高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法学案 新人教B版选修2-2(2021年最新整理)
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高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法学案 新人教B版选修2-2
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高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法学案 新人教B版选修2-2
2 2.2.2 反证法
1．了解反证法的思考过程、特点．(重点、易混点)
2．会用反证法证明简单的数学问题．(重点、难点)
[基础·初探］
教材整理 反证法
阅读教材P66～P67“例3”以上部分，完成下列问题．
1．反证法的定义
由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒t，t与________矛盾，或与某个________矛盾，从而判定__________，推出________的方法,叫做反证法．
2．常见的几种矛盾
(1)与假设矛盾;
（2)与__________、定理、公式、定义或____________矛盾；
(3)与______________矛盾(例如，导出0＝1，0≠0之类的矛盾）．
【答案】
1．假设 真命题 綈q为假 q为真
2．(2）数学公理 已被证明了的结论 (3)公认的简单事实
1．判断（正确的打“√"，错误的打“×”)
（1）反证法属于间接证明问题的方法．（ ）
(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．（ ）
(3）反证法的实质是否定结论导出矛盾．( ）
【答案】 （1）√ (2)× (3)√
2．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线,若利用反证法证明，则应假设__________．
【解析】 ∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，
∴应假设b与c平行或相交． 高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法学案 新人教B版选修2-2
3 【答案】 b与c平行或相交
［质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑:
疑问2:
解惑：
疑问3：
解惑：
［小组合作型］
利用反证法证明否定性命题
（1)用反证法证明:“若方程ax2＋bx＋c＝0,且a，b，c都是奇数，则方程没有整数根”，正确的假设是方程存在实数根x0为( ）
A．整数 B．奇数或偶数
C．自然数或负整数 D．正整数或负整数
（2)已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列,求证：错误!， 错误!, 错误!不成等差数列．
【自主解答】 (1)要证明的结论是“方程没有整数根”,故应假设：方程存在实数根x0为整数，故选A。
【答案】 A
(2)证明：假设错误!， 错误!， 错误!成等差数列，则错误!＋错误!＝2错误!,
即a＋c＋2错误!＝4b.
又a,b，c成等比数列，所以b2＝ac，
即b＝错误!，
所以a＋c＋2错误!＝4错误!，
所以a＋c－2ac＝0，即(错误!－错误!）2＝0，
所以错误!＝错误!，从而a＝b＝c，
所以a，b，c可以成等差数列，这与已知中“a，b，c不成等差数列”相矛盾． 高中数学
第二章 推理与证明 2.2.2 反证法学案 新人教B版选修2-2
4 原假设错误，故a， b， 错误!不成等差数列．
1．用反证法证明否定性命题的适用类型
结论中含有“不”“不是"“不可能”“不存在"等词语的命题称为否定性命题,此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．
2．反证法证明问题的一般步骤
［再练一题］
1．设数列{an｝是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和．求证：数列{Sn}不是等比数列．
【证明】 假设数列｛Sn｝是等比数列，则S错误!＝S1S3，
即a错误!(1＋q）2＝a1·a1（1＋q＋q2），
因为a1≠0，所以（1＋q)2＝1＋q＋q2,
即q＝0，这与公比q≠0矛盾．
所以数列｛Sn}不是等比数列．
利用“反证法”“证明"“至少"
“至多”等存在性命题
已知a,b，c∈(0,1)，求证:(1－a)b，（1－b)c，(1－c)a不能都大于错误!.
【精彩点拨】 “不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于"其对立面为“全部大于”．
【自主解答】 假设(1－a）b，(1－b)c，（1－c)a都大于错误!。
∵a,b，c∈(0,1)，
∴1－a>0,1－b>0,1－c〉0。
∴错误!≥错误!>错误!＝错误!。
同理错误!〉错误!， 高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法学案 新人教B版选修2-2
5 错误!>错误!.
三式相加得
错误!＋错误!＋错误!〉错误!,
即错误!〉错误!，矛盾．
所以(1－a)b，（1－b）c，（1－c)a不能都大于错误!.
应用反证法常见的“结论词”与“反设词”
当命题中出现“至多"“至少”等词语时,直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下:
结论词
反设词 结论词 反设词
至少有一个 一个也没有 对所有x成立 存在某个x0不成立
至多有一个 至少有两个 对任意x不成立 存在某个x0成立
至少有n个 至多有n－1个 p或q 綈p且綈q
至多有n个 至少有n＋1个 p且q 綈p或綈q
［再练一题］
2．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．
【证明】 假设a，b，c,d都是非负数，
因为a＋b＝c＋d＝1,所以(a＋b)(c＋d)＝1。
又（a＋b)(c＋d）＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，
所以ac＋bd≤1，
这与已知ac＋bd〉1矛盾,
所以a，b,c，d中至少有一个是负数．
[探究共研型］
利用反证法证明唯一性命题
探究 反证法解题的实质是什么？
【提示】 否定结论、导出矛盾，从而证明原结论正确．
已知直线m与直线a和b分别交于A，B两点,且a∥b。求证：过a，b，m有且只有一个平面．
【精彩点拨】 “有且只有"表示“存在且唯一”，因此在证明时，要分别从存在性和唯高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法学案 新人教B版选修2-2
6 一性两方面来考虑．
【自主解答】 因为a∥b，
所以过a，b有一个平面α.
又因为m∩a＝A，m∩b＝B，
所以A∈a，B∈b，
所以A∈α，B∈α.
又因为A∈m，B∈m，所以m⊂α，
即过a,b，m有一个平面α，如图．
假设过a,b，m还有一个平面β异于平面α，
则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β，这与a∥b，过a,b有且只有一个平面矛盾．
因此，过a，b，m有且只有一个平面．
用反证法证明唯一性命题的一般思路
证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性",由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾,因此可用反证法证其唯一性．
[再练一题]
3．若函数f（x）在区间[a，b]上的图象连续，且f(a）〈0，f（b)>0，且f（x）在[a，b］上单调递增，求证：
f（x）在（a，b）内有且只有一个零点．
【证明】 由于f(x）在［a,b]上的图象连续,且f（a）〈0，f(b）>0，即f(a）·f(b)<0,
所以f(x)在（a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m）＝0。
假设f（x）在(a，b）内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.
若n〉m，则f(n)>f（m)，即0>0，矛盾；
若n
因此假设不正确,即f（x）在(a,b）内有且只有一个零点．
［构建·体系］ 高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法学案 新人教B版选修2-2
7
1．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为（ ）
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a,b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
【解析】 自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形:(1)3个都是奇数；（2)2个奇数，1个偶数；（3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数,所以否定正确的是a,b，c中都是奇数或至少有两个偶数．
【答案】 D
2．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是 ( ) 【导学号：05410048】
A．三个内角中至少有一个钝角
B．三个内角中至少有两个钝角
C．三个内角都不是钝角
D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角
【解析】 “至多有一个”即要么一个都没有,要么有一个，故反设为“至少有两个”．
【答案】 B
3．“x＝0且y＝0"的否定形式为________．
【解析】 “p且q”的否定形式为“綈p或綈q"．
【答案】 x≠0或y≠0
4．用反证法证明命题“若x2－(a＋b）x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设________．
【解析】 “x≠a且x≠b"形式的否定为“x＝a或x＝b”．
