解因式：

①322xx ②342xx ③6822xx

3.若一元二次方程02cbxax有两实数根21xx、，则抛物线cbxaxy2与x轴交点坐标是

.

【课堂学习】

一、探索归纳：

1.根据《课前自习》第3题的结果，改写下列二次函数：

①322xxy ②342xxy ③6822xxy

  

2.求出上述抛物线与x轴的交点坐标：

①322xxy ②342xxy ③6822xxy

坐标：

3.你发现什么？

4.归纳：

⑴若二次函数cbxaxy2与x轴交点坐标是（01，x）、（02，x），则该函数还可以

表示为 的形式；

⑵反之若二次函数是21xxxxay的形式，则该抛物线与x轴的交点坐标是

，故我们把这种形式的二次函数关系式称为 式.

⑶二次函数的图象与x轴有2个交点的前提条件是 ，因此这也

是 式存在的前提条件. --