第十章定积分的应用

第十章 定积分的应用

§1 平面图形的面积

如果一块图形是由连续曲线1yfx，2yfx以及xa，)xbab所围成，那么这块图形的面积的计算公式为

()()[()()]bbbaaaSfxdxgxdxfxgxdx。

例：求2yx，2xy所围的面积S。

例：求sin1yx，cosyx在[0,2]上所围图形的面积。

若所给的曲线方程为参数形式：()()xxtyyt （t），其中yt是连续函数，xt是连续可微函数，且()0xt且()xa，()xb，那么由()()xxtyyt，x轴及直线,xaxb所围图形的面积S的公式为

||()Sydxt（）。

例：求旋轮线：(sin)0(1cos)xattayat一个拱与x轴所围的图形的面积。

例：求椭圆cossinxatybt（0a，0b）的面积S。

设曲线的极坐标方程是：()rr，，()[,]rC，则由曲线()rr，射线及所围的扇形面积S等于

21()2Srd。

例：求双纽线222cos2ra所围图形面积S。

例：求由2sin3r，02，所决定的外层曲线和内层曲线之间的面积S。

§2 曲线的弧长

1、先建立曲线的长度（弧长）的概念

一条线段的长度可直接度量，但一条曲线段的“长度”一般却不能直接度量，因此需用不同的方法来求。 设平面曲线l由参数方程()()xxtyyt （t）给出，设01{,,,}nPttt是[,]的一个划分[0,ntt]，即01nttt，它们在曲线l上所对应的点为000((),())Mxtyt，111((),())Mxtyt，…，((),())nnnMxtyt。从端点0M开始用线段一次连接这些分点0M，1M，…，nM得到曲线的一条内接折线，用1iiMM来表示1iiMM的长度，则内接折线总长度为

2211111'[(()()][(()()]nniiiiiiiisMMxtxtytyt

曲线l的弧长s定义为内接折线的总长在max0it时的极限：

221110011limlim[(()()][(()()]nniiiiiiiisMMxtxtytyt

如果s存在且为有限，则称l为可求长曲线。

2、弧长公式

设曲线l：()()xxtyyt （t），且()xt，()yt在[,]上可微且导数()xt，()yt在[,]上可积，曲线l在[,]无自交点，则曲线l的弧长s为：

2222()()Sxtytdtdxdy

注：其它形式的弧长公式

（1）设()yyx在,ab上可微且导数()yx可积，则曲线()yyx（axb）的弧长s为：

1()baSyxdx。

（2）若曲线极坐标方程()rr，，则当()r在[,]上可微，且()r可积时，

22Srrd。

例：求圆周cosxRt，sinyRt，02t的弧长s。

例：求抛物线2yx，01x的弧长s。

例3、求椭圆22221xyab（0ba）的弧长s。

3、弧长的微分

设l：()()xxtyyt（t）是光滑曲线，()xt，()yt在[,]连续且2()xt＋2()0yt），且无自交点。若把公式中的积分上限改为t，就得到曲线l，由端点0M到动点((),())Mxtyt的一段弧长为

22()()tsxtytdt

由上限函数的可微性知'()st存在，2222()dstdxdydsdxdydtdtdt。

§3 体积

一 一般体积公式

设一几何体夹在xa和xb（axb）这两个平行平面之间，用垂直于x轴的平面去截此几何体，设载面与x轴交点为,0x，可得的截面面积为Ax，如果Ax是,ab上的黎曼可积函数，则该几何体的体积V等于

()baVAxdx。

例：求222xya及222xza的体积V。

例：求由椭球面2222221xyzabc所围的几何体体积,,0abc。

二 旋转体的体积

设()yfx，0fx是一条连续曲线，曲线()yfx，axb绕x轴产生旋转体的截面积为Ax＝2()yx，则

V＝2()bbaaAxdxydx

例：求抛物线2yx，01x分别绕x轴和y轴所产生的旋转体体积。

§4 旋转曲面的面积

设yfx在,ab上非负，且连续可微，该曲线绕x轴旋转后所得的旋转面的侧面积为

221baFyydx

例：求半径为r的球面面积F。

例：某反光镜可近似地看成介于0x与14x米之间的抛物线28yx绕x轴旋转所成的旋转抛物面。求此反光镜镜面的面积。

§5 质心

重心在计算不少实际问题中遇到，例如造船时就要考虑怎样来设计才使船的重心低一些。设在平面上有n个质点，质点坐标为(,)iiiMxy，原量分别为im，则该重心为（,CCxy），有以下公式：

11niiiCniimxxm，11niiiCniimyym。

定义：均匀物体的重心也叫做形心。

下面将此概念加以推广，来计算一般平面曲线（弧）的原心：

设曲线l方程为()()xxtyyt（t），()xt，()yt存在且22()()0xtyt，则曲线l的重心坐标（,CCxy）有近似公式：

11niiiCniisxs，11niiiCniisys。

记12max{,,,}nsss，则0时，得

llxdsxds，llydsyds。

具体地，如果曲线方程段为()yfx，（axb），()fx在,ab连续，则此曲线段的质心坐标为

21blaxdsxydxxss，21blaydsyydxyss。

其中21basydx为曲线段的弧长。如果密度不是常数，而是x的连续函数()x，（axb）那么完全类似地可得曲线段质心坐标为：

()()lllxxdsxdmxmxds，()()lllyxdsydmymxds

其中()dmxds，()bamxds为曲线段的质量。

例：求以r为半径的半圆弧的形心。

例：轴长10米，密度分布为60.3xx千克/米，其中x为距轴的一个端点的距离，求轴之质量。

§6 平均值、功

一 平均值

设xf在闭区间ba,连续，把区间n等分，分点为

01naxxxb

每一个分点ix上的函数值是iy1,2,,in，分点间的距离时baxn，则iy的算术平均值为

12121nnyyyyyyxnba

令0x，则得xf在ba,上的平均值为

1bayfxdxba。

例：求xxfsin在2,0上的平均值。

例：求交流电的平均功率。

二 功

设物体在力xf的作用下从A点运动到B点，则xf在ba,上所作的功为dxxfWba。

例：求力xxf3从0运动到10所作的功。

例：半径为r的球沉入水中，它与水面相接，球的比重为1，现将球从水中取出，要作多少功？

§7 定积分的近似计算

设fx在区间,ab上连续，将区间分成2n个相等的区间，分点为

012naxxxb，

令iiyfx，则Simpson公式为

0224221321246bnnnabafxdxyyyyyyyyn。