03物理极值问题

2 物理极值问题解题方法与技巧

物理极值问题与临界问题是高中物理中的重要问题，涉及的知识面广，综合性强，加之对数理结合能力要求较高，已成为高中生学习物理的难点之一，同时又是历年高考的热点之一。

（1）所谓极值问题，是指在一定条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。这类问题主要包括：

①是否有极值，是极大值还是极小值；②取得极值的条件；③求极值；④根据极值讨论其他问题。

（2）所谓临界问题，是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态。可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”。某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。

（3）极值问题和临界问题往往是联系在一起的，临界条件往往也是极值条件。

①临界点是一个特殊的转换状态，是物理过程发生变化的转折点，在这个转折点上，系统的一些物理量达到极值。

②临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变，能否用变化的观点正确分析其运动规律是求解这类题目的关键，而临界点的确定是基础。

③许多临界问题常在题目的叙述中出现“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词句，对临界问题给出了明确的暗示，审题是只要抓住这些特定词语其内含规律就能找到临界条件。

④有时，某些临界问题中并不包含常见的临界术语，但审题时发现某个物理量在变化过程中会发生突变，如运动中汽车做匀减速运动类问题，则该物理量突变时物体所处的状态即为临界状态。

⑤临界问题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。

⑥确定临界点一般用极端分析法，即把问题（物理过程）推到极端，分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条件。解题常用的思路用矢量法、三角函数法、一元二次方程判别式法或根据物理过程的特点求极值法等。

（4）解决临界问题与极值问题有两类基本方法，即物理方法（也称分析法）和数学方法。

①物理方法，重在对所述问题形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件，然后在此条件下直接求解。

物理方法解题过程简捷，但对物理能力要求较高。有时还要注意有多种可能性。

②数学方法，主要是通过对所述问题建构对应的数学模型，化物理极值问题和临界问题为数学极值问题，从而利用数学知识中各种求极值的方法求出物理极值。

在求解物理极值过程中要将实际物理过程与所学数学知识进行灵活的结合，充分发挥数学的作用，往往要进行数学建模。数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程，对物理规律或物理概念的描述提供了最简洁、最准确的表达方式，而且在内容上能表述得深刻、精确、简捷。

从高中生已有的数学知识，总结出求解物理极值问题通常涉及到的数学知识有：二次函数中的配方法，极值公式法，判别式法；三角函数的有界性，化一法；不等式；图象法；向量法；求导法，分析法，归纳法等方法。

数学方法严谨准确全面，但对数理结合能力要求较高，同时要求学生数学基础要较好。有时还要注意数学结论有无物理意义，结果的正负在物理中的意义，等等。

（一）对是否存在极值的判断

〖例1〗如图电路的A、B两端接在一个稳压电源两端，○A为理想电流表，试分析，当滑动变阻器的滑片从a移向b的过程中○A的读数将如何变化？（根据a、b之间有无极值点讨论）

2 （二）物理方法（分析法）

〖例2〗如图所示的竖直平面内的光滑绝缘轨道处于水平向右的匀强电场中，一带负电荷的小球从高h的A处由静止开始下滑，沿轨道ABC运动后进入圆环内作圆周运动。已知小球所受到电场力是其重力的3/4，圆环半径为R，斜面倾角为θ，BC=2R。要使小球在圆环内作完整的圆周运动，h至少为多少？

1．平衡最速原理

〖例3〗如图所示，AB、CD是两条足够长的固定平行金属导轨，两条导轨间的距离为L，导轨平面与平面的夹角是θ，在整个导轨平面内部有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B。在导轨的AC端连接一个阻值为R的电阻，一根垂直于导轨放置的金属棒ab，质量为m，从静止开始沿导轨下滑。已知ab与导轨间的滑动摩擦系数为μ，导轨和金属棒的电阻不计。求ab棒的最大速度。

2．等速最距原理

〖例4〗甲、乙两物体同时、同地、同向由静止出发，甲做匀加速直线运动，加速度为4m/s2，4s后改为同向的匀速直线运动；乙做匀加速直线运动，加速度为2m/s2，10s后改为同向的匀速直线运动，求乙追上甲之前它们之间的最大距离。

A

B C O R

E

R A

B C

D B a b

θ

2 3．利用边界条件求极值

有一类物理问题中的物理量只能在一定的范围内变化才有物理意义，对于这类问题的极值解只要根据它的边界条件，再利用有关物理规律便可解决了。

〖例5〗如图是显象管电子束运动的示意图，设加速电场两极间的电势差为U，匀强磁场区域的宽度为L，要使电子束从磁场出来在图中所示不超过120°范围内发生偏转（即上下各偏转不超过60°）磁感应强度B的变化最大值应多大？

（三）数学方法

极值问题是中学物理应用数学工具的典型问题，它的特点是综合强，对过程分析要求高，有时还比较隐蔽，使人感到难以入手。

运用数学工具处理物理问题的能力是高考重点考查的五种能力之一，其中极值的计算在教学中频繁出现。很多学生数、理结合能力差，这里正是加强数、理结合的“切入点”。

1．作图法

①作矢量图

〖例6〗如图所示，一质量为m，带电量为q的小球用一绝缘细线悬挂于O点，在一匀强

电场中平衡时细线与竖直方向成θ角，则所加电场的最小值为 。

〖例7〗如图所示，重为G的物体与水平地面的动摩擦因数为μ，欲以一个拉力F使物体

沿地面匀速前进。问F与水平地面的夹角θ为何值时最省力？这个最小拉力是多大？

〖例8〗一条河宽L=60m，水速v水=4m/s，船在静水中的开行速度v船=3m/s。

（1）求小船渡河的最短时间t，这样渡河船的位移是多少？

（2）小船渡河的最小位移是多少？

〖例9〗如图所示，船A从港口P出发去拦截正以速度υ0沿直线航行的船B。P与B所在航线的垂直距离为a，A起航时与B船相距为b，b>a。如果略去A船起动时的加速过程，认为它一起航就匀速运动。则A船能拦截到B船的最小速率为多少？

120° B

U

L

O

θ

B

A P v0

b a F

θ

G

2 ②作图象

〖例10〗某物体从静止开始沿直线运动，当停止运动时，位移为L，若运动中加速度大小只能是a或是零。那么此过程的最大速度是多大？最短时间为多少？

2．一元二次式

①利用一元二次函数图象的顶点坐标法求极值

一元二次函数y=ax2+bx+c：

若a>0，则函数图象为开口向上的抛物线，当x=-ab2时，y有极小值，ymin=abac442；

若a<0，则函数图象为开口向下的抛物线，当x=-ab2时，y有极大值，ymax =abac442。

〖例11〗甲、乙两地相距L=200km，汽车以速度v1=40km/h从甲地向着正西方的乙地开行，同时有一摩托车以速度v2=30km/h从乙地向着正南方开行，两车何时相距最近？最近距离为多少？

②利用一元二次方程根的判别式求极值

一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ＝b2-4ac

Δ＞0时，方程有两个不同的实解；

Δ＝0时，方程有两个相同的实解（或说成有一个实解）；

Δ＜0时，方程没有实解。

〖例12〗一列汽车车队以v=10m/s的速度匀速行驶，相邻车间距为25m，后面有一辆摩托车以20m/s的速度同向行驶，当它离车队最后一辆车相距25m时刹车，以加速度0.5m/s2做匀减速运动，摩托车在车队旁边行驶而过，设车队辆数n足够多。

（1）摩托车最多与几辆汽车相遇？最多与车队中汽车相遇几次？

（2）摩托车从赶上车队到离开车队，共经历多少时间？

2 ③利用配方法求极值

〖例13〗如图所示电路中电流表内阻忽略不计，电源E＝10V，r＝1Ω，R0＝R＝4Ω，其中R为滑动变阻器的最大值。当滑动片P从最左端滑到最右端的过程中，电流表的最小值是多少?最大值是多少?电流表的示数将怎样变化?

3．三角函数

利用三角函数规律求物理极值的问题。

在物理极值问题中，有许多题目里的物理量变化关系与角度变化有关，于是，对这一类问题，我们只要着眼于列出被求物理量与角度相关的物理方程，再利用三角函数的有关规律即可求解物理极值。

①y=sinα或y=cosα类型

利用正弦与余弦函数的有界性求极值

②y=sinαcosα类型

这种类型，一般利用“化一”法求三角函数极值。对于复杂的三角函数，例如，要求极值时，先需要把不同名的三角函数变成同名的三角函数，这个过程叫做“化一”。

〖例14〗如图所示，底边AB长度恒为b，当斜面与底边成夹角θ为多大时，物体从顶端沿此光滑斜面由静止开始滑到底端所用时间最短?

〖例15〗如图所示。一辆四分之一圆弧小车始终静止在水平地面上，质量为m的小球从静止开始由车顶无摩擦滑下，当小球运动到什么位置时，地面对小车的摩擦力最大?最大值是多少?

A R R0

a b P E、r

b A B C

θ