2015朝阳一模 北京市朝阳区2015届高三4月第一次综合练习数学文试题 Word版含答案

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习文科综合试卷（地理）2015.4 本试题共 17页，共300分。

考试时长150分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题，满分140分）本部分共35小题，每小题4分，共140分。

在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

图1为某软件展示的2015年3月11日21时（北京时间）世界局部地区气旋运动状况截图。

据图完成1、2题。

图11.此时A．气旋甲中心位置风力强劲B．气旋甲的直径约100千米C．世界时为3月12日5时D．帕米尔高原东端日落地平2.下列叙述正确的是A．澳大利亚的东部吹西北风B．日本西部较东部更易降水C．北印度洋海水顺时针运动D．欧洲的南部地区炎热干燥3.由图2可知此照片拍摄地点及拍摄方向为A．天津向北B．天津向南C．台北向北D．台北向南图22015年初，群岛国家汤加附近洋面形成了一个新岛屿。

读汤加位置与新岛形成图（图3），完成4、5题。

图34．该国A．地震、火山频发B．位于印度洋东部C．各岛日期不一致D．受赤道低压控制5．该新岛A．因地壳抬升而形成B．物质主要源于地幔C．主要由石灰岩组成D．有丰富的淡水资源图4所示我国某著名的旅游岛，它由火山岩构成，面积约16平方千米。

读图，完成6、7题。

图46.在该岛旅行可能看到①海底温泉②珊瑚礁③峡湾风光④热带海洋生物⑤温泉A．①②③ B．①②⑤ C．②③④D．②④⑤7.在①～④旅游线路中A．线路①消耗体力最大 B．线路②视野最为开阔C．线路③平均海拔最高 D．线路④途经主要盐场蚕的适养温度为20℃～30℃，蚕自孵化到吐丝结茧需20-30天。

养蚕需投入较多劳动力，图5为我国蚕茧产量变化图。

据此完成8、9题。

图5 8．由图5可知A．秦岭-淮河是蚕养殖区的北界B．蚕茧产量增长区在珠江流域C．西南各省蚕茧产量小幅下降D．鄂皖为蚕茧产量最大的省份9．下列叙述正确的是A．广西养蚕业的优势是人工成本较低B．江苏高速城镇化带动了养蚕业发展C．湖北养蚕业的热量条件比广西要好D．靠近市场是养蚕业重心转移的原因结合浙江宁波-舟山跨海大桥示意图（图6），完成10、11题。

(1)求全班人数及分数在 80,100 之间的频率； (2)现从分数在 80,100 之间的试卷中任取 3 份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在 90,100 的份数为 ������ ，求 ������ 的分布列和数学期望． 17. 如图，正方形 ������������������������ 与梯形 ������������������������ 所在的平面互相垂直，已知 ������������ ∥ ������������ ，������������ ⊥ ������������ ，
2015 年北京朝阳高考一模数学（理）
一、选择题（共 8 小题；共 40.0 分）
1. 已知集合 ������ = 1,2, ������2 ，������ = 1, ������ ．若 ������ ⊆ ������ ，则 ������ = ( A. 0 B. 2 C. 0或2 ) D. 1或2
2. 已知点 ������ 1, ������ 0 （������ 0 > 0）为抛物线 ������ 2 = 2������������ （������ > 0）上一点．若点 ������ 到该抛物线焦点 的距离为 3，则 ������ 0 = ( A. 3. 在 △ ������������������ A. 2 ) B.
7. 在平面直角坐标系中，������ 为坐标原点，已知两点 ������ 1,0 ，������ 1,1 ，且 ∠ ������������������ = 90∘ ．设
������������ = ������������ + ������ ������������ （������ ∈ ������ ），则 ������������ = (
第二部分 1 3 9. − 2 − 2 i 10.

2015北京高考数学各区一模试题汇编--解析几何--目录Always a new start 项目及名称页码42长度与韦达定理的弦长与面积问题45多出一两条直线的中点与垂直问题50考察图像与方程的单动点消元问题53利用斜率与向量的定点与定值问题58以上四类常规问题的答案弦长与面积问题19.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(2,0)F ，离心率为3．过焦点F的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 中点为D ，O 为坐标原点，过O ，D 的直线 交椭圆于,M N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求四边形AMBN 面积的最大值．19．（本小题满分14分）设1F ，2F 分别为椭圆)0(1:2222>>=+b a b ya x E 的左、右焦点，点)23,1(P 在椭圆E 上，且点P 和1F 关于点)43,0(C 对称.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.19.（本小题满分14分）已知椭圆223412.C x y +=：（I ）求椭圆C 的离心率；（II ）设椭圆C 上在第二象限的点P 的横坐标为1-，过点P 的直线12,l l 与椭圆C 的另一交点分别为,A B .且12,l l 的斜率互为相反数，,A B 两点关于坐标原点O 的对称点分别为,M N ,求四边形ABMN 的面积的最大值.中点与垂直问题（19）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的两个焦点分别为12(2,0),(2,0)F F-，离心率为3．过焦点2F的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于,A B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于,M N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当四边形12MF NF为矩形时，求直线l的方程．19.（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为，右顶点A 是抛物线28y x =的焦点．直线l ：(1)y k x =-与椭圆C 相交于P ，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如果AM AP AQ =+u u u u r u u u r u u u r，点M 关于直线l 的对称点N 在y 轴上，求k 的值．（19）（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>过点(0,1)-，且离心率e =.（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）是否存在菱形ABCD ，同时满足下列三个条件：①点A 在直线2y =上；②点B ，C ，D 在椭圆M 上； ③直线BD 的斜率等于1.如果存在，求出A 点坐标；如果不存在，说明理由.19．（本小题满分14分）设1F ，2F 分别为椭圆)0(1:2222>>=+b a b ya x E 的左、右焦点，点)23,1(P 在椭圆E 上，且点P 和1F 关于点)43,0(C 对称.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由.19.(本小题满分14分) 已知椭圆22:416C x y +=. (I)求椭圆C 的离心率;(II)设椭圆C 与y 轴下半轴的交点为B ,如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ,且,,B E F 构成以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形,判断直线EF 与圆2212x y +=的位置关系.单动点消元问题已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，M为椭圆上任意一点且△12MF F 的周长等于6． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）以M 为圆心，1MF 为半径作圆M ，当圆M 与直线 l 4x =：有公共点时，求△12MF F 面积的最大值．19．（本小题满分14分）已知椭圆C:22221(0)x ya ba b+=>>离心率2e=，短轴长为．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ) 如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线P A，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．在平面直角坐标系中xOy 中，动点E 到定点(1,0)的距离与它到直线1x =-的距离相等．（Ⅰ）求动点E 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设动直线:l y kx b =+与曲线C 相切于点P ，与直线1x =-相交于点Q ．证明：以PQ 为直径的圆恒过x 轴上某定点．定点与定值问题已知椭圆W ：12222=+by a x )0(>>b a 的离心率为21，Q 是椭圆上的任意一点，且点Q 到椭圆左右焦点1F ，2F 的距离和为4． （Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；（Ⅱ）经过点()1,0且互相垂直的直线1l 、2l 分别与椭圆交于A 、B 和C 、D 两点（A 、B 、C 、D 都不与椭圆的顶点重合），E 、F 分别是线段AB 、CD 的中点，O 为坐标原点，若OE k 、OF k 分别是直线OE 、OF 的斜率，求证：OE OF k k ⋅为定值．动点),(y x P 到定点)0,1(F 的距离与它到定直线4:=x l 的距离之比为21. (Ⅰ) 求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ） 已知定点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(4,)Q t 在直线l 上，作直线AQ 与轨迹C 的另一个交点为M ,作直线BQ 与轨迹C 的另一个交点为N ，证明：,,M N F 三点共线.（19）（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>过点(0,1)A -，且离心率2e =.（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若椭圆M 上存在点,B C 关于直线1y kx =-对称,求k 的所有取值构成的集合S ，并证明对于k S ∀∈，BC 的中点恒在一条定直线上.19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a ay b x 的离心率2e =，短轴的右端点为B ， M（1，0）为线段OB 的中点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点M 任意作一条直线与椭圆C 相交于两点P ，Q 试问在x 轴上是否存在定点N ，使得∠PNM =∠QNM ？ 若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．19．（本小题满分14分）设点F为椭圆22221(0)x yE a ba b+=>>：的右焦点，点3(1,)2P在椭圆E上，已知椭圆E的离心率为1 2 .（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设过右焦点F的直线l与椭圆相交于A，B两点，记ABP∆三条边所在直线的斜率的乘积为t，求t的最大值.2015北京高考数学 各区一模试题汇编--解析几何 答案--弦长与面积问题19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得2222,,c c a a bc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b ， 故椭圆的方程为22162x y +=． …….4分（Ⅱ）当直线l 斜率不存在时,A B的坐标分别为，(2,，||MN =， 四边形AMBN 面积为1||||42AMBN S MN AB =⋅=． 当直线l 斜率存在时，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，点,M N 到直线l 的距离分别为12,d d ，则四边形AMBN 面积为121||()2AMBN S AB d d =+． 由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=， 则21221213k x x k +=+，212212613k x x k -=+， 所以||AB==．因为121224(4)13ky y k x x k-+=+-=+， 所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++． 当0k ¹时，直线OD 方程为30x ky +=， 由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得333,x ky =-232213y k =+． 所以121||()2AMBN S AB d d =+12=====当0k =时，四边形AMBN面积的最大值AMBN S =综上四边形AMBN面积的最大值为． …………………………14分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由点)23,1(P 和1F 关于点)43,0(C 对称，得1(1,0)F -， ………… 1分所以椭圆E 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ， ……………… 2分 由椭圆定义，得 122||||4a PF PF=+=.所以 2a =，b == ……………… 4分故椭圆E 的方程为13422=+y x . ……………… 5分 （II ）解：结论：存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分. ……… 6分 理由如下：由题可知直线l ，直线PQ 的斜率存在，设直线l 的方程为)1(-=x k y ，直线PQ 的方程为3(1)2y k x -=-. ……… 7分 由 221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ， 得2222(34)84120k x k x k +-+-=， ……………… 8分 由题意，可知0∆> ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， ……………… 9分 由221,433(1),2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩消去y ,得2222(34)(812)41230k x k k x k k +--+--=， 由0∆>，可知12k ≠-，设),(33y x Q ，又)23,1(P ，则223431281k k k x +-=+，2234331241kk k x +--=⋅. ……………… 10分 若四边形PABQ 的对角线互相平分，则PB 与AQ 的中点重合， 所以212231+=+x x x ，即3211x x x -=-， ……………… 11分 故2212123()4(1)x x x x x +-=-. ……………… 12分所以 2222222284124123()4(1)343434k k k k k k k ----⋅=-+++. 解得 34k =. 所以直线l 为3430x y --=时， 四边形PABQ 的对角线互相平分. …… 14分 （注：利用四边形PABQ 为平行四边形，则有||||PQ AB =，也可解决问题）19.解：（I ）由题意，椭圆C 的标准方程为221.43x y += 所以224,3,a b ==从而222 1.c a b =-= 因此，2, 1.a c ==故椭圆C 的离心率1.2c e a ==..... ...........................................4分 （II ）由题意可知，点P 的坐标为3(1,).2-设1l 的方程为3(1).2y k x =++则2l 的方程为3(1).2y k x =-++........................................5分由223(1)23412y k x x y ⎧=++⎪⎨⎪+=⎩得2222(43)(812)41230.k x k k x k k +++++-= 由于1x =-是此方程的一个解.所以此方程的另一解22412343A k k x k +-=-+ 同理22412343B k k x k --=-+............... ...........................................7分故直线AB 的斜率为33(1)(1)22B A B A ABB A B Ak x k x y y k x x x x -++-+--==-- 22286(2)143.24243k k k k k -+-++==-+ ........... ...........................................9分设直线AB 的方程为1.2y x m =-+由22123412y x m x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩得2230x mxm -+-=所以||AB ==又原点O 到直线AB 的距离为d =所以OAB ∆的面积12OAB S ∆==22(4)22m m +-≤⋅= 当且仅当224m m =-，即22,2m m ==±时.OAB ∆的面积达到最大. ............... ...........................................13分由题意可知，四边形ABMN 为平行四边形,所以，四边形ABMN 的面积4OAB S S ∆=≤故四边形ABMN 面积的最大值为 ............... ...........................................14分中点与垂直问题（19）（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得2222,,c c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b = 故椭圆的方程为22162x y +=． ……… 5分 （Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=， 所以21221213k x x k +=+．因为121224(4)13ky y k x x k -+=+-=+，所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++． 因此直线OD 方程为30x ky +=()0k ¹．由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得232213y k =+，333x ky =-． 因为四边形12MF NF 为矩形，所以220F M F N ⋅=u u u u r u u u u r，即3333(2,)(2,)0x y x y -⋅---=．所以223340x y --=．所以222(91)4013k k +-=+．解得3k =±．故直线l的方程为(2)3y x =±-． ……… 14分19.（本小题共14分）解：（Ⅰ）抛物线28y x =，所以焦点坐标为(2,0)，即(2,0)A ， 所以2a =．又因为2c e a ==，所以c = 所以2221b a c =-=，所以椭圆C 的方程为2214x y +=． ……………………4分 （Ⅱ）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，因为AM AP AQ =+u u u u r u u u r u u u r，(2,0)A ，所以11(2,)AP x y =-u u u r，22(2,)AQ x y =-u u u r ，所以1212(4,+)AM AP AQ x x y y =+=+-u u u u r u u u r u u u r，所以()12122,M x x y y +-+．由2214(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(41)8440k x k x k +-+-=（判别式0∆>）， 得2122282224141k x x k k -+-=-=++，121222(2)4+1ky y k x x k -+=+-=， 即2222(,)4141k M k k --++． 设3(0,)N y ， 则MN 中点坐标为3221(,)41412y kk k --+++， 因为M ，N 关于直线l 对称，所以MN 的中点在直线l 上，所以3221(1)41241k y k k k --+=-++，解得32y k =-，即(0,2)N k -． 由于M ，N 关于直线l 对称，所以M ，N 所在直线与直线l 垂直，所以 222(2)4112041kk k k k ---+⋅=---+，解得k = ……………………14分（19）（共13分）解：（Ⅰ）由题意得：2221,.b caa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎩………………3分解得：223,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以 椭圆M 的方程为2213x y +=. ………………4分 （Ⅱ）不存在满足题意的菱形ABCD ，理由如下： ………………5分 假设存在满足题意的菱形ABCD .设直线BD 的方程为y x m =+，11(,)B x y ，22(,)D x y ，线段BD 的中点00(,)Q x y ，点(,2)A t . ………………6分由2233,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得224230y my m -+-=. ………………8分 由()()2221630m m ∆=--> ，解得22m -<<. ………………9分因为 122my y +=， 所以 12024y y my +==. ………………11分因为 四边形ABCD 为菱形， 所以 Q 是AC 的中点.所以 C 点的纵坐标022212C my y =-=-<-. ………………12分 因为 点C 在椭圆M 上，所以 1C y ≥-.这与1C y <-矛盾. ………………13分所以 不存在满足题意的菱形ABCD .19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由点)23,1(P 和1F 关于点)43,0(C 对称，得1(1,0)F -， ………… 1分所以椭圆E 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ， ……………… 2分 由椭圆定义，得 122||||4a PFPF =+=.所以 2a =，b == ……………… 4分故椭圆E 的方程为13422=+y x . ……………… 5分 （II ）解：结论：存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分. ……… 6分 理由如下：由题可知直线l ，直线PQ 的斜率存在，设直线l 的方程为)1(-=x k y ，直线PQ 的方程为3(1)2y k x -=-. ……… 7分 由 221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ， 得2222(34)84120k x k x k +-+-=， ……………… 8分 由题意，可知0∆> ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， ……………… 9分 由221,433(1),2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩消去y ,得2222(34)(812)41230k x k k x k k +--+--=，由0∆>，可知12k ≠-，设),(33y x Q ，又)23,1(P ，则223431281k k k x +-=+，2234331241k k k x +--=⋅. ……………… 10分 若四边形PABQ 的对角线互相平分，则PB 与AQ 的中点重合， 所以212231+=+x x x ，即3211x x x -=-， ……………… 11分 故2212123()4(1)x x x x x +-=-. ……………… 12分所以 2222222284124123()4(1)343434k k k k k k k----⋅=-+++. 解得 34k =. 所以直线l 为3430x y --=时， 四边形PABQ 的对角线互相平分. …… 14分 （注：利用四边形PABQ 为平行四边形，则有||||PQ AB =，也可解决问题）19.解:(I)由题意,椭圆C 的标准方程为221164x y +=, 所以2222216,4,12从而a b c a b ===-=,因此4,a c ==故椭圆C 的离心率c e a == ............... ...........................................4分 (II)由221,416y kx x y =+⎧⎨+=⎩得()22148120k x kx ++-=, 由题意可知0∆>. ............... ...........................................5分 设点,E F 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ,EF 的中点M 的坐标为(),M M x y , 则1224214M x x k x k +==-+,1221214M y y y k+==+................ .....................................7分因为BEF ∆是以EF 为底边,B 为顶点的等腰三角形, 所以BM EF ⊥,因此BM 的斜率1BM k k=-. ............... ...........................................8分 又点B 的坐标为()0,2-,所以222122381440414M BM M y k k k k x k k++++===---+,............... ....................................10分 即()238104k k k k+-=-≠, 亦即218k =,所以4k =±, ............... ...........................................12分故EF的方程为440y -+=. ............... ...........................................13分又圆2212x y +=的圆心()0,0O 到直线EF的距离为32d ==>, 所以直线EF 与圆相离................ ...........................................14分单动点消元问题解：（Ⅰ）由已知离心率12c e a ==， 又△12MF F 的周长等于226a c +=， 解得2a =，1c =．所以23b =．所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ………………………..5分（Ⅱ）设点M 的坐标为00(,)x y ，则2200143x y +=．由于圆M 与l 有公共点，所以M 到l 的距离04x -小于或等于圆的半径r ． 因为2222100(+1)r MF x y ==+，所以222000(4)(1)x x y -≤++，即20010150y x +-≥．又因为22003(1)4x y =-，所以20033101504x x -+-≥． 整理得200340+480x x -≤，解得04123x ≤≤．又022x -<< ，所以0423x ≤<．所以00y <≤． 因为△12MF F 面积01201=2y F F y =，当0y =12MF F ………………..13分（Ⅰ）由短轴长为，得b = ………………1分由2c e a ===，得224,2a b ==．∴椭圆C 的标准方程为22142x y +=． ………………4分 （Ⅱ）以MN为直径的圆过定点(F ． ………………5分证明如下：设00(,)P x y ，则00(,)Q x y --，且2200142x y +=，即220024x y +=， ∵(2,0)A -，∴直线PA 方程为：00(2)2y y x x =++，∴002(0,)2y M x +……………6分 直线QA 方程为：00(2)2y y x x =+-，∴002(0,)2y N x -， ………………7分 以MN 为直径的圆为000022(0)(0)()()022y y x x y y x x --+--=+-………………10分 【或通过求得圆心00202(0,)4x y O x '-，0204||4y r x =-得到圆的方程】 即222000220044044x y y x y y x x +-+=--， ∵220042x y -=-，∴22220x x y y y ++-=， ………………12分 令0y =，则220x -=，解得x =∴以MN为直径的圆过定点(F ． …………14分解：（Ⅰ）设动点E 的坐标为(,)x y ．由抛物线定义知，动点E 的轨迹为以(1,0)为焦点，1x =-为准线抛物线．所以动点E 的轨迹C 的方程为：24y x =． ……………4分（Ⅱ）设直线l 的方程为：y kx b =+．（显然0k ≠）由 24,,y x y kx b ⎧=⎨=+⎩得2440ky y b -+=．因为直线l 与抛物线相切， 所以16160kb ∆=-=，1b k=．所以直线l 的方程为1y kx k=+． 令1x =-，得1y k k=-+， 所以1(1,)Q k k--+．设切点坐标00(,)P x y ，则200440ky y k -+=，解得212(,)P k k． 设(,0)M m ，则2121()(1)()MQ MP m m k k k k⋅=---+-+u u u u r u u u r2222122m m m k k k=-+-++-． 21(1)(2)m m k=---． 当1m =时，0MQ MP ⋅=u u u u r u u u r．所以以PQ 为直径的圆恒过x 轴上定点(1,0)M ． ……………13分定点与定值问题解：（Ⅰ）∵点Q 到椭圆左右焦点的距离和为4. ∴24a =，2a =.又12c e a ==，∴1c =，2223b a c =-=. ∴椭圆W 的标准方程为：22143x y +=…………………5分 （Ⅱ）∵直线1l 、2l 经过点(0,1)且互相垂直，又A 、B 、C 、D 都不与椭圆的顶点重合 ∴设1l ：1y kx =+，2l ：11y x k=-+；点11(,)A x y 、22(,)B x y 、(,)E E E x y 、(,)F F F x y 由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)880k x kx ++-= ∵点(0,1)在椭圆内，∴△0>∴122834kx x k +=-+，∴1224234Ex x kx k +==-+，23134E E y kx k =+=+ ∴34E OE E y k x k==- 同理33144()F OF Fy kk x K ==-=-∴916OE OFk k ⋅=-…………………14分19．（本小题共14分）解： (Ⅰ)由题意得21|4|)1(22=-+-x y x ， ………………2分化简并整理，得 13422=+y x . 所以动点),(y x P 的轨迹C 的方程为椭圆13422=+y x . ………………5分 （Ⅱ）当0=t 时，点B M 与重合，点A N 与重合，,,M N F 三点共线. ………7分当0≠t 时根据题意：:(2),:(2)62tt QA y x QB y x =+=-由()2214326x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消元得：2223(2)1209t x x ++-=整理得：2222(27)441080t x t x t +++-=该方程有一根为2,x =-另一根为M x ,根据韦达定理，222241085422,2727M M t t x x t t ---==++由()2214322x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 消元得：2223(2)120x t x +--= 整理得：2222(3)44120t x t x t +-+-=该方程有一根为2,x =另一根为N x ,根据韦达定理，2222412262,33N N t t x x t t --==++当M N x x =时，由222254226273t t t t --=++得：29,t =1M N x x ==，,,M N F 三点共线； 当M N x x ¹时，218(2)627M M t ty x t =+=+，26(2)23N N t t y x t -=-=+22221862754219127M MFM t y t t k t x t t +===----+；2222663261913N NFN t y t t k t x t t -+===----+ NF MF K k =，,,M N F 三点共线.综上，命题恒成立. ………………14分19.（本小题共14分）解: （Ⅰ）因为椭圆C ：22162x y +=所以焦点(2,0)F ，离心率3e =……………………4分 （Ⅱ）直线l ：y kx m =+(0)k ≠过点F ，所以2m k =-，所以l ：(2)y k x =-．由2236(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(31)121260.k x k x k +-+-=（依题意 0∆>）． 设 11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则21221231k x x k +=+，2122126.31k x x k -=+ ．因为点P 关于x 轴的对称点为P '，则11(,)P x y '-． 所以，直线P Q '的方程可以设为211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，2111211211212x y x y x y x y x x y y y y -+=+=++211212(2)(2)(4)kx x kx x k x x -+-=+-12121222()(4)x x x x x x -+=+-2222221261222313112(4)31k k k k k k --++=-+ 3=． 所以直线P Q '过x 轴上定点(3,0)． ……………………14分19.（本小题共14分）解: （Ⅰ）因为椭圆C ：22162x y +=所以焦点(2,0)F ，离心率e =……………………4分 （Ⅱ）直线l ：y kx m =+(0)k ≠过点F ，所以2m k =-，所以l ：(2)y k x =-．由2236(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩，得2222(31)121260.k x k x k +-+-=（依题意 0∆>）．设 11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则21221231k x x k +=+，2122126.31k x x k -=+ ． 因为点P 关于x 轴的对称点为P '，则11(,)P x y '-． 所以，直线P Q '的方程可以设为211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，2111211211212x y x y x y x y x x y y y y -+=+=++211212(2)(2)(4)kx x kx x k x x -+-=+-12121222()(4)x x x x x x -+=+-2222221261222313112(4)31k k k k k k --++=-+ 3=． 所以直线P Q '过x 轴上定点(3,0)． ……………………14分（19）（共13分）解：（Ⅰ）因为 椭圆M 过点(0,1)A -，所以 1b =.………………1分 因为 222 c e a b c a ===+， 所以 2a =.所以 椭圆M 的方程为22 1.4x y += ………………3分（Ⅱ）方法一： 依题意得0k ≠.因为 椭圆M 上存在点,B C 关于直线1y kx =-对称，所以 直线BC 与直线1y kx =-垂直，且线段BC 的中点在直线1y kx =-上. 设直线BC 的方程为11221,(,),(,)y x t B x y C x y k=-+. 由221,44y x t k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩得 22222(4)8440k x ktx k t k +-+-=. ………………5分由2222222222644(4)(44)16(4)0k t k k t k k k t k ∆=-+-=-+>，得22240k t k --<.（*） 因为 12284ktx x k +=+， ………………7分 所以 BC 的中点坐标为2224(,)44kt k tk k ++.又线段BC 的中点在直线1y kx =-上，所以 2224144k t ktk k k =-++.所以 22314k t k =+. ………………9分代入（*），得2k <-或2k >. 所以{|S k k k =<>或. ………………11分 因为 22143k t k =+，所以 对于k S ∀∈，线段BC 中点的纵坐标恒为13，即线段BC 的中点总在直线13y =上. ………………13分方法二：因为 点(0,1)A -在直线1y kx =-上，且,B C 关于直线1y kx =-对称， 所以 AB AC =，且0k ≠.设1122(,),(,)B x y C x y （12y y ≠），BC 的中点为000(,)(0)x y x ≠.则22221122(1)(1)x y x y ++=++. ………………6分又,B C 在椭圆M 上，所以 2222112244,44x y x y =-=-.所以 2222112244(1)44(1)y y y y -++=-++. 化简，得 2212123()2()y y y y -=-.所以 120123y y y +==. ………………9分 又因为 BC 的中点在直线1y kx =-上， 所以 001y kx =-. 所以 043x k=. 由221,413x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得3x =±所以403k <<，或403k <<，即k <，或k >. 所以{|}22S k k k =<->,或. ………………12分 所以 对于k S ∀∈，线段BC 中点的纵坐标恒为13，即线段BC 的中点总在直线13y =上. ………………13分19．（本小题共14分）（Ⅰ）由题意知, 2b =…………………1分由2e =a = …………………3分 椭圆方程为22148x y +=． …………………4分 （Ⅱ）若存在满足条件的点N ，坐标为（t ，0），其中t 为常数. 由题意直线PQ 的斜率不为0，直线PQ 的方程可设为：1x my =+,()m R ∈ …………………5分 设1122(,),(,)P x y Q x y ,联立221,148x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得：22(12)460m y my ++-=, …………………7分221624(12)0m m ∆=++>恒成立，所以12122246,1212m y +y =y y =m m --++ ……8分 由PNM QNM ∠=∠知：+0PN QN k k = …………………9分1212,PN QN y yk k x t x t==--， 即12120y y x t x t +=--，即121211y y my t my t=-+-+-， …………………10分 展开整理得12122(1)()0my y t y y +-+=， 即222(6)4(1)0,1212m m t m m ---+=++ …………………12分即(4)0m t -=，又m 不恒为0，=4t ∴.故满足条件的点N 存在，坐标为(40),……14分（Ⅰ）解：设22b a c -=，由题意，得21=a c ， 所以 2a c =，b =. …………………2分则椭圆方程为 2222143x y c c+=， 又点)23,1(P 在椭圆上， 所以2213144c c+=，解得21c =， 故椭圆方程为 22143x y +=. ………………… 5分 （Ⅱ）解：由题意，直线l 的斜率存在，右焦点(1,0)F ， ………………… 6分 设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， …… 7分由 22(1),1,43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得 2222(34)84120k x k x k +-+-=. ………………… 8分由题意，可知0>∆，则有 2221438kk x x +=+，212241234k x x k -=+， …… 9分 所以直线PA 的斜率11321PAy k x -=-，直线PB 的斜率22321PB y k x -=-， …… 10分 所以PA PB t k k k =⨯⨯1212332211y y k x x --=⨯⨯-- 12121233[(1)][(1)]22()1k x k x k x x x x --⨯--=⨯-++2121212121239[()1](2)24()1k x x x x k x x k x x x x -++-+-+=⨯-++122121239(2)24[]()1k x x k k x x x x -+-+=+⨯-++ 233()44k k k k =--⨯=--. ………………… 12分 即 22339()4864t k k k =--=-++， 所以当38k =-时，ABP ∆三条边所在直线的斜率的乘积t 有最大值964. …14分。

2015年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{1，2，m2}，B＝{1，m}．若B⊆A，则m＝（）A．0B．2C．0 或2D．1 或22．（5分）已知点A（1，y0）（y0＞0）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点．若点A到该抛物线焦点的距离为3，则y0＝（）A．B．2C．2D．43．（5分）在△ABC中，若A＝，cos B＝，BC＝6，则AC＝（）A．4B．4C．2D．4．（5分）“∀x∈R，x2+ax+1≥0成立”是“|a|≤2”的（）A．充分必要条件B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）某商场每天上午10 点开门，晚上19 点停止进入．在如图所示的框图中，t表示整点时刻，a（t）表示时间段[t﹣1，t）内进入商场人次，S表示某天某整点时刻前进入商场人次总和，为了统计某天进入商场的总人次数，则判断框内可以填（）A．t≤17？B．t≥19？C．t≥18？D．t≤18？6．（5分）设x1，x2，x3均为实数，且＝log2（x1+1），＝log3x2，＝log2x3，则（）A．x1＜x3＜x2B．x3＜x2＜x1C．x3＜x1＜x2D．x3＜x1＜x2 7．（5分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（1，0），B（1，1），且∠BOP＝90°．设＝+k（k∈R），则||＝（）A．B．C．D．28．（5分）设集合M＝{（x0，y0）|x02+y02≤20，x0∈Z，y0∈Z}，则M中元素的个数为（）A．61B．65C．69D．84二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）i为虚数单位，计算＝．10．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和．若a3+a8＝3，S3＝1，则通项公式a n＝．11．（5分）在极坐标系中，设ρ＞0，0≤θ＜2π，曲线ρ＝2与曲线ρsinθ＝2交点的极坐标为．12．（5分）已知有身穿两种不同队服的球迷各三人，现将这六人排成一排照相，要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻，则不同的排法种数为（用数字作答）．13．（5分）设z＝3x+y，实数x，y满足其中t＞0，若z的最大值为5，则实数t的值为，此时z的最小值为．14．（5分）将体积为1的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点构成的多面体，第二次再将剩余的每个四面体均挖去以各棱中点为顶点构成的多面体，如此下去，共进行了n（n∈N*）次，则第一次挖去的几何体的体积是；这n次共挖去的所有几何体的体积和是．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）＝cos2x+sin x cos x，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）设x＝m（m∈R）是函数y＝f（x）图象的对称轴，求sin4m的值．16．（13分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，100]之间的频率；（2）现从分数在[80，100]之间的试卷中任取 3 份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90，100]的份数为X，求X的分布列和数学望期．17．（14分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知AB ∥CD，AD⊥CD，AB＝AD＝CD．（1）求证：BF∥平面CDE；（2）求平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值；（3）线段EC上是否存在点M，使得平面BDM⊥平面BDF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．18．（13分）已知函数f（x）＝alnx+﹣（a+1）x，a∈R（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）的最小值；（2）当a≤1时，讨论函数f（x）的零点个数．19．（14分）已知椭圆C：+＝1（{a＞b＞0}）的一个焦点为F（2，0），离心率为．过焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB中点为D，O为坐标原点，过O，D的直线交椭圆于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求四边形AMBN面积的最大值．20．（13分）若数列{a n}中不超过f（m）的项数恰为b m（m∈N*），则称数列{b m}是数列{a n}的生成数列，称相应的函数f（m）是{a n}生成{b m}的控制函数．设f（m）＝m2．（1）若数列{a n}单调递增，且所有项都是自然数，b1＝1，求a1；（2）若数列{a n}单调递增，且所有项都是自然数，a1＝b1，求a1；（3）若a n＝2n（n＝1，2，3），是否存在{b m}生成{a n}的控制函数g（n）＝pn2+qn+r （其中常数p，q，r∈Z），使得数列{a n}也是数列{b m}的生成数列？若存在，求出g（n）；若不存在，说明理由．2015年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{1，2，m2}，B＝{1，m}．若B⊆A，则m＝（）A．0B．2C．0 或2D．1 或2【解答】解：∵A＝{1，2，m2}，B＝{1，m}，又∵B⊆A，∴m＝2或m＝m2；当m＝2时，A＝{1，2，4}，B＝{1，2}，故成立；当m＝m2时，m＝0或m＝1；当m＝0时，A＝{1，2，0}，B＝{1，0}，故成立；当m＝1时，A＝{1，2，1}不成立；故选：C．2．（5分）已知点A（1，y0）（y0＞0）为抛物线y2＝2px（p＞0）上一点．若点A到该抛物线焦点的距离为3，则y0＝（）A．B．2C．2D．4【解答】解：∵点A到该抛物线焦点的距离为3，∴1+＝3，解得p＝4．∴抛物线的方程为：y2＝8x，把点A（1，y 0）（y0＞0）代入可得：＝8，解得．故选：C．3．（5分）在△ABC中，若A＝，cos B＝，BC＝6，则AC＝（）A．4B．4C．2D．【解答】解：∵cos B＝，B∈（0，π），∴＝，由正弦定理可得：，∴＝＝4．故选：B．4．（5分）“∀x∈R，x2+ax+1≥0成立”是“|a|≤2”的（）A．充分必要条件B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由一元二次不等式的性质可知，不等式x2+ax+1≥0对一切实数x∈R都成立等价于△＝a2﹣4≤0，解得，﹣2≤a≤2，即：|a|≤2，故选：A．5．（5分）某商场每天上午10 点开门，晚上19 点停止进入．在如图所示的框图中，t表示整点时刻，a（t）表示时间段[t﹣1，t）内进入商场人次，S表示某天某整点时刻前进入商场人次总和，为了统计某天进入商场的总人次数，则判断框内可以填（）A．t≤17？B．t≥19？C．t≥18？D．t≤18？【解答】解：模拟执行程序，可得t＝10，S＝0满足条件，t＝11，S＝a（11）满足条件，t＝12，S＝a（11）+a（12）…满足条件，t＝18，S＝a（11）+a（12）+a（13）+a（14）+a（15）+a（16）+a （17）+a（18）由题意，晚上19 点停止进入，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值，故判断框内可以填：t≤18．故选：D．6．（5分）设x1，x2，x3均为实数，且＝log2（x1+1），＝log3x2，＝log2x3，则（）A．x1＜x3＜x2B．x3＜x2＜x1C．x3＜x1＜x2D．x3＜x1＜x2【解答】解：如图所示，由图象可知：x1＜x3＜x2．故选：A．7．（5分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（1，0），B（1，1），且∠BOP＝90°．设＝+k（k∈R），则||＝（）A．B．C．D．2【解答】解：由题意＝+k＝（1+k，k），∵∠BOP＝90°．∴＝1+2k＝0，解得k＝﹣，＝（1+k，k）＝（），||＝＝．故选：B．8．（5分）设集合M＝{（x0，y0）|x02+y02≤20，x0∈Z，y0∈Z}，则M中元素的个数为（）A．61B．65C．69D．84【解答】解：x0，y0的取值情况如下：x0＝0，y0＝0，±1，±2，±3，±4（9个）x0＝±1，y0＝0，±1，±2，±3，±4（18个）x0＝±2，y0＝0，±1，±2，±3，±4（18个）x0＝±3，y0＝0，±1，±2，±3（14个）x0＝±4，y0＝0，±1，±2（10个）∴M中的元素个数为9+18+18+14+10＝69．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）i为虚数单位，计算＝．【解答】解：＝，故答案为：．10．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和．若a3+a8＝3，S3＝1，则通项公式a n＝．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a8＝3，S3＝1，∴a3+a8＝2a1+9d＝3，S3＝3a1+3d＝1，解得a1＝0，d＝，∴通项公式a n＝0+（n﹣1）＝故答案为：11．（5分）在极坐标系中，设ρ＞0，0≤θ＜2π，曲线ρ＝2与曲线ρsinθ＝2交点的极坐标为．【解答】解：在极坐标系中，设ρ＞0，0≤θ＜2π，曲线ρ＝2，则：转化成直角坐标方程为：x2+y2＝4．曲线ρsinθ＝2，转化成直角坐标方程为：y＝2．则：，解得：，即：交点坐标为：（0，2）．转化成极坐标为：（2，），故答案为：．12．（5分）已知有身穿两种不同队服的球迷各三人，现将这六人排成一排照相，要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻，则不同的排法种数为72（用数字作答）．【解答】解：身穿同一种队服的球迷3人，有＝6种，由于要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻，利用插空法可得2＝12种，利用乘法原理可得不同的排法种数为6×12＝72种．故答案为：72．13．（5分）设z＝3x+y，实数x，y满足其中t＞0，若z的最大值为5，则实数t的值为2，此时z的最小值为﹣1．【解答】解：由题意作出其平面区域，将z＝3x+y化为y＝﹣3x+z，z相当于直线y＝﹣3x+z的纵截距，故结合图象可得，，解得，x＝1，y＝2；故t＝2；由解得，x＝﹣1，y＝2；故z的最小值为z＝﹣1×3+2＝﹣1；故答案为：2，﹣1．14．（5分）将体积为1的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点构成的多面体，第二次再将剩余的每个四面体均挖去以各棱中点为顶点构成的多面体，如此下去，共进行了n（n∈N*）次，则第一次挖去的几何体的体积是；这n次共挖去的所有几何体的体积和是．【解答】解：如图，设四面体A﹣BCD的底面积为S，高AO＝h1，挖去以三条棱的中点E、F、G及A为顶点的四面体，挖去的四面体的体积为原四面体A﹣BCD体积的八分之一，其它三个角挖去四面体的体积也等于原四面体A﹣BCD体积的八分之一，则第一次挖去的几何体的体积为原四面体体积的一半，等于；依此类推，第二次挖去的几何体的体积为，即每一次挖去的几何体的体积构成以为首项，以为公比的等比数列，∴n次共挖去所有几何体的体积和为：．故答案为：；．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）＝cos2x+sin x cos x，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）设x＝m（m∈R）是函数y＝f（x）图象的对称轴，求sin4m的值．【解答】解：（1）f（x）＝cos2x+sin x cos x＝＝，所以函数的周期为：．令：（k∈Z），解得：≤x≤kπ+（k∈Z），所以函数的单调递减区间为：[，]（k∈Z）．（2）设x＝m（m∈R）是函数y＝f（x）图象的对称轴，则：（k∈Z）．解得：m＝，所以：4m＝2kπ．则：sin4m＝．16．（13分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，100]之间的频率；（2）现从分数在[80，100]之间的试卷中任取 3 份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90，100]的份数为X，求X的分布列和数学望期．【解答】解：（1）由茎叶图知，分数在[50，60）之间的频数为4，频率为0.0125×10＝0.125，∴全班人数为人．∴分数在[80，100]之间的频数为32﹣4﹣8﹣10＝10，∴分数在[80，100]之间的频率为＝0.3125；（2）由（1）知，分数在[80，100]之间有10份，分数在[90，100]之间有0.0125×10×32＝4份．由题意，X的取值为0，1，2，3，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为数学期望E（X）＝0×+1×+2×+3×＝1.2．17．（14分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知AB ∥CD，AD⊥CD，AB＝AD＝CD．（1）求证：BF∥平面CDE；（2）求平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值；（3）线段EC上是否存在点M，使得平面BDM⊥平面BDF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解答】（1）证明：∵AF∥DE，AF⊄平面CDE，DE⊂平面CDE，∴AF∥平面CDE，同理：AB∥平面CDE，又AF∩AB＝A∴平面ABF∥平面CDE又BF⊂平面ABF，∴BF∥平面CDE；（2）解：∵正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，正方形ADEF与梯形ABCD交于AD，CD⊥AD，∴CD⊥平面ADEF，∵DE⊂平面ADEF，∴CD⊥ED，∵ADEF为正方形，∴AD⊥DE，∵AD⊥CD，∴以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴，建立坐标系，则设AD＝1，则D（0，0，0），B（1，1，0），F（1，0，1），C（0，2，0），E（0，0，1），取平面CDE的一个法向量＝（1，0，0），设平面BDF的一个法向量为＝（x，y，z），则，取＝（1，﹣1，﹣1），设平面BDF与平面CDE所成锐二面角的大小为θ，则cosθ＝cos＜，＞＝，∴平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值为；（3）解：若M与C重合，则平面BDM（C）的一个法向量为＝（0，0，1），由上知平面BDF的一个法向量为＝（1，﹣1，﹣1），则•＝﹣1≠0，此时平面BDM⊥平面BDF不成立；若M与C不重合，设＝λ（0≤λ≤1），则M（0，2λ，1﹣λ），设平面BDM的一个法向量为＝（a，b，c），则，取＝（1，﹣1，），∵平面BDM⊥平面BDF，∴•＝1+1﹣＝0，∴λ＝∈[0，1]，∴线段EC上存在点M，使得平面BDM⊥平面BDF，＝．18．（13分）已知函数f（x）＝alnx+﹣（a+1）x，a∈R（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）的最小值；（2）当a≤1时，讨论函数f（x）的零点个数．【解答】解：（1）当a＝﹣1时，f（x）＝﹣lnx+的定义域为（0，+∞），f′（x）＝﹣+x＝，故f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；故当x＝1时，函数f（x）取得最小值f（1）＝；（2）f（x）＝alnx+﹣（a+1）x的定义域为（0，+∞），f′（x）＝，①当a≤0时，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；故当x＝1时，函数f（x）取得最小值f（1）＝﹣a﹣；（i）当a＝0时，令f（x）＝﹣x＝0解得x＝2；即f（x）在（0，+∞）上只有一个零点；（ii）当a＝﹣时，f（1）＝0，即f（x）在（0，+∞）上只有一个零点；（iii）当a＜﹣时，f（1）＞0，故f（x）在（0，+∞）上没有零点；（iv）当﹣＜a＜0时，f（1）＜0，且f（x）＝+∞，f（x）＝+∞，故f（x）在（0，+∞）上有两个零点；②当0＜a＜1时，f（x）在（a，1）上单调递减，在（0，a），（1，+∞）上单调递增；故f（x）＝f（a）＝alna﹣a2﹣a＜0，极大值而f（x）＝+∞，故f（x）在（0，+∞）上只有一个零点；③当a＝1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；且f（x）＝﹣∞，f（x）＝+∞，故f（x）在（0，+∞）上只有一个零点；综上所述，当0≤a≤1或a＝﹣时，f（x）在（0，+∞）上只有一个零点；当a＜﹣时，f（x）在（0，+∞）上没有零点；当﹣＜a＜0时，f（1）＜0，f（x）在（0，+∞）上有两个零点．19．（14分）已知椭圆C：+＝1（{a＞b＞0}）的一个焦点为F（2，0），离心率为．过焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB中点为D，O为坐标原点，过O，D的直线交椭圆于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求四边形AMBN面积的最大值．【解答】解：（I）由已知可得：，解得a2＝6，b2＝2，∴椭圆C的方程为；（II）当直线l的斜率不存在时，A，B，|MN|＝，S AMBN ＝＝4．当直线l的斜率存在时，设直线l方程为y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（﹣x3，﹣y3）．点M，N到直线l的距离分别为d1，d2．联立，化为（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝．|AB|＝＝＝．y1+y2＝k（x1+x2﹣4）＝，∴线段AB的中点D，∴直线OD的方程为：x+3ky＝0（k≠0）．联立，解得＝，x3＝﹣3ky3．S四边形AMBN＝＝×＝＝＝＝4≤，当k＝0时，取得等号；综上可得：四边形AMBN的面积的最大值为4．20．（13分）若数列{a n}中不超过f（m）的项数恰为b m（m∈N*），则称数列{b m}是数列{a n}的生成数列，称相应的函数f（m）是{a n}生成{b m}的控制函数．设f（m）＝m2．（1）若数列{a n}单调递增，且所有项都是自然数，b1＝1，求a1；（2）若数列{a n}单调递增，且所有项都是自然数，a1＝b1，求a1；（3）若a n＝2n（n＝1，2，3），是否存在{b m}生成{a n}的控制函数g（n）＝pn2+qn+r （其中常数p，q，r∈Z），使得数列{a n}也是数列{b m}的生成数列？若存在，求出g（n）；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）若b1＝1，因为数列{a n}单调递增，所以a1≤12，又所有项都是自然数，所以a1＝0或1；（2）因为数列{a n}的每项都是自然数，若a1＝0≤12，则b1≥1，与a1＝b1矛盾；若a1≥2，则因数列{a n}单调递增，故不存在a n≤12，即b1＝0，也与a1＝b1矛盾；当a1＝1时，因数列{a n}单调递增，故n≥2时，a n＞1，所以b1＝1，符合条件；综上，a1＝1．（3）若a n＝2n（n＝1，2，3），则数列{a n}单调递增，显然数列{b n}也单调递增，由，即2n≤m2，得，所以b m为不超过的最大整数，当m＝2k﹣1（k∈N*）时，因为＜2k2﹣2k+1，所以；当m＝2k（k∈N*）时，，所以，综上，b m＝，即当m＞0且m为奇数时，；当m＞0且m为偶数时，．若数列{a n}是数列{b m}的生成数列，且{b m}生成{a n}的控制函数g（n），则b m中不超过g（n）的项数恰为a n，即b m中不超过g（n）的项数恰为2n，所以b2n≤g（n）＜b2n+1，即2n2≤pn2+qn+r＜2n2+2n对一切正整数n都成立，即对一切正整数n都成立，故得p＝2，且对一切正整数n都成立，故0≤q≤2，q∈Z，又常数r∈Z，当q＝0时，0≤r＜2n（n≥1），所以r＝0，或r＝1；当q＝1时，﹣n≤r＜n（n≥1），所以r＝0，或r＝﹣1；当q＝2时，﹣2n≤r＜0（n≥1），所以r＝﹣2，或r＝﹣1；所以g（n）＝2n2，或2n2+1，或2n2+n﹣1，或2n2+n，或2n2+2n﹣2，或2n2+2n ﹣1（n∈N*）．。