正态分布与两个极限定理共33页

详细描述
人类的身高和体重分布情况符合正态分布的特征。这是因为个体的生长发育受到多种因 素的影响，导致身高和体重的差异。根据正态分布规律，大部分人的身高和体重值会集 中在平均值附近，而偏离平均值越远的人数逐渐减少。这种分布形态有助于评估个体的
生长发育状况，并识别出异常身高和体重的个体。
股票价格波动
总结词
卡方检验
总结词
卡方检验是一种非参数检验方法，用于比较实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。
详细描述
卡方检验通过计算卡方值和对应的P值来判断实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。卡方值越大，P值越小，说明差 异越显著。
05
正态分布的实例分析
考试分数分布
总结词
考试分数分布通常呈现正态分布的特点，即大部分考生成绩集中在平均分附近，高分和低分均呈下降趋势。
03
正态分布的性质
钟形曲线
钟形曲线
正态分布的图形呈现钟形 ，中间高，两侧逐渐降低 ，对称轴为均值所在直线 。
概率密度函数
描述正态分布中取任意值 的概率大小，函数曲线下 的面积代表概率。
曲线下面积
正态分布曲线下的面积为1 ，表示随机变量取值在一 定范围内的概率。
平均数与标准差
平均数
正态分布的均值，表示数据的中 心位置，所有数据值加起来除以 数据个数得到。
概率密度函数
正态分布的概率密度函数公式为： $f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$
其中，$mu$表示平均值，$sigma$ 表示标准差，该公式描述了正态分布 曲线的形状和高度。
02
正态分布的应用
自然现象

正态性检验
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
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形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。

X
-0.2 0 0.2
Z
例：假定某公司职员每周的加班津贴服从均值为50元、标准 差为10元的正态分布，那么全公司中有多少比例的职员每周 的加班津贴会超过70元，又有多少比例的职员每周的加班津 贴在40元到60元之间呢？
解：设 设=5 =50 0， =10，X～N(50,102)
70 50 P( X 70) 1 P( X 70) 1 Φ ( ) 1 Φ (2) 10 1 0.9772 0.0228 60 50 40 50 P(40 X 60) Φ( ) Φ( ) Φ(1) Φ (1) 2Φ (1) 1 10 10 2 0.8413 1 0.6826
1. 对于标准正态分布，即Z~N(0,1)：
P (a Zb) b a
P (|Z| a) （ a 0.5）*2=2* a - 1
Za
第三节 标准正态分布表的使用
对于负的 z值 可由 (-z)1 z得到
第三节 标准正态分布表的使用
2.对于一般正态分布，即X~N( , )，需要进行标准化：
x
1 2
第一节 正态分布
µ与σ的含义
µ σ
E x xdx （数学期望）
2 xdx （标准差） x D
+
+
= 正态随机变量X的均值
2= 正态随机变量X的方差
一般将正态分布记做 N , 2
第一节 正态分布
例： µ相同而σ不同：如果 1 2 60
1 10 ， 2 20 ，比较甲、乙的成绩。
Z(A)=(80-60)/10=2 Z(B)=(80-60)/20=1
还可以用于不同总体间综合指标的比较

第四章正态分布1第4章 正态分布4.1 正态分布(Normal distribution)1. 正态分布的定义如果随机变量X 的概率密度为)(,21)(22)(21+∞<<-∞=--x ex f x μσσπ；其中μσσ,,0>为常数，则称X 服从参数为μσ,的正态分布(Normal distribution)，记为),(~2σμN X .由高等数学可知，○1 当μ=x 时，)(x f 达到最大值σπ21；在σμ±=x 处，曲线)(x f y =有拐点；（如图4-1）○2 )(x f 的图形对称于直线μ=x ； ○3 )(x f 以x 轴为渐近线； ○4 若固定值改变μσ,，则曲线)(x f y =沿x 轴平行移动，曲线的几何图形不变；（如图4-2）⑤ 若固定μ，改变σ值，由)(x f 的最大值可知，当σ越大，)(x f 的图形越平坦；当σ越小，)(x f 的图形越陡峭。

（如图4-3）2图4-1 图4-2 图4-3 特别的，当1,02==σμ时，称X 服从标准正态分布(Standard normaldistribution)，即)1,0(~N X ，密度函数为)(,21)(22+∞<<-∞=-x ex xπϕ其图形为图4-4 标准正态分布的分布函数为⎰⎰∞--∞-==Φxtxdt edx x x 2221)()(πϕ由标准正态分布的对称性易知,对任意x 有:)(1)(x x Φ-=-Φ例如,利用上面公式和标准正态分布的分布函数表(见附表2)可得:03440965601821821..).(1).(=-=-=-ΦΦ2. 分位点的定义设X 为一随机变量，)(x F 为其分布函数，我们知道对于给定的实数x ，事件}{x X >的概率为)(}{}{x F x X P x X P -=≤-=>11。

在统计中，我们常常需要考虑上述问题的逆问题：已给定事件}{x X >的概率，要确定x 取什么值。