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第十章-重积分的应用

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第九章(二) 重积分的应用

重积分的应用十分广泛。尤其是在几何和物理两方面。几何方面的应用有利用二重积分求平面图形的面积；求曲面面积；利用三重积分求立体体积。物理方面的应用有求质量；求重心；求转动惯量；求引力等。在研究生入学考试中，该内容是《高等数学一》和《高等数学二》的考试内容。

通过这一章节的学习，我们认为应到达如下要求：

1、掌握重积分的几何和物理意义，并能应用于实际计算。

2、对于重积分的应用领域和常见应用问题有全面的了解，并能利用重积分解决应用问题。

3、具备空间想象能力，娴熟的重积分计算技巧和将理论转化为应用的能力。

一、知识网络图

求引力求转动慣量求重心求质量物理应用求曲面面积求立体体积求平面图形面积几何应用重积分的应用

二、典型错误分析

例1． 求如下平面区域D的面积，其中D由直线xyx,2及曲线1xy所围成。

如图： y

1xy 〔2，2〕

)21,2(

O 1 2 x

[错解]89)2(2212221dyydxdydSyD

[分析]平面图形的面积可以利用二重积分来计算，这一点并没有错。问题在于区域D，假设先按x积分，再按y积分，则应注意到区域D因此划分为两个部分，在这两个部分，x、y的积分限并不相同，因此此题假设先积x, 后积y，则应分两部分分别积分，再相加。 [正确解] 2ln2322112121yyDdxdydxdydS

例2..设平面薄片所占的闭区域D是由螺线2上一段弧)20(与直线2所围成，它的面密度为22),(yxyx，求该薄片的质量。

[错解] 24023420320220drdrrddMD

[分析] 平面物体的质量是以面密度函数为被积函数的二重积分，因此解法的第一步是正确的。注意到积分区域的边界有圆弧，而被积函数为22),(yxyx，因此积分的计算采用极坐标系算，这一点也是正确的。问题在于在直角坐标转化为极坐标时，dxdy应由rdrd来代替，解题过程中缺少了一项r。导致计算结果错误。因此r务必不能遗漏。

[正确解] 40024520420220drrdrrddMD

例3. 计算以xoy面上的圆周122yx围成的区域为底，而以曲面22yxz为顶的曲顶柱体的体积。

[错解] 222201111yxyyDdzdxdydVV

[分析]如按此思路求解，即使接下去采用极坐标变换法，计算量仍然相当大，极易导致计算错误。该解法的不当之处在于没有注意到底和面都具有对称性，可利用对称性减少计算量。

[正确解] 24)(1022012222rdrrddxdyyxdVVyxD

例4.求锥面22yxz被柱面xz22所割下部分的曲面面积。

[错解] 锥面22yxz被柱面xz22所割下部分的曲面在xoy面上的投影区域为xyx222，因此cos20202rdrddxdySD202cos4d

[分析]求曲面的面积，应首先确定曲面在坐标面上的投影区域，这一点是正确的。但解法中忽略了求曲面积分在dxdy前应有一因子221yzxz。 [正确解] 锥面22yxz被柱面xz22所割下部分的曲面在xoy面上的投影区域为xyx222。而21122222222yxyyxxyzxz。

因此

cos2020222rdrddxdySD2cos24202d

例5．设薄片所占的闭区域D为半椭圆区域：0;12222ybyax，求均匀薄片的重心),(yx。

[错解]：2abM，

022022dxxaxabdyxdxxdxdyMxaabaaaaDx

所以0MMyx。又因232abydxdyMDy，所以34bMMxy。

[分析]重心的计算公式为;MMyx34bMMxy，但DxydxdyM，而DyxdxdyM。此类公式容易混淆。

[正确解]如图，

y

O x

由于是均匀薄片，D为半椭圆区域具有对称性，因此0x。

而220xaabaaDxydydxydxdyM232ab，2abM，所以ababMMyx232234b，所以)34,0(),(byx。

三、综合题型分析

例6.求由以下曲线所围成的闭区域D的面积：

D由曲线33334,,4,yxyxxyxy所围成的第一象限内的闭区域。

[分析]试着画草图发现区域D的形状不容易确定。但假设注意到四条曲线方程可变形为4,1,4,13333yxyxxyxy。由此想到可令vyxuxy33,，从而将不规则区域D化成一个方形区域。

[解] 令vyxuxy33,，则区域D化为：41,41vu。

83818183,vuyvux，232381),(),(vuvuyxJ。

818181414123232323dvvduuvdudvudAD

[方法小结]对于不规则图形，欲求其面积，可注意其方程是否有规律性，从中寻求适当的变量替换，将不规则图形转化为规则图形，以简化计算。

例7. 求平面1czbyax被三坐标面所割出的有限部分的面积。

[分析] 根据曲面面积计算公式：xyDdxdyyzxzA22)()(1，平面1czbyax在xoy面上的投影为1byax，即以a,b为直角边的直角三角形。如图：

z

O b y

a

x [解]平面1czbyax可表示为ybcxaccz。故bcyzacxz,，

221yzxz=222222222211acabbaabbcac。

DdxdyyzxzA22)()(1Ddxdyacabbaab2222221

=22222222222221211accbbaabacabbaab

[方法小结] 根据曲面面积计算公式：xyDdxdyyzxzA22)()(1。首先须将曲面方程化成),(yxfz的形式。并求出曲面在坐标面上的投影区域。此题的特点在于因子221yzxz为一常数。因此问题就转化为计算投影区域的面积。而此题的投影区域恰好为一三角形。故可直接求出其面积。

例8．计算由四个平面1,1,0,0yxyx所围成的柱体被平面0z及632zyx截得的立体的体积。

[分析]首先要画出题设的柱体。为此先考察柱体在xoy面上的投影：10,10yx 。因为柱体被平面632zyx所截，其在投影正方形四个顶点上的高分别为6，3，1，4，连接相应的交线，即得所求立体的草图。

z

1 2 y

1

3

x

[解]

27229012326)326(1012101032601010dxxdxyxyydyyxdxdzdydxdVVoyxD

[方法小结]求立体图形的体积,关键在于正确地画出图形.为此须了解各类常见空间几何体(如平面、直线、二次曲面等)的方程和形状。并能绘出各类几何体的交点或交线。从而确定所求几何体的形状。

例9．求由平面1,0,0yxyx所围成的柱体被平面0z及抛物面zyx622截得的立体的体积。

[分析]求立体的体积，首先需画出草图。注意到抛物面zyx622开口向下，因此截柱体所得立体以zyx622为顶，以平面0z为底。而在xoy面上的投影区域为一三角形区域, 由1,0,0yxyx所围成。

z

6

O 1 y

1

x

[解]

617)1(316601316)6(1033213210221060101022dxxxxxdxxyyxydyyxdxdzdydxdVVoxyxxD

[方法小结]假设所求立体为柱体被其他曲面所截得，则只需确定其顶部曲面方程和底部曲面方程。即得z的积分区域。而x,y的积分区域则可根据顶部在xoy面上的投影而定。

例10.利用三重积分计算以下曲面：球面)0(,2222aazzyx及222zyx所围成的立体的体积。

[分析]所求立体的上部为球面，下部为圆锥面，在在xoy面上的投影区域为圆。因此不难化成三重积分。但注意到所涉及的曲面方程，用球面坐标计算会更为方便。所求立体如下图: z

a

O y

x

[解] 用球面坐标，立体区域为cos204020:ar

34033334340cos2024020coscos316cossin3820cos23sin2sinadadadardrrdddVVoa

[方法小结]假设所求立体为球面、圆锥曲面等所围成，投影区域为圆域，则采用球面坐标计算更为方便。

例11．设有一等腰直角三角形薄片，腰长为a,各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方。求该薄片的重心。

y

a

x+y=a

(yx,)

O a x

[分析]由于面密度等于该点到直角顶点的距离的平方，即22),(yxyx。由

对称性可知：重心〔yx,〕满足：yx。套用重心公式，即可求得。

[解]

4303202200061])(31[)(),(adxxaxaxdyyxdxdyyxdxMaxaxaaa

axaDydyyxxdxxdxdyyxM0022)(),(

53032151])(31[adxxaxaxxa

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第十章重积分

第十章重积分

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1 / 17 第十章重积分

教学目的：

1. 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。

2. 掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。

3. 掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。

8、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。

教学重点：

1、 二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；

2、 三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。

3、二、三重积分的几何应用及物理应用。

教学难点：

1、 利用极坐标计算二重积分；

2、 利用球坐标计算三重积分；

3、 物理应用中的引力问题。

§9 1 二重积分的概念与性质

一、二重积分的概念

1曲顶柱体的体积

设有一立体它的底是xOy面上的闭区域D它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面它的顶是曲面zf(xy)这里f(xy)0且在D上连续这种立体叫做曲顶柱体现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积资料个人收集整理，勿做商业用途

首先用一组曲线网把D分成n个小区域

 1 2n

分别以这些小闭区域的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体在每个i中任取一点(ii)以f (ii)为资料个人收集整理，勿做商业用途

高而底为i的平顶柱体的体积为

f (ii) i (i1 2n )

这个平顶柱体体积之和

iiinifV),(1

可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值为求得曲顶柱体体积的精确值将分割加密只需取极限即

iiinifV),(lim10

其中是个小区域的直径中的最大值

2平面薄片的质量

设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D它在点(xy)处的面密度为(xy)这里(xy)0且在D上连续现在要计算该薄片的质量M资料个人收集整理，勿做商业用途

多重积分及其应用

多重积分及其应用

多重积分及其应用

多重积分是数学分析中的重要概念之一，它是对多个变量的函数在某个区域上进行积分的方法，常用于描述多变量问题的求解。本文将介绍多重积分的定义、性质以及在实际问题中的应用。

一、多重积分的定义

在单变量积分中，我们已经了解到积分是函数的反导数，表示曲线下的区域面积。而在多重积分中，我们将积分的概念进行了推广，用于描述函数在二维或更高维空间中的区域上的累积效应。

对于二维空间中的函数，我们可以定义二重积分。设函数f(x, y)在闭区域D上有界，如果存在极限

∬D f(x, y)dxdy = A

其中，D为区域D上的一组二重闭合区域，那么A就是函数f(x, y)在区域D上的二重积分。其中，dxdy表示对x和y进行积分。在实际计算中，我们可以将二重积分分解为两个单变量的积分，先对x进行积分，再对y进行积分。

类似地，我们可以推广到三维空间中的三重积分。如果函数f(x, y,

z)在闭区域V上有界，且以下极限存在

∭V f(x, y, z)dxdydz = A 其中，V为区域V上的一组三重闭合区域，那么A就是函数f(x, y,

z)在区域V上的三重积分。在实际计算中，我们可以按照积分次序的不同，先对x进行积分，再对y进行积分，最后对z进行积分。

二、多重积分的性质

多重积分具有许多有用的性质，下面我们介绍其中的一些重要性质。

1. 线性性质：多重积分具有线性性质，即对于任意常数a和b，以及两个函数f(x)和g(x)，有

∬D (af(x) + bg(x))dxdy = a∬D f(x)dxdy + b∬D g(x)dxdy

这个性质的重要性在于，我们可以将复杂的多重积分问题分解为多个简单的积分问题，从而更容易进行计算。

2. 积分区域可加性：设D为由两个区域D1和D2组成的闭区域，若函数f(x, y)在D上可积，则有

∬D f(x, y)dxdy = ∬D1 f(x, y)dxdy + ∬D2 f(x, y)dxdy

重积分的计算方法及应用

重积分的计算方法及应用

重积分的计算方法及应用

重积分是多元函数积分的一种形式，应用广泛。本文将介绍重积分的计算方法和应用。

一、重积分的计算方法

1. 重积分的定义

重积分是对多元函数在一个具有面积的区域上进行的积分，它可以看作是对一个平面上的区域进行积分。假设在二元函数f(x,y)的定义域D上选择了一个面积为S的区域R，那么多元函数f(x,y)在区域R上的重积分为∬Rf(x,y)dxdy。

2. 重积分的计算方法

重积分的计算方法与一元函数积分类似，可以使用曲线积分或者换元法进行求解。特别的，对于二元函数f(x,y)，可以通过极坐标系进行重积分的计算，在极坐标系中，面积可以用rdrdθ表示，积分公式为f(x,y)dxdy=rdrdθ∫∫Rf(rcosθ,rsinθ)drdθ。如果要计算三元函数的重积分，则需要使用球坐标系，积分公式为f(x,y,z)dxdydz=r^2sinθdrdθdϕ∫∫∫Rf(x,y,z)r^2sinθdxdydz。

二、重积分的应用

重积分在实际生活中有许多应用，比如：

1. 计算物体的质量和重心

物体的质量可以看作是物体密度分布的加权平均值，因此可以使用重积分的概念来计算物体的质量。同样的，对于一个平面图形，可以通过将图形分割为若干个小面积来计算它的面积和重心。

2. 计算物体的体积

重积分还可以用于计算物体的体积。假设在三元函数f(x,y,z)的定义域D上选择了一个体积为V的区域S，那么多元函数f(x,y,z)在区域S上的重积分为∭Sf(x,y,z)dxdydz。

3. 计算动量和角动量

在物理学中，物体的动量和角动量可以通过积分的方式计算。物体的动量可以看作是物体质量与运动速度的乘积，因此可以通过对速度的积分来计算动量。同样的，物体的角动量可以看作是物体质量、运动速度和距离的乘积，因此可以通过对速度和距离的积分来计算角动量。

4. 计算电荷量和电场强度

在电磁学中，电荷量可以通过积分来计算。同样的，电场强度也可以通过积分来计算。比如，可以通过对电荷分布的密度函数的积分来计算空间中的总电荷量，也可以通过对电场的积分来计算电场强度。

第十章-重积分的应用

第十章-重积分的应用

第九章(二) 重积分的应用

重积分的应用十分广泛。尤其是在几何和物理两方面。几何方面的应用有利用二重积分求平面图形的面积；求曲面面积；利用三重积分求立体体积。物理方面的应用有求质量；求重心；求转动惯量；求引力等。在研究生入学考试中，该内容是《高等数学一》和《高等数学二》的考试内容。

通过这一章节的学习，我们认为应到达如下要求：

1、掌握重积分的几何和物理意义，并能应用于实际计算。

2、对于重积分的应用领域和常见应用问题有全面的了解，并能利用重积分解决应用问题。

3、具备空间想象能力，娴熟的重积分计算技巧和将理论转化为应用的能力。

一、知识网络图

求引力求转动慣量求重心求质量物理应用求曲面面积求立体体积求平面图形面积几何应用重积分的应用

二、典型错误分析

例1． 求如下平面区域D的面积，其中D由直线xyx,2及曲线1xy所围成。

如图： y

1xy 〔2，2〕

)21,2(

O 1 2 x

[错解]89)2(2212221dyydxdydSyD

[分析]平面图形的面积可以利用二重积分来计算，这一点并没有错。问题在于区域D，假设先按x积分，再按y积分，则应注意到区域D因此划分为两个部分，在这两个部分，x、y的积分限并不相同，因此此题假设先积x, 后积y，则应分两部分分别积分，再相加。 [正确解] 2ln2322112121yyDdxdydxdydS

例2..设平面薄片所占的闭区域D是由螺线2上一段弧)20(与直线2所围成，它的面密度为22),(yxyx，求该薄片的质量。

[错解] 24023420320220drdrrddMD