高二复数练习题(打印版)
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高二复数练习题（打印版）
### 高二复数练习题
#### 一、选择题
1. 若复数 \( z = a + bi \)（其中 \( a, b \in \mathbb{R} \)）在复平面上的对应点位于第二象限，则下列说法正确的是（ ）。
A. \( a < 0 \)，\( b > 0 \)
B. \( a > 0 \)，\( b < 0 \)
C. \( a < 0 \)，\( b < 0 \)
D. \( a > 0 \)，\( b > 0 \)
2. 复数 \( z = 1 + i \) 的模长是（ ）。
A. \( \sqrt{2} \)
B. \( 2 \)
C. \( 1 \)
D. \( 0 \)
#### 二、填空题
3. 计算复数 \( z_1 = 3 + 4i \) 和 \( z_2 = 1 - 2i \) 的和，并化简为 \( a + bi \) 的形式，其中 \( a \) 和 \( b \) 是实数。
4. 已知 \( z = 2 + 3i \)，求 \( \overline{z} \)（\( z \) 的共轭复数）。
#### 三、计算题
5. 计算复数 \( z = 2 - 3i \) 的模长和辐角，并以 \( r(\cos
\theta + i\sin \theta) \) 的形式表示。
6. 已知复数 \( z = 1 + i \)，求 \( z^2 \)。
#### 四、解答题
7. 已知复数 \( z_1 = 2 + 3i \) 和 \( z_2 = -1 + 2i \)，求
\( z_1z_2 \) 的值，并说明结果在复平面上的位置。
8. 证明对于任意实数 \( a \) 和 \( b \)，复数 \( z = a + bi \)
的模长 \( |z| \) 满足 \( |z|^2 = a^2 + b^2 \)。
答案：
1. A
2. A
3. \( z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (1 - 2i) = 4 + 2i \)
4. \( \overline{z} = 2 - 3i \)
5. \( |z| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13} \)，辐角
\( \theta = \arctan\left(\frac{-3}{2}\right) \)，所以 \( z \)
可以表示为 \( \sqrt{13}(\cos \theta + i\sin \theta) \)。
6. \( z^2 = (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i \)
7. \( z_1z_2 = (2 + 3i)(-1 + 2i) = -2 + 4i - 3i + 6i^2 = -2 +
i - 6 = -8 + i \)，结果在复平面上位于第四象限。
8. 证明：\( |z|^2 = (a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 +
b^2 \)，因为 \( i^2 = -1 \)。
请同学们认真完成以上练习题，并核对答案，以巩固复数的相关知识。
