人教版2019高中数学第2章推理与证明2.2.2反证法学案新人教B版选修2_2
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2.2.2 反证法
1．掌握间接证明的常见方法(反证法)的推理特点．
2．学会写出命题的否定，并以此作条件推出矛盾结论，即学习用反证法证明简单题目．
反证法
一般地，由证明pq转向证明：____________________，
t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定____为假，推出____为真的方法，叫做反证法．
1．反证法适宜证明“存在性，唯一性，带有‘至少有一个’或‘至多有一个’等字样”的一些数学问题．
2．应用反证法证明数学命题的一般步骤：
(1)分清命题的条件和结论；
(2)做出与命题结论相矛盾的假设；
(3)由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；
(4)断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．
常见的主要矛盾有：①与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论相矛盾；
②与临时假设矛盾；
③与公认的事实或自相矛盾等．
【做一做1－1】应用反证法推出矛盾的推导过程中可以把下列哪些作为条件使用( )．
①结论的相反判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．
A．①② B．①②④
C．①②③ D．②③
【做一做1－2】用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，假设正确的是( )．
A．假设三角形的内角中至少有一个钝角
B．假设三角形的内角中至少有两个钝角
C．假设三角形的内角中没有一个钝角
D．假设三角形的内角中没有一个钝角或至少有两个钝角
如何理解反证法？
剖析：反证法证题的特征：通过导出矛盾、归结为谬误，而使命题得证．
反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．
反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确，即证明命题的逆否命题成立．否定结论：对结论的反面要一一否定，不能遗漏；否定一个反面之反证法称为归谬法，否定两个或两个以上反面之反证法称为穷举法．要注意用反证法解题，“否定结论”在推理论证中作为已知使用，导出矛盾是指在假设的前提下，逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实”等相矛盾． 用反证法证明不等式，常用的否定形式有：“≥”的反面为“＜”；“≤”的反面为“＞”；“＞”的反面为“≤”；“＜”的反面为“≥”；“≠”的反面为“＝”；“＝”的反面为“≠”或“＞”及“＜”．
反证法属逻辑方法范畴，它的严谨性体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”．
反证法不是去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的正确性．
题型一 命题的结论是否定型
【例题1】已知函数f(x)＝ax＋x－2x＋1(a＞1)．
(1)证明函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；
(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．
分析：应用增函数定义证明第一问；第二问的结论是否定型的，适于应用反证法．
反思：在解题过程中，提出假设，分类讨论等都是在合理地增设条件，为解题提供帮助．
题型二 命题的结论涉及至多、至少及存在型
【例题2】已知a，b，c都是小于1的正数，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a中至少有一个不大于14.
分析：命题中有“至少、不都、都不、至多”等指示性语句时，应用直接方法证明时难度很大，根据正难则反的思想，应用反证法证明．本题中“至少有一个”的否定是“一个也没有”，然后由假设入手，应用均值不等式证明．
反思：反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立，反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般表现形式是：或者是A，或者非A，即在同一讨论过程中，A和非A有一个且仅有一个是对的，不能有第三种情形出现．
题型三 唯一性命题的证明
【例题3】求证：过直线外一点只有一条直线与它平行．
分析：本题属唯一性的证明问题，用反证法证明．
已知：Aa，A∈b，b∥a，
求证：b唯一．
题型四 易错辨析
易错点：运用反证法时，第一步否定结论易错．因为有些结论的对立面不易确定，从而导致错误．
【例题4】用反证法证明命题“a，b为整数，若ab不是偶数，则a，b都不是偶数”时，应假设________．
错解：a，b不都是偶数．
1反证法证题的关键是在正确的假设下得出矛盾．这个矛盾可以是( )．
①与已知矛盾；②与假设矛盾；③与定义、定理、公理、法则矛盾；④与事实矛盾．
A．①② B．①②④
C．①②③ D．①②③④
2命题“在△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”的结论的否定应该是( )．
A．a＜b B．a≤b C．a＝b D．a≥b 3“M不是N的子集”的充分必要条件是( )．
A．若x∈M则xN
B．若x∈N则x∈M
C．存在x1∈Mx1∈N，又存在x2∈Mx2N
D．存在x0∈Mx0N
4设实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于__________．
5用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a，b为实数)”时，应假设________________________________________________________________________．
答案；
基础知识·梳理
qr…t q q
【做一做1－1】C
【做一做1－2】B “至多有一个”的反面为“至少有两个”．
典型例题·领悟
【例题1】证明：(1)任取x1，x2(－1，＋∞)，不妨设x1＜x2，则x2－x1＞0，ax2－x1＞1，且ax1＞0，
∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)＞0.
又∵x1＋1＞0，x2＋1＞0，∴x2－2x2＋1－x1－2x1＋1＝－＋－－＋＋＋
＝－＋＋＞0.
∴f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋x2－2x2＋1－x1－2x1＋1＞0.
故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)假设存在x0＜0(x0≠－1)，满足f(x0)＝0，则
ax0＝－x0－2x0＋1，且0＜ax0＜1，
∴0＜－x0－2x0＋1＜1，即12＜x0＜2，与假设x0＜0矛盾，故方程f(x)＝0没有负根．
【例题2】证明：假设(1－a)b＞14，(1－b)c＞14，(1－c)a＞14.
∵a，b，c都是小于1的正数，
∴－＞12，－＞12，－＞12，
从而－＋－＋－＞32.
但是－＋－＋－≤－＋b2＋－＋c2＋－＋a2＝3－＋b＋＋＋b＋2＝32， 与上式矛盾．
∴假设不成立，即原命题成立．
【例题3】证明：假设过点A还有一条直线b′∥a.
根据平行公理，∵b∥a，∴b∥b′，
与b∩b′＝A矛盾．
∴假设不成立，原命题成立．
【例题4】错因分析：a，b不都是偶数包括的情况是：
①a是偶数，b是奇数；
②a是奇数；b是偶数；
③a，b都不是偶数．显然，否定的结论并不是结论的对立面，所以不正确，题目中“a，b都不是偶数”指“a，b都是奇数”．
正解：a，b不都是奇数．
随堂练习·巩固
1．D
2．B “大于”的否定是“不大于”，即“小于”或“等于”．
3．D 按定义，若M是N的子集，则集合M的任一个元素都是集合N的元素．所以，要使M不是N的子集，只需存在x0M但x0N.选D.
4．13 假设a，b，c都小于13，则a＋b＋c＜1.
故a，b，c中至少有一个不小于13.
5．a，b不全为0(a，b为实数) “a，b全为0”即“a＝0且b＝0”，它的否定为“a≠0或b≠0”，即“a，b不全为0”．
