2014年湖南省高考文科数学试卷及参考答案与试题解析
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第1页，共17页 2014年湖南省高考文科数学试卷及参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题5分,共50分)
1.(5分)设命题p：∀x∈R,x2＋1＞0,则￢p为( )
A.∃x0∈R,x02＋1＞0 B.∃x0∈R,x02＋1≤0
C.∃x0∈R,x02＋1＜0 D.∀x0∈R,x02＋1≤0
2.(5分)已知集合A＝{x|x＞2},B＝{x|1＜x＜3},则A∩B＝( )
A.{x|x＞2} B.{x|x＞1} C.{x|2＜x＜3} D.{x|1＜x＜3}
3.(5分)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为P1,P2,P3,则( )
A.P1＝P2＜P3 B.P2＝P3＜P1 C.P1＝P3＜P2 D.P1＝P2＝P3
4.(5分)下列函数中,既是偶函数又在区间(－∞,0)上单调递增的是( )
A.f(x)＝ B.f(x)＝x2＋1 C.f(x)＝x3 D.f(x)＝2－x
5.(5分)在区间[－2,3]上随机选取一个数X,则X≤1的概率为( )
A. B. C. D.
6.(5分)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切,则m＝( )
A.21 B.19 C.9 D.－11
7.(5分)执行如图所示的程序框图,如果输入的t∈[－2,2],则输出的S属于(
)
A.[－6,－2] B.[－5,－1] C.[－4,5] D.[－3,6]
8.(5分)一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( ) 第2页，共17页
A.1 B.2 C.3 D.4
9.(5分)若0＜x1＜x2＜1,则( )
A.－＞lnx2－lnx1 B.－＜lnx2－lnx1
C.x2＞x1 D.x2＜x1
10.(5分)在平面直角坐标系中,O为原点,A(－1,0),B(0,),C(3,0),动点D满足||＝1,则|＋＋|的取值范围是( )
A.[4,6] B.[－1,＋1] C.[2,2] D.[－1,＋1]
二、填空题(共5小题,每小题5分,共25分)
11.(5分)复数(i为虚数单位)的实部等于
.
12.(5分)在平面直角坐标系中,曲线C：(t为参数)的普通方程为 .
13.(5分)若变量x,y满足约束条件,则z＝2x＋y的最大值为 .
14.(5分)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等,若机器人接触不到过点P(－1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是 .
15.(5分)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数,则a＝
.
三、解答题(共6小题,75分)
16.(12分)已知数列{an}的前n项和Sn＝,n∈N*.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)设bn＝＋(－1)nan,求数列{bn}的前2n项和. 第3页，共17页 17.(12分)某企业有甲、乙两个研发小组,为了比较他们的研发水平,现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：
(a,b),(a,),(a,b),(,b),(,),(a,b),(a,b),(a,),
(,b),(a,),(,),(a,b),(a,),(,b)(a,b)
其中a,分别表示甲组研发成功和失败,b,分别表示乙组研发成功和失败.
(Ⅰ)若某组成功研发一种新产品,则给该组记1分,否则记0分,试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平；
(Ⅱ)若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品,试估计恰有一组研发成功的概率.
18.(12分)如图,已知二面角α－MN－β的大小为60°,菱形ABCD在面β内,A、B两点在棱MN上,∠BAD＝60°,E是AB的中点,DO⊥面α,垂足为O.
(Ⅰ)证明：AB⊥平面ODE；
(Ⅱ)求异面直线BC与OD所成角的余弦值.
19.(13分)如图,在平面四边形ABCD中,DA⊥AB,DE＝1,EC＝,EA＝2,∠ADC＝,∠BEC＝.
(Ⅰ)求sin∠CED的值；
(Ⅱ)求BE的长.
20.(13分)如图,O为坐标原点,双曲线C1：－＝1(a1＞0,b1＞0)和椭圆C2：＋＝1(a2＞b2＞0)均过点P(,1),且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.
(Ⅰ)求C1、C2的方程；
(Ⅱ)是否存在直线l,使得l与C1交于A、B两点,与C2只有一个公共点,且|＋|＝||？证明你的结论. 第4页，共17页
21.(13分)已知函数f(x)＝xcosx－sinx＋1(x＞0).
(Ⅰ)求f(x)的单调区间；
(Ⅱ)记xi为f(x)的从小到大的第i(i∈N*)个零点,证明：对一切n∈N*,有＋＋…＋＜.
第5页，共17页
2014年湖南省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题5分,共50分)
1.(5分)设命题p：∀x∈R,x2＋1＞0,则￢p为( )
A.∃x0∈R,x02＋1＞0 B.∃x0∈R,x02＋1≤0
C.∃x0∈R,x02＋1＜0 D.∀x0∈R,x02＋1≤0
【分析】题设中的命题是一个特称命题,按命题否定的规则写出其否定即可找出正确选项
【解答】解∵命题p：∀x∈R,x2＋1＞0,是一个特称命题.
∴￢p：∃x0∈R,x02＋1≤0.
故选：B.
【点评】本题考查特称命题的否定,掌握其中的规律是正确作答的关键.
2.(5分)已知集合A＝{x|x＞2},B＝{x|1＜x＜3},则A∩B＝( )
A.{x|x＞2} B.{x|x＞1} C.{x|2＜x＜3} D.{x|1＜x＜3}
【分析】直接利用交集运算求得答案.
【解答】解：∵A＝{x|x＞2},B＝{x|1＜x＜3},
∴A∩B＝{x|x＞2}∩{x|1＜x＜3}＝{x|2＜x＜3}.
故选：C.
【点评】本题考查交集及其运算,是基础的计算题.
3.(5分)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为P1,P2,P3,则( )
A.P1＝P2＜P3 B.P2＝P3＜P1 C.P1＝P3＜P2 D.P1＝P2＝P3
【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论.
【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知,无论哪种抽样,每个个体被抽中的概率都是相等的,
即P1＝P2＝P3.
故选：D.
【点评】本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质,比较基础.
4.(5分)下列函数中,既是偶函数又在区间(－∞,0)上单调递增的是( )
A.f(x)＝ B.f(x)＝x2＋1 C.f(x)＝x3 D.f(x)＝2－x
【分析】本题利用函数的奇偶性和单调性的定义或者利用图象的特征加以判断,判断函数是偶函数又在区间(－∞,0)上单调递增,得到本题结论.
【解答】解：选项A,,∵f(－x)＝＝f(x),∴f(x)是偶函数,图象关于y轴对称.
∵f(x)＝x－2,－2＜0,∴f(x)在(0,＋∞)单调递减,
∴根据对称性知,f(x)在区间(－∞,0)上单调递增； 适合题意. 第6页，共17页 选项B,f(x)＝x2＋1,是偶函数,在(0,＋∞)上单调递增,在区间(－∞,0)上单调递减,不合题意.
选项C,f(x)＝x3是奇函数,不是偶函数,不合题意.
选项D,f(x)＝2－x在(－∞,＋∞)单调递减,不是奇函数,也不是偶函数,不合题意.
故选：A.
【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性、函数图象与性质,本题难度不大,属于基础题.
5.(5分)在区间[－2,3]上随机选取一个数X,则X≤1的概率为( )
A. B. C. D.
【分析】利用几何槪型的概率公式,求出对应的区间长度,即可得到结论.
【解答】解：在区间[－2,3]上随机选取一个数X,
则－2≤X≤3,
则X≤1的概率P＝,
故选：B.
【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算,求出对应的区间长度是解决本题的关键,比较基础.
6.(5分)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切,则m＝( )
A.21 B.19 C.9 D.－11
【分析】化两圆的一般式方程为标准方程,求出圆心和半径,由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值.
【解答】解：由C1：x2＋y2＝1,得圆心C1(0,0),半径为1,
由圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0,得(x－3)2＋(y－4)2＝25－m,
∴圆心C2(3,4),半径为.
∵圆C1与圆C2外切,
∴,
解得：m＝9.
故选：C.
【点评】本题考查两圆的位置关系,考查了两圆外切的条件,是基础题.
7.(5分)执行如图所示的程序框图,如果输入的t∈[－2,2],则输出的S属于( ) 第7页，共17页
A.[－6,－2] B.[－5,－1] C.[－4,5] D.[－3,6]
【分析】根据程序框图,结合条件,利用函数的性质即可得到结论.
【解答】解：若0≤t≤2,则不满足条件输出S＝t－3∈[－3,－1],
若－2≤t＜0,则满足条件,此时t＝2t2＋1∈(1,9],此时不满足条件,输出S＝t－3∈(－2,6],
综上：S＝t－3∈[－3,6],
故选：D.
【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断,利用函数的取值范围是解决本题的关键,比较基础.
8.(5分)一块石材表示的几何体的三视图如图所示,将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于(
)
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】由题意,该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r.
【解答】解：由题意,该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r,则
8－r＋6－r＝,
∴r＝2.
故选：B.
