高二数学复数练习题及答案

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复数的概念与运算

【学习目标】

1．理解复数的有关概念：虚数单位i、虚数、纯虚数、复数、实部、虚部等。

2．理解复数相等的充要条件。

3. 理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。

4. 会进行复数的加、减运算，理解复数加、减运算的几何意义。

5. 会进行复数乘法和除法运算。

【要点梳理】

知识点一：复数的基本概念

1.虚数单位

数叫做虚数单位，它的平方等于，即。

要点诠释：

①是－1的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是；

②可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。

2. 复数的概念

形如（）的数叫复数，记作：（）；

其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母

表示。

要点诠释：

复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.

3.复数的分类

对于复数（）

若b=0,则a+bi为实数，若b≠0,则a+bi为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi为纯虚数。

分类如下：

（）

用集合表示如下图：

ii121ii21x21xiiabi,abRzabi,abRabiC,abRzabi,abRzabi,abR(0)0(0)0baba实数纯虚数（）虚数非纯虚数（）

2

4.复数集与其它数集之间的关系

（其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，为复数集。）

知识点二：复数相等的充要条件

两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：

如果，那么

特别地：.

要点诠释：

① 一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.

② 根据复数a+bi与c+di相等的定义，可知在a=c，b=d两式中，只要有一个不成立，那么就有

a+bi≠c+di（a，b，c，d∈R）．

③ 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大

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实数系复数的概念课时自测·当堂达标

1.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数，则a的取值范围是( )

A.a≠-1或a≠2 B.a≠-1且a≠2

C.a≠-1 D.a≠2

【解析】选C.复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)是纯虚数，需满足a2-a-2=0，且|a-1|-1≠0.解得a=-1，复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数时，a≠-1.

2.已知2-ai=b+i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a+b= ( )

A.-1 B.1 C.2 D.3

【解析】选B.因为2-ai=b+i(a，b∈R)，所以2=b，-a=1，所以a=-1，因此a+b=1.

3.设z1=2x+1+(x2-3x+2)i，z2=x2-2+(x2+x-6)i(x∈R).

(1)若z1是纯虚数，求实数x的取值范围.

(2)若z1>z2，求实数x的取值范围.

【解析】(1)依题意得

即解得

所以x=-，所以实数x的取值范围是x=-.

2

(2)方法一:依题意得

即解得

所以x=2，检验:当x=2时，z1=2×2+1=5，z2=22-2=2，

满足z1>z2符合题意.所以实数x的取值范围是x=2.

方法二:依题意得

即

解得所以x=2.

所以实数x的取值范围是x=2.

1 7.1.1 数系的扩充和复数的概念

【自主学习】

一．复数的有关概念

1.复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做 ，满足i2＝ ．

2.复数集：全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集．

3.复数的表示方法

复数通常用字母z表示，即 ，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．

二．复数相等的充要条件

在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：

a＋bi与c＋di相等当且仅当 且 ．

三．复数的分类

1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)

实数（b＝0），

虚数（b≠0）

纯虚数a＝0，

非纯虚数a≠0Ｗ.

2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

【小试牛刀】1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)

(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( )(2)复数z

1＝3i，z

2＝2i，则z

1＞z

2.( )

(3)若b为实数，则z= bi必为纯虚数．( )(4)实数集与复数集的交集是实数集．( )

2.若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a＝( )

A．－1 B．1 C．±1 D．不存在

【经典例题】题型一 复数的概念

例1 写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数：

4, 2－3i，－12＋43i, 5＋2i, 6i.

【训练】1若a∈R，i为虚数单位，则“a＝1”是“复数(a－1)(a＋2)＋(a＋3)i为纯虚数”的( )

A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件

2 题型二 复数的分类

例2 实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。

【跟踪训练】2当实数m为何值时，复数z＝m2＋m－6m＋(m2－2m)i：为实数？(2)为虚数？

(3)为纯虚数？

题型三 复数相等

2022版人教A版高中数学必修第二册--本章复习提升

易混易错练

易错点1 忽视复数相等的条件致错

1.()已知(2+i)y=x+yi,x,y∈R,且y≠0,则|𝑥𝑦+i|= ( )

A.√2 B.√3 C.2 D.√5

2.()已知i是虚数单位,m,n∈R,且m+i=1+ni,则𝑚+𝑛i𝑚-𝑛i= ( )

A.i B.1 C.-i D.-1

3.(2021山东临沂一中高二下月考,)已知x是实数,y是纯虚数,且满足(2x-1)+i=y-(3-y)i,求x与y的值.

易错点2 对复数的几何意义考虑不全面致错

4.()在复平面内,已知复数z对应的向量为𝑂𝑍⃗⃗⃗⃗⃗ (O为坐标原点),𝑂𝑍⃗⃗⃗⃗⃗ 与实轴正方向的夹角为120°,且复数z的模为2,则复数z为 ( )

A.1+√3i B.−1+√3i

C.-1-√3i D.−1±√3i

5.()已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则在复平面内,复数z对应的点的集合构成的图形是 ( )

A.1个圆 B.线段 C.2个点 D.2个圆 易错点3 对复数范围内方程的问题考虑不全面致错

6.()已知方程x2+kx-i=0有一个根是i,求另一个根及k的值.

7.()关于x的方程x2+(2a-i)x-ai+1=0有实根,求实数a的值.

8.()在复数范围内求方程x2-5|x|+6=0的解.

易错点4 混淆复数运算与实数运算致错

9.()复数i2+i3+i41-i= ( )

A.-12−12i B.−12+12i

C.12−12i D.12+12i

10.()满足z+5𝑧是实数,且z+3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在?若存在,求出虚数z;若不存在,请说明理由.

思想方法练

一、函数与方程思想在解决复数问题中的应用

1.()已知复数z=cos θ+isin θ(0≤θ<2π),求θ为何值时,|z+1-i|取得最大值和最小值,并求出最大值和最小值.