2023届山东省实验中学高三第一次模拟考试 数学答案

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第 1 页 共 6 页 山东省实验中学2023届高三第一次模拟考试

数学参考答案

2023.5

一、单项选择题:本题共8

小题,每小题5

分,共40

分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

题号 1 2 3 4 5 6 7 8

答案 A B D C C B B C

二、多项选择题:本题共4

小题,每小题5

分,共20

分.在每小题给出的四个选项中,有多项符

合题目要求.全部选对的得5

分,部分选对的得2

分,有选错的得0

分.

题号 9 10 11 12

答案 AB ABC ACD ACD

三、填空题:本题共4

小题,每小题5

分,共20

分.

13.16 14

.1

(答案不唯一,2,3

均可) 15. 2 16

.5π

π,

3





四、解答题:共70

分.

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17

.【解析】

(1

)因为22

18

nnSSn

,当

2n时,

222222

1211nnnSSSSSS





81811n

812311n



(1)

81

2nn

2

21n,

因为0

na

,所以0

nS

,故21

nSn

. ………………………… 3

当1n时,

111Sa适合上式,

所以21

nSn

Nn

. ………………………… 5

(2

)因为21

nSn

Nn

,

所以当2n

时,

121232

nnnaSSnn



所以11,

22.nn

a

n

,

, ………………………… 7

所以数列

nb

:1

,1

,2

,1

,2

,2

,1

,2

,2

,2

,……

设(1)

1220

2nn

n

≤,则5n≤,

所以

nb

的前20

项是由6

个1

与14

个2

组成.

所以

206114234T. ………………………… 10

分 第 2 页 共 6 页 18

.【解析】

(1

)证明:取AC的中点M,连接MBMP,

在PAC△

中,PAPC,MAMC

,

MPAC,

同理可在ABC△

中,ABBC,MAMC

MBAC

,且MPMBM

, 

AC平面PMB,

又PB平面PMB,

PBAC ………………………… 4

(2

)因为平面PCD平面ABCD

,交线为CD

,又90ABC,//ABCD,

所以BCCD

,BC

平面ABCD

所以BC

面PCD

,PC

面PCD

,所以BCPC,

故PCD

为二面角PBCD的平面角,45PCD

,………………………… 6

以B为原点,以BC

为x

轴,以BA为y

轴,建立如图所示的坐标系,

则(2,2,2)P

,(0,2,0)A

,(2,0,0)C

,(2,1,0)D

设平面PAD

的一个法向量为(,,)xyzn

020

20

0DPyz

xy

AD









n

n,

令1x

,得(1,2,1)n

……………… 9

又(2,2,2)BP

,

所以直线BP与平面PAD

所成角

的正弦值为 |2sin|

cos,|

3

|||||BP

BP

BP



n

n

n. ………………………… 12

19

.【解析】

(1

)由直方图可知成绩在[30,40]

,(40,50]

,(50,60]

,(60,70]

的学生频率和为

0.060.120.180.340.7

所以抽取的100

名学生成绩的第80

百分位数在(70,80]

内,

设第80

百分位数为x

,则(70)0.0160.176.25xx

即第80

百分位数为76.25

. ………………………… 2

(2

)由频率分布直方图可得:

竞赛成绩在(40,50]

,(50,60]

两组的频率之比为0.12:0.182:3

所以10

人中竞赛成绩在(40,50]

的人数为4

104

10

人;在(50,60]

的人数为6

106

10人;

X所有可能的取值为0,1,2,3

, ………………………… 3

分 第 3 页 共 6 页

3

6

3

10C201

(0)

C1206PX

; 21

64

3

10CC601

(1)

C1202PX

12

64

3

10CC363

(2)

C12010PX

; 3

4

3

10C41

C12030(3)PX

; X的分布列为: X 0

1

2 3

P 1

6 1

2 3

10 1

30

11316

0123

6210305EX

. ………………………… 8分 (3

)用频率估计概率,竞赛成绩在[30,40]

内的概率0.061

0.060.123p

;则

20

20

20

20

2020

20C212

()C1C()()

333kk

k

kkkkk

Pkpp



,………………………… 9

119

20

20

20

20

2020!

C2

(1)1120121(1)!(19)!

3

(1)

20!

C2()22121

!(20)!

3kk

kkPkkkk

Pkkk

kk







.

令(1)121

(1)1

()21PkPkk



≥

,解得6k≤

, ………………………… 11

所以当6k

或7k

,()Pk

最大 ………………………… 12

20

.【解析】

(1

)在ACD中,222

2cos12049ACADDCADDC,所以7AC,

由正弦定理,sinsin

sinsinabACac

cABab



,可得222bacac,

再由余弦定理,1

cos

2B

,又(0,)B

,所以

3B

. ………………………… 3

因为120ADC

,所以180ABCADC,所以A

,B

,C

,D

四点共圆,

则四边形ABCD

的外接圆半径就等于ABC

外接圆的半径.

又7143

2

sin3

3

2b

R

B

,所以73

3R. ………………………… 5