山东省实验中学2023届高三第二次模拟考试数学试题
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一、单选题
1. 若一个圆锥的轴截面是一个腰长为，底边上的高为1
的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（
）
A．B．
C．D．
2.
下列判断错误的是（
）
A．若随机变量服从正态分布，，则；
B．已知直线平面，直线平面，则“”
是“”
的必要不充分条件；
C．若随机变量服从二项分布：，则；
D．已知直线经过点，则的取值范围是
3. 已知集合，，则等于（
）
A．B．C．D．
4.
已知的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是（
）
A．B．C．D．
5.
在某学校的期中考试中，高一､高二､高三年级的参考人数分别为.
现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，经计算得高
一､高二､高三年级数学成绩的样本平均数分别为，则全校学生数学成绩的总样本平均数为（
）
A
．92B
．91C
．90D
．89
6. 若存在，使得对于任意，不等式恒成立，则实数的最小值为（
）
A
．B
．C．D．
7. 已知复数满足，则（
）
A
．B
．C
．D．
8.
对两条不相交的空间直线a
与b，必存在平面，使得（
）
A．B．
C．D．
9. 设随机变量服从正态分布，若，则的值为（
）
A
．9B
．7C
．5D
．4
10. 关于函数有下述四个结论：①是偶函数；②在区间上单调递减；③在有四个零点；④的最小值是.
其中所有正确结论的编号是（
）
A
．①②B
．②③C
．①④D
．①②④
11.
已知函数图象的一个对称中心为，且，要得到函数
的图象可将函数的图象
A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度山东省实验中学2023届高三第二次模拟考试数学试题二、多选题
三、填空题
四、填空题C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度
12. 已知函数仅有一个极值点，则实数的取值范围是（
）
A．B．
C．D．
13. 如图，的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量（以图中的格点为起点，格点为终点），则（ ）
A．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有11
个
B．满足的格点共有3
个
C．存在格点，，使得
D．满足的格点共有4
个
14. 设样本数据的平均数为，中位数为，方差为，则（
）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则样本数据的分位数为11
15. 已知正方体的棱长为4，点分别是的中点，则（
）
A．直线是异面直线B．平面截正方体所得截面的面积为
C．三棱锥的体积为D．三棱锥的外接球的表面积为
16. 已知，是椭圆
：与双曲线
：的公共焦点，，分别是与的离心
率，且P是与的一个公共点，满足，则下列结论中正确的是（
）
A．B
．
C．的最小值为D
．的最大值为
17.
已知函数，若f(m)>1
，则m
的取值范围是________
．
18. 数列前项和，若，令，则前10项和________
．
19. 从，，，这个数中随机取出个不同的数，，则的概率为__________
．
20. 已知数列满足：，，，，，且当n≥5时，，若数列满足对任意，有，则___________
；当n≥5
时， __________
．
21. 已知曲线和，若C与恰有一个公共点，则实数_________
；若C与恰有两个公
共点，则实数m
的取值范围是_________
．五、解答题
六、解答题
七、解答题22.
已知椭圆C
：（
）的离心率为，左顶点A到右焦点的距离为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于不同两点，（不同于A），且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求在上的射影的轨迹
方程.
23. ChatGPT
是由人工智能研究实验室OpenAI
于2022
年11
月30
日发布的一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行
对话，ChatGPT
的开发主要采用RLHF
（人类反馈强化学习）技术.
在测试ChatGPT
时，如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT
的回答被采
纳的概率为85%
，当出现语法错误时，ChatGPT
的回答被采纳的概率为50%.
(1)
在某次测试中输入了8
个问题，ChatGPT
的回答有5
个被采纳.
现从这8
个问题中抽取3个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求
的分布列和数学期望；
(2)
已知输入的问题出现语法错误的概率为10%
，
（i
）求ChatGPT
的回答被采纳的概率；
（ii
）若已知ChatGPT
的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率.
24. 为了调查某中学高三学生的身高情况，在该中学高三学生中随机抽取了名同学作为样本，测得他们的身高后，画出频率分布直方图如下：
（I
）估计该校高三学生的平均身高；
（II）从身高在（含）以上的样本中随机抽取人，记身高在之间的人数为，求的分布列和数学期望.
25. 如图，直三棱柱，底面中，，，，M
、N分别是、的中点．
(1)求的长；
(2)求的值；
(3)求证：．
26. 如图，在直三棱柱中，是的中点.
(1)证明：平面.
(2)若，求二面角的余弦值.八、解答题
九、解答题27. 2024
年甲辰龙年春节来临之际，赤峰市某食品加工企业为了检查春节期间产品质量，抽查了一条自动包装流水线的生产情况.
随机抽取该
流水线上的40件产品作为样本并称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为，，…，，由此得到
样本的频率分布直方图，如图所示.
(1)
根据频率分布直方图，求质量超过515克的产品数量和样本平均值；
(2)由样本估计总体，结合频率分布直方图，近似认为该产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为（1）中的样本平均值，计算该批产品质量指标值的概率；
(3)
从该流水线上任取2
件产品，设Y
为质量超过515
克的产品数量，求Y
的分布列和数学期望.附：若，则，，.
28. 在中，角A
，B
，C
所对的边分别为a
，b
，c
，已知．
(1)
若，求；
(2)求的最大值．
