四川省宜宾市叙州区2018-2019学年高三(上)期末数学(理科)试题(解析版)
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2018-2019学年四川省宜宾市叙州区高三（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
，，，所以，故选择C.
2.已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：∵复数z满足，则，故选D．
考点：复数运算.
3.已知中，，，则等于
A. B. C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】
由正弦定理列出关系式，把a，b，的值代入求出的值，结合大边对大角的性质即可确定出B的度数．
【详解】中，，，，
由正弦定理得：，
，，
则．
故选：A．
【点睛】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
4.已知随机变量服从正态分布则
A. 0.89 B. 0.78 C. 0.22 D. 0.11
【答案】D
【解析】
本题考查正态分布和标准正态分布的转化及概率的计算方法.
故选D
5.已知向量， ，若，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
依题意，，即解得，故，则与的夹角的余弦值，故.选D.
6.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
∵{an}是等差数列
∴Sm==0a1=－am=－(Sm－Sm－1)=－2，
又=－=3，∴公差=－=1，
∴3==－，∴=5，故选C．
视频
7. 如图所示的程序框图，输出的S的值为( )
A. B. 2 C. －1 D. －
【答案】A
【解析】
k＝1时，S＝2，
k＝2时，S＝，
k＝3时，S＝－1，
k＝4，S＝2，……
所以S是以3为周期的循环．
故当k＝2 012时，S＝．
8.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：几何体为一个四棱锥，外接球球心为底面正方形（边长为4）中心，所以半径为，表面积为，
选C.
考点：三视图，外接球
【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
视频
9.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则此人第一天走的路程为（ ）
A. 192里 B. 96里 C. 63里 D. 6里
【答案】A
【解析】
设第一天走了里，则是以为首项，以为公比的等比数列，
根据题意得：
解得
故选
10.函数在区间，内是增函数， 则实数的取值范围是
A. ， B. ， C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
对函数进行求导，根据函数单调递增易得在内恒成立，即，解出即得结果.
【详解】∵，∴，
∵函数在区间内是增函数，
∴在内恒成立，即，∴，故选B．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，将函数单调递增转化为是解题的关键，属于中档题．
11.已知抛物线的准线过双曲线的左焦点且与双曲线交于、两点，为坐标原点，且的面积为，则双曲线的离心率为
A. B. 4 C. 3 D. 2
【答案】D
【解析】
试题分析：抛物线的准线方程为，所以双曲线的左焦点，从而，把代入得，所以的面积为
，解得，所以离心率，故选D.
考点：抛物线的方程、双曲线的几何性质.
【方法点晴】本题主要考查了抛物线的方程、双曲线的简单几何性质，属于基础题.正确运用双曲线的几何性质是本题解答的关键，首先根据抛物线方程求出准线方程即得双曲线的焦点坐标，求出的值，由双曲线标准方程求得弦的长，表示出的面积，从而求得值，最后由离心率的定义求出其值.
12.已知函数，，为的零点，为图象的对称轴， 且在，上单调， 则的最大值为
A. 11 B. 9 C. 7 D. 5
【答案】B
【解析】
，则，得，
又，则，得，
当时，则，则，所以，在不单调；
当，则，则，所以，在单调递减。
故选B。
点睛：由零点和对称轴判断得到，解得，由单调，得到区间长度，则，但本题四个选项都满足要求，则由大往小代入验证，得到选项B满足要求。
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知关于的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为_________.
【答案】
【解析】
试题分析：因为只有第项的二项式系数最大，所以因此展开式的系数之和为
考点：二项式系数性质
14.已知实数，满足不等式组则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
做出约束条件的平面区域，如图所示：
联立 解得： ，即
由图可知：当直线 过点 时有最小值：
.故答案为 .
点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.
15.AB为过抛物线焦点F的一条弦，设，，以下结论正确的是______，
，且
的最小值为4
以AF为直径的圆与x轴相切．
【答案】①②③
【解析】
【分析】
可设直线AB的方程为，由，得，由韦达定理可判断正确；利用弦长公式表示出，由表达式可知正确；通过计算圆心到x轴的距离、半径可判断正确；
【详解】因为直线AB过抛物线的焦点，故可设直线AB的方程为，
由，得，
则，，
，故正确；
由抛物线定义得，
，
当且仅当时取等号，所以的最小值为4，故正确；
，则圆心，圆心到x轴的距离，
直径，半径，，
所以以AF为直径的圆与x轴相切，故正确；
故答案为：．
【点睛】本题考查抛物线的性质、方程及直线与抛物线的位置关系，考查学生解决问题的能力．
16.当，时，不等式恒成立，则实数的取值范围是___．
【答案】
【解析】
试题分析：不等式变形为．当时，，故实数a的取值范围是；当时，，记，，故函数递增，则，故；
当时，，记，令，得或（舍去），当时，；当时，，故，则．综上所述，实数的取值范围是．
考点：利用导数求函数的极值和最值．
三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）
17.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）．（2）．
【解析】
试题分析：（1）由，得，根据正弦定理、两角和的正弦公式及诱导公式可得，从而可得结果；（2）由，结合余弦定理可得
，利用三角形面积公式可得结果.
试题解析：（1）由，得，
即，
由正弦定理，得，
所以，
，
，
因为，所以，
所以．
因为，所以．
（2）在中，由余弦定理，得，
又，
所以，解得，
所以的面积．
【方法点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
18.2018年2月22日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了200件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品.图3是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表.
表1：设备改造后样本的频数分布表
（1）完成下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；
（2）根据图3和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；
（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品．．．进行等级细分，质量指标值落在内的定为一等品，每件售价240元；质量指标值落在或内的定为二等品，每件售价180元；其它的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率．．．．．．．．代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为（单位：元），求的分布列和数学期望.
